精品解析：江西新余市第一中学等校2025—2026学年度初三数学二模试卷

2025—2026学年度初三数学二模试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数指的是无限不循环小数逐项判断即可． 【详解】解：A．是分数，是有理数，不符合题意； B．是整数，是有理数，不符合题意； C．是有限小数，是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意． 2. 广东省“南粤家政”工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为，，，，其中最接近标准值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个数与标准值0的距离为该数的绝对值，绝对值越小，数越接近标准值，计算各数的绝对值并比较大小即可得到结果． 【详解】解：，，，， ∵， ∴ 的绝对值最小，最接近标准值． 3. 2026年米兰冬奥会的赛场上，苏翊鸣在单板滑雪男子坡面障碍技巧赛中，为中国队夺得本届冬奥会的第一枚金牌，当他站上领奖台的一刻，全国人民都感到无比的骄傲与自豪，下图是领奖台的一个立体图形，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】左视图是从左边看到的图形，以及看不到的线条用虚线表示，据此即可解答． 【详解】解：领奖台一个立体图形的左视图是 ， 即选项D符合题意． 4. 蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（ ） A. 59 B. 76 C. 67 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】观察可知，后面一个图形比前面一个图形多8根小棒，据此规律求解即可． 【详解】解：第①个图案用了根小棒， 第②个图案用了根小棒， 第③个图案用了根小棒， 第④个图案用了根小棒， ．．．．．．， ∴第⑧个图案用的小棒根数是． 5. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，点F为上一点，且满足，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂径定理得到，根据圆周角定理，得到，由此得到是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的直径垂直于弦， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴在，，即， ∴， ∴． 6. 如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知，当点  运动到点  时， 的面积取得最大值 ，过点作垂足为， ，先利用面积求出，再结合等腰三角形性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：根据函数图象可知，当点  运动到点  时， 的面积取得最大值 ， 此时如下图，过点作垂足为， ∴， ∵动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动， ∴， ∴的面积为，即， 在直角三角形中，， ∴． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，进行求解. 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为. 8. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 【答案】22.5 【解析】 【详解】解：∵多边形为正八边形， ∴， ∴． 9. 分解因式：_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 10. 《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值钱；坏田7亩，价值钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝亩），价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意可列方程组为________． 【答案】 【解析】 【分析】设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据共买好、坏田1顷（1顷＝亩），价钱钱，即可得． 【详解】解：设好田买了x亩，坏田买了y亩， 根据题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系． 11. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：根据题意，得，， ， ． 12. 如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意，先计算，，再分四种情况逐一探讨得出结论． 【详解】解：∵点D为等边三角形的中点， ∴，， ∵将绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴． ①当时， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当时， ， ∴， ∵， ∴， 与实际情况矛盾，不符题意，舍去； ③当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ④当时， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 解答下列各题： （1）计算： ； （2）如图，把一张长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算零指数幂、负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再进行二次根式的混合运算； （2）由折叠可得，，再根据平行线的性质结合角的和差求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：如图， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴ ∴ 14. 解不等式组， 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 （1）任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误．这一步错误的原因是 ． （2）任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】（1）五， 不等式两边同时除以负数时， 不等号方向没有改变 （2）不等式②的解为， 不等式组的解集为 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质判断即可； （2）正确解出不等式①，再解不等式②，进而得到该不等式组的解集． 【小问1详解】 解：由题可知，第五步开始出现错误， 这一步错误的原因是不等式两边同时除以负数时， 不等号方向没有改变； 【小问2详解】 解：解不等式①，得； 由②得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 则该不等式组的解集为． 15. 万物皆有灵，草木亦有心．“梅兰竹菊”作为国画四君子，是中国传统文化的题材，梅之傲骨、兰之谦逊、竹之坚韧、菊之淡泊，皆为中华民族精神之寄托．美术爱好者悦悦和欣欣两位同学想在活动课上临摹下面这四幅美术作品，但由于时间有限，她们只能各自选择其中一幅进行临摹，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的均匀转盘，将转盘四等分，并对转盘进行标注，两人各转动转盘一次，转盘停止后，以指针所指扇形中的内容为准进行临摹（当指针指在分界线上时重转）． （1）“悦悦转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的内容为‘竹’”是_____事件；（选填“随机”或“不可能”或“必然”） （2）请用列表法或画树状图的方法，求悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． （1）根据随机事件“指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件”，不可能事件“在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件”的定义判定即可； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：转盘中有“竹”的结果， ∴悦悦转动转盘一次，可能出现“竹”， ∴是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的结果有7种， （悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”）． 16. 请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，点E是菱形边上的一点． 求作边上的点H， 使； （2）如图2，点E是菱形边上一点，连接，求作，使，且点G在边上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接、于点，作射线交于点，则； （2）连接、交于点，作射线交于点，连接，则． 【小问1详解】 解：如图，点为所求； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴； 【小问2详解】 解：如图，为所求； ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴（）， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴（）， ∴． 17. 钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． （1）求甲、乙两种茶杯的单价． （2）若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 【答案】（1）乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元 （2）该校最多可以购买甲种茶杯个 【解析】 【分析】（1）设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元，根据“花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同”建立分式方程求解； （2）设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个，根据“总费用不超过1600元”建立不等式求解． 【小问1详解】 解：设乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 甲种茶杯的单价为（元）， 答：乙种茶杯的单价为元，则甲种茶杯的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买甲种茶杯个，则购买乙种茶杯个， 由题意得，， 解得 答：该校最多可以购买甲种茶杯个． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 小明将含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标中，斜边在轴上，且，反比例函数的图象经过点．现将绕点顺时针旋转得，反比例函数恰好经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）连接，请判断点是否在直线上． 【答案】（1） （2）点不在直线上，见解析 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，根据题意，得，得到，代入反比例函数表达式求解即可； （2）先确定，，确定直线的表达式，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点E， ， ， ， 由反比例函数的图象经过点， ， 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：， ， ， 根据旋转的性质，得， 设， 根据题意，得， ， 设的表达式为， 根据题意，得， 解得， ， 当时，， 故不在直线：上． 19. 2026马年春晚名为《武BOT》的武术表演节目中，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了甩动双节棍，表演时需要和武术演员保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，双节棍握手端一节长度，与手臂保持垂直．肘关节与点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人表演时规定双节棍端点与武术演员的水平安全距离范围为．在图2中，机器人与武术演员之间的距离为．问此时双节棍端点与武术演员的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：） 【答案】（1） （2）不在规定范围内，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的性质求出，然后利用锐角三角函数求出，最后利用角的和差求解； （2），过点作交的延长线于点，利用锐角三角函数求出相关线段的长度，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：不在规定范围内．理由如下： 如图，过点作交的延长线于点，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴此时双节棍端点与武术演员的距离为， ∵水平安全距离范围为， ∴此时双节棍端点与武术演员的距离不在规定范围内． 20. 等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． （1）求证：是的切线； （2）如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备 （智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭 A 类设备数量（单位：台）： 0，0， 0， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3，4， 4， 4， 4， 4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0， 0， 0， 0， 1， 1， 1， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数 （户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A 类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为 ； （4）若该校共有学生家庭576户，估计全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ （5）结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 【答案】（1）8，3，2 （2）见解析 （3） （4）144户 （5）该班学生家庭更偏好A类智能家居，理由见详解 【解析】 【分析】（1）利用总调查人数减去其余消费金额频数可得到a，再利用中位数和众数的定义可求得c和d的值； （2）先求出b的值，再补全频数分布直方图即可； （3）先用A类2台频数除以调查数量得到2台的频率，再用频率，即可得到扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角； （4）先用B类智能家居设备消费金额2000元及以上的频数除以调查数量得到频率，再利用总数576乘以该频率得到结果； （5）根据中位数、方差、众数和平均数的定义即可进行判断． 【小问1详解】 解：， 在24户家庭A类设备数量中，第12个和13个数据均为3， ∴， 在24户家庭B类设备数量中，“2”一共出现6次，出现次数最多， ∴． 【小问2详解】 解：， 如图所示，补全频数分布直方图如下： 【小问3详解】 解：在24户家庭A类设备数量中，2台共出现5次， ∴， ∴扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为． 【小问4详解】 解： （户）， ∴全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有144户． 【小问5详解】 解：该班学生家庭更偏好A类智能家居， 理由：A类智能家居的平均数、中位数、众数均高于B类，方差低于B类，且24户家庭在A类智能家居产品消费金额多集中在高段，而B类智能家居产品消费金额多集中在低段． 22. 【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； （2）求点在函数图象上的“积值”； （3）已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 【答案】（1） （2）6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，二次函数的图象性质，反比例函数的性质，一次函数的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用反比例函数的性质以及积值的定义，得，即可作答． （2）依题意，把代入得，再结合积值的定义，即可作答． （3）先表达出，运用二次函数的性质，得函数开口向上，则对称轴为，再根据当时，随的增大而减小，即可作答． 【小问1详解】 解：∵点B是函数图象上任意一点， ∴， ∴点B在该函数图象上的“积值”为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 则点在函数图象上的“积值”为； 【小问3详解】 解：已知点在函数（b为常数，且）的图象上， ∴ ∵当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为， ∴， ∵， 函数开口向上，则对称轴为， ∵， ∴， 即当时，有最小值，且 ∴当时，随的增大而减小， ∴时，有最小值，最小值为 ∴ 即． 六、解答题(本大题共12分) 23. 综合与实践 （1）一．知识呈现：如图（1），在中，、分别是、的中点，则与的数量关系是 ． （2）二．知识应用 易老师在复习课上布置这样一题让学生思考： 如图（2），在正方形 中，，点、分别是 、上的一点，连接、，点 、 分别是 、 的中点，连接．若，， 求的长． 各小组展开激烈的讨论： ①小华小组讨论得出：由 可证出，从而得出 ； ②小颖小组继续陈述讨论结果：连接 并延长交 于点 ，通过证明 得出 ，，且点为的中点．再连接， 可得 ③小新小组很快得出：通过在中求出的长度达到求 的目的，则 ． 请你写出①的证明过程，并计算出③的结果． （3）三．类比拓展 如图（3）， 在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，点、 分别是、 的中点，连接．若 ，，求的长． （4）四．问题解决 学校植物园有一块如图（4）所示的四边形草坪，已知， ， ，现有一笔直小路， ，若要从点 到边之间修另一笔直小路，且与所夹的锐角为 ，现要在这两条路的中间处分别安装一个喷水头、，求在、之间铺设水管的长度，请直接写出 的长． 【答案】（1） （2）见解析； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质，即可求解； （2）先证明，，，即可证明得出；根据勾股定理求得，进而根据中位线的性质即可求解； （3）连接 并延长交 于点 ，连接，证明，求得，同（2）的方法证明，求得，进而勾股定理求得，进而根据中位线的性质即可求解； （4），进而根据中位线的性质即可求解，证明，求得，同（3）的方法求得 ，进而勾股定理求得，进而根据中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线 ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴； ③解：连接 并延长交 于点 ，连接， 由②可得 ∵， ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图，连接 并延长交 于点 ，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵ ∴ ∵是 的中点， ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵，， ∴， ， 在，中， ∵点、 分别是、 的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问4详解】 解：如图，过点作于点， ∵，则 ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，设的交点为， 依题意，， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 同理（3）可得， ∴ ， ∴ 过点作于点， ∵，， ∴ ∵ ∴，， ∴ 在中， ∵点、 分别是、 的中点， ∴是的中位线， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度初三数学二模试卷 考试时间：120分钟 试卷总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 广东省“南粤家政”工程持续推进，某家政公司检测保洁工具的细菌残留量，标准值为0，高于标准值记为正，低于标准值记为负，检测结果为，，，，其中最接近标准值的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年米兰冬奥会的赛场上，苏翊鸣在单板滑雪男子坡面障碍技巧赛中，为中国队夺得本届冬奥会的第一枚金牌，当他站上领奖台的一刻，全国人民都感到无比的骄傲与自豪，下图是领奖台的一个立体图形，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 蜜蜂构建的蜂巢展现出了正六边形的精巧设计．下图是某校生物实验小组学生利用长度相同的小棒搭建的蜂巢结构平面图，第①个图案用了11根小棒，第②个图案用了19根小棒，第③个图案用了27根小棒，第④个图案用了35根小棒，……按此规律排列下去，第⑧个图案用的小棒根数是（ ） A. 59 B. 76 C. 67 D. 96 5. 如图，的直径垂直于弦，垂足为E，点F为上一点，且满足，，则的长为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图（1），在等腰三角形中，，动点以的速度从点沿向点运动，同时动点以的速度从点沿折线向点运动，连接，当其中一动点到达终点时，两动点同时停止运动．设动点运动的时间为的面积为，图（2）是与的函数关系的图象，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点B的坐标是______． 8. 如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，则______． 9. 分解因式：_____． 10. 《九章算术》中记载：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？”其大意是：今有好田1亩，价值钱；坏田7亩，价值钱．今共买好、坏田1顷（1顷＝亩），价钱钱．问好、坏田各买了多少亩？设好田买了x亩，坏田买了y亩，根据题意可列方程组为________． 11. 已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 12. 如图，点D为等边三角形的中点，连接，将绕点D顺时针旋转（）得到，边、分别与交于点E、F，当的内角是与另两个内角中的一个存在两倍关系时，的度数为______． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 解答下列各题： （1）计算： ； （2）如图，把一张长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 14. 解不等式组， 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 （1）任务一：以上解题过程中，第 步开始出现错误．这一步错误的原因是 ． （2）任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 15. 万物皆有灵，草木亦有心．“梅兰竹菊”作为国画四君子，是中国传统文化的题材，梅之傲骨、兰之谦逊、竹之坚韧、菊之淡泊，皆为中华民族精神之寄托．美术爱好者悦悦和欣欣两位同学想在活动课上临摹下面这四幅美术作品，但由于时间有限，她们只能各自选择其中一幅进行临摹，一时间不知道如何选择，于是他们制作了如图所示的均匀转盘，将转盘四等分，并对转盘进行标注，两人各转动转盘一次，转盘停止后，以指针所指扇形中的内容为准进行临摹（当指针指在分界线上时重转）． （1）“悦悦转动转盘一次，转盘停止转动后，指针所指扇形中的内容为‘竹’”是_____事件；（选填“随机”或“不可能”或“必然”） （2）请用列表法或画树状图的方法，求悦悦和欣欣两人中，至少有一人临摹作品“兰”的概率． 16. 请用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． （1）如图1，点E是菱形边上的一点． 求作边上的点H， 使； （2）如图2，点E是菱形边上一点，连接，求作，使，且点G在边上． 17. 钧瓷是河南省禹州市的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，是中国“五大名瓷”之一．某校为了推行中原文化进校园，准备购买甲、乙两种钧瓷茶杯用于宣讲．已知每个甲种茶杯比每个乙种茶杯多10元，花费900元购买甲种茶杯与花费600元购买乙种茶杯的数量相同． （1）求甲、乙两种茶杯的单价． （2）若学校决定购买甲、乙两种茶杯共60个，总费用不超过1600元，那么该校最多可以购买甲种茶杯多少个？ 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 小明将含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标中，斜边在轴上，且，反比例函数的图象经过点．现将绕点顺时针旋转得，反比例函数恰好经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）连接，请判断点是否在直线上． 19. 2026马年春晚名为《武BOT》的武术表演节目中，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了甩动双节棍，表演时需要和武术演员保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，双节棍握手端一节长度，与手臂保持垂直．肘关节与点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人表演时规定双节棍端点与武术演员的水平安全距离范围为．在图2中，机器人与武术演员之间的距离为．问此时双节棍端点与武术演员的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：） 20. 等腰中，，点O为边中点，如图1，以O为圆心作圆与相切于点M． （1）求证：是的切线； （2）如图2， 点D为上一点，，连接并延长交于点N．若半径为3，求弧的长度． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 为研究一般家庭对智能家居设备的偏好，小明所在的数学兴趣小组调查了班级24名学生家庭中以下两类智能家居设备的数量和消费金额． A类：安全类智能家居设备 （智能门锁等）； B类：便捷类智能家居设备（智能扫地机器人等）． 整理、描述、分析数据如下： 【整理数据】 ①设备数量 24户家庭 A 类设备数量（单位：台）： 0，0， 0， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3， 3，4， 4， 4， 4， 4，4 24户家庭B类设备数量（单位：台）： 0， 0， 0， 0， 1， 1， 1， 1， 1， 2， 2， 2， 2， 2， 2， 3， 3， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4 ②消费金额频数分布表（单位：元） 类别 不同消费金额（单位：元）范围内出现的频数 （户数） A类 2 4 a 7 3 B类 10 b 5 1 0 【描述数据】 根据A 类设备数量绘制不完整扇形统计图，根据B类消费金额频数分布表，绘制不完整频数分布直方图． 【分析数据】 组别 关于智能家居设备数量的统计量 平均数 中位数 众数 方差 A类 2.5 c 3 1.67 B类 2 2 d 1.75 【解决问题】 根据以上信息解决下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中有2台A类智能家居设备的扇形对应的圆心角的度数为 ； （4）若该校共有学生家庭576户，估计全校B类智能家居设备消费金额2000元及以上的家庭有多少户？ （5）结合设备数量、消费金额两项数据，判断该班学生家庭更偏好哪一类智能家居，并说明理由． 22. 【定义】在平面直角坐标系中，对于“积值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标x与纵坐标y的乘积xy称为点在函数图象上的“积值”； 【举例】已知点在函数的图象上，点在函数图象上的“积值”为． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）已知点B是函数图象上任意一点，则点B在该函数图象上的“积值”为__________； （2）求点在函数图象上的“积值”； （3）已知点在函数（b为常数，且）的图象上，当时，点P在函数图象上的“积值”的最小值为，求b的值． 六、解答题(本大题共12分) 23. 综合与实践 （1）一．知识呈现：如图（1），在中，、分别是、的中点，则与的数量关系是 ． （2）二．知识应用 易老师在复习课上布置这样一题让学生思考： 如图（2），在正方形 中，，点、分别是 、上的一点，连接、，点 、 分别是 、 的中点，连接．若，， 求的长． 各小组展开激烈的讨论： ①小华小组讨论得出：由 可证出，从而得出 ； ②小颖小组继续陈述讨论结果：连接 并延长交 于点 ，通过证明 得出 ，，且点为的中点．再连接， 可得 ③小新小组很快得出：通过在中求出的长度达到求 的目的，则 ． 请你写出①的证明过程，并计算出③的结果． （3）三．类比拓展 如图（3）， 在矩形中，，，点、分别在边、上，连接、，点、 分别是、 的中点，连接．若 ，，求的长． （4）四．问题解决 学校植物园有一块如图（4）所示的四边形草坪，已知， ， ，现有一笔直小路， ，若要从点 到边之间修另一笔直小路，且与所夹的锐角为 ，现要在这两条路的中间处分别安装一个喷水头、，求在、之间铺设水管的长度，请直接写出 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $