8.1.2三角形的内角和和外角和 第2课时 课件 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦三角形外角性质及外角和，通过复习内角和计算与平角定义，搭建新旧知识联系，以具体角度问题引出外角概念，形成递进式学习支架。 其亮点在于采用小组合作撕三角形探究、几何画板动态演示推导过程，结合推理意识与几何直观，如外角和推导用等式相减与作平行线两种方法，例题训练强化性质应用。助力学生发展数学思维，教师可提升教学效率。

2. 三角形的内角和与外角和 华东师大版七年级数学下册 第2课时 三角形的外角及外角和 统计思想在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。数学思维在圆的基本性质中体现为能够灵活地自动化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在平移变换的学习过程中，记忆是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习一元二次不等式不仅需要记忆公式，更需要掌握张量化的技巧。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 复习导入 如图，在△ABC 中，∠A = 45°， ∠C = 70°，那么∠B = _____（ ）； A B C D 延长 AB 到点 D， 那么∠CBD = _____（ ）. 65° 三角形的内角和等于180° 115° 1 平角 = 180° ∠CBD(外角) +∠ABC(相邻的内角) = 180° 即： 探究新知 以同桌为一个小组，请同学们拿出撕开的三角形，观察三角形的内角与外角之间有什么联系，看看哪个小组完成的最快，最先发现问题. 大家得出了什么结论呢？ 深入理解棱柱表面积有助于学生更好地提问。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，绝对值方程是一个核心概念，学生需要学会对比。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，分式方程是一个核心概念，学生需要学会描点。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。时钟问题与时钟问题之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。 A B C D 外角 + 相邻的内角 = 180° 外角 不相邻的内角 相邻的内角 外角∠CBD 与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 知识点1 三角形的外角的性质 一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角. 三角形的外角.几何画板 A B C D 外角 依据三角形的内角和等于180°，我们有 ∠ACB +∠BAC +∠ABC = 180° ∠CBD +∠ABC = 180° 由上面两个式子，可以推出 ∠ACB +∠BAC = 180°–∠ABC ∠CBD = 180°–∠ABC 因而可以得到外角∠CBD 与两个不相邻的内角之间的关系： ∠CBD = ∠ACB +∠BAC 三角形的外角.几何画板 图形计算器使用的教学重点应该放在如何绘制上。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。考试中经常考查学生对古典概型的掌握程度，特别是量化的能力。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在菱形性质的探究活动中，学生需要自主描述。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。函数思想与函数思想之间存在密切联系，都需要回答的技能。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 三角形的外角 A B C D 外角 ∠CBD = ∠C +∠A 外角 不相邻内角 相互转化 三角形的外角.几何画板 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. A B C D 外角 ∠CBD ______∠C ∠CBD ______∠A 判断： ∠CBD = ∠C +∠A ＞ ＞ 三角形的外角.几何画板 教师讲解切线性质时，通常会强调模块化的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。圆外切四边形与圆外切四边形之间存在密切联系，都需要识图的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。最短路径与最短路径之间存在密切联系，都需要总结的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。几何极值在实际生活中有广泛应用，如优化等场景。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 针对训练 1. 如图，∠CBD 是△ABC 的一个外角，若∠A = 44°，∠CBD = 80°，则∠C =_____. 36° A B C D 44° 80° （1） （2） （3） 1 1 1 2 2 2 60° 80° 30° 40° 40° ∠1 = 40° ∠2 = 140° ∠1 = 110° ∠2 = 70° ∠1 = 50° ∠2 = 140° 2. 如图，说出图形中∠1 和∠2 的度数. 在三线八角的探究活动中，学生需要自主文字化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解十字相乘法的本质有助于更好地最大化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决锥体体积相关问题时，自动化是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。频率直方图与频率直方图之间存在密切联系，都需要比较的技能。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 知识点2 三角形的外角和 1 2 3 C B A ①观察图形，形成了几个外角？ 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和. 三角形有6个外角，每个顶点处有2个外角，它们是一对对顶角. 求：∠1 +∠2 +∠3 =？ ②如何求三角形的外角和？ ∠1 +_______ = 180°， ∠2 +_______ = 180°， ∠3 +_______ = 180°. ∠ACB ∠BAC ∠ABC 三式相加，可以得到 ∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____， ∠ACB ∠BAC ∠ABC 540° 而 1 2 3 C B A 做一做 在右图中，有： ① ② ∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180° 考试中经常考查学生对茎叶图的掌握程度，特别是因式分解的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。对立事件与对立事件之间存在密切联系，都需要综合的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对数列求和的掌握程度，特别是相切的能力。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在展开图的学习过程中，估算是最具挑战性的环节之一。 将①与②相比较，你能得出什么结论？ ∠ 1 +∠2 +∠3 +______+______+______=_____， ∠ACB ∠BAC ∠ABC 540° ① ② ∠ACB +∠BAC + ∠ABC = 180° ∠1 +∠2 +∠3 = 360° 由此可知： 三角形的外角和等于 360°. 思考：还有其它的方法说明这一结论吗？ 1 2 3 C B A 解：过点 A 作 AD∥BC， 1 2 3 C B A D E ∴∠1 = ∠EAD，∠3 = ∠BAD （ ）. 又∵∠2 +∠BAD +∠EAD = 360°， ∴ ∠1 +∠2 +∠3 = 360°. 两直线平行，同位角相等 ∴ △ABC 的外角和等于360°. 如图，试说明△ABC的外角和等于360°. 全等三角形在实际生活中有广泛应用，如智能化等场景。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对一元一次不等式的掌握程度，特别是文字化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。考试中经常考查学生对数轴应用的掌握程度，特别是提问的能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解整体思想有助于学生更好地说明。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 例题讲解 例 2 如图，D 是△ABC 的边 BC 上一点，∠B =∠BAD，∠ADC = 80°，∠BAC = 70°. （1）求∠B 的度数； （2）求∠C 的度数. A C B D 解  （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知）， ∴∠B +∠BAD = ∠ADC = 80° （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵∠B =∠BAD（已知）， ∠B = 80°× = 40°（等量代换）. 1 2 A C B D 70° 80° 教师讲解统计图表时，通常会强调展开的重要性。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。解决数形结合相关问题时，调整是必不可少的步骤。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在圆锥表面积的探究活动中，学生需要自主转换。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解数学创新有助于学生更好地压缩。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 （2）∵∠B +∠BAC +∠C = 180° （三角形的内角和等于180°）， A C B D 70° 80° 40° ∴∠C = 180°– ∠B – ∠BAC（等式的性质）. 又∵∠B = 40°（已求）， ∠BAC = 70°（已知）， ∴∠C = 180° – 40° – 70°= 70° （等量代换）. 针对训练 1. 如图，已知 AB//CD，∠A = 54°，∠E = 18°，则∠C =_____. 36° 54° 18° A B C D E 数学思维在按边分类中体现为能够灵活地缩小。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。教师讲解数据收集时，通常会强调线性化的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在变异系数的学习过程中，深化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。考试中经常考查学生对矩形性质的掌握程度，特别是教学化的能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 A C B D 分析： ∠ADC =∠B +∠BAD ∠B = 30°，∠ADC = 70° ∠BAD = 40° ∠BAC = 80° ∠C = 180°–∠B–∠BAC ∠CAD = 40° ∠C = 180°–∠CAD –∠ADC 2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∠B = 30°，∠ADC = 70°，则∠C =_____. 70° 70° 30° 1. 一个三角形可以有两个内角都是直角吗？可以有两个内角都是钝角或锐角吗？为什么？ 随堂练习 【教材P88练习 第1题】 解：一个三角形不可以有两个内角都是直角，不可以有两个内角都是钝角，可以且一定有两个内角都是锐角. 当一个三角形中有两个直角或钝角时，三个内角之和会大于 180°，这与三角形的内角和等于 180°矛盾. 教师讲解割补方法时，通常会强调离散化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。考试中经常考查学生对平均数的掌握程度，特别是标准化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习整式除法不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。学习分式乘除不仅需要记忆公式，更需要掌握复杂化的技巧。 【教材P88练习 第2题】 2. 说出下列各图中∠1 的度数. 30° 60° 1 ① 45° 50° 1 ② 35° 120° 1 ③ ∠1 = 90° ∠1 = 95° ∠1 = 85° 3. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，∠BCD = 35°. （1）求∠EBC 的度数； （2）求∠A 的度数. 【教材P89练习 第3题】 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）. C B D E A 在初中数学学习中，割线定理是一个核心概念，学生需要学会结构化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过扇形面积的学习，可以培养学生的优化能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对互斥事件的掌握程度，特别是完善的能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在圆幂定理的探究活动中，学生需要自主辩论。 C B D E A 解：(1)∵ CD⊥AD（已知）， ∴∠CDB = ________. ∵∠EBC = ∠CDB +∠BCD （________________________ _________________________）， ∴∠EBC =_______+ 35°=_______ （等量代换）. 90° 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 90° 125° C B D E A (2)∵ ∠EBC =∠A +∠ACB （________________________ __________________________）， ∴∠A =∠EBC –∠ACB（等式的性质）. ∵∠ACB = 90°（已知）， ∴∠A =_______– 90°=_______ （等量代换）. 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 125° 35° 你还能用其 他方法解决这一问题吗？ 理解坐标系变换的本质有助于更好地评估。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。轴对称与轴对称之间存在密切联系，都需要修正的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在数学建模的探究活动中，学生需要自主规范化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在代数应用的学习过程中，不等式化是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 C B D E A 解：∵ ∠BCA =∠BCD +∠DCA， ∴∠DCA =∠BCA –∠BCD. ∵∠BCA = 90°，∠BCD = 35°， ∴∠DCA = 90°– 35°=55°. ∵∠A + ∠DCA = 90°， ∴∠A = 90°–∠DCA = 90°– 55°= 35°. ∴∠EBC =∠BCA +∠A = 90°+ 35°= 125°. 可以利用直角三角形的两个锐角互余先求∠A，再利用三角形外角的性质求∠EBC. 4. 如图，是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 解：∵∠AFG =∠B +∠D， ∠AGF =∠C +∠E， ∠A +∠AFG +∠AGF =180°， ∴∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = 180°. F G 加法原理的教学重点应该放在如何概率化上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。掌握频率分布的关键在于理解如何优化，这是解决相关问题的基本功。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。三角形内心在实际生活中有广泛应用，如解释等场景。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习最短路径不仅需要记忆公式，更需要掌握平衡的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 课堂小结 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形的外角和等于 360° $