精品解析：北京市第四中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的值为（ ） 1 2 A. B. C. D. 2. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 抛红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.若事件：红色骰子的点数大于3；事件：两枚骰子的点数之和等于7，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（ ） A. B. C. D. 6. 某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（ ） A. 0.62 B. 0.84 C. 0.92 D. 0.98 7. 已知函数，，则“”是“函数无极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 9. 在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是（ ） 工作 效益 机器 一 二 三 四 五 甲 15 17 14 17 15 乙 22 23 21 20 20 丙 9 13 14 12 10 丁 7 9 11 9 11 戊 13 15 14 15 11 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______. 12. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为，则_____，_____. 14. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 15. 设函数，则 ①有极大值，但无最大值； ②有极小值，但无最小值； ③若方程有三个不等实根，则； ④，，函数的图象与直线恰有个公共点. 其中正确结论的编号为_____. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.） 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 17. 某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. （1）从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； （2）在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 18. 某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，. （1）求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； （2）两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列； （3）由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 20. 已知函数，. （1）若1是的极值点，求实数的值； （2）若，求证：； （3）已知函数在上无零点，求的取值范围. 21. 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. （1）判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. （2）若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （试卷满分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.） 1. 若离散型随机变量的分布列如下所示，则的值为（ ） 1 2 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知离散型随机变量分布列满足所有概率之和为且每个概率都大于等于. 根据题意列方程：  ，解得. 又  ， ， 符合概率非负的要求，故. 2. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以函数 的导函数. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】函数的定义域为，， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 4. 抛红、蓝两个质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数.若事件：红色骰子的点数大于3；事件：两枚骰子的点数之和等于7，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】抛红、蓝两个质地均匀的骰子，朝上的点数共有种， 其中红色骰子的点数大于3有种， 红色骰子的点数大于3且两枚骰子的点数之和等于7共有种， 则，，则. 5. 如图，“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，比欧洲发现早500年左右.则第2025行所有数的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】杨辉三角的第行对应二项式展开  的系数，即 ，这些系数的和为 ，因此第2025行所有数的和为 . 6. 某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（ ） A. 0.62 B. 0.84 C. 0.92 D. 0.98 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可． 【详解】设“此人能准时到达”为事件，“当天是晴天乘飞机”为事件，则“当天是雨天乘高铁”为事件， 由题可知，，， 所以， 故选：C． 7. 已知函数，，则“”是“函数无极值点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】对 求导得： ，则函数无极值点等价于导数恒不变号. 已知 ，若恒成立，需 对所有成立，即 ，得； 若恒成立，需 对所有成立，即 ，得. 因此，无极值点时，的取值范围是或. 充分性：若，则一定无极值点，充分性成立； 必要性：若无极值点，还可以满足，推不出，必要性不成立. 因此“”是“无极值点”的充分不必要条件. 8. 2024年9月28日哈六中组织百年校庆活动，有甲、乙、丙3名志愿者负责A，B，C，D等4个任务.每人至少负责一个任务，每个任务都有人负责，且甲不负责A任务的分配方法共有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】分别考虑甲负责1个任务和甲负责2个任务的情况，结合甲不负责A，可得答案. 【详解】因任务有4个，人只有三个，结合题意可知有1人负责两个任务. 若甲负责两个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 若甲负责1个任务，因甲不负责A任务，则有种分配方法，剩下的任务有种分配方法， 则此时的分配方法共有种； 综上，满足题意的分配方法共有种. 故选：C 9. 在函数的图像上存在两个不同点，使得关于直线的对称点在函数的图像上，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可转化为函数与函数有两个焦点，进而可得参数范围. 【详解】解：由指对函数性质可知，可转化为函数与函数有二个不同交点， 当时，不合题意； 当时，，有两个解， 设函数，， ，令，解得， 所以函数在单调递增，则单调递减， 所以， 又， 且当时，， 所以， 故选：C. 10. 某生产基地有五台机器设备，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作获得的效益值如表所示.若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列描述正确的是（ ） 工作 效益 机器 一 二 三 四 五 甲 15 17 14 17 15 乙 22 23 21 20 20 丙 9 13 14 12 10 丁 7 9 11 9 11 戊 13 15 14 15 11 A. 甲只能承担第四项工作 B. 乙不能承担第二项工作 C. 丙可以不承担第三项工作 D. 丁可以承担第三项工作 【答案】B 【解析】 【分析】先计算不同分配方案的总效益，得到总效益最大的所有合法分配，再逐一验证每个选项描述的正误. 【详解】若乙承担第二项工作，则乙获得效益23， 剩余工作为一、三、四、五，剩余机器甲、丙、丁、戊， 此时甲最大效益为17（工作四），丙最大效益14（工作三），剩余工作一、五， 丁选五得11，戊选一得13，总效益为  ，无法得到更高的总效益； 若乙不承担第二项工作，乙选择第一项工作获得效益22，可以得到两种总效益更高的分配： 方案1：甲→二(17)，丙→三(14)，丁→五(11)，戊→四(15)， 总效益： ； 方案2：甲→四(17)，丙→三(14)，丁→五(11)，戊→二(15)， 总效益： ； 因此总效益最大为79，所有最大总效益的分配中，乙都不承担第二项工作； 对于A：甲只能承担第四项工作，存在最大总效益分配（方案1）中甲承担第二项工作，A错误； 对于B：乙不能承担第二项工作， 若乙承担第二项工作，则此时最大总效益为： 乙二（23），甲四（17），戊一（13），丙三（14），丁五（11）， 仅为 ， 因此要获得最大总效益，乙不能承担第二项工作，B正确； 对于C：在已求得的两种总效益最大的分配方案中，丙均承担第三项工作. 则若丙不承担第三项工作，总效益均无法达到79，C错误； 对于D：在已求得的两种总效益最大的分配方案中，丁均承担第五项工作，则若丁承担第三项工作，总效益均无法达到79，D错误. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求切线与坐标轴所围成的三角形的面积，只须求出切线在坐标轴上的截距即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．最后求出切线的方程，从而问题解决． 【详解】依题意得，因此曲线在点处的切线的斜率， 所以相应的切线方程为， 当时，；当时，； 所以切线与坐标轴所围三角形的面积为. 故答案为：. 【点睛】本小题主要考查直线的方程、三角形的面积、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题. 12. 在的展开式中，的系数为_____.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项为， 令，解得， 所以的系数为. 13. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少一枚硬币正面向上时，就称这次试验成功，设在3次试验中成功次数为，则_____，_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可知，根据期望及方差公式计算即可. 【详解】由题意可知在一次抛掷中，成功的概率为，且， 所以；. 14. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】将已知条件转化为恒成立问题，通过分离参数求最值得到的取值范围. 【详解】因为 在单调递增， 所以 在恒成立， 所以在恒成立，令，则， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围是. 15. 设函数，则 ①有极大值，但无最大值； ②有极小值，但无最小值； ③若方程有三个不等实根，则； ④，，函数的图象与直线恰有个公共点. 其中正确结论的编号为_____. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先求导得到函数的单调区间与极值点，结合极限趋势分析的图像特征，再通过翻折变换得到的图像，逐一判断四个结论的正误. 【详解】∵ ，定义域为，求导得 . ∵ 恒成立， ∴ 当时，，故，单调递增； 当时，，故，单调递减； 当时，，故，单调递增. ∴ 是的极大值点，极大值为； 是的极小值点，极小值为. 分析的极限趋势： 当时，，指数函数衰减速度快于多项式增长速度，故； 当时，，故.其函数图象如下图所示： 对四个结论逐一判断： 对于①：在处取极大值，但时趋向正无穷，无最大值，故①正确. 对于②：在处取极小值，结合单调性与极限趋势，的最小值为，存在最小值，故②错误. 对于③：方程的实根个数即与的交点个数： 当时，与在上各有1个交点，共3个不等实根； 当或时，交点个数小于3； 当时，交点个数为2，故③正确. 对于④：将图像中轴下方的部分沿轴翻折得到的图像，其图象如下图所示： 由图象可得： 当时，与无交点，即存在； 当时，仅在或处有1个交点，即存在； 当时，交点为，共2个交点，即存在； 当时，在上各有1个交点，共3个交点，即存在； 当时，在上各有1个交点，共4个交点，即存在； 当时，在上各有1个交点，共5个交点，即存在. 故对任意，均存在使得交点个数为，④正确. 三、解答题（本大题共6小题，共85分.） 16. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）利用导数求出函数的单调区间和极值，再求出端点的函数值，比较大小可得结果. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， ，且， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 令，有，. 当变化时，，变化如下 1 3 + 0 - 0 + ↗ 3 ↘ ↗ 19 所以函数在单调递减，在，上单调递增， 而， ， 所以 ， . 17. 某食品厂为了检查流水线的生产情况，随机抽取流水线上20件产品作为样本，分别称出它们的重量（单位：克），将数据按照，，，分成5组.制成如右图所示的频率分布直方图. （1）从流水线上抽取3件产品，用频率估计概率，求恰有2件产品的重量超过505克的概率； （2）在样本中重量位于的产品中任取2件，设为重量低于495克的产品数量，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 【解析】 【小问1详解】 样本中，重量超过505克的频率为 ， 于是可估计任取一件产品，其重量超过505克的概率为. 设恰有2件产品重量超过505克为事件， . 【小问2详解】 样本中重量位于的产品共有 件， 其中重量低于495克的有3件. 所以的可能取值有0，1，2. ，， 的分布列为 0 1 2 的期望为. 18. 某公司准备对，两个项目进行竞标.已知两个项目竞标互不影响，项目资料审核通过即认为竞标成功.每个项目均有两次资料审核的机会，若第一次资料审核未通过，可通过增补资料进行第二次审核，若第一次资料审核通过，则无需进行第二次资料审核.经综合评估判断，该公司在，两个项目上首次资料审核通过的概率分别为，；若第一次没有通过，通过增补资料，第二次，两个项目资料审核通过的概率分别为，. （1）求该公司在第一次资料审核中恰有一个项目审核通过的概率； （2）两个项目中竞标成功的个数记为，求随机变量的分布列； （3）由于资金限制，该公司目前只能对两个项目中的一个进行投资，若，两个项目竞标成功，投资收益分别为220万元、300万元；若竞标失败，该公司将分别面临20万元、30万元的亏损.如果你是公司经理，那么你会选择哪个项目进行投资？请说明理由. 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 （3）项目，理由见解析【解析】 【分析】（1）利用对立事件、互斥事件加法公式结合独立事件乘法公式求解； （2）先计算每个项目最终成功的概率，确定的可能取值有0，1，2，计算相应的概率即可得 X 的分布列； （3）分别计算、B项目的期望收益并比较，选择期望收益更高的项目进行投资. 【小问1详解】 设，项目第一次资料审核通过为事件，.恰有一个项目通过为事件， 则，，. 所以； 【小问2详解】 的可能取值有0，1，2. 项目失败的概率为，项目成功的概率为， 项目失败的概率为，项目成功的概率为， 则， ， . 所以的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 记为项目的收益，则的可能取值有220，. ，， 所以 （万元） 记为项目的收益，则的可能取值有300，. ，， 所以 （万元） 因为，所以项目期望收益更大，应该选择项目进行投资. 19. 已知椭圆的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相切于点，与直线相交于点.在轴是否存在定点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）根据，，，求解即可； （2）设，直线的方程为，与椭圆方程联立，根据，可得，从而可得点坐标，设，根据求解即可. 【小问1详解】 因为， 令，得， 由已知， 又，， 解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设，由题知直线存在斜率设为， 则， 于是， 消得 则 ，得， 于是， 令，则， 设，则，. ， 所以，得. 所以存在点满足题意. 20. 已知函数，. （1）若1是的极值点，求实数的值； （2）若，求证：； （3）已知函数在上无零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再代入检验即可求出答案； （2）记，对求导证明，即可证明； （3），分为和两种情况分别讨论，在讨论时，再分为，和三种情况分别讨论，即可求出答案. 【小问1详解】 函数的定义域为，， 因为1是的极值点，所以，即， 当时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，符合题意，所以. 【小问2详解】 当时，，记. ，令，有， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 从而，所以，即. 【小问3详解】 因为，， 当，即时，， 所以在上单调递减， 因为， 所以在上无零点，符合题意； 当时，令，则， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 的最小值为， 当，即时，无零点，符合题意； 当时，有一个零点，不符合题意； 当时，，的最小值， 因为， 所以，使得，不符合题意； 综上，. 21. 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. （1）判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. （2）若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 【答案】（1）集合组1具有性质,集合组2不具有性质. （2）（i）证明见解析;（ii） 【解析】 【分析】（1）直接验证两个集合组是否满足条件：计算每个子集的元素个数和是否为12，检查任意两个子集的交集中元素个数是否不超过2，任意三个子集的交集中元素个数是否不超过1； （2）统计每个元素在子集中出现的次数，利用任意两个子集交不超过2以及任意三个子集交不超过1，得到关于次数的两个不等式，结合总次数为24，通过分析可知当子集个数小于或等于6时不等式无法成立，因此至少需要7个子集，再构造一组7个子集的例子验证条件全部满足. 【小问1详解】 因为 ， ， ， 所以集合组1具有性质； 因为 ，所以集合组2不具有性质. 【小问2详解】 （i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则  ，对任意 ， 由   得  ，于是 ，矛盾，故所有  . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $