精品解析：江苏南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中考试数学试卷

南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 84 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合二项式定理可得，令运算求解即可. 【详解】由题意可知：的展开式通项为， 令，解得， 所以项的系数是. 故选：D． 3. 某市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据（），经过分析、计算，得，，，之间的经验回归方程是：，则相应于点的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据经验回归直线过样本点的中心求出，然后求出时的预测值，进而求得残差. 【详解】因为，，所以样本点的中心为， 又因为经验回归直线过样本点的中心，所以，所以，所以经验回归方程是：， 当时，， 所以残差为. 故选：A. 4. 甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得丙不是第1名，甲乙相邻，先排丙，再排甲，乙，最后再排丁，即可得答案. 【详解】解：由题意可得丙不是第1名，甲，乙相邻； 所以丙是第2名时，甲，乙只能是第3，4名，丁为第1名，此时共2种情况； 丙是第3名时，甲，乙只能是第1，2名，丁为第4名，此时共2种情况； 丙是第4名时，甲，乙有可能是第1，2名，或第2，3名， 当甲，乙是第1，2名时，丁为第3名，此时共2种情况； 当甲，乙是第2，3名时，丁为第1名，此时共2种情况； 所以一共有2+2+2+2=8种情况. 故选：C. 5. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的数量积得到，再由古典概率计算即可. 【详解】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率. 故选：A． 6. 现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出选出的卡片数字之和为9的方法总数，再由组合知识确定展开式中的系数，逐项判断即可得解. 【详解】若选一张卡片有9一种情况，有种方法， 若选两张卡片有1，8；2，7；3，6；4，5，四种情况，有种方法， 若选三张卡片有1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4，六种情况， 有种方法， 若选四张卡片有1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3， 有种方法， 若选五张卡片有1，1，2，2，3一种情况，有种方法， 所以． 对A选项，有9个括号选带的项，有1个括号选1，所以的系数为，故A错误； 对B选项，由于，，，所以的系数为，故B错误； 对C选项，若由单独组成，其他项为常数，则有2种，系数为2， 若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数，则系数为， 所以的系数，故C错误； 对D选项， ， 若由单独组成，其他项为常数，则有种，系数为2， 若由两项组成，有，；，；，；，，四种情况，其他项为常数， 则系数为，同理若由三项组成，有，，；，，；，，；，，；，，；，，，六种情况，其他项为常数，则系数为， 同理，若由四项组成，有，，，；，，，；，，，；，，，，四种情况，其他为常数，则系数为， 同理，若由五项组成，有，，，，，一种情况，其他项为常数，则系数为，所以系数为，故D正确； 故选：D． 7. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明平面，故问题可转化为求直线与平面的距离，再证明平面，由此可求结论. 【详解】因为，平面，平面，所以平面， 所以异面直线与的距离与直线与平面的距离相等， 即点到平面的距离，如图连接，交于，则， 因为平面，平面，所以 又因为，平面， 所以平面，所以线段长为点到平面的距离， 又因为，所以异面直线的距离为，则C正确. 故选：C 8. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先按4人分3组、每组至少1人用排列组合求出总基本事件数，再分别算出甲在指定灯区且甲乙不到同一赏灯区时，该灯区2人和仅甲1人两类情况的方法数，联立得到同时满足事件的事件数，求出联合概率，再套用条件概率公式算出最终条件概率. 【详解】记事件: 甲游览机场跑道无人机灯区，事件: 甲与乙不到同一赏灯区，则， 因为每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区，则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个赏灯区， 基本事件的总数为， 若事件、同时发生，若游览机场跑道无人机灯区有2人，则另外一人为丙或丁， 此时，不同的游览情况种数为， 若游览机场跑道无人机灯区只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个赏灯区， 此时，不同的游览情况种数为， 因此，， 由条件概率公式可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值判断AC，去绝对值后，赋值判断B，两边求导后，再赋值，判断D. 【详解】A.令，得，故A正确； B.，令 令展开式中的，得，故B错误； C.令展开式中的，得， 所以，故C正确； D.展开式的两边求导，得， 令，得，故D正确. 故选：ACD 10. 随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. 事件A与相互独立 C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率的公式逐一判断即可. 【详解】因为与一定互斥，所以A对； 独立，B对． 对． 错， 故选：ABC 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为正方形内的动点，则（ ） A. 平面 B. C. 二面角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角的正切值为时，点的轨迹的长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，通过中位线得到，然后利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，建立空间直角坐标系，计算向量即可判断；C选项，分别求出平面和平面的法向量，再计算法向量夹角的余弦值，即可求得二面角的余弦值；D选项，先确定平面，将线面角转化为中的角，由正切值计算出，即可得出的轨迹是正方形内的圆，周长即为轨迹长度. 【详解】对于A：连接，因为分别为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以， 因为，所以与不垂直，即与不垂直，故B错误； 对于C：由B可知，， 设平面的法向量为，则， 令，可得. 设平面的法向量为，则， 令，可得， 设二面角的平面角为， 则， 由图知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故C正确； 对于D：设点是正方形的中心，连接，则平面， 所以就是直线与平面所成的角，即， 在中，，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其轨迹长度为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的对称性可得出，则，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 13. 甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据掷骰子规则确定选盒的概率，再用各盒中白球占比得到摸白球的条件概率，接着通过全概率公式算出摸到白球的总概率，最后利用贝叶斯公式，求出已知摸到白球时，该球来自乙盒的概率． 【详解】设{摸出的球来自甲盒}，{摸出的球来自乙盒}， {摸出的球来自丙盒}，{摸出白球}， 则，，， ，，， 所以 ， 所以． 14. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】分类用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色，分别求解涂色种数即可得出结果. 【详解】涂法可分三类，用3种颜色、用4种颜色和用5种颜色， 用3种颜色时，有种， 用4种颜色时，有种， 用5种颜色时，有种， 则不同的染色方案有种. 故答案为：780. 【点睛】关键点睛：本题考查排列组合和计数原理，解题的关键是做到不重不漏. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 （1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； （2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 【答案】（1） 0 1 2 （2）有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 【解析】 【分析】（1）通过按比例分层随机抽样确定5人各有几人来自和，再确定的可能取值，求得相应概率即可求解； （2）先补全列联表，求得相应，再对比数据即可求解. 【小问1详解】 由于和频率分别为，， 则按比例分层随机抽样，抽取5人进行座谈，有3人来自，2人来自， 由题意的可能取值为0，1，2， , , , 所以的分布列是： 0 1 2 . 【小问2详解】 由题意活动时间达标人数为， 活动时间未达标人数为， 故列联表如下： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 20 60 活动时间未达标（低于14小时） 10 30 40 合计 50 50 100 零假设：“视力情况”与“体育活动时长是否达标”无关． 根据列联表数据，计算， 根据小概率值的独立性检验，判断不成立， 所以有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点． （1）证明：BD⊥PF； （2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值； 【答案】（1） 连接AC，因为在△ADC中，E，F分别是AD，CD的中点，所以EF//AC， 又因为在菱形ABCD中AC⊥BD，所以BD⊥EF； 因为△PAD为正三角形，E为AD中点，所以PE⊥AD； 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，平面， 所以PE⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以PE⊥BD； 因为PE∩EF=E，平面PEF，所以BD⊥平面PEF， 又PF⊂平面PEF，所以BD⊥PF； （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC，菱形中易得，再由面面垂直的性质定理得平面，从而得，则可证得线面垂直，从而有线线垂直； （2）以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接BE，因为∠BAD=60°，所以△ADB为等边三角形，所以BE⊥AD； 由（1）知，PE⊥平面ABCD，故以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 设AD=2，则 则 设平面PBD的法向量为，则，可取 所以，故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为． 17. 已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． （1）设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； （2）求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． （3）求甲队赢得最终胜利的概率． 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先确定甲队得分服从二项分布，再应用二项分布的概率公式求解每个概率值，最后计算期望即可； （2）分情况讨论5场单打后的比分，计算每种情况的概率，再求和即可； （3）甲队获胜分三类：单打获胜、单打未获胜后又赢一场双打或第一场双打未赢第二场双打赢或两场双打赢，将三种情况概率相加即可. 【小问1详解】 由已知可得，则的可能取值为0，1，2，3，，4，5，对应的概率为： ，， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 数学期望. 【小问2详解】 决出最终胜负时，共进行了6场比赛，则进行5场比赛后，可能的比分为， 最后一场的获胜者一定是原来的领先方，可分为以下两种： ①前5场比赛中，乙队:甲队是或，第六场乙获胜，结束比赛， 则； ②前5场比赛中，甲队:乙队是或，第六场甲获胜，结束比赛， 则； 则决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率为. 【小问3详解】 甲队赢得最终胜利分为以下几种： ①甲前5场直接获胜，则； ②甲在前5场未决出胜负，进行一场双打即可获胜， 则； ③甲在前5场未决出胜负，进行两场双打中需连续打赢两场或第一场未赢第二场赢即可获胜， 则 ， 依题意可知，最多进行两场双打即可分出胜负， 则甲队赢得最终胜利的概率为. 18. 马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概率，在天气预报中具有重要的应用．在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况．某城市准备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天．根据以往的天气状态数据得到如下转移概率矩阵： 第天 第天 晴天 阴天 雨天 晴天 阴天 雨天 （1）假设第1天是晴天的概率为，求第2天是雨天的概率； （2）假设第1天是晴天的概率为，求第4天是晴天的概率； （3）在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关．在这个天气预报问题中，不论第1天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，试证明该结论，并求出这三个常数． 【答案】（1） （2） （3） 当时，由（2）知数列是公比为的等比数列， 所以， 因此． 根据（2）可知， 又， 所以，得， 所以， 因此． 所以． 因为单调递减，且，当时，， 所以当时，， ，． 当时，易知，，． 综上，不论的取值如何变化，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，且第天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于，，． 【解析】 【分析】（1）设第1天是阴天、雨天的概率分别为，求得，从而利用关系求得第2天是雨天的概率； （2）设第天是晴天、阴天、雨天的概率分别为，根据转移概率矩阵得到的递推关系式，根据递推关系式得到是等比数列，求出的通项公式，得到结果； （3）根据（2）得到，利用对立事件的概率计算公式得到（），利用极限思想得到结果. 【小问1详解】 设第1天是阴天、雨天的概率分别为，则，得， 因此第2天是雨天的概率． 【小问2详解】 设第天是晴天、阴天、雨天的概率分别为，由转移概率矩阵可得． 又，所以，即， 由可得，（点拨：令，利用待定系数法求出的值，从而得到） 所以数列是公比为的等比数列． 又，所以，因此， 故第4天是晴天的概率． 【小问3详解】 略 【点睛】考点与方法点睛：试题巧妙地将数列融入概率问题中，重在考查学生的逻辑思维能力，考查学生对事件进行分析、分解和转化的能力，对学生的知识串联能力要求较高，有助于学生构建完整的知识体系． 概率与数列的交汇问题，多以概率的求解为主线，建立递推关系．解决此类问题的基本步骤如下： 第一步：精准定性明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率模型的依据，也是建立递推关系的准则 第二步：准确建模通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题 第三步：解决模型递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列等问题求解，求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式. 19. 在信息论中，熵（）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵．若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量所有取值为，则定义信息熵，，． （1）若，求随机变量的信息熵关于的解析式； （2）若，，求此时的信息熵； （3）设和是两个独立的随机变量，求证：． 【答案】（1）， （2） （3） 由题意， ，且，，， 所以 ． 【解析】 【分析】（1）根据信息熵定义式，结合两事件概率和为，将熵表示为单一变量的函数，直接代入化简即可； （2）先由递推关系求出各事件的概率通项，再代入信息熵公式，通过错位相减法对含的项求和，最终化简得到熵的表达式； （3）利用独立时联合概率等于边缘概率乘积的性质，将联合熵的定义式展开，拆分为两个独立熵的和，完成证明． 【小问1详解】 若，则，， 所以，； 【小问2详解】 当时，， ， 而， 所以 ， 令①，则②， ①②得， 化简得， 所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校2025-2026学年度第二学期期中试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 的展开式中项的系数是（ ） A. 672 B. C. 84 D. 3. 某市物价部门对某商品在5家商场的售价（元）及其一天的销售量（件）进行调查，得到五对数据（），经过分析、计算，得，，，之间的经验回归方程是：，则相应于点的残差为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名（没有并列名次），甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”，从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 5. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 现有标有数字1，2，3，4，⋯，9的卡片各两张，从中选出若干张，记选出的卡片数字之和为9的方法总数为，则下列各式的展开式中的系数为的选项是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，正方体的棱长为1，则异面直线与的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 随机事件A，B满足，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与互斥 B. 事件A与相互独立 C. D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，为正方形内的动点，则（ ） A. 平面 B. C. 二面角的余弦值为 D. 当直线与平面所成角的正切值为时，点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 13. 甲盒装有1个白球和2个黑球，乙盒装有3个白球和2个黑球，丙盒装有4个白球和1个黑球．采取掷骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒．在选出的盒子中随机摸一球，经过秘密选盒摸球后，宣布摸得1个白球，则此球来自乙盒的概率是___________． 14. 正方体六个上分别标有A，B，C，D，E，F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有___________种.(用数字作答) 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表： 每周活动总时长（单位：时） 频率 0.15 0.25 0.35 0.15 0.1 同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）： 视力良好 视力一般 合计 活动时间达标（不少于14小时） 40 活动时间未达标（低于14小时） 30 合计 100 （1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望； （2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关. 参考公式及数据： ①，其中． ②，，，． 16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点． （1）证明：BD⊥PF； （2）若∠BAD=60°，求直线PC与平面PBD所成角的正弦值； 17. 已知甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊赛，比赛规则如下：①每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分；②若其中一队的累计得分先达到5分及以上，则赢得比赛的最终胜利，比赛结束；③若单打比赛结束后还未决出最终的胜负，则进行双打比赛，每场双打比赛获胜的一方得2分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为；每场双打比赛中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为． （1）设5场单打比赛后，甲队的累计得分为随机变量，求的概率分布列和数学期望； （2）求决出最终胜负时，共进行了6场比赛的概率． （3）求甲队赢得最终胜利的概率． 18. 马尔可夫链是概率论中的一种数学模型，用于描述一系列状态之间的转移概率，在天气预报中具有重要的应用．在天气预报中，可以将天气状态分为多种，例如晴天、阴天、雨天、雪天等，根据以往的天气状态数据，可以计算出每种状态之间的转移概率，即从一种状态转移到另一种状态的概率，进而可以得到转移概率矩阵，在测评天气时，可以从当前的天气状态开始，根据转移概率矩阵计算出下一个可能的天气状态，以此类推，就可以测评未来几天的天气情况．某城市准备在冬季的某段时间举行一场大型户外活动，现需要用马尔可夫链模型来测评天气情况，从而决定具体的举办日期，假设该城市冬季的天气只有三种状态：晴天、阴天、雨天．根据以往的天气状态数据得到如下转移概率矩阵： 第天 第天 晴天 阴天 雨天 晴天 阴天 雨天 （1）假设第1天是晴天的概率为，求第2天是雨天的概率； （2）假设第1天是晴天的概率为，求第4天是晴天的概率； （3）在马尔可夫链模型中，稳态分布为该模型可以演变到平衡状态的分布，当一个马尔可夫链处于稳定状态时，变量的概率分布将趋近于稳定，并且与初始状态无关．在这个天气预报问题中，不论第1天是晴天、阴天、雨天的概率分别是多少，第（足够大）天是晴天、阴天、雨天的概率分别趋近于一个常数，试证明该结论，并求出这三个常数． 19. 在信息论中，熵（）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵．若把信息定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量所有取值为，则定义信息熵，，． （1）若，求随机变量的信息熵关于的解析式； （2）若，，求此时的信息熵； （3）设和是两个独立的随机变量，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $