精品解析：新疆阿克苏市第四高级中学2024-2025学年高一下学期期末数学试题

阿克苏市第四高级中学2024-2025学年高一期末考试 数学 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（i为虚数单位），则其共轭复数在复平面对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角所对的边分别为，，，，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B的大小为（ ） A. B. C. D. 或 6. 袋中装有除颜色外其他均相同的个白球，个黄球，个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 设向量，，则在上的投影为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2 8. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 关于非零向量，，下列命题中正确的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 11. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数（为虚数单位），则___________． 13. 如图是用斜二测画法画出水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形ABC的面积为____________ 14. 样本数据20，19，17，16，22，24，26的下四分位数是_______． 四、解答题 15. 已知向量，，，，，． （1）求向量，夹角的余弦值； （2）求实数的值． 16. 记的内角的对边分别是，已知. （1）求的大小； （2）若边上的高等于，求的面积. 17. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都是红球； （4）至少有1个是红球． 18. 如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，对角线与相交于点，，点B到平面的距离为，为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 19. 某学校为提高学生对《红楼梦》了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阿克苏市第四高级中学2024-2025学年高一期末考试 数学 考试时间：120分钟 满分150分 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：B 2. 复数（i为虚数单位），则其共轭复数在复平面对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数定义以及复数的几何意义可得结果. 【详解】由可得，其对应坐标为． 故选：A． 3. 在中，角所对的边分别为，，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理计算求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 所以. 故选：B. 4. 已知一个圆锥的底面半径为，其体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆锥体积可得圆锥的高，进而可得圆锥母线长，根据扇形面积公式计算即可求解. 【详解】设圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的底面半径为，其体积为， 所以，解得， 所以，故圆锥的侧面积为. 故选：D 5. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则B的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理得， 因为 所以， 则 故选：B. 6. 袋中装有除颜色外其他均相同的个白球，个黄球，个红球，从中任取一球，则取到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】由古典概型的概率公式可知，从中任取一球，则取到红球的概率为. 故选：C. 7. 设向量，，则在上的投影为（ ） A. ﹣1 B. ﹣2 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解. 【详解】∵，， ∴，， ∴在上的投影为. 故选：B. 8. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙三个社区做分层抽样调查.假设三个社区驾驶员的总人数为，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙三个社区抽取驾驶员的人数分别为16，20，26，则这三个社区驾驶员的总人数为（ ） A. 744 B. 620 C. 372 D. 162 【答案】C 【解析】 【分析】由甲社区抽取人数和总人数计算可得抽样比，从而可根据抽取的人数计算得到驾驶员总人数. 【详解】由题意可得抽样比为：， 所以. 故选：C 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 关于非零向量，，下列命题中正确是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性质即可判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的性质判断A；确定线面位置关系判断BC；利用面面垂直的判定判断D. 【详解】对于A，若，，，则，A正确； 对于B，若，，则或相交或是异面直线，B错误； 对于C，若，，则或，C错误； 对于D，由于，则内存在直线，而，于是，，D正确. 故选：AD 11. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的分位数是7.5 C. 这组数据的极差是4 D. 这组数据的标准差是2 【答案】AC 【解析】 【分析】根据一组数据的众数，百分位数，极差和标准差的定义逐一判断各选项即可. 详解】对于A，由题意知这组数据中数字9出现了3次，次数最多，故A正确； 对于B，将这组数据从小到大排列，可得6，6，7，8，9，9，9，10，由，可知分位数是第4个数8，故B错误； 对于C，这组数据的极差是，故C正确； 对于D，这组数据的平均数是，方差是，所以这组数据的标准差是，故D错误． 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数（为虚数单位），则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将复数化简，再根据复数的模的计算公式求解. 【详解】, 所以. 故答案为： 13. 如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中，则三角形ABC的面积为____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则求出正三角形边长，进而求出其面积. 【详解】依题意，正的边长， 所以. 故答案为： 14. 样本数据20，19，17，16，22，24，26的下四分位数是_______． 【答案】17 【解析】 【分析】下四分位数就是第百分位数，求几个数据的下四分位数即可 【详解】从小到大排序得：，共7个数，由，所以下四分位数是第二个数，即17． 故答案为：17． 四、解答题 15. 已知向量，，，，，． （1）求向量，夹角的余弦值； （2）求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角的坐标运算公式求解即可； （2）由题意可得，利用向量数量积坐标运算求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， ，， 所以； 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又，，，所以，解得. 16. 记的内角的对边分别是，已知. （1）求的大小； （2）若边上的高等于，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）根据题目条件求得，结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 又，可知. 【小问2详解】 如图，在中，设边上的高为，则， 在中，， 所以 又因为，可得， 所以，， 所以. 17. 如果从甲口袋中摸出一个红球的概率是，从乙口袋中摸出一个红球的概率是．现从甲乙口袋各摸一个球，求下面四个事件的概率： （1）2个球都是红球； （2）2个球中恰好有1个红球； （3）2个球不都是红球； （4）至少有1个是红球． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 【分析】（1）（2）（3）（4）利用独立事件、互斥事件以及对立事件的概率求法求各事件对应概率即可. 【小问1详解】 甲乙各摸一个球相互独立，2个球都是红球概率为； 【小问2详解】 2个球中恰好有1个红球概率为； 【小问3详解】 由（1），根据对立事件概率求法，2个球不都是红球概率为； 【小问4详解】 由（1）（2）知：根据互斥事件概率求法，至少有1个是红球概率为. 18. 如图，在四棱锥中，，底面为平行四边形，对角线与相交于点，，点B到平面的距离为，为的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）先得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）应用点到平面的距离为，结合等体积法应用棱锥体积公式计算求解. 【小问1详解】 因为点分别为的中点， 所以， 因为平面， 平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为， 且为中点， 所以， 因为点到平面的距离为， 所以三棱锥的高， 所以. 即三棱锥体积. 19. 某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中值； （2）求样本数据的第62百分位数； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】（1）0.030； （2）79分； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第62百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以样本数据的第62百分位数在内，可得， 所以样本数据的第62百分位数为分； 【小问3详解】 样本数据落在的个数为，落在的个数为， ，总方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $