北京市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 试卷满分150分，光试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1、已知数列{an}首项为a1=1，且a,=2am-1+1,圳a,为 (A)7 (B)15 (C)30 (D)31 2.下列求导正确的是 A(x+)'=1+ B(1og2.x)'=1 aIn 2 C.(3)=3*logs e D.(x2cos x)=-2xsin x 3、已知{a}是等差数列，且a5=11,a1=-1,此数列的首项与公差依次为 (A）19,-2 (B)21;-2 (C)15,-1 (D)16,-1 4.函数y=f(x)的图像经过原点，且它的导函数y=”(x)的图像是如图所示的一条直线，则 y=f(x)的图像不经过 (A)第一象限 B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ·5、从编号分别为1,2,3,4,5,6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个 小球最大编号为5的概率为 (B) c) (D) 1-2 6.函数f(x)=(x一a)‘-2(x-a)2在区间[2,3】上是减函数，则实数a的取值范围是 A)手 ()2 (C),2) D),2) 7.如果等差数列{an}的前20项的和为100，那么4，a,的最大值为 (A)25 (B)50 (C)100 (D)不存在 8.已知无穷等差数列{a}的公范d不为0，前n项和为Sn.则“S,行最小值”是“数列(a}单 逍递增”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 9.如图是函数y=∫(x)的导函数v=(x)的刚像，则下列说法锴误的是 (A)f(x)在x=2处取极大值 (B)f①)<(2) (C)(x)在(-2,5)上存在最小值 2 (D〉f(x)在(-3,5)上至多有3个零点 10.已知等差数列{a,}和{b,}的前16项均为正整数，且公差均不为0.若46+6=16，则4+66 的最小值为 (A)32 (B)16 C)12 (D)8 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11。同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设A=“甲骰子点数为3”，B=“两枚骰子点数之和 为8”，则P(B1)=一 12.函数f倒=2xcos2x-sin2x在x=牙处的切线方程为 13.已知数列{an}的前n项和为Sn=19n-2n2,则a4,=一，1anl的最小值为 14. 已知函数f(x)=x-伫，b>a>0,有fb)-f(a)>nb-lna成立，则m的取值范围 是 15.已知函数a)=a∈Ra≠士2)，给出如下四个结论： ①对任意a≠±2，f(x)都不是偶函数： ②任取a≠2,3x。>0，(x)在(-xo,x)上单调递减： ③任取u≠2,3x。>2,f(x)在(xo,∞)上单调递减： 第2页共4贝 北京四中20252026学年度第二学期期中试卷 ④存在a≠2，使得当x>0且x≠2时，f(x)>0恒成立； 其中所有正确结论的序号是一一一 三、解答题：本大题共6小题，共85分 16.设等差数列(a,)的公差不为0，a2=1,且a=d26· （】).求(a,)的通项公式： (Ⅱ)设数列(a,}的前n项和为S,求使Sn>35成立的n的最小值。 17.A1软件已经在我们的学习生活中广泛应用.为了解某市中学生和大学生对A软件的使用 情况，从该市随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款AI软件 结果如下： 软件一 软件二 软件三 软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对A1软件的喜爱互不彩响。 (1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使 用软件一的概率； (Ⅱ)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3 人.记X为这3人中最喜爱使用软件二的人数，求X的分布列和数学期望； (Ⅲ)记样本中的中学生最喜爱使用这四款软件的频率依次为，x,,x其方差为s；样本中的 大学生最喜爱使用这四款软件的频率依次为片，》y,其方差为；，：，⅓以的方 差为好.·写出s,欧，好的大小关系，（结论不要求证明） 18.“诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最 佳观赏期，为了解贷山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号 的网络搜索量（单位：万次)如下： 第3页共4页 北京四中2025~2026学年度第学期期中试卷 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6好 7哆 8号 9号 10分 11号 12号 把紫岚 6.2 8.1 6.1 7.2 8.1 7.4 6.2 6.5 6.4 8.3 8.1 6.3 假设该公园每天的搜索岸变化是相互独立的，用频率仙：计概率， (【)从2号至11号中任取1天，求当日的搜紫比共前后两日的搜索匙都低的概路： （1)在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索赴数据高于8万的天数为X,求随机变量 X的分布列： (1)在未来的日子里任取3天，求这3夫搜索数据中既有高于8万又有低于7万的数据 的按爷. 19. 已知函数fx)= (I)求f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值： (Ⅱ)求∫(x)过原点的切线方程。 20、己知函数/心=号式+x-2血x. (I)求f(x)在x=2处的切线方程； (Ⅱ)判断f(x)的单调性： (血）若不等式/>x-考在L,2]上无解，求a的取值范园。 21.已知项数为n的实数数列A:4,4,4m≥3)，给定正整数k(2≤k≤n-)，记 S,k)=a,+a4++a4k-.如果对于t=1,,n+1-k,都有S,)>0,则称数列A“k级恒正”，如 果对于1=1，，n+1-k,都有$，k)<0.则称数列A“k级恒负”、 (1)对于A:-1,-1,2,2,-1,-1,直接判断A是否“2级恒负”，是否“4级恒正”： (Ⅱ)当n=8时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列A: ()已知数列A既“k级恒正”又“k+1级恒负”，求n的最大值（用k表示）， r1石A时 北京四中20252026学年度第二学期期中考试 高二数学参考答案及评分标准 一、 选择题（每小题4分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A B B A D B 二、填空题（每小题5分，共25分） 8 2.xx+y+1-2=0 13.9,1 14.+o) 15.①②③ 注：13第1空3分，第2空2分：15选1个2分，选2个3分，错选多选0分 三、解答题（共85分) 16.（I)设等差数列{an}的公差为d,d≠0. 因为a=a2a6· 所以(1+d)2=1+4d, 解得d=2或d=0(舍去)· 所以{a,}的通项公式为an=a2+(n-2)d=2n-3. (Ⅱ)Sn=n2-2n, 依题意有n2-2n>35,解得n>7或n<-5（舍去)， 使S,>35成立的n的最小值为8. (第1问7分，第2问6分) 17.（I)记“中学生最喜爱使用软件一”为事件A, “大学生最喜爱使用软件一”为事件B, 200名中学生中有80名满足条件，80名大学生中有30名满足条件， 则A=别-号A-8-号 则P4B=R0=若 第1页共5页 北京四中2025~2026学年度第二学期期中考试 (Ⅱ)抽取的8人中，最喜爱软件二的人数为8×20=2， 80 X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)= C: 3PK=2=g C 28 所以X的分布列为 0 1 2 54 2 3 28 X的数学期望Ex=0x点+1× 14 +2×33 2 2841 (Ⅲ)s<s子<s. （第1问4分，第2问6分，第3问3分) 18.（I)设“当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低”为事件A, 总天数10天，满足条件的天数为3天(3号、7号、9号)， 西此0：音 (IⅡ)在未来的日子里任取一天，设“当日搜索量数据高于8万”为事件B, 12天中，搜索量高于8万的有：2号、5号、10号、11号，共4天， 用频率估计概率，风)合 PX-0- x=》=G×-号 x-2=×号异 x=--动 分布列为 X 0 1 2 3 27 49 2-9 27 第2页共5页 北京四中2025~2026学年度第二学期期中考试 (Ⅲ)设“这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据”为事件E, “第i天高于8万”为事件B,“第i天低于7万”为事件C,“第i天不低于7 万且不高于8万”为事件D,（i=1,2,3), 由(I)可得P)=同理可得PC)=PD)=名则 P(E)=P(BB2C3+.+B,C2C3++B,C2D+) (第1问4分，第2问6分，第3问4分) 19.（I)f'(x)=e(2x-x2)=x(2-x)e", 令'(x)=0得x=0或x=2, f1=e,0)=0,f2②=总，f)=2, 4 -1 (-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3) 3 '(x) 0 0 f(x) 0 4 e ↑ e 故最大值为f(-)=e,最小值为f(0)=0. (IⅡ)设切点为(x,∫(x),切线斜率k='(x), 切线过原点得∫(x)='(x)x。, 即蕊-%2， 解得x。=0或x。=1, 当。=0时，切线为y=0:当x。=1时，切线为y=二x。 综上，所求切线方程为y=0和y= (第1问9分，第2问6分) 20.(1)f2)=8+2-4n2=14 -41n2, 第3页共5页 北京四中2025~2026学年度第二学期期中考试 f'(x)=x2+1-2lnx+1)=x2-2lnx-1, f'(2)=4-2ln2-1=3-2ln2, 切线方程为y=6-2h2Xx-2)+号4h2,即日-2h2x-y-号=0 (IⅡ)f'(x)=x2-2Inx-1, 令g(=x2-2hx-1,则g=2x-2=22-, 令g'(x)=0,则x=1,g(0)=0 x (0,1) 1 (1,+o0） g'(x) 0 + 8(x) ↓ 0 所以g(x)在x=1处取得极小值0， 所以'(x)≥0（当且仅当x=1时为零)， 因此∫(x)在(0，+o)上单调递增. ()不等式无解，即对任意x∈，2]有/心)≤ax-号 4 4 f(x)+ 即a2 3 4 (x)+ 令h(x)=一 3- x2+1-2nx+4 x 2.24_2(x-2(x+1)2 (x)=2x-三 3x3x2 3x2 则在[，2]上，h'(x)≤0，h(x)单调递减， 因此sh0-写10+等， 33 因此a的取值范围是 (第1问4分，第2问5分，第3问6分) 21.（I)A不是“2级恒负”，是“4级恒正” (Ⅱ)假设存在“2级恒正”且“7级恒负”的数列. S(1,2)+S(2,2)+…+S(7,2)=4,+2a2+2a3+…+2a,+ag>0, 第4页共5页 北京四中2025~2026学年度第二学期期中考试 另一方面， S(1,7)+S(2,7)=a1+2a2+2a3+…+2a2+4g<0, 矛盾，所以不存在既是“2级恒正”又是“7级恒负”的数列. (IⅢ)n的最大值为2k-1. 当n=2k-1时，构造数列A如下： -山山 k-1个 k-1个 即第k个数是k-其余数全为-山，则 S化，k=-k+1+k-=>0,1s1≤n-k+1, 22 而 5k+0=水+k-分-分01s1sn-8 所以数列A为既“k级恒正”又“k+1级恒负”的数列. 下面证明：当≥2k时，不存在既“k级恒正”又“k+1级恒负”的数列 假设存在这样的数列，从数列A中取前2k项，记为数列B,则数列B满足既 “k级恒正”又“k+1级恒负”. 一方面， S0.+S2,++50k+1,k)=∑a,+au20 另一方面： Sl,k+1)+S(2,k+1)+…+S(k,k+)=∑ia,+a2k1-)<0 矛盾，所以当n≥2k时，不存在既“k级恒正”又“k+1级恒负”的数列. 所以n的最大值为2k-1. (第1问4分，第2问5分，第3问6分) 第5页共5页