湖北鄂州市鄂城区2026年春八年级数学期中质量监测卷

**基本信息** 以赵爽弦图、社区改建等真实情境为载体，通过基础题（如二次根式化简）、综合题（图形旋转证明）、创新题（饮马问题探究）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识，实现知识巩固与素养提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、勾股定理、平行四边形判定|第8题结合赵爽弦图考查面积计算，渗透文化传承| |填空题|5/15|无理数、算术平方根、数轴与实数|第14题四边形面积计算，综合垂直与全等知识| |解答题|7/75|二次根式运算、平行四边形证明、实际应用（梯子问题）、几何最值（饮马问题）|23题通过“饮马问题”探究几何最值，培养空间观念；24题图形旋转综合题，考查推理能力与创新意识|

2026年春八年级数学期中质量监测卷 本试题卷共6页，满分120分，考试用时120分钟。 一.选择题（每题3分，共30分） 1．下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x 3．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　） A．a＝5，b＝12，c＝13 B．a ：b ：c＝3：4：5 C．a，b＝2，c D．a＝4，b＝5，c＝6 5．已知 ，则y x的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 D. 3 6．如图，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．∠A ＝∠C，∠B ＝∠D B．AB ＝CD，AD∥BC C．AB ＝CD，AD ＝BC D．∠A +∠B＝180°，∠B +∠C＝180° 7.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 第6题图 第8题图 第9题图 8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中c＝15， b﹣a＝3，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 9．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝45°，且AE +AF＝3，则平行四边形ABCD的周长是（　　） A． B． C．6 D．12 10． 如图，分别以Rt△ABC的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1，S2，S3. 若S3 + S2﹣S1＝20，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B．10 C．6 D．8 二.填空题（每题3分，共15分） 11. 写出一个大于1的无理数___________. 12. 4的算术平方根是___________. 13．如图，在数轴上点A表示的实数是 　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，AC⊥DC．过点B作BE⊥CA，垂足为点E．若CD＝2，CE＝6，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 第13题 第14题 第15题图 15.如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC ＝ 5，CE ＝ 1，连接DE并延长至点F，使得EF ＝DE，连接BF，则BF为 　 　 ． 三.解答题（共7小题，共75分） 16．（本题6分）计算： 17．（本题6分）已知，求的值． 18． （本题8分）如图，平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于M，N． （1）求证：四边形CMAN是平行四边形； （2）已知DE＝4，FN＝3，求BN的长． 19.（本题8分）正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）求∠ABC的度数． 20．（本题8分）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 21．（本题8分）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地ABCD进行改建，如图所示，将四边形ABCD全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，∠B＝90°，AB＝9米，BC＝12米，CD＝17米，AD＝8米． （1）连接AC，求AC的长度． （2）已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 22.（本题8分） 问题：已知，求2a2﹣8a+1的值． 小明是这样解答的：∵，∴ ∴ 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： （1） 请用以上方法化简：　 ； （2）计算： （3）若 ，求5a2﹣40a+54的值． 23.（11分）活动与实践： 教材重现（新人教版八年级上册数学教材第94页 综合与实践 牧民饮马问题） 如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地.牧民到河边 l 的什么地方饮马可使所走的路径最短？ 抽象为数学问题：如图2，已知点A、B在直线 l 的同侧，在直线 l 上找一点 C ，使得AC+BC的值最小. 图1 图4 图2 图3 图5 探究活动1（问题转化） （1）如图3，若点A、B在直线 l 异侧时，连接AB，交直线 l于点,由“两点之间 段最短”知，对于直线 l 上任意一点C，均有AC + BC ≥ AB=A+ B，故A、C、B三点在同一条直线上时AC + BC最小，得所求点C即. 问题1：如图3，若A、B两点距直线 l的距离分别为1和2，且它们之间的水平距离（即图中的垂线段AD的长）为4，请求出此时AC + BC的最小值为 . （2）针对图2点A、B在直线 l 的同侧，利用轴对称知识，如图4，作出点B关于直线 的对称点连接A交直线 l于点由轴对称性质知直线 l是线段B的垂直平分线 故BC=C，同（1）可知所求点C即. 问题2：如图4，若A、B两点到直线 l的距离分别为3和4，且它们之间的水平距 （即图中的垂线段AD的长）为7，请求出此时AC + BC的最小值为 . 探究活动2（数形结合） （3）例：求代数式最小值. 解：代数式的几何意义： 如图5，线段EF=8,分别以E、F为垂足在线段EF的同侧作EF的垂线段AE和BF，且AE=2，BF=4，在线段EF上取点C，设EC=x，则CF=8-x. 问题3：Rt△AEC中，根据勾股定理用含x的代数式表示AC= ，同理BC= .那么的几何意义就是求线段AC、BC的长度和.此时AC + BC的最小值为 . 问题4：已知x+y=12,利用几何意义探究代数式的最小值为 . 探究活动3(拓展迁移) 问题5：求代数式的最小值为 . 问题6：已知a、b均为正数，且、、是一个三角形的三边的长，则这个三角形的面积是 .（用含a、b的式子表示）. 24．（本题12分）在Rt△ABC中，∠C＝90°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，旋转角小于∠CAB，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，DE交AB于点O，延长DE交BC于点P． （1）如图1，求证：PC＝PE； （2）当AD∥BC时， ①如图2，若CA＝6，CB＝8，求线段BP的长； ②如图3，连接BD，CE，延长CE交BD于点F，判断F是否为线段BD的中点，并说明理由． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年春八年级数学期中测试题 参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 A C D B C B D A 二、填空题（每题3分，共15分） 11.V2(合适即可) 12. 2 13. 14. 40 15.3 16.(本题6分)：解：(1)√7-V54+√96-√108 =5V3-3V6+4v6-6v3=√6-V3 17.(本题6分)解：：x=V2-1,y=V2+1, 2-2+2 2-2 (-)2 =+)(-) =2-1-2-1 ΓV2-1+√2+1 是 18.(本题4+4=8分) (1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.CM∥AN, ,AM⊥BD,CN⊥BD, ∴.AM∥CN, '.四边形AMCN是平行四边形； (2)解：四边形AMCN是平行四边形， ∴.CM=AN, ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.CD=AB,CD∥AB, .∴.DM=BN,∠MDE=∠NBF, 在△MDE和△NBF中， =∠ =∠ =90°， ∴.△MDE≌△NBF(AAS), DE=BF=4 在Rt△BFW中，由勾股定理得：BN=V2+2=V42+32=5. 19.(本题2+3+3=8分)解：(1)如图1的正方形的边长是v10,面积是10： (2)如图2的三角形的边长分别为2，V5,V13: (3)如图3，连接AC, 由勾股定理得：AC=BC=V32+12=V10,AB=V4+16=V20=2V5, .AB2=AC2+BC2, ∴.∠ACB=90°， .∴.∠ABC=∠BAC=45°. 12B L 图1 图2 图3 20.(本题8分)解：(1)根据勾股定理： 梯子距离地面的高度为：V252-72=24(米)：(3分) (2)(5分)梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为AB=AB-AA'=24-4=20(米)， 根据勾股定理得：25=202+(7+2， 解得CC'=8. 即梯子的底端在水平方向滑动了8米。 21.(本题8分)解：(1)在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=9米，BC=12米， 由勾股定理得：AC=√2+2=V⑨2+122=15（米）， 答：AC的长度为15米： (2),AC2+AD2=152+82=289,CD2=172=289, 2 ∴.CD2=AD2+AC2, .△ACD为直角三角形，∠CAD=90°， ∴S两题形ACD=SAADC+SA4CD=2AB~BC+21DAC=2×9X12+7×8X15=114(米2)， ,购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元， .购买运动型塑胶地板的费用为：114×200=22800（元）， 答：购买运动型塑胶地板的总费用为22800元. 1×(7-V6 2.(本题2433-8分)解1D7V店N7+N0N6=V7-V6. 故答案为：V7-√6； (2) 1×(2-1),1×(3-√2) 1×(4-3) 十… (W2+1)(W2-1)'(W3+V2)(V3-V2)'(4+3)(W4-√3) 1×(V2025-V2024) (√2025+√2024)(V2025-V2024) 1×(V2026-V2025) (√2026+√2025)(V2026-V2025) =(W2-1)+(3-V2)+(W4-V3)+…+(W2026-V2025) =V2026-1: 》:“a4可需特4+ 1×(4+√15) .-4=V15, ∴.5a2-40a+54=5(a2-8a+16)-26=5(a-4)2-26 =5×(√15)2-26=75-26=49， .5a2-40a+54的值为49. 23.答案：问题1 5 ………2分 问题2 7V2 …4分 问题3 V2+22 …5分 一V8-)2+4平一， …6分 10 …7分 问题4 13. …8分 问题5 10. …9分 问题6 …11分 -2 3 24.(本题4+4+4=12分)(1)证明：连接AP,如图1， 由旋转的性质知，AC=AE,∠AED=∠C=∠AEP=90°， D .AP=AP, .∴.Rt△APE≌Rt△APC(HL), ..PC=PE; E B P C (2)解：①连接AP,如图2， 图1 ,∠C=90°，CA=6,CB=8, .=V62+82=10, 由旋转的性质知，AD=AB=10,DE=BC=8, D 由(1)知Rt△APE≌Rt△APC, ∴.PC=PE,∠APE=∠APC, E AD∥BC 图2 ∴.∠DAP=∠APC, ∴.∠DAP=∠APD, .DP=AD=10, .∴.PC=PE=10-8=2, D ∴.BP=BC-PC=8-2=6: ②F是线段BD的中点.理由如下： 连接AP,延长AD和CE交于点H,如图3， 图3 在Rt△APE和Rt△APC中， {三， ∴.Rt△APE≌Rt△APC(HL),∴.PE=PC, ∴.∠PEC=∠PCE, ,AD∥BC,∴.∠DHE=∠PCE=∠PEC=∠DEH, ..DE=DH=BC, 在△DFH和△BFC中， =∠ =∠ ∴.△DFH≌△BFC(AAS), .DF=BF,即F是线段BD的中点