精品解析：湖北武汉市光谷第二初级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

八年级数学下学期学情反馈训练题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 在下列算式中：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①④ 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 5. 如图，是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下： ①号木板长3 m，宽2.7 m； ②号木板长2.8 m，宽2.8 m； ③号木板长4 m，宽2.4 m． 可以从这扇门通过的木板是（　　）号． A. ② B. ③ C. ②③ D. 都不能通过 6. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ ） A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B. 当AC=BD时，四边形EFGH是矩形 C. 当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形 D. 以上说法都不对 7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ） A. 海里 B. 海里 C. 2海里 D. 2海里 9. 如图，中，，分别是其角平分线和中线，过点B作于G，交于F，连接，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ④③② D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：______；_____；_____． 12. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 13. 已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为___________ 14. 如图，一株荷叶高出水面，一阵风吹过，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有远，则荷叶原来的高度是_______． 15. 如图，在矩形中，M为边上一点，连接过点D作于E，若，，则的长为________． 16. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E、P，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______．（只填序号） 三、解答题．（72分） 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简后计算：，其中． 19. 如图、在三角形支架中，，垂足为． （1）求的长． （2）试判断和的大小，说明理由． 20. 如图，的对角线相交于是等边三角形，且． （1）求的面积． （2）若点、分别是的中点，连接，求的长． 21. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A为格点．仅用无刻度的直尺在给定的的网格中完成下列作图，保留作图痕迹． （1）作一个平行四边形，使．点P是任意一点，过点P作一条直线平分四边形的面积． （2）点C是格点，点B是网格线上的点，作一个格点P，使，且．在上作一点Q，使． （3）点是格点，点是网格线上的点，在上作一点，使． 22. 如图、在中，点E在上，． （1）若平分，求的面积． （2）若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 23. 如图，在菱形中，． （1）点分别是边的中点，分别连接．求证：是等边三角形． （2）连接对角线，点E在线段之间，将线段绕点A逆时针旋转得线段，点G是线段的中点，连接．试判断与的数量关系，并证明． （3）在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值为_______． 24. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． （1）直接写出值：_______，_______； （2）正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． （3）如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学下学期学情反馈训练题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 要使二次根式有意义，实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数， ， 则． 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、＝2，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； B、最简二次根式，符合题意； C、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意； D、，能化简，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 3. 在下列算式中：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】只有同类二次根式才能合并，合并时系数相加减，被开方数不变，逐一计算四个式子即可判断正误． 【详解】解：① 与 不是同类二次根式，不能直接合并，∴①错误； ② ，∴②正确； ③ ，∴③错误； ④ ，∴④正确； 综上，正确的是②④． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】A 【解析】 【分析】分别梳理矩形和菱形的性质，对比各选项得到结论． 【详解】解：先整理矩形与菱形的相关性质： 矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等，两组对角分别相等. 菱形的性质：四条边相等，对边平行，对角线互相垂直且平分，两组对角分别相等. 逐一对比选项： A.对角线相等：矩形具有该性质，菱形不具有该性质，符合题目要求； B.对角线互相垂直：菱形具有该性质，矩形不具有该性质，不符合要求； C.对角线互相平分：矩形和菱形都具有该性质，不符合要求； D.两组对角分别相等：矩形和菱形都具有该性质，不符合要求． 5. 如图，是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，童师傅有3块薄木板，尺寸如下： ①号木板长3 m，宽2.7 m； ②号木板长2.8 m，宽2.8 m； ③号木板长4 m，宽2.4 m． 可以从这扇门通过的木板是（　　）号． A. ② B. ③ C. ②③ D. 都不能通过 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可． 【详解】解：因为，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于2.5米．所以选③号木板． 故选：B． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在Rt△ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 6. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到中点四边形EFGH，下列说法中正确的是（ ） A. 当AC⊥BD时，四边形EFGH是菱形 B. 当AC=BD时，四边形EFGH是矩形 C. 当AC⊥BD，AC=BD时，四边形EFGH是正方形 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH=BD， ∴EF∥GH，EF=GH， ∴四边形EFGH为平行四边形， 当AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形EFGH为矩形，A选项说法错误； 当AC=BD时，EH=EF， ∴四边形EFGH为菱形，B选项说法错误； 当AC⊥BD，AC=BD时，EF⊥EH，EF=EH， ∴四边形EFGH为正方形，C选项说法正确；D选项说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、正方形、矩形、菱形的判定定理是解题的关键． 7. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则最大正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3， 即S3=6+10+4+6=26． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积． 8. 如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ） A. 海里 B. 海里 C. 2海里 D. 2海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据方位图和勾股定理解题即可． 【详解】由题可知：， ∴海里， 故选D． 【点睛】本题考查方位角和勾股定理，正确识别方位角是解题的关键． 9. 如图，中，，分别是其角平分线和中线，过点B作于G，交于F，连接，则线段的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角形的中位线定理即可得到结论． 【详解】解：中，， ∴， ∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 10. 如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ④③② D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；根据勾股定理可知；通过等腰三角形中角度关系可知，即可证明；通过等高的三角形底边之比即可计算面积求解． 【详解】解：根据折叠可知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴①正确； ∵，， ∴， ， 设， 根据勾股定理可得，， 解得：， ∴， ∴②正确； ∵， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，且，，和等高， ∴， ∴， ∴④错误， ∴①②③正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 化简：______；_____；_____． 【答案】 ①. ②. 5 ③. 【解析】 【分析】对被开方数含分母的二次根式，通过分母有理化化为最简二次根式． 【详解】解：； ； ． 12. 已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式，多边形外角和定理是解题的关键． 根据题意，设这个多边形的边数为，由多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，可得，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得：，即这个多边形是六边形． 故答案为：六． 13. 已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为___________ 【答案】4 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理得出AO+BO=3，AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，求出2AO•BO=4，即可得出答案． 【详解】解：如图四边形ABCD是菱形，AC+BD=6， ∴AB=，AC⊥BD，AO=AC，BO=BD， ∴AO+BO=3， ∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9， 即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9， ∴2AO•BO=4， ∴菱形的面积=AC•BD=2AO•BO=4； 故答案为4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，掌握菱形的对角线互相垂直． 14. 如图，一株荷叶高出水面，一阵风吹过，荷叶被风吹的贴着水面，这时它偏离原来位置有远，则荷叶原来的高度是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得出△OHB是直角三角形，得出OH2＋BH2＝BO2，进而求出h，即可得出答案． 【详解】解：如图所示： 设水面的深度为OH＝h米，则荷叶的高度为BO＝（h＋1）米． 由于△OHB是直角三角形，而BH＝3米， 所以 OH2＋BH2＝BO2， 即h2＋32＝（h＋1）2， 解得：h＝4， 所以，h＋1＝5， 故填：5． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 15. 如图，在矩形中，M为边上一点，连接过点D作于E，若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据矩形性质和全等三角形的判定与性质证明得到，，进而得到，设，则，，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， ∴，则， 设， ∵， ∴，， 在中，由得 ，解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解答的关键． 16. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点E、P，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有______．（只填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②根据三角形中位线定理可作判断；③先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；④由三角形中线的性质可得：． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ∴，故③错误； ②由③知：是的中位线， ， ， ，故②正确； ④， ，故④正确； 故正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 三、解答题．（72分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把12化成，化成，48化成，在把4，，16开方出来，最后合并． （2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数部分与部分． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，最简二次根式．解决问题的关键是深刻理解最简二次根式的概念，熟练分解出能开得尽方的因式（因数），分母有理化因式（因数），合并同类二次根式．（1）先把各个根式化简，再合并最简同类二次根式．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数与无理数． 18. 先化简后计算：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图、在三角形支架中，，垂足为． （1）求的长． （2）试判断和的大小，说明理由． 【答案】（1） （2）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂线的定义得到，根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理逆定理得到，等量代换即可． 【小问1详解】 解：， ． ， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）得：， ． ， ， ， ． 20. 如图，的对角线相交于是等边三角形，且． （1）求的面积． （2）若点、分别是的中点，连接，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，进而得到，可知四边形是矩形，根据勾股定理求出的值，可知的面积 （2）连接，根据矩形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，根据30度角的性质得到，根据勾股定理求出，证明是等边三角形，可知． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，， 是等边三角形， ． ， ， ∴四边形是矩形． ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ∵矩形， ∴， ∵点F是的中点， ， 是等边三角形，点E是的中点， ， ， ∴， ， ， ∴是等边三角形， ． 21. 如图正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A为格点．仅用无刻度的直尺在给定的的网格中完成下列作图，保留作图痕迹． （1）作一个平行四边形，使．点P是任意一点，过点P作一条直线平分四边形的面积． （2）点C是格点，点B是网格线上的点，作一个格点P，使，且．在上作一点Q，使． （3）点是格点，点是网格线上的点，在上作一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可得，即可得到四边形是平行四边形，然后连接对角线的交点与点的直线即为直线，根据平行四边形是中心对称图形可得，直线平分平行四边形的面积； （2）取格点即为所求，此时由勾股定理以及逆定理即可得到为等腰直角三角形，故，取与格线的交点，连接并延长交格线于点，连接，与交点即为点，可得是的垂直平分线，则，然后根据等边对等角以及互余关系即可证明，同理可证明，则四边形是平行四边形，故； （3）取格点，连接与交点即为点，此时可证明，则可得到，而点为中点，故根据斜边上中线的性质得到． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点即为所求； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求， 22. 如图、在中，点E在上，． （1）若平分，求的面积． （2）若点E是的中点，点F是的中点，连接交于点G．求的长． 【答案】（1）32 （2）2 【解析】 【分析】（1）作于F，根据可知长度，根据角平分线以及平行线的性质可知，进而可用面积公式求解； （2）取DE中点H，连，可证是平行四边形，根据三角形的中位线以及平行四边形的性质即可求解． 【小问1详解】 作于F， ， 平分， ∴, ， ， ， 【小问2详解】 取DE中点H，连，则． ∵点F是的中点，点H是的中点， ∵点E是BC的中点，， ∴是平行四边形， ． 23. 如图，在菱形中，． （1）点分别是边的中点，分别连接．求证：是等边三角形． （2）连接对角线，点E在线段之间，将线段绕点A逆时针旋转得线段，点G是线段的中点，连接．试判断与的数量关系，并证明． （3）在（2）的条件下，若，请你直接写出的最小值为_______． 【答案】（1）证明见解析 （2）；证明见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）证明，即可求证； （2）延长到H，使，连接,证明是等边三角形，进而证明 ，根据三角形的中位线即可求解对应关系； （3）将转化成,当三点共线时最小． 【小问1详解】 证明：连接， ∵菱形 ∴等边，等边 ∵点E、F分别是的中点 在和中， 是等边三角形 【小问2详解】 解：，理由如下： 延长到H，使，连接． ∵点G是的中点， 是中位线， ∴ ∵菱形 ∴等边 ∵绕A逆时针旋转得线段AF 在和中 【小问3详解】 ， 当三点共线时最小，最小值是2． 24. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． （1）直接写出值：_______，_______； （2）正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． （3）如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 【答案】（1）4；4 （2）4; （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的非负性构造不等式即可求解； （2）证明，根据即可求解，再构造对应关系即可配方求得最小值； （3）延长到G，使，连接，证明，可知，再证，再根据三角形的中位线即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴， 则， ∴； 【小问2详解】 ∵正方形ABCD ∵正方形 在和 , 设,则， ∴ ， 当时，取得最小值，, 则 ∴的最小值为； 【小问3详解】 延长到G，使，连接 ∵点E是的中点， ∵正方形 , 在和中 在和中， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $