精品解析：北京市通州区潞河中学于家务校区2025-2026学年高二第二学期期中阶段性学习反馈数学试卷

2025-2026第二学期期中阶段性学习反馈 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 计算：（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ） A. B. C. 24 D. 12 5. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 81 9. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题.共5小题，每小题5分，共25分. 11. 一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为_______ 12. 在的二项展开式中，含项的系数是______. 13. 已知，则_____. 14. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 15. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是____ 三、解答题.共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； 18. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）求在上的最大值和最小值. 19. 已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球. （1）在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率； （2）设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望. 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间. 21. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）当时，判断函数零点的个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026第二学期期中阶段性学习反馈 第一部分(选择题 共40分) 一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ） A. 12种 B. 7种 C. 4种 D. 3种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案. 【详解】依题意，不同的选法为. 故选：B 2. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数的定义和求导公式进行求解. 【详解】由题意， 因为，所以，即； 故选：C. 3. 计算：（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由排列数计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 4. 3名同学分别报名参加足球队、篮球队、排球队、乒乓球队，每人限报一个运动队，不同的报名方法种数有（ ） A. B. C. 24 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步乘法计算原理可得答案. 【详解】不同的报名方法种数有. 故选：A. 5. 随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 0.3 0.1 则（ ） A. 0.5 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质可得的值，再根据随机变量求解概率即可. 【详解】由题可得，解得， 所以. 故选：A. 6. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 7. 若函数的导函数的图象如图所示，则的极小值点是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点的定义即可结合导函数的图象求解. 【详解】根据极小值点的定义可知，极小值点导数左负右正，故只有当时，函数取得极小值，故极小值点为2. 故选：D 8. 已知二项式展开式中所有项的二项式系数和为16，则展开式中所有项的系数和为（ ） A. 4 B. 16 C. 1 D. 81 【答案】D 【解析】 【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为16 所以，解得， 所以展开式中所有项的系数和为. 9. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设“取出的球来自甲袋”为事件，“取出的球来自乙袋”为事件，“取出的球来自丙袋”为事件，“该球为白球”为事件， 则. 故选：B. 10. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由恒成立，通过分离参数求最值即可求解. 【详解】由，得恒成立， 由的解析式可知其在区间上单调递增， 所以， 则，则的最大值为． 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题.共5小题，每小题5分，共25分. 11. 一个物体的运动方程是，则物体在时的瞬时速度为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】根据瞬时速度的概念求极限即可. 【详解】由条件可得：， 故答案为：4 12. 在的二项展开式中，含项的系数是______. 【答案】15 【解析】 【详解】二项式的展开式的通项为， 令，可得， 所以含项的系数是. 13. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的求导法则即可求解. 【详解】, 故答案为： 14. 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解. 【详解】, 因为的展开式通项为， 令或，解得：或， 所以的系数为：. 故答案为：. 15. 已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得即有两个不等的实数解，令，求出导数和单调区间、极值、最值，画出图象，通过图象即可得到结论. 【详解】函数恰有两个零点等价于即有两个不等的实数解， 令，， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在处取极大值，极大值为，且极大值也为的最大值； 当时，，当时，， 画出的图象如下： 由图可得当时，与有两个交点，即方程有两个实数根，函数有两个零点； 故答案为： 三、解答题.共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. （1）若要求选出的三人中既有男生又有女生，求共有多少种选择方法? （2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法? 【答案】（1）96 （2）360 【解析】 【小问1详解】 从10名志愿者中，选出3人共有种， 其中全部为男生有种，全部为女生有种， 则选出的三人中既有男生又有女生，共有种选择方法. 【小问2详解】 选出的3名志愿者中有2男1女，共有种，将其进行分配共有种， 故共有种不同的选派方法. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，可得出的值； （2）分别令、，两式相加可得出的值. 【小问1详解】 因为，， 令得，. 【小问2详解】 因为，， 令得，， 令得，， 上述两个等式相减得，故. 18. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） 单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为2，极小值为； （2） 最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域，对原函数求导，令导数为0求得临界点，划分区间后判断各区间导数符号得到单调区间，再根据单调性确定极值； （2）利用第一问得到的区间内极值，再计算区间端点处的函数值，将极值与端点函数值比较大小，即可得到闭区间的最值. 【小问1详解】 函数定义域为，对求导： ，令，解得或， 当 时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取极大值 ；在处取极小值 . 因此的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为. 【小问2详解】 闭区间连续函数的最值只需要比较极值点和端点的函数值. 由于 ，，， ， 因此在上的最大值为，最小值为. 19. 已知袋中装有3个红球和2个黄球，这5个球除颜色外完全相同，现从该袋中不放回地随机摸出2个球. （1）在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率； （2）设表示摸出红球的个数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望. 【解析】 【分析】（1）确定第一次摸出红球后剩余的球总数与红球个数，直接计算概率； （2）先确定的所有可能取值，分别计算各取值的概率，列出分布列后再计算期望即可. 【小问1详解】 设事件为“第1次摸出红球”，事件为“第2次摸出红球”. 第1次摸出红球后，袋中剩余2个红球、2个黄球，共4个球， 因此第2次摸出红球的概率为：. 【小问2详解】 X为摸出红球的个数，所有可能取值为，从5个球中摸2个，总组合数为，分别计算概率： ； ； . 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 20. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【小问1详解】 ， 由得曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由得或；得； 故的单调递增区间为和，单调递减区间为. 21. 已知函数，其中. （1）求函数的单调区间； （2）当时，判断函数零点的个数. 【答案】（1）答案见解析 （2）一个零点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，分、、讨论可得答案； （2）由（1）当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为可得函数的极大值，再利用导数证明可得答案. 【小问1详解】 ， 令得， 当时，，则函数在上单调递增， 当时， 或时，， 时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时， 或时，，时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为. 【小问2详解】 当时，函数仅有一个零点的个数，理由如下， 由（1）得当时，函数在，单调递增，在单调递减； 则函数的极大值为， 且极小值为，令，， 则，， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， ， 因为，所以，，可得， 如下图，作出函数的大致图象， 由图象可得当时，函数仅有一个零点的个数. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用导数研究函数的单调性与极值，考查数形结合思想与运算求解能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $