命题大赛 新疆2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（人教A版必修第二册）

**基本信息** 高一数学下学期期末测试（90分钟150分），涵盖复数、统计、立体几何等核心知识，解答题结合垃圾分类等现实情境，通过空间想象、逻辑推理与数据处理考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、样本百分位数、异面直线成角|基础巩固，分层设题，单选侧重基础，多选考查综合辨析| |填空题|3题15分|独立事件概率、斜二测面积、四面体截面|能力提升，融合空间几何与概率，考查直观想象| |解答题|5题77分|四棱锥体积、三角形面积、垃圾分类统计分析|创新应用，结合现实情境（垃圾分类），综合考查逻辑推理与数据处理|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 求复数的模 0.85 2 单选题 5 总体百分位数的估计 0.8 3 单选题 5 求异面直线所成的角 0.75 4 单选题 5 正弦定理解三角形 0.75 5 单选题 5 向量的线性运算的几何应用,用基底表示向量 0.65 6 单选题 5 平面向量线性运算的坐标表示,由向量共线（平行）求参数 0.7 7 单选题 5 距离测量问题,正弦定理解三角形,余弦定理解三角形 0.45 8 单选题 5 棱台表面积的有关计算,多面体与球体内切外接问题,棱台的结构特征和分类 0.5 9 单选题 6 求复数的模,判断复数对应的点所在的象限,求复数的实部与虚部 0.6 10 单选题 6 正、余弦定理判定三角形形状,正弦定理判定三角形解的个数 0.55 11 填空题 6 求点面距离,锥体体积的有关计算,棱柱的展开图及最短距离问题,证明线面平行 0.55 12 填空题 5 斜二测画法中有关量的计算 0.55 13 填空题 5 独立事件的乘法公式,利用对立事件的概率公式求概率 0.7 14 解答题 5 由平面的基本性质作截面图形,平面的基本性质的有关计算 0.45 15 解答题 13 锥体体积的有关计算,证明线面平行 0.8 16 解答题 15 正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用 0.75 17 解答题 15 抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算,由频率分布直方图估计平均数,由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 0.75 18 解答题 17 求三角形中的边长或周长的最值或范围,正弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形 0.55 19 解答题 17 求二面角,证明线面垂直 0.4 $ 高一数学下学期期末测试 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B C C A B A BC ACD ABC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 【详解】由复数模的定义，若，则， 因为，所以. 2．B 【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第百分位数的位置计算方法运算即可. 【详解】原数据按从小到大顺序排序为； 由第百分位数的位置计算公式为. 样本容量，得. 根据百分位数定义，当位置不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置. 因为不是整数，向上取整得，即取排序后第项，排序后第项数据为. 因此该组数据的第百分位数为. 3．B 【分析】因为，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角，由为正三角形，为线段的中点即可求得. 【详解】如图，在正方体中，， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 易知为正三角形，又为线段的中点， 所以， 故选:B． 4．C 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，，所以. 5．C 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 6．A 【详解】由题意得，，若，则，解得． 7．B 【分析】先作出示意图，求出，，，，在中，利用正弦定理求出，再在中，利用余弦定理求出即可. 【详解】解：根据题意作出如下示意图， 由题意可知，，，， ， 在中，由正弦定理可得，又海里， 所以，解得海里， 在中，由余弦定理可得， 又海里，所以海里. 8.B 【分析】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径即可． 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 9．BC 【详解】对于A，因为，则，所以A错误， 对于B，复数的虚部为，所以B正确， 对于C，因为，则为纯虚数，故C正确， 对于D，在复平面内对应的点为，在第四象限，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 10．ACD 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由大边对大角与余弦函数的单调性可得；在锐角中，得到与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可得，求出b的范围，可判断D的正误； 【详解】选项A，因为，即， 所以有整理可得，所以， 故为等腰三角形，故A正确； 选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减， 故，故B错误； 选项C：若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故C正确； 选项D：因为，，如图，因为有两解，所以， ，解得，故D正确； 11．ABC 【分析】证明依据线面平行判定定理判断A，棱锥体积公式求出，再根据八面体的体积等于棱锥体积的2倍，判断B，将几何体展开，利用余弦定理判断C，等体积法求点到面的距离判断D. 【详解】 在正方体中，连接，可知相交于点，且被互相平分， 故四边形是平行四边形， 所以，而平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为正方体棱长为4，所以四边形是正方形且， 面，， 所以八面体的体积等于棱锥体积的2倍， 而棱锥体积等于， 故八面体的体积为，B正确； 因为为棱上一点，将和展开成一个平面， 由题和均为正三角形，且边长为， 由三角形两边之和大于第三边知最小值为， 在中由余弦定理可知 ，故C正确； 对于D选项：设点到平面的距离为， 由等体积法知 即， ，故D错误. 三、填空题：本小题共3小题，每题5分，共15分. 12．/ 【详解】因为相互独立，所以、也相互独立，又，， 所以. 13．12 【详解】依题意，的面积， 由水平放置的三角形面积是其直观图面积的倍，得的面积为. 14． 【分析】对棱长为3的正四面体，由分点比例得各分段边长，延长连线确定截面顶点、、、；作平行线构造等边三角形与全等、相似三角形，推导线段长度与比例，求出边长，再用面积比例作差，求得截面面积. 【详解】因为四面体ABCD的所有棱长都是3，，，. 所以. 延长交于，交于点，连接QM过作交于. 因为为边长为的等边三角形，为的中点， 所以≌，所以. 所以，过作交于点. 所以为边长为1的等边三角形. 所以，，因为，所以. 由余弦定理有 ，则 . ，即 ，即 所以. 所以 设三角形三边：    所以. 所以截面的面积. 四、解答题:本小题共5小题，共77分。解答应该写出必要得文字说明，证明过程或者演算步骤. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． ……………………（5分） （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ，…………………（10分） 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为．………………………（13分） 16．(1) ； (2) 【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简得，即得结果； （2）由三角形面积公式结合（1）得解. 【详解】（1），由正弦定理得， 在中，， ，即.……………………………………（7分） （2）由（1）得，所以的面积为.……………………………………（15分） 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于求出； （2）用各组的组中值分别乘对应频率，再求和估计样本平均数； （3）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是 各组对应的小长方形面积之和等于总频率，所以 化简得即即即 所以图中 …………………（4分） （2）由第（1）问可得 因此各组的频率分别为 对应这名学生的人数分别为 各组的组中值分别为 所以这 名学生竞赛成绩的平均数估计为 计算得 ……………（8分） 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. ……………（9分） （3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为 成绩在内的人数为 所以成绩在内的总人数为 现从这人中采用分层随机抽样的方法抽取人， 则成绩在内被抽取的人数为 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为……………（15分） 18．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求出，即可得的大小； （2）利用正弦定理，表示出的周长，利用三角函数求出最大值即可． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得，即， ，因为，所以．……………（7分） （2）由（1）得，且， 由正弦定理得：， ∴，……………（10分） ，……………（13分） ∵，∴，∴， ∴当时，的最大值为， ∴周长的最大值是．……………（17分） 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求证，即可求证； （2）利用平面求出点到平面的距离，再利用余弦定理求出点到直线的距离即可求出. 【详解】（1）因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面；……………（6分） （2）因为平面，平面，所以， 因为与平面所成角为，所以， 则，， 因为平面，所以点到平面的距离，……………（9分） 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离，……………（11分） 在直角梯形中， 在中，在中， 则在中利用余弦定理得， 则，……………（15分） 则点到直线的距离为， 则.……………（17分） 答案第8页，共9页 答案第10页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：期末 高一数学下学期期末测试 （考试时间：90分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设复数，则（   ） A． B．2 C．3 D．5 2．样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（    ） A． B．11 C． D． 3．如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）. A． B． C． D． 4．在中，，是角，所对的边，，，，则边的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，则（   ） A． B．5 C．-2 D．10 7．已知码头在码头的正北方向，两码头相距100海里，从码头测得海上某渔船位于北偏东方向，从码头测得渔船位于北偏东方向，从码头还测得另一艘货船位于南偏东方向，且货船到码头的距离为海里，欲在货船与渔船之间增设一条补给航线，则补给航线的长为（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 8.在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．设复数，则（   ） A． B．的虚部为 C．复数是纯虚数 D．在复平面内对应的点在第二象限 10．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 11．如图，将棱长为4的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，P为棱上一点，则下列四个结论中正确的是（    ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点A到平面的距离为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本小题共3小题，每题5分，共15分. 12．已知随机事件相互独立，且，，则________. 13．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为______． 14．四面体ABCD的所有棱长都是3，点M，N，P分别在棱AB，AD，CD上，，，，过M，N，P三点作四面体ABCD的截面，则截面面积_______. 四、解答题:本小题共5小题，共77分。解答应该写出必要得文字说明，证明过程或者演算步骤. 15(13分)．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 16（15分）．设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若，，求的面积. 17（15分）．2025年5月22日至5月28日是第三届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“分类齐参与，低碳新时尚”.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数. 18（17分）．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，并且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值． 19（17分）．如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为． (1)求证：平面； (2)设二面角为，求． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案第8页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $