精品解析：宁夏银川市永宁县上游高级中学2025-2026学年第一学期高三年级12月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期高三年级12月月考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设（为虚数单位），则 A. B. C. D. 2 3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 4. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 5. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 8. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ） A. 16 B. 95 C. 189 D. 330 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则； B. 若数列是等差数列且，则当时，取得最大值； C. 若数列是等比数列，则成等比数列； D. 若数列是等差数列，则. 10. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，已知方程在上恰有两个实数根，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上有三个极小值点 B. 的取值范围是 C. 若直线为函数的一条对称轴，则 D. 若，则函数在上单调递减 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，项的系数是________．（用数字填写答案） 13. 已知，，，，则的值为______． 14. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 16. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且． （1）求椭圆的方程． （2）设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．证明：直线的斜率成等差数列． 17. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 18. 已知函数，记，且，． （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有三个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高三年级12月月考 数学试题 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1. 已知随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项分布的期望值公式，即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得. 故选：A. 2. 设（为虚数单位），则 A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，所以 ，则 ，故选择B. 3. 在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【详解】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C 4. 函数在的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑的奇偶性，然后利用导数判断的单调性从而判断函数值的正负，再根据特殊值判断出的正负，从而判断出对应的函数图象. 【详解】因为定义域为关于原点对称，，所以是奇函数， 因为，， 所以当时，在上递减且， 所以对，. 当且时，，，所以，排除BD， 当时，，排除C， 结合奇偶性，所以只有A符合要求. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，难度一般.判断函数图象的常见思路：从奇偶性、单调性、特殊值等方面入手. 5. 非零向量满足与垂直，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直数量积为零可求得与的关系式，即可求得夹角. 【详解】易知，即； 又，所以，即； 因此， 又，所以所求夹角为. 故选：C 6. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A 7. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列求出，及，再构造数列并判断单调性得解. 【详解】依题意，，， 则，令， 则，， 因此当时，；当时，，即最大， 所以当最大时，. 故选：B 【点睛】思路点睛：求出的表达式，再构造数列作差判断单调性求出最大值点. 8. 已知数列，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ） A. 16 B. 95 C. 189 D. 330 【答案】B 【解析】 【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比例数列前项和公式对选项逐一验证即可. 【详解】将数列分组，使每组第一项均为1，即： 第一组： 第二组： 第三组： …… 第组： 根据等比数列前项公式，得每组和分别为：， 前组含有的项数和. 前组所有项的和为 将选项A代入，若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和， 此时，无解； 同理若，取，此时，即，符合题意； 同理若，取，此时，无解； 同理若，取，此时，无解； 综上可知，. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ） A. 若，则； B. 若数列是等差数列且，则当时，取得最大值； C. 若数列是等比数列，则成等比数列； D. 若数列是等差数列，则. 【答案】BD 【解析】 【分析】由通项与的关系，求得数列的通项公式，可判定A错误；由，求得，得到，可判定B正确；取，当为偶数时，，此时不成等比数列，可判定C错误，利用等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】解：对于A中，因为，当时，， 两式相减，可得， 当时，，不满足，所以，所以A不正确； 对于B中，因为，且，则公差， 由，得到，即， 所以，故当时，取得最大值，所以B正确， 对于C中，取，则数列为等比数列，且首项为，公比为， 当为偶数时，，此时不成等比数列，所以C错误， 对于D中，因为数列是等差数列， 则，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 11. 设函数，已知方程在上恰有两个实数根，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上有三个极小值点 B. 的取值范围是 C. 若直线为函数的一条对称轴，则 D. 若，则函数在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】将看作整体，结合余弦函数的图象可判断A、B选项；根据以及B选项可判断C；求出，再根据的范围求出的范围，结合余弦函数图象可判断D. 【详解】，则， 因方程在上恰有两个实数根，则，得，故B正确； 若时，函数在上有三个极小值点， 若时，函数在上有两个极小值点，故A错误； 若直线为函数的一条对称轴，则， 则，得，结合B知，故C正确； 若，则， ，则， 因，则，， 结合余弦函数图象可知， 函数在上单调递减，故D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式的展开式中，项的系数是________．（用数字填写答案） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，得， 所以项的系数是. 故答案为： 13. 已知，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系，求出，，再由角的变换及两角差的余弦公式得解. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 所以由可得， 所以 ， 故答案为： 14. 已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知． （1）求的单调递减区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再结合正弦函数的单调性求解； （2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解. 【小问1详解】 令，则， 故的单调递减区间为； 【小问2详解】 由题意得， 因，有，则， 可得， 故在上的值域为. 16. 已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且． （1）求椭圆的方程． （2）设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．证明：直线的斜率成等差数列． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据即可求解得解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切可得，即，即可根据韦达定理以及两点斜率公式求解. 【小问1详解】 由右焦点知，，所以，若，则，即，方程无解；若，则，所以，椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，易知过且与相切的直线斜率存在，方程设为， 联立方程，消得， ，即， 设直线的斜率分别为， 所以，，，则， 即直线的斜率成等差数列. 17. 已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． （1）求A的值； （2）若，求△ABC周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明，证明即可求解； （2）证明，，证明，证明，证明即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 整理得， 在中，， ，即， ，即； 【小问2详解】 由正弦定理得， ∴，， ∴， ， ∴， 在锐角中 ， ∴，， ∴， ∴周长的取值范围为． 18. 已知函数，记，且，． （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）证明见解析；；（ⅱ）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，利用递推关系可得答案； （2）（ⅰ）求出的递推关系，利用等差数列的定义可证明等差数列，利用错位相减法可求和； （ⅱ）利用进行放缩，结合等比数列求和公式可证结论. 【小问1详解】 因为，所以， . 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， 又，所以，； 由（1）可知，，所以，， ，所以是以为首项和公差的等差数列， ，所以. ,, 两式相减可得 , . （ⅱ），， 所以 因为，所以. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数值得出切线斜率，最后由点斜式得出切线即可求解； （2）先求出导函数，再分类讨论当，时，分导函数的正负得出单调区间； （3）结合（2）知，再构造函数，再求导数得出最值再结合零点个数计算求参. 【小问1详解】 当时，， 在点处的切线方程为： 【小问2详解】 定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由（2）知且， ， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $