2026届高考数学二轮专题高频考点梳理：解三角形中的范围问题

**基本信息** 聚焦解三角形范围问题，以正弦/余弦定理为基础，通过边角转化、三角变换、不等式构建系统性解题体系，强化推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理应用与边角转化|单选1-4、填空6|正弦定理边角互化，结合锐角三角形内角范围|定理为基础，边角转化建立关系| |三角变换与函数性质|填空7-8、解答10-12|三角恒等变换转化为三角函数，利用单调性求范围|变换是核心，函数性质突破范围| |不等式与最值|多选5、解答13-19|基本不等式或对勾函数性质求最值|不等式为工具，综合应用提升能力|

2026年高考数学二轮专题高频考点梳理： 解三角形中的范围问题 一、单选题 1．已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（   ）个. ①；②的取值范围为； ③的取值范围为； ④的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）. A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为 D．若为锐角三角形，且则其周长范围为 三、填空题 6．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 . 7．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 . 8．已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为 ． 9．中，角、、所对的边分别为、、，若函数有极值点，则角的范围是 . 四、解答题 10．在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)证明：. (2)若点在边上，且，求的取值范围. 11．在中，角所对的边分别为．已知成公比为q的等比数列． (1)求q的取值范围； (2)求的取值范围． 12．若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为 (1)求； (2)求的取值范围. 13．在中，角的对边分别是，且． (1)证明：． (2)若是锐角三角形，求的取值范围． 14．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)求的取值范围． 15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)若，，求的面积； (2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 16．已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角的大小； (2)若，求的周长； (3)求面积的取值范围. 17．在中，角的对边分别为，． (1)若，求的周长； (2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围． 18．在△中，角所对的边分别为且． (1)求△的外接圆半径； (2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围． 19．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中. (1)若，求的值； (2)当取到最大值时，求的值； (3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围. 参考答案 1．A 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围， 【详解】因为，，则， 由正弦定理得， ，所以，， 因为、，则， 所以，，即． 在锐角中，由，可得， 则， 又，则， 所以，的取值范围为， 故选：A 2．C 【分析】由题意得，令，得，故只需求出的取值范围即可得解. 【详解】因为，所以，， 即，设， 因为，所以，解得，则， 从而，由对勾函数性质可知， 的取值范围是， 从而， 故所求范围为. 故选：C. 3．B 【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D. 【详解】在中，由正弦定理可将式子化为， 又， 代入上式得，即， 因为，则，故， 所以或，即或（舍去）， 所以，故A错误； 选项B：因为为锐角三角形，，所以， 由解得，故B错误； 选项C：， 因为，所以，， 即的取值范围为，故C正确； 选项D： ， 当且仅当，即时取等号， 但因为，所以，，无法取到等号，故D错误. 故选：B. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 4．C 【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围. 【详解】由和，可得， 由正弦定理，，即， 因，故得， 因是锐角三角形，故，则有，从而，. 又由正弦定理，， 即得 于是 ， 由可得， 则，故， 故的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题. 解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可. 5．AC 【分析】利用正弦定理判断A、C，利用正弦定理即倍角公式即可判断B，利用正弦定理将边化角，再结合辅助角公式，再求出角的范围即可判断D. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，因为三角形有两解，所以，即， 即的取值范围为，故C正确. 对D，由，得周长，因为为锐角三角形，所以， 所以，因此周长范围为，故D错误. 故选：AC 6． 【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围. 【详解】在锐角中，由，有， 法一：有余弦定理知，，所以， 所以， 由正弦定理得， 又，所以，所以， 所以的取值范围为. 法二：由正弦定理知，， 又，从而，故，所以的取值范围为. 故答案为：. 7． 【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得. 【详解】由正弦定理得，所以， 故， 又因为是锐角三角形，所以，故， 所以，，故， 即的面积为S的取值范围为； 因为是钝角三角形， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 若为钝角，如图，作于点，有， 即，即， 综上所述：的取值范围是； 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围. 8． 【分析】利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A；先由为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解. 【详解】由，得， 由余弦定理得， 整理得，所以，又，则； 因为为锐角三角形，， 所以可得， 又，故由正弦定理得： ， 因为，所以，所以，则， 所以 ， 故的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛： 通过余弦定理推导角的关系：利用余弦定理，推导出角的余弦值，这是得出角 A的基础. 利用正弦定理和三角形的锐角条件：通过正弦定理和三角形的锐角性质，确定角 B 的范围，这为进一步推导角的取值范围奠定了基础. 结合三角恒等式进行变换：利用三角恒等式和已知条件，最终得出角的取值范围. 9． 【解析】本题首先可根据函数有极值点得出，然后根据余弦定理得出，最后根据即可得出结果. 【详解】因为函数， 所以导函数， 因为函数有极值点， 所以，即， 则， 因为，所以角的范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查导函数与余弦定理的综合应用，能否根据函数有极值得出是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是中档题. 10．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论； （2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案. 【详解】（1）证明：因为，所以， 整理得. 又，所以，从而， 整理得，则. 由，得， 即，结合锐角中，， 则，即. （2）如图，由，可得，则. 在中，由正弦定理得， 整理得. 因为，且是锐角三角形，所以解得， 则， 从而，即的取值范围为. 11．(1) (2). 【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可； （2）利用正弦定理、余弦定理化简，根据的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解. 【详解】（1）由题意知， 根据三角形三边关系知：， 解得； （2）由（1）及正弦定理、余弦定理知： ， 由对勾函数的性质知： 在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即的取值范围为. 12．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案； （2）由题可得，后由正弦定理可得，后由正切函数单调性可得答案. 【详解】（1）由余弦定理，，又三角形面积为， 则，又由题，则； （2）由（1），，又为锐角三角形， 则. 由正弦定理： . 因在上单调递增，则时，. 则，即. 13．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论； （2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围. 【详解】（1）由题设， 所以， 则，即， 又，则，且， 所以，得证. （2）由题设，即，得， 由，而，故. 14．(1) (2) 【分析】（1）已知等式，由正弦定理边化角，由正弦值求角； （2）由锐角，求出角的范围，化简得，结合正弦函数的性质，求出取值范围. 【详解】（1），由正弦定理得． 因为，所以．因为为锐角三角形，所以． （2）因为，所以． 因为为锐角三角形，所以得． 因为， 由，得，所以. 即的取值范围为. 15．(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解； （2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以. （2）因为BC边的中点为D，所以, 所以 ， 又， 所以， 在三角形中，，所以， 所以，即， 又A为钝角，则，解得， 故由，可得， 所以. 16．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解；（2）利用正弦定理、余弦定理列式求解；（3）利用正弦定理、三角形面积公式列式，再利用差角的正弦及正切函数的性质求出范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，两边平方得， 而，解得，所以. （2）在中，由正弦定理，得， 由余弦定理得，即，解得， 所以的周长为. （3）在中，，，的面积， 由正弦定理，得， 由为锐角三角形，得，解得， 因此，，则 所以面积的取值范围是. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长， （2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围. 【详解】（1），，由余弦定理得，， ，解得，或（舍去） ， 的周长为. （2）由余弦定理得，，整理得，， ， ，即， 由正弦定理得，，， ，， ， 令，，， 函数在上单调递增，，即的取值范围是. 18．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理求得，即可求解； （2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解． 【详解】（1）因为，所以， 由， 可得：，即， 又，所以， 所以，， 所以， 所以△的外接圆半径为. （2）由（1）知，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以，则， 所以周长的取值范围为． 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由诱导公式化简得，进而利用正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解， （2）利用余弦定理求解的最小值，根据面积公式求解， （3）利用的定义，得，，，即可利用完全平方式求解. 【详解】（1）由可得，，   在中，由正弦定理，，    则， 又由正弦定理，得，因 ， 由余弦定理，得； （2） 由（1）得：，则，   当取到最大值时，角必为锐角，此时取到最小值； 由余弦定理，， 当且仅当，即时取最小值，此时，   则； （3）设，则，，， 故，， 因为，，且，   故，故；   又当，时，，即， 故实数的取值范围为. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $