8.1.3 三角形的三边关系课件-2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

华东师大版数学7年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月11日 8.1.3 三角形的三边关系 第8章 三角形 8.1.3 三角形的三边关系 学习目标：1. 理解三角形三边关系的核心定理，掌握“任意两边之和大于第三边”“任意两边之差小于第三边”的结论；2. 能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形，解决简单的边长取值范围问题；3. 结合实例理解三边关系的几何意义，提升逻辑判断和计算能力。 一、三角形三边关系定理（核心） 1. 核心结论：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。 说明：“任意”是关键，即三角形的三条边中，每两条边的和都要大于第三条边，每两条边的差都要小于第三条边，不能遗漏任何一组。例如，在△ABC中，三条边为a、b、c，需同时满足：a + b > c、a + c > b、b + c > a；同时满足：|a - b| < c、|a - c| < b、|b - c| < a。 简化理解：三角形的三边关系可概括为“两边之和大于第三边”，因为“两边之差小于第三边”可由“两边之和大于第三边”推导得出（例如，由a + b > c，可变形为c - b < a，即两边之差小于第三边），七年级重点掌握“两边之和大于第三边”的应用。 二、三边关系的推导与理解（贴合七年级认知） 结合生活实例和直观感受推导，易于理解： - 实例推导：用三根木条拼三角形，若两根短木条的长度和小于或等于最长木条的长度，无法拼成封闭的三角形；只有当两根短木条的长度和大于最长木条的长度时，才能拼成三角形。例如，3cm、4cm、5cm的木条，3 + 4 > 5、3 + 5 > 4、4 + 5 > 3，可拼成三角形；而2cm、3cm、5cm的木条，2 + 3 = 5，无法拼成三角形。 - 几何意义：三角形的三边是首尾顺次相接的线段，两点之间线段最短，因此从顶点A到顶点C，线段AC的长度（第三边）一定小于折线AB + BC的长度（另外两边之和），即AB + BC > AC，同理可推出其他两组关系。 三、三角形三边关系的应用（基础题型） 核心思路：利用“任意两边之和大于第三边”判断三条线段能否组成三角形；已知三角形两边的长度，可求出第三边的取值范围；结合等腰三角形、整数边长等条件，求解具体边长。 - 示例1：判断下列各组线段能否组成三角形？（1）3cm、4cm、6cm；（2）2cm、2cm、5cm。解：（1）3 + 4 > 6、3 + 6 > 4、4 + 6 > 3，满足三边关系，能组成三角形；（2）2 + 2 < 5，不满足三边关系，不能组成三角形。 - 示例2：已知三角形的两条边长分别为4cm和7cm，求第三条边长x的取值范围。解：由三边关系，7 - 4 < x < 7 + 4，即3cm < x < 11cm（注意：第三边长度大于两边之差，小于两边之和，不包含等号）。 - 示例3：已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，求该三角形的周长。解：分两种情况讨论：① 若腰长为3cm，底边长为6cm，3 + 3 = 6，不满足三边关系，舍去；② 若腰长为6cm，底边长为3cm，6 + 3 > 6、6 + 6 > 3，满足三边关系，周长为6 + 6 + 3 = 15cm。 四、易错点提醒 - 1. 忽略“任意”二字：判断三条线段能否组成三角形时，需验证所有两组边的和都大于第三边，不能只验证其中一组（例如，2cm、3cm、4cm，需验证2+3>4、2+4>3、3+4>2，不可只验证2+3>4）。 - 2. 混淆“大于”与“大于等于”：三角形三边关系中，两边之和必须“大于”第三边，不能等于（等于时三条线段共线，无法组成三角形）。 - 3. 求第三边取值范围时，忽略“两边之差”需取绝对值：若两边长为a、b（a > b），则第三边x的范围是a - b < x < a + b，无需取绝对值；若未明确a、b大小，需用|a - b| < x < a + b。 - 4. 等腰三角形边长问题，未分类讨论或忽略三边关系验证：需分“腰为某边长”“底为某边长”两种情况，每种情况都要验证是否满足三边关系，避免出现无效解。 小练习：判断下列说法是否正确？并说明理由。（1）三条线段的长度分别为5cm、6cm、10cm，能组成三角形；（2）三角形的两边长为5cm和8cm，第三边长可以是3cm；（3）等腰三角形的两边长为4cm和9cm，周长为17cm。（答案：√、×、×） 1. 掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用；(重点、难点) 2.了解三角形的稳定性及应用. 学习目标 复习导入 节日的晚上，房间内亮起了彩灯. 如图，装有黄色彩灯的电线与装有白色彩灯的电线哪根长呢？说明你的理由. 装有黄色彩灯的电线长. 依据：两点之间线段最短. 作一个三角形，使它的三条边长分别为4 cm、3 cm、2.5 cm. 探究新课 做一做 A B 1. 先作线段 AB = 4cm； 2. 然后以点 A 为圆心、3 cm 长为半径作圆弧； 3. 再以点 B 为圆心、2.5 cm 长为半径作圆弧，两弧相交于点 C； C 4 cm 4. 连结 AC、BC. 3 cm 2.5 cm △ABC 就是所要作的三角形. 圆上任意一点到圆心的距离相等. 三角形的三边关系 A B C 路线 1：沿着从 A 到 C 再到 B 的路线走； 路线 2：沿线段 AB 走. 请问：路线 1、路线 2 哪条路程较短，你能说出根据吗？ 路线 2 较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： 1 三角形任何两边的和大于第三边 三角形的三边关系定理 归纳总结 想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？ 三角形任何两边的差小于第三边 三角形三边的关系定理的理论根据是什么？ 两点之间，线段最短. 例 1 等腰三角形中，周长为 18 cm. (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长； (2) 如果一边长为 4 cm，求另外两边长. 解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm， x + 2x + 2x = 18. 解得 x = 3.6. 所以三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm. 典例精析 解：因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ① 若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有 4 + 2x = 18. 解得 x = 7. ② 若腰长为 4 cm，设底边长为 x cm，则有 2×4 + x = 18. 解得 x = 10. 因为 4 + 4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 所以，三角形的另两边长都是 7 cm. (2) 如果一边长为 4 cm，求另外两边长. 问题： 如图，盖房子时，在木框未安装好之前，木工师傅常常先在木框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？ 答： 三角形形状不会改变，四边形形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性. 三角形的稳定性 2 理解“稳定性” 只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做“三角形的稳定性”. 这就是说，三角形的稳定性不是“拉得动或拉不动”的问题，其实质应是“三角形的边长一旦确定，其形状和大小就确定了”. 例 2 要使四边形木架不变形,至少要钉上一根木条,把它分成两个三角形使它保持形状不变,那么要使五边形木架、六边形木架、七边形木架保持稳定该怎么办呢? 方法总结：为了使多边形具有稳定性，一般需要用木条将多边形固定成由多个三角形组成的形式. 随堂练习 1. 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ （1）15 cm、10 cm、7 cm； （2）4 cm、5 cm、10 cm； （3）3 cm、8 cm、5 cm； （4）4 cm、5 cm、6 cm. √ 【教材P91练习 第1题】 × × √ 随堂练习 2. 一木工有两根长分别为 40 cm 和 60 cm 的木条，要另找一根木条，钉成一个三角木架. 问：第三根木条的长度应在什么范围内？ 【教材P91练习 第2题】 解：第三根木条的长度应小于两根木条的长度和： 40 + 60 = 100（cm） 还应大于两根木条的长度差： 60 – 40 = 20（cm） 即第三根木条的长度应大于 20 cm 且小于 100 cm. 随堂练习 3. 如果三角形的两边长分别是 2 和 4，且第三边是奇数，那么第三边长为______. 若第三边为偶数，那么三角形的周长______. 3或5 10 随堂练习 4. 已知 a，b，c 分别是三角形三边的长，化简： |a-b+c|+|b-a-c| -|a+b+c| =_________. a-3b+c 随堂练习 5. 如图，P是△ABC 内一点，连结 BP 并延长，交 AC 于点 D，连结 CP. （1）试探究 AB + BC + AC 与 2BD 的大小关系； （2）试探究 AB + AC 与 PB + PC 的大小关系. A B D P C 随堂练习 解：（1）根据三角形的三边关系，可得 BC + CD > BD，AB + AD > BD， ∴BC + CD + AB + AD > 2BD， 即 AB + BC + AC > 2BD. （2）根据三角形的三边关系，可得 AB + AD > BD，PD + CD > PC， ∴BC + AC + PD + CD > BD + PC， ∴ AB + AC > BD + PC – PD， 即 AB + AC > PB + PC. A B D P C 随堂练习 1. 下列长度（单位： ）的3根小木棒 能搭成三角形的是( ) B A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，5，8 D. 4，5，10 中考考法 20 （第2题） 2. 双人漫步机是一 种有氧运动器材，通过进行心血管 健康的有氧运动，可以增强人体的 心肺功能、降低血压、改善血糖.这 种器材（如图）的支架设计应用的 几何原理是( ) A A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 中考考法 21 3. 已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则 此等腰三角形的周长为( ) C A. 10 B. 15 C. 17 D. 13或17 中考考法 22 （第4题） 4. 如图，，，， 是平面内四点， 若，， ， 则线段 的长度可能是( ) B A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【点拨】在中， ，即 .在中， ，即 ， . 各个选项中满足条件的只有4. 中考考法 23 5. 设一个三角形的三边长分别是3，，8，则 的取值 范围是( ) B A. B. C. D. 中考考法 24 6. 的三边长分别为，， ，则 ________. 【点拨】的三边长分别是，， ， ，， . 去绝对值符号时，忽略绝对值前面的“负号”，没有 把去掉绝对值符号的部分当作一个整体导致计算错误. 中考考法 25 7. [洛阳月考] 学具盒中装有四根长度分别为， ， 和的细木棒，小明手中有一根长度为 的细木棒， 现从盒中取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起组成 三角形，可以组成___种不同的三角形. 4 中考考法 26 8. 已知，，为的三边长，， 满足 ，且为方程 的解，求 的周长并判断 的形状. 中考考法 27 【解】，， ， 解得，，解方程，得或 ， 可能为3或9. 当 时，不满足三角形三边关系，故舍去. ，， . ， ， 的周长为8， 为等腰三角形. 中考考法 28 课堂小结 三角形的三边关系 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 应用 三角形的稳定性 课堂小结 $