陕西榆林市横山中学2026届高三下学期考前自测数学试题

数学（三） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题养和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2,选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题参，草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷，草稿纸和答题卡上的 非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},C={1,2,3,4,5,6},则 A.A∩B=☑ B.AUB=C C.AUC=C D.A∩C=B 2.已知复数x=2十ai(a∈R)满足(1-i)z为纯虚数，则|z十i= A.13 B.5 C.√/13 D.5 3.若双曲线mx十ny2=1的一条渐近线方程为y=3x,则m= A-9 B.-3 c号 D-} 4(+2》 的展开式中，三的系数为 2 A.135 B.15 C.-15 D.-135 5.已知a,b为单位向量，向量a在向量b方向上的投影向量为一b,则|a一3b= A.2W2 B.23 C.8 D.12 6.若tanB=2tana,sin(g-a)=4,则cos(2a十2g)= A品 B司 c日 7.已知实数x,y满足y=√4一x-2,则|6x一8y十5|的取值范围为 A[品别 B.[1,33] C.[9,33] [品 【YT·数学（三）第1页（共4页）】 8.已知函数f八x)=a+bx+ex+d,1)=-l,2)=-是3)=-)=-则/5= A.-1 B一 c品 D.0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小顺给出的选项中，有多项符合题目要米。全第 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 只已知函数f代x)=血2x,g()=号smx一名os,则下列说法正确的是 Ag(x)的图象关于直线x=对称 Bg(红)的图象关于点（答，0）对称 C将f(x)的图象向右平移需个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵 坐标不变)，得到函数g(x)的图象 D.g(x)的图象与f(x)的图象在[0,2π]内有4个交点 10已知椭圆C:号+号-1的左，右焦点分别为E,,点P是C上不同于顶点的-点，直线PO交C于 另外一点Q,其中O为坐标原点，过点P作x轴的垂线，垂足为E,直线QE交C于另外一点G,则下 列说法正确的是 AC的短轴长为√2 B.四边形PF1QF2的周长为8 C响十离的最小值为号 1 D.PQ⊥PG 11.定义在[0,1]上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)+f(1-x)=1;②f(x)=2f号)月 ③当0≤x1<x2≤1时，f(x1)≤f(x2),则下列说法正确的是 A.f(1)=1 B()=司 Cf(2）-2(a∈N) Df(202)=i8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知备项均为正数的等比数列1a.)的前n项和为S,且24，十a,=a,侧3= 13,已知轴裁面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是号，则该圆锥的底面半径与球的半径的 比值为 1.在面积为号的锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,bc,且s如Bos A-十s如C=2nB,则c 的最小值为 【YT·数学（三）第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a=l,数列 是公差为}的等差数列. a (1)求{an的通项公式： (2)设6.=”2，记数列化，)的前n项和为T,求使得T,>120成立的最小正整数m的值 antl 16.(本小题满分15分) 甲、乙两人进行射箭游戏规则如下：如果射中标靶，则继续射箭；如果未射中，则换另一位同学射箭 两位同学每次射箭相互独立，甲的命中率为兰，乙的命中率为，第1次射箭是甲 (1)求第3次射箭的人是甲的概率； (2)甲、乙一共射箭4次，用随机变量X表示乙射箭的次数，求X的分布列及数学期望 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,BC-2√2，点D是棱PA的中点，点 E满足CE=2ED,点F是棱BP上的一点（不包含端点） (1)若EF∥平面ABC,求证：PF=2FB; (2)若直线AF与平面8CD所成角的正弦值为2@，求三棱锥P-PCD的 体积 18.(本小题满分17分) 已知A,B是抛物线C:y2=4x上异于坐标原点O的两点. (1)若C的焦点恰好是△OAB的垂心，求|AB|; (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为一4. (1)求证：直线AB恒过定点； (iⅱ)已知点G是线段AB的中点，点M(一2，O)关于直线AB的对称点N在C上，求△GMN的面积 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ae'cosx-sinx-l(a∈R). (1)若a=一2，求f(x)的图象在x=0处的切线方程； (2)若f(x)≥0对任意的x∈[一乏，0]恒成立，求a的取值范围； (3)若a=1,设x是f(x)=0在区间(2mm+平，2元十)(n∈N*)内的根，求证：x+1一x1>2n元. 【YT·数学（三）第4页（共4页）】数学（三）参考答案 1.C由题意A∩B={2,3〉，AUB={1,2,3,4},AUC={1,2,3,4,5,6〉=C,A∩C=1,2,3},对比选项可知只有C选 项符合题意.故选C. 2.D因为(1-i)(2十ai)=a+2十(a一2)i,又(1-i)之为纯虚数，所以a+2=0且a-2≠0，解得a=-2,所以 |x+i=√22+(-1)=5，故选D. 3.A双曲线mx2十y2=1的渐近线方程为y=土 √一x,所以√-=3，所以=-9.故选A n 4A由题意可知：(+2-子)”-[2+(x-多)门的通项为741=C2(x-3)》r=01…,6,且(x3)的 1 通项为S1=C-(-子)广=(-3)C,y,令k=2.6-一=4，解得k=2r=0,所以号的系数为C (-3)2C=135.故选A 或B因为向量a在向量b方向上的投影向量为青，所以一吉6=a·口：中。·合-(a:6)6所以a:6 3,所以有1a-3b1=√a-3b7=V+9b-6a·b=√1+9-6×(-号）=23.故选B 6.C因为tamg=21ana,所以g2e,放sin os=2 sin acos又sin(g-a）=-sina-csi=},所以 cOs B cos a sin acos},in o=号所以sn(3+a)=im庆osa十o in=,所以cos(2a十29)=cos2(g叶a）=1 1 2im(9叶a)=1-2×()°=-名故选C. 7.B由y=√4-x-2,得x2+(y十2)2=4(y≥-2)，即y=√4-x-2为圆x2十(y十2)2=4的上半圆，圆心 A(0,一2)，半径为2，B(2,一2)，又|6x-8y十5|表示点(x,y)到直线6.x-8y+5=0距离的10倍，点A到直线6x一8y 十5-0的距离d=×二一-沿>2.即直线6一8十5=0与圆相离，点B到直线6：8y+5=0的距离 √62+(-8)9 -12X68X+51-器所以6x一8y+5的最小值为10×(0-2)=1，最大值为10×器-=3，所以 √62+(-8)2 6x-8y十5|的取值范围为[1,33].故选B. 8.D因为f1)=-1,2)=-合f3)=-}f4)=-}所以f)=-}即xf)+1=0有根1,2.34，设 xf(x)+1=a.x+bx3+cx2+dx+1=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),当x=0时，1=a(-1)(-2)(-3)(-4), 解得a=所以5f(5)十1=是×24=1，故5)=0.故选D BD由题意知g()号nr一os=m(x-吾），又（肾）=sim(号一晋）=m吾≠士1，故x=吾不是g(） 的对称轴，故A错误：g()=sin(否-吾)=0，故g(x)的图象关于点（石0）对称，故B正确：将∫()的图象向右 平移石个单位长度后，得到y=sin2(x一石)=sin(2x-琴)再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵 坐标不变)，得到函数y=sin(x一于)，故C错误；分别作出f(x)与g(x)在[0,2x]内的图象，可知有4个交点，故D 正确.故选BD. =f八x） v=gx)- 10.BCD由题意知C的短轴长为22，故A错误；四边形PFQF2的周长为PF|+|PF2|+QF|+|QF2|=2a十 【YT·数学（三）参考答案第1页（共4页）】 2a=4a=8故B正确：PF+QF=PR+PF=2a=4,则P十0=(P十0T） 1 (距1+1Q)--6器+)≥s+)-号当且仅8-即1Q1- 2PF=号时等号成立，放P十Q的最小值为号，故C正确：设P,则Q(-一，E(0, c有).所以如=要-c=瑞=尝=名又如·如=热·费一器 x1十x0x1一x0x1-x6 2(1-4）-2(1-) -x话 2,所以ko·o=2ka,·km=-1,故PQ1PG,故D正确.故选BD 11.ACD因为f(x)=1-f1-x),所以f(0)=1-f(1),因为f(x)=2f(号)，所以f(0)=2f(0),所以f(0)= 0,所以f1)=1-f0)=1,故A正确：因为(x)=1-f1-x),所以f(2)=1-(号)，所以/(2）=2，因 为f)-=2(管).所以f1)=2f(号)，所以f(号)=合故B错误：所以f(合)=f(3),因为f() (1-)=1-f(安)=1-2（点）=1-f(品）==1-f(3),所以(3）=1-×3-1 是-”2，故C正确：因为1（兮）=2（日）=2（分）=21()-=2(2)=2(）)=21(2) 2且f(合)=2（合）=2(8)=2（绿）=2f(2)=2r(6)=2r(14布8)=之·所以/(2187)- f(1)=123因为当0≤n<a≤1时，fn)≤fa).且226∈[218715]，所以(202)=f(2187) f(158)-8故D正确.故选ACD 12点 因为数列{an}为等比数列，且各项均为正数，设公比为q,所以a1,q>0,由2a1十a=a2得2a1q十a1q=aq,即 24+g1-0,解得g=2或-1（舍），所以S、S=a十an十am十a= S a1十a2+a3十a4 2) 1 2561 18.29 设圆锥的底面半径为r,球的半径为R,因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高h=√3r,所以圆锥的体 VDR所玻 31 14.1因为sin Bcos A十sinC=2sinB,由正弦定理得bcos A十c=2b,所以c2+bccos A=2bc,即c2=bc(2-cosA),又 △AC的面积S=女nA=得敌=A所以=5g,其中0<A<登令f)=2 3sin A sin x (0<受），所以了(x)-10,当x∈(0，晋)时.1-2osx<0,则f)<0,/()单调递减，当x∈ sinr （号，受)时.1-2os>0.则fx>0,fx)单调递增，所以fx)≥f(哥）=5，所以c2=53o≥5×5 3sin A 3 =1,即c≥1，当A=琴时，等号成立，故c的最小值为1. 15.解：1因为会-1，数列会}是公差为的等差数列，所以受=1十号(m一1D n十2 an 1分 所以5=时。当≥2时a,=S-S1- 3a,-+ 3a-1,即a +1n-1 则w千广数列{n子Dn}是常数列. 4分 又a=1,因此子n资号所以a= 2· …5分 (2)由题意知6，=”·2”=n·2+1 =2+22+1 am+1(n十+1)(n十2)n+2n+1' …6分 【YT·数学（三）参考答案第2页（共4页）】 所似工-么十6十中么=（得一号）+（得-写）+叶(2)-2.…9分 2+1+2 ,十3十2十2〉十3)≥0，所以T是递增数列.…11分 又T名生22520.工名号22026120，所以使得>120成立的最小N正整数n的值为9，·13分 5 11 16.解：1)记"第3次射箭的人是甲“为事件A,所以P(A)=号×号+(1-号)×(1-子)器 即第3次射箭的人是甲的概车为号 …6分 (2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3，… …7分 所以P(X=0)=号×号×号-， PX=1D=号×号×(1-号)+号×(1-号)×(1-)+(1-号)x(1-星)×号-7： PX=2)=号×(1-号)×子+(1-号)×子×(1-)+(1-号)x(1-子)×(1-号=品 PX=3)=(1-号)××是-0 所以X的分布列为 0 2 37 27 27 144 12分 所以EcX)=0x号+1×品+2x器+3×品-韶 15分 17.(I)证明：在△PAC中，点D是棱PA的中点，点E满足C充=2Ed,所以E是△PAC的重心， 连接PE,并延长交AC于点G,连接BG,如图所示，则PE=2EG,… 1分 因为EF∥平面ABC,平面PEF∩平面ABC=BG,EFC平面PEF,所以EF∥BG,…4分 所以5-器-2.即PF=2FB 6分 (2)解：因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC, 又AB=AC=2,BC=22,所以AB2+AC=BC,所以AB⊥AC,故以A为坐标原点，AB, AC,AP所在的直线分别为x轴，y轴，x轴，建立空间直角坐标系，如图所示，故A(0,0,0), P(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),设平面BCD的法向量为n=(x,y,之)，又 BD=(-2.0,1),C市=(0，-2,1)，所以 n·BD=-2x+z=0, n.CD=-2y+z=0, 令z=2,解得x=1,y=1, 所以平面BCD的法向量n=(1,1,2), 9分 设PF=APB=λ(2,0，-2)=(2x,0,-2入)(0A<1), 所以A-A2+P市=(0,0,2)+(2x,0,-2)=(2以，0,2-2x), 所以cos(n,A方1=n·A克 |2x+2(2-2λ) 230 nAF √12+1+22×√(2)2+(2-2入)9 15 4444 …11分 解得X=号所以P庐-号成.。 …12分 所以三校锥P-D的体积sw=Vrm=号Vem号s=号Vra VrAe= ×××2x2x2= 4▣444444 44444444 …15分 18.(1)解：记C的焦点为F,因为C的焦点恰好是△OAB的垂心，所以OA=|OB,AF⊥OB,…2分 设A(,m）,则B(,-m)又F(1,0),所以kke=-1,即mm·m=-1,…4分 4一1 m 4 解得m=2√5或m=-25,所以AB=2m=45.…5分 【YT·数学（三）参考答案第3页（共4页）】 (2)(1)证明：显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=y十t,A(y),B(x2,2), 庙，得==0.所以4=（一4)24X（一)>0，n+为=4mmy=一4， 又直线OA与直线OB的斜率之积为-4，所以a4·k=上.业=义· 16 16 一4， x x2 yi …9分 1y吃 1y2 -4t 4 解得t=1,… 10分 所以直线AB的方程为x=ny十1，故直线AB过定点F(1,0). 11分 (i)解：由题意知|FN|=FM,可得xv十1=3，即xv=2,所以N(2,一2√2)或N(2,2√2)，… 13分 当N2,-22)时，MN的中点为0，-2).直线MN的斜率为一号方程为x十2y叶2=0 此时直线AB的方程为y=2,一V2,由2x一2得x-4红十1=0，解得=2+5或=2-5 y2=4z 即A(2+√5，w2+√6)，B(2-√5,2-√6)或A(2-3,√2-√6)，B(2+3,√2+√6)，故G(2,2),…14分 又MN1=√+(22)=2w6,点G(2w2)到直线MN的距离为d=12+2±2=25， √/1+2 所以Sa=2X1MNXd=6/2: 15分 当N(2,2√2)时，同理可得S△w=√2.…。 16分 综上，△GMN的面积为6√2.… …17分 19.(1)解：若a=-2,则f(x)=-2 e'cosx-sinx-1,所以f(0)=-2e°cos0-sin0-1=-3, f(x)=-2e(cosx-sinx)-cosx,所以f(0)=-2e°(cos0-sin0)-cos0=-3, 所以f(x)的图象在x=0处的切线方程为y一(-3)=一3(x一0)，即3x十y十3=0. 3分 (2)解：若f(x)>≥0对任意的x∈[-受，0]恒成立，即os>1十sinx对任意的x∈[一受0]恒成立， 当x=一乏时，则有0>≥0对任意的x∈R恒成立，此时a∈R: 4分 当-受<≤0时，cosx>0,则a≥1十sinx …5分 e cos x 令hx)=,-吾<≤0. e'cos x 则K()=cos一心(cos物)+m2-1=cos+si2≥0，故h(x)在(-受，0]上单调递增， (e cos a) ecos2x 则h(x)mx=h(0)=1,… …8分 所以a≥1，即a的取值范围是[1，十o∞).… …9分 (3)证明：若a=1,则f(x)=e'cosx-sinx-1,则f(x)=e(cosx-sinx)一cosx, 因为x∈(2m+于，2um+)n∈N”),则sin>cosx>0,所以f(x)<0, 所以f(x)在(2mπ十牙，2mx十受)(n∈N”)上单调递减，… 11分 因为f(2m+牙)=e2+量cos(2x+开）-sim(2m+）-1-号er-号-1 ≥号-10(2w十号）=ea(2ar+号）m(2m+号-1-20， 所以存在唯一的∈(2u十至2m十受)(n∈N),使得f()=0, 13分 所以x,∈(2x+至，2mm+)(n∈N),则x1-2x∈(2x+T,2r+受）， 所以f(x+1-21x)=e+12cos(x+1-2r)-sin(x+1-2r)-1 -e+1-2 cosx+1-sin x+1-1-e'x+12 cos +1-e'x+l cos=(e'n+1-2m-e1)cos1<=f(x1 ) 因为函数f(x)在(2m十至，2m十)(nN)上单调递减，故x1一2m>,即x1一1>2mm.…17分 【YT·数学（三）参考答案第4页（共4页）】