精品解析：湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年下学期期中考试高一数学试题（B卷）

衡阳县四中2026年上学期期中考试 高一数学试题卷 命题人：廖香 （本试题卷共2页.试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 向量的模可以比较大小 C. 模为1的向量都是相等向量 D. 由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的定义即可判断A；根据向量的模的定义即可判断B；根据相等向量的定义即可判断C；根据零向量与任意向量平行即可判断D. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，向量的模是一个数量，可以比较大小，故B正确； 对于C，相等向量不但模相等，且方向相同，故C错误； 对于D，因为零向量与任意向量平行，故D错误. 故选：B. 2. 向量满足，则（ ） A. (－3，4) B. (3，4) C. (3，－4) D. (－3，－4) 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量加法的坐标运算直接把向量与相减即可求得是坐标. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A. 3. 设是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由共轭复数的定义判断． 【详解】数的共轭复数是． 故选：B． 4. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的几何意义可得结论. 【详解】因为，因此，复数对应的点位于第三象限. 故选：C. 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用正弦定理求解即可 【详解】由正弦定理得， 所以． 故选：D． 6. 已知点，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出两个向量的坐标，再根据数量积的坐标公式计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 7. 已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设，利用平行四边形对边向量相等，根据向量坐标运算，即可求解. 【详解】设 则则由题意得，， 由平行四边形的性质知， 所以， 故选：B 8. 已知，与的夹角为，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的夹角坐标公式求解即可. 【详解】因为，,所以，， 因为与的夹角为，所以. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. D. 平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念和数乘向量的概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； ，故C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 10. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的实部为 B. 复数的虚部为 C. 复数的共轭复数为 D. 复数的模为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念及模的运算判断各项正误. 【详解】由题设的实部为，虚部为4，共轭复数为，模为. 故选：BD 11. 下列有关向量命题，不正确的是（ ） A. 若||＝||，则＝ B. 已知≠，且·＝·，则 C. 若＝，＝，则＝ D. 若＝，则||＝||且// 【答案】AB 【解析】 【分析】根据向量的模，数量积，向量相等的概念判断各选项． 【详解】两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确； 若≠，且·＝·，即（-）·=0，则，或=，B错误． 故选：AB． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 化简________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量加法和减法法则即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 设，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值. 【详解】由于，所以 故答案为： 14. 已知向量与的夹角为，且，，则的值为________． 【答案】－6 【解析】 【分析】由数量积的定义计算． 【详解】． 故答案为：． 四、解答题（共77分） 15. 化简． （1）． （2）． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果； （2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果. 【详解】（1）； （2）. 16. 已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. （1）实数； （2）纯虚数； （3）零. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数的定义可得； （2）根据复数为纯虚数的定义可得； （3）根据复数为零的定义可得. 【小问1详解】 因为，所以复数的实部为，虚部为， 若复数为实数， 则，解得或. 因此，或时，复数为实数. 【小问2详解】 若复数为纯虚数， 则，解得； 因此，时，复数为纯虚数. 【小问3详解】 若复数为零， 则，解得； 因此，时，复数为零. 17. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）60； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式求解； （2）利用向量的平方等于向量模长的平方，求新向量的模长. 【小问1详解】 【小问2详解】 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则， 又因为，则，可得， 即，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 19. 如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． （1）求这种“浮球”的体积； （2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求出几何体的表面积，即可估计费用. 【小问1详解】 因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径， 圆柱筒的高，所以两个半球的体积之和为， 圆柱的体积， ∴该“浮球”的体积是； 【小问2详解】 根据题意，上下两个半球的表面积是， 而“浮球”的圆柱筒的侧面积为， ∴“浮球”的表面积； 所以共需花费（元）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2026年上学期期中考试 高一数学试题卷 命题人：廖香 （本试题卷共2页.试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（每小题5分，共40分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 向量的模可以比较大小 C. 模为1的向量都是相等向量 D. 由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 2. 向量满足，则（ ） A. (－3，4) B. (3，4) C. (3，－4) D. (－3，－4) 3. 设是虚数单位，则复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为虚数单位，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 在中，，，，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知点，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 7. 已知▱的三个顶点则顶点D的坐标（ ） A. B. C. D. 8. 已知，与的夹角为，则（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. D. 平行向量也叫做共线向量 10. 已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（ ） A. 复数的实部为 B. 复数的虚部为 C. 复数的共轭复数为 D. 复数的模为 11. 下列有关向量命题，不正确的是（ ） A. 若||＝||，则＝ B. 已知≠，且·＝·，则 C. 若＝，＝，则＝ D. 若＝，则||＝||且// 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 化简________ ． 13. 设，若，则_______． 14. 已知向量与的夹角为，且，，则的值为________． 四、解答题（共77分） 15. 化简． （1）． （2）． 16. 已知复数：分别求出符合下列条件的实数的值. （1）实数； （2）纯虚数； （3）零. 17. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 18. 记的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长． 19. 如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． （1）求这种“浮球”的体积； （2）现要在这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要花费防水漆元，共需花费多少费用？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $