解三角形、数列、圆锥曲线专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高三数学二轮复习分类、分层板块专题 (解三角形、数列、圆锥曲线)抢分突破训练 一、解三角形：正余弦定理运用 1．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【难度】0.85 【详解】（1）由，得，所以由余弦定理，得， 因为中，，所以，，所以. （2）由和，得，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的面积， 即的面积的最大值为. 2．（2026·四川成都·三模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【难度】0.82 【详解】（1）解：，利用正弦定理：， 整理得：，由于，所以，因为，所以； （2），，，即， 解得（负值已舍去），则，. 二、解三角形：中线、角平分线 3．（2026·四川眉山·二模）在中，已知内角，，满足． (1)求； (2)设边上的中线为，若，求面积的最大值． 【难度】0.59 【详解】（1）因为，且，所以，即，因为，所以，且，所以. （2）因为边上的中线为，所以，，又，且， 所以，即，当且仅当时等号成立. 所以面积，当且仅当时等号成立. 故面积的最大值为. 4．（2026·新疆·三模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求C； (2)若，的平分线交于点，，求的面积． 【难度】0.65 【详解】（1） ，，， 由三角形的射影定理得：，，故，解得， ，． （2）是的平分线，， ，，，则， ，即，由余弦定理，代入得， 已知，，，，，， ． 三、解三角形：证明问题 5．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，求A. 【难度】0.65 【详解】（1）因为，可得， 整理可得，由正弦定理可得. （2）因为，即，则， 又因为，则，可得，即，可得，即，可得， 且，则，可得，解得. 6．（2026·江苏·二模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值；(2)证明：． 【难度】0.65 【详解】（1）由，得，整理，得.在中，由余弦定理，得.把代入上式，得，因为，所以. 在中，由正弦定理，得 （2）在中，由余弦定理，得 因为，所以. 四、圆锥曲线：弦长、面积求值问题 7．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【难度】0.85 【详解】（1）由题意得：，又，可得，，则双曲线的焦距为． （2）双曲线的方程为，右焦点坐标为， 设直线的斜率为．直线的方程为：，联立，整理得，因，设，则 ． 8．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【难度】0.8 【详解】（1）抛物线的焦点为，则，又椭圆C的离心率，则，所以，故椭圆C的标准方程为 ； （2）由（1）可知，椭圆C的左顶点，则直线：，即：，设，，消去得，解得或（舍去）， 所以. 五、圆锥曲线：定点定值问题 9．（2026·河南信阳·二模）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 【难度】0.62 【详解】（1）由题意得：，解得：，所以椭圆方程为. （2）设过点的直线方程为， 与椭圆联立方程组消去得：， 整理得：，设，，， 则有，，再由两点式可得直线方程：，令可得： 代入韦达定理公式得：， 所以直线过定点. 10．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：． 【难度】0.68 【详解】（1）由椭圆短轴长为，得，所以. 又的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为，所以，即. 又，解得，. 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为（当直线斜率不存在时，直线过点，不合题意）. 设，.联立，整理得， ，则，， ， 而，所以. 六、圆锥曲线：范围问题 11．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【难度】0.65 【详解】（1）设，，由椭圆的定义可知的周长为， 所以，所以离心率. （2）由（1）可知，又，所以，所以椭圆的方程为. ①当直线，中的一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 四边形的面积； ②当直线，的斜率都存在，且都不为0时，设的方程为，，，由，可得，．所以，． 所以． 设的方程为，同理可得．所以四边形的面积， 因为，当且仅当时取等号． 所以，即此时. 由①②可知，四边形面积的范围为. 12．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 【难度】0.65 【详解】（1）由题意可知，将点代入椭圆方程，得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）知，，当直线l的斜率为0时，， 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，，， 联立，消去，得，易得，则，所以 ， 因为，所以，所以，所以， 综上，，即的范围是. 七、数列求和：裂项相消、分组求和 13．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【难度】0.85 【详解】（1）设公比为，则，故，故. （2），故， 所以. 14．（2026·辽宁大连·一模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【难度】0.85 【详解】（1）因为，且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得，.所以. 所以 . 八、数列：奇偶项问题 15．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【难度】0.65 【详解】（1）根据题意可得，，所以，，，，，， 所以数列的前项依次为． （2） ，所以． 16．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【难度】0.61 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，，当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知，则 . 所以数列的前项和为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三数学二轮复习分类、分层板块专题 (解三角形、数列、圆锥曲线)抢分突破训练 一、解三角形：正余弦定理运用 1．（2026·陕西商洛·一模）在中，内角的对边分别是，且． (1)求； (2)若，求的面积的最大值． 【难度】0.85 2．（2026·四川成都·三模）在中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求的面积. 【难度】0.82 二、解三角形：中线、角平分线 3．（2026·四川眉山·二模）在中，已知内角，，满足． (1)求； (2)设边上的中线为，若，求面积的最大值． 【难度】0.59 4．（2026·新疆·三模）在中，角所对的边分别为，且． (1)求C； (2)若，的平分线交于点，，求的面积． 【难度】0.65 三、解三角形：证明问题 5．（2026·河北唐山·一模）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明：； (2)若，求A. 【难度】0.65 6．（2026·江苏·二模）在中，内角的对边分别为．已知． (1)求的值；(2)证明：． 【难度】0.65 四、圆锥曲线：弦长、面积求值问题 7．（2026·河北·二模）已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的焦距； (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求． 【难度】0.85 8．（2026·湖北荆州·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【难度】0.8 五、圆锥曲线：定点定值问题 9．（2026·河南信阳·二模）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 【难度】0.62 10．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆：的短轴长为，由的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆交于不同两点，．证明：． 【难度】0.68 六、圆锥曲线：范围问题 11．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为. (1)求椭圆的离心率； (2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围. 【难度】0.65 12．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆过和两点.分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上的点（不在轴上），过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求的范围. 【难度】0.65 七、数列求和：裂项相消、分组求和 13．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【难度】0.85 14．（2026·辽宁大连·一模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【难度】0.85 八、数列：奇偶项问题 15．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 【难度】0.65 16．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【难度】0.61 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $