小升初·终极模式04：易错攻略模式-2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴（原卷版+解析版）通用版

目 录 【易错点01】循环小数与周期规律问题 5 【易错点02】不同类型数之间的大小比较 6 【易错点03】不同类型数之间的综合转化 6 【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法 8 【易错点05】倒数的性质应用 8 【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用 9 【易错点07】稍复杂的最小公倍数的应用题 11 【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题 11 【易错点09】混淆单位“1”与总量 12 【易错点10】混淆分量和数量 13 【易错点11】在算式中比较不同分数的大小 14 【易错点12】温度与温差 15 【易错点13】负数与百分率的综合应用问题 15 【易错点14】计算星期 17 【易错点15】将错就错 18 【易错点16】百分率的增减变化问题 18 【易错点17】“买几送几”与折扣的关系 20 【易错点18】百分率与生活的结合 21 【易错点19】利润问题 23 【易错点20】利用等式的性质求未知数 24 【易错点21】定义新运算和程序框图 25 【易错点22】量率对应问题 26 【易错点23】促销问题 27 【易错点24】比与分数应用题的结合 30 【易错点25】图形规律探索 31 【易错点26】用字母表示数字 32 【易错点27】等量代换问题 33 【易错点28】齿轮配套问题 34 【易错点29】比与等腰三角形的结合 35 【易错点30】根据算式判断比例关系 36 【易错点31】不变量问题 37 【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用 39 【易错点33】求比问题 41 【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 42 【易错点35】推理问题 43 【易错点36】鸡兔同笼问题 45 【易错点37】指针夹角问题 46 【易错点38】外方内圆与外圆内方 47 【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形 48 【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较 49 【易错点41】复杂的阴影图形面积计算 51 【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法 53 【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 55 【易错点44】等积变形问题 56 【易错点45】立体图形的切拼问题 57 2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴 小升初·终极模式04：易错攻略模式 模式说明： 易错攻略模式以“典例系列”为根基，以小升初真题为蓝本，选取易错易混考点，设置易错点拨和两道考题，建议讲解与训练并重。 【易错点01】循环小数与周期规律问题 【易错点拨】找错或漏算循环小数的循环节，混淆新周期或步骤不严密。 1．循环小数50.405405…小数部分第56位上的数字是( )。 【答案】0 【分析】观察可知，循环小数50.405405…的循环节是405，把一个循环节看作一个周期，用56除以循环节中的数字个数，求出商为整数时候的余数，商表示56里面有多少个周期，余数是几，就按从左往右的顺序数出循环节的第几位数字，据此解答。 【详解】50.405405…的循环节是405，一共有3个数字。 因为循环节的第2位数字是0，所以循环小数50.405405…的小数部分第56位上的数字是0。 2．将化成小数，小数部分第100位上的数字是( )。 【答案】8 【分析】把化成小数是，循环节是6位数字，用100除以6，商为循环节数，根据余数即可确定小数部分第100位上的数字。 【详解】＝ 100÷6＝16……4 每个循环节的第四个数字是8。 小数部分第100位上的数字是8。 【易错点02】不同类型数之间的大小比较 【易错点拨】未掌握多类数的互化方法，未严格按照数的大小比较方法进行比较。 1．在、、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是( )。 【答案】 【分析】先把循环小数的简写形式写成无限小数形式，再把分数和百分数转化成小数，然后按照小数大小比较的方法进行比较，先看它们的整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同的，就比较十分位，十分位大的数就大，以此类推，依次往后比较百分位、千分位……从而确定最大的数。 【详解】＝0.2727… ＝0.2777… 27.2%＝0.272 0.2777…＞0.277＞0.2727…＞0.272 即＞0.277＞＞27.2% 所以最大的数是。 2．在π、3.14、31.4%、中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【答案】 31.4% 【分析】比较不同类型数的大小，需先将所有数统一转化为相同形式（如小数），再进行比较。 【详解】 ，则。 所以最大的数是，最小的数是31.4%。 【易错点03】不同类型数之间的综合转化 【易错点拨】未掌握多类数的互化方法，计算不够严密。 1．＝( )∶8＝0.75＝( )÷12＝( )%＝( )折。 【答案】3；6；9；75；七五 【分析】根据“分子＝分母×分数值”，分母是4，分数值是0.75，可得分子为4×0.75＝3，即，第一空填3。 根据“比的前项＝比的后项×比值”，比的后项为8，比值为0.75，可得比的前项为8×0.75＝6，即6∶8＝0.75，第二空填6。 根据“被除数＝除数×商”，除数是12，商是0.75，可得被除数为12×0.75＝9，即9÷12＝0.75，第三空填9。 把0.75转化为百分数，将小数点向右移动两位，再加上百分号，可得0.75＝75%，第四空填75。 根据折扣的定义，几折就是百分之几十，0.75＝75%，所以75%就是七五折，第五空填七五。 【详解】由分析可知： ＝6∶8＝0.75＝9÷12＝75%＝七五折 2．( )∶24＝0.25＝( )%＝＝( )折＝( )（填成数）。 【答案】6；25；12；二五；二成五 【分析】因为0.25＝，根据比与分数的关系＝1∶4，再根据比的基本性质，24÷4＝6，即4乘了6，则1也要乘6，1×6＝6，所以6∶24＝0.25。第一空填6。 把0.25的小数点向右移动两位，再加上百分号，即0.25＝25%。第二空填25。 已知0.25＝，＝，分子1变成3，乘了3，根据分数的基本性质，分母4也要乘3，4×3＝12，所以0.25＝。第三空填12。 百分之几十就是几折，百分之几十几就是几几折，25%就是二五折。第四空填二五。 百分之几十就是几成，百分之几十几就是几成几，25%就是二成五。第五空填二成五。 【详解】由分析可知： 6∶24＝0.25＝25%＝＝二五折＝二成五 【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法 【易错点拨】未掌握最大公因数和最小公倍数的基础求法，未掌握在特殊情境下找最大公因数和最小公倍数。 1．两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 【答案】 a b ab 1 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的一个，叫做它们的最大公因数； 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数； 两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公因数是1。 【详解】a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是a，最大公因数是b；a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是ab，最大公因数是1。 2．A＝m×3×5，B＝m×3×7（m是大于0的自然数），如果A和B的最大公因数是6，则A和B的最小公倍数是( )。 【答案】210 【分析】两个数的最小公倍数是它们共有的质因数与各自独有的质因数的乘积。根据A和B的最大公因数是6，求出m，然后再求最小公倍数。 【详解】A＝m×3×5 B＝m×3×7 A和B的最大公因数是3×m＝6 所以m＝2 A和B的最小公倍数是3×2×5×7＝210。 【易错点05】倒数的性质应用 【易错点拨】未掌握倒数的性质，不能灵活的运用倒数解题。 1．如果和互为倒数，则( )。 【答案】 6 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，除以一个数（0除外）等于乘这个数的倒数，据此计算化简即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ 因为，即 所以如果和互为倒数，则6。 2．如果x和y互为倒数，且，那么15a＝( )。 【答案】3 【分析】根据比例的基本性质“两个外项之积等于两个内项之积”得5a＝xy；x和y互为倒数，那么xy的乘积是1，说明5a＝1；然后根据等式的性质，方程两边同时除以5计算出a的值；再将a的值代入15a中求出结果即可。 【详解】由得5a＝xy 已知x和y互为倒数，那么5a＝xy＝1。 5a＝1 解：5a÷5＝1÷5 a＝0.2 当a＝0.2时，15a＝15×0.2＝3。 所以，15a＝3。 【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用 【易错点拨】未掌握几类数的基本概念，未能记住常考的几个特殊数字。 1．a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a＋b＝16－c，则的积是( )。 【答案】40 【分析】合数：指自然数中除了能被1和它本身整除外，还能被其他的数整除的数。“0”“1”既不是质数也不是合数。最小的合数是4。质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 【详解】c是最小的合数是4，16－c＝16－4＝12； 2a＋b＝16－c＝12，则b＝12－2a； 因为2a一定是偶数，（12－2a）也一定是偶数 即b是偶数，由题知b是质数，既是质数又是偶数的只有2，所以b＝2 2a＋2＝12 解：2a＝10 a＝5 a×b×c＝5×2×4＝40 所以 �� × �� × �� 的积是40。 【点睛】明确质数里只有2一个偶数，除了2都是奇数是解题关键。 2．有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成两个质数相加的和；③这个数可以写成两个不同质数相乘的积。这个数是( )。 【答案】15 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 条件①：该数减1是偶数，说明这个数是奇数，列举出20以内所有的奇数； 条件③：该数是两个不同质数的积，列举出20以内所有的质数；根据偶数×奇数＝偶数，排除2与其它质数的乘积，列举出除2以外其他两个质数的乘法组合，排除乘积大于20的组合； 利用条件②验证这个数能否写成两个质数之和，进而确定这个数。 【详解】20以内的奇数为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19； 该数是两个不同质数的积，因为偶数×奇数＝偶数，排除2与其它质数的乘积，则可能的组合有： 3×5＝15，15是20以内的奇数，符合条件①；15＝2＋13，2和13均为质数，符合条件②； 3×7＝21，21＞20，排除； 后面组合的积都大于20，排除。 所以，这个数是（15）。 【易错点07】稍复杂的最小公倍数的应用题 【易错点拨】未掌握最小公倍数应用题的常规解法，特殊类最小公倍数特殊处理。 1．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，说明这些鸡蛋的总个数比5和6的公倍数还多2； 先求出5和6的最小公倍数，再找出在80到100之间的公倍数，最后再加上2个，即是这些鸡蛋的总个数。 【详解】5和6的最小公倍数是：5×6＝30 30在80到100之间的公倍数是：30×3＝90 90＋2＝92（个） 答：小红家有92个鸡蛋。 2．士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 【答案】59人 【分析】根据题意可知，这批士兵人数是6的倍数加上1人；4的倍数加上1人；5的倍数加上1人，也就是6，4，5最小公倍数减去1，根据求最小公倍数的方法：几个数的共有质因数与每一个数独有质因数的连乘积；如果这几个数是倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果这几个数是互质数，最小公倍数为几个数的连乘积，据此解答。 【详解】6＝2×3 4＝2×2 5＝1×5 6，4，5的最小公倍数是3×2×2×5＝60。 60－1＝59（人） 答：这批士兵至少有59人。 【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题 【易错点拨】未掌握该类问题的常用解法，混淆和差倍的不同情况。 1．一个两位小数，若将它的小数点向右移一位，则得到一个新的小数。已知这个新的小数与原两位小数之和是7.92，那么原两位小数是( )。 【答案】0.72 【分析】一个两位小数，若将它的小数点向右移一位，得到的新小数是原小数的10倍，两数之和是7.92，根据和倍问题的求法，求出一倍数就是原两位小数。 【详解】7.92÷（1＋10） ＝7.92÷11 ＝0.72 【点睛】本题考查了小数点的移动和和倍问题，较小数＝和÷（倍数＋1）。 2．一个两位小数，去掉小数点后比原来数大14.85，这个两位小数是( )。 【答案】0.15 【分析】一个两位小数，去掉小数点相当于扩大到原来的100倍，增大的部分相当于原数的99倍，则用差除以99即可求出这个两位小数是多少。 【详解】14.85÷（100－1） ＝14.85÷99 ＝0.15 一个两位小数，去掉小数点后比原数大14.85，这个两位小数是0.15。 【易错点09】混淆单位“1”与总量 【易错点拨】未能理解单位“1”与总量，混淆二者概念。 1．把3米长的铁丝平均分成5段，每段长( )米，每段是全长的( )。 【答案】 /0.6 【分析】把这根铁丝的长度看作单位“1”。 根据除法的意义，把3米平均分成5段，用除法计算； 根据分数的意义，把单位“1”平均分成5段，每段是全长的。 【详解】（米） 2．把一根5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的( )，每段长( )米。 【答案】 【分析】把绳子的总长度看作单位“1”，用1除以截成的段数即可得到每段是全长的几分之几；用绳子的总长度除以截成的段数即可得到每段长多少米。 【详解】1÷6＝ 5÷6＝（米） 所以把一根5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的，每段长米。 【易错点10】混淆分量和数量 【易错点拨】未能理解分量和数量，混淆二者概念。 1．把一根绳子截成两段，第一段占全长的，第二段长米，两段的长度相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．同样长 D．无法比较 【答案】B 【分析】将整根绳子的长度看作单位“1”，第一段占全长的，则第二段占全长的，比较两段绳子占全长的分率即可。 【详解】 第二段占全长的分率＞第一段占全长的分率，则第二段绳子的长＞第一段绳子的长。 即两段的长度相比第二段长。 故答案为：B 2．两根同样长的电线，都用去一部分后，第一根剩下它的，第二根剩下米。那么两根电线用去部分相比较，( )。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较 【答案】D 【分析】分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成的份数，分子表示占其中的几份；第一根剩下它的，表示把第一根电线的长度看作单位“1”，平均分成9份，还剩下4份，但是电线的长度未知，所以无法确定4份对应的长度是多少米，据此解答。 【详解】根据分析可知：因为电线的长度未知，所以第一根电线剩下的长度也未知，也就无法和第二根剩下的长度比较，无法比较剩下的长度，也就无法确定两根电线哪根用去的部分更长；所以两根电线用去的部分无法比较。 故答案为：D 【易错点11】在算式中比较不同分数的大小 【易错点拨】未掌握通用解法来比较算式中的异分母分数大小比较。 1．已知a、b、c均为非零数，并且，那么最大的是( )。 【答案】b 【分析】假设，根据商×除数＝被除数，积÷因数＝另一个因数，分别计算出a、b、c，比较即可。 【详解】假设 a＝1× b＝1÷ c＝1÷1＝1 ＞1＞，最大的是b。 2．如果A÷＝B×＝C÷（A、B、C≠0），则A、B、C三个数中( )最大。 【答案】C 【分析】三个算式的计算结果相等，可以设计算结果都是1；根据被除数＝商×除数，因数＝积÷另一个因数，分别求出A、B、C的值，再通分化成同分母的分数比较大小：分母相同时，分子越大，分数就越大。 【详解】设A÷＝B×＝C÷＝1 A÷＝1，则A＝； B×＝1，则B＝； C÷＝1，则C＝； ＝＝ ＝＝ ＝＝ 因为＞＞，所以＞＞； 所以A、B、C三个数中C最大。 【点睛】也可以将分数除法转化成分数乘法，再比较三个乘法算式中分数的大小；根据积相等时，其中一个因数越大，则另一个因数反而越小，找出A、B、C中最大的数。 【易错点12】温度与温差 【易错点拨】未掌握负数情境下求温差的方法。 1．温度越低就越冷，﹣4℃和﹣16℃相比，( )温度低。 【答案】﹣16℃ 【分析】负数大小比较的方法：数字越大，这个数越小，反之则越大，据此解答即可。 【详解】﹣4℃＞﹣16℃，所以﹣16℃温度低。 【点睛】熟练掌握负数大小比较的方法是解答本题的关键。 2．冬季的一天，室内温度为8℃，室外温度为零下8℃，则室内室外温差为( )℃。 【答案】16 【分析】根据题意，室内温度为8℃，室外温度为零下8℃，8℃与0℃相差8℃，零下8℃与0℃相差8℃，则室内室外温差为：8＋8＝16（℃）。 【详解】8＋8＝16（℃） 所以，室内室外温差为16℃。 【易错点13】负数与百分率的综合应用问题 【易错点拨】综合情境下，能力要求较高。 1．乒乓球是中国国球，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种。标准的比赛用球（赛璐珞球）质量是每粒2.5±0.2g。某次抽检五粒球的质量分别是2.56g、2.61g、2.73g、2.58g和2.50g，这些乒乓球的合格率为( )%。 【答案】80 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。“2.5±0.2g ”的含义，即2.5g是这种比赛用球的标准净重，实际每粒球的质量最多不超过（2.5＋0.2）g，最少不低于（2.5－0.2）g，比较抽检的五粒球的质量，质量在范围内的是合格的粒数，然后根据“合格率＝合格的粒数÷总粒数×100%”，代入数据计算即可。 【详解】最多不超过：2.5＋0.2＝2.7（g） 最少不低于：2.5－0.2＝2.3（g） 2.3g＜标准的比赛用球的质量＜2.7g 2.3＜2.56＜2.7，合格； 2.3＜2.61＜2.7，合格； 2.73＞2.7，不合格； 2.3＜2.58＜2.7，合格； 2.3＜2.50＜2.7，合格； 抽检的五粒球的质量有1粒不合格，4粒合格； 合格率为： 4÷5×100% ＝0.8×100% ＝80% 【点睛】本题考查正负数的意义及应用和百分率的计算，知道以哪个数为标准，规定超出标准的为正，低于标准的为负；明确求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。 2．体育老师对某班男生进行引体向上的测试，连续做7个为达标记为0，超过7个的个数用正数表示，不足7个的个数用负数表示。其中5个男生的成绩分别是：﹣2、﹣1、0、1、2这5个男生的达标率是( )%，完成个数最多的男生做了( )个引体向上。 【答案】 60 9 【分析】由题意可知，成绩为0、1、2的同学测试成绩达标，达标率＝达标人数÷总人数×100%；连续做7个标记为0，2表示比7个多2个，此时做引体向上的个数最多，据此解答。 【详解】3÷5×100% ＝0.6×100% ＝60% 所以，这5个男生的达标率是60%。 7＋2＝9（个） 所以，完成个数最多的男生做了9个引体向上。 【点睛】掌握正负数的意义和一个数占另一个数百分之几的计算方法是解答题目的关键。 【易错点14】计算星期 【易错点拨】未掌握周期问题和时间的推算方法。 1．今年教师节是星期二，再过60天是星期( )，明年元旦是星期( )。 【答案】 六 三 【分析】教师节是9月10日，一周有7天，把7天看作一个周期，用60天除以7，如果可以整除，那么60天后也是星期二，如果不能整除，余数是几，就从星期二往后推几天； 先根据1、3、5、7、8、10、12是大月有31天；4、6、9、11是小月有30天，计算9月10日到明年的1月1日有多少天，再根据上述方法列式计算即可。 【详解】60÷7＝8（个）……4（天） 2＋4＝6，所以星期二，再过60天是星期六； （30－10）＋31＋30＋31＋1 ＝20＋31＋30＋31＋1 ＝51＋30＋31＋1 ＝81＋31＋1 ＝112＋1 ＝113（天） 113÷7＝16（个）……1（天） 2＋1＝3，明年元旦是星期三。 所以今年教师节是星期二，再过60天是星期六，明年元旦是星期三。 2．某年的七月里有5个星期三，4个星期四，则这年的7月1日是星期( )。 【答案】一 【分析】一周有7天，用除法求出七月31天里有几周，余几天，因为某年的七月里有5个星期三，4个星期四，那么余数表示最后的几天里一定包含一个星期三，但不包含星期四，由此确定七月的最后一天31日是星期几；进而得出七月每个星期三分别是几号，倒推出7月1日是星期几。 【详解】31÷7＝4（周）……3（天） 因为星期三比星期四多一个，所以余下的3天是星期一、星期二、星期三。 七月的每周三分别是3日、10日、17日、24日、31日（共5次），7月3日是星期三，那么7月1日是星期一。 所以，这年的7月1日是星期（一）。 【易错点15】将错就错 【易错点拨】未掌握“将错就错”题型的解法。 1．玲玲在计算4×（□＋9）时，错看成了4×□＋9，她得到的结果比正确结果少( )。 【答案】27 【分析】根据题意，将“4×（□＋9）”减去“4×□＋9”求出的差就是玲玲得到的结果比正确答案少出的数值。计算时注意“4×（□＋9）”应先利用乘法分配律展开。 【详解】4×（□＋9）－（4×□＋9） ＝4□＋36－4□－9 ＝36－9 ＝27 她得到的结果比正确结果少27。 2．小明在计算×（☐－8）时，错看成了×☐－8，他得到的结果比正确结果少( )。 【答案】3 【分析】根据分数乘法的分配律得到式子，再将化简后的式子减去错看成的式子，计算得出答案。 【详解】×（☐－8）－（×☐－8） ＝×☐－×8－×☐＋8 ＝×☐－×☐－5＋8 ＝8−5 ＝3，即他得到的结果比正确结果少3。 【点睛】本题主要考查的是分数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握分数乘法运算法则，进而得出答案。 【易错点16】百分率的增减变化问题 【易错点拨】未掌握单位“1”的不同变化。 1．一件商品先涨价20%，再降价20%后售价为96元，这件商品的原价是( )元；若先降价20%，再涨价( )%才能恢复原价。 【答案】 100 25 【分析】由于降价20%后售价是96元，把降价前价格看作单位“1”，据此求出降价前的价格；再把原价看作单位“1”，求出原价；降价20%，是把原价看作单位“1”，求出降价后的价格；要想求涨百分之几才能恢复原卷，用现价与原价的差值除以降价后的价格再乘100%，求出需要再涨价百分之几。 【详解】涨价后的价格：96÷（1−20%） ＝96÷0.8 ＝120（元） 原价：120÷（1＋20%） ＝120÷1.2 ＝100（元） 降价后的价格：100×（1−20%） ＝100×0.8 ＝80（元） 涨价百分比：（100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 2．一个正方形的一边减少10%，另一边增加10%，得到的长方形的面积是原正方形面积的( )。 【答案】99%/ 【分析】假设正方形的边长10厘米，将正方形边长看作单位“1”，一边减少10%，是正方形边长的（1－10%），另一边增加10%，是正方形边长的（1＋10%），正方形边长×减少后的对应百分率＝长方形的宽，正方形边长×增加后的对应百分率＝长方形的长，根据长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长，分别计算出得到的长方形和原正方形面积，得到的长方形的面积÷原正方形面积＝得到的长方形的面积是原正方形面积的百分之几或几分之几。 【详解】假设正方形的边长10厘米。 10×（1－10%） ＝10×0.9 ＝9（厘米） 10×（1＋10%） ＝10×1.1 ＝11（厘米） 11×9＝99（平方厘米） 10×10＝100（平方厘米） 99÷100＝0.99＝99% 得到的长方形的面积是原正方形面积的99%。 【易错点17】“买几送几”与折扣的关系 【易错点拨】未掌握“买几送几”与折扣数之间的转化方法。 1．超市做促销活动，某罐装牛奶“买四送一”，即每购买4罐送1罐。李老师需10罐这样的牛奶，相当于可以按原价的( )折购买。 【答案】八 【分析】“买四送一”表示每购买4罐牛奶即赠送1罐，因此每5罐牛奶中只需支付4罐的钱。先求出赠送的罐数，即10÷（4＋1）＝2罐，再求出实际支付的罐数为10－2＝8罐，最后用实际支付的罐数除以原来需购买的总罐数，结果乘100%得到百分数，即8÷10×100%＝ 80%，相当于八折。 【详解】10÷（4＋1） ＝10÷5 ＝2（罐） 10－2＝8（罐） 8÷10×100% ＝0.8×100% ＝ 80% 80%，相当于八折。 因此，超市做促销活动，某罐装牛奶“买四送一”，即每购买4罐送1罐。李老师需10罐这样的牛奶，相当于可以按原价的八折购买。 2．六一儿童节，某文具店的足球八折出售。这款足球实际售价比原价便宜了( )%，实际售价与原价的比是( )。当购买数量是5的倍数时，“八折出售”也可以看成是“买( )送一”。 【答案】 20 4∶5 四 【分析】把原价看作单位“1”，打八折指的是现价相当于原价的80%，即实际售价比原价便宜了1－80%；根据比的意义可知实际售价∶原价＝80%∶1，再根据比的基本性质把结果化成最简整数比即可；当购买数量是5的倍数时，根据（2）中得到的实际售价与原价的比，比的前项表示需要花钱购买的数量，比的后项表示实际得到的数量，用实际得到的数量减去花钱购买的数量即可得到送的数量，据此解答。 【详解】1－80%＝20% 80%∶1 ＝0.8∶1 ＝（0.8×10）∶（1×10） ＝8∶10 ＝（8÷2）∶（10÷2） ＝4∶5 5－4＝1 六一儿童节，某文具店的足球八折出售。这款足球实际售价比原价便宜了20%，实际售价与原价的比是4∶5，当购买数量是5的倍数时，“八折出售”也可以看成是“买四送一”。 【易错点18】百分率与生活的结合 【易错点拨】未掌握百分率的计算方法。 1．如图有三杯盐水，每杯盐水中盐和水的质量如图所示（单位：g）。( )杯盐水更咸。 【答案】乙 【分析】含盐率＝盐的质量÷盐水的质量×100%，代入数值分别求出三杯盐水的含盐率，并比较大小，含盐率越高盐水越咸，据此解答。 【详解】甲：10÷（25＋10）×100% ＝10÷35×100% ≈0.286×100% ＝28.6% 乙：15÷（30＋15）×100% ＝15÷45×100% ≈0.333×100% ＝33.3% 丙：24÷（60＋24）×100% ＝24÷84×100% ≈0.286×100% ＝28.6% 28.6%＝28.6%＜33.3% 所以乙杯盐水更咸。 2．有两杯糖水，红杯里的糖水，糖与水的比是1∶8，蓝杯里的糖水含糖率是25%，( )杯里的糖水更甜。 【答案】蓝 【分析】由题意可知，红杯里的糖水，糖与水的比是1∶8，则假设糖的质量为1，水的质量为8，则糖水的质量为1＋8＝9；再根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%，据此求出红杯中糖水的含糖率，再与蓝杯里的糖水含糖率对比即可。 【详解】假设糖的质量为1，水的质量为8，则糖水的质量为1＋8＝9 1÷（1＋8）×100% ＝1÷9×100% ≈0.11×100% ＝11% 11%＜25% 则蓝杯里的糖水更甜。 【易错点19】利润问题 【易错点拨】稍复杂的利润问题，解决起来较为困难。 1．如果一件商品按180元定价，可获利20%。实际上，该商品的售价为240元，那么所得的利润是( )元。 【答案】90 【分析】根据题意，成本×（1＋20%）＝定价，把成本看作单位1，那么定价就是成本的（1＋20%）。根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法。用180除以（1＋20%）即可算出成本。再用最终售价240减去成本，就是得到的利润。 【详解】180÷（1＋20%） ＝180÷120% ＝180÷1.2 ＝150（元） 240－150＝90（元） 那么所得的利润是90元。 2．某种商品去年的成本为100元，若按定价的八折出售，能获得20%的利润。由于今年的成本降低，按去年定价的七折出售仍能获得50%的利润。今年的成本价是( )元。 【答案】70 【分析】先算出按八折出售的售价，因为利润是成本的20%，所以售价为成本加上利润，利润＝成本×利润率，用100×20%求出利润是多少元，再加上100元就是按定价的八折出售的售价，再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法解答，用按定价的八折出售的售价除以80%求出去年的售价，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，用去年的售价乘七折（七折就是按70%出售）求出今年的售价，今年按此售价出售能获得50%的利润，即售价是今年成本的（1＋50%），再用今年的售价除以（1＋50%）即可求出今年的成本价。 【详解】100×20%＝20（元） 100＋20＝120（元） 120÷80%＝150（元） 150×70%÷（1＋50%） ＝105÷1.5 ＝70（元） 所以今年的成本价是70元。 【易错点20】利用等式的性质求未知数 【易错点拨】未掌握等式的性质，题型较为灵活，解决起来较为抽象。 1．如果，，，那么( )。 【答案】7 【分析】一个加数＋另一个加数＝和，可知和－一个加数＝另一个加数，由此可知□＝42－△，⊙＝59－△，那么□＋⊙＝87，也就是42－△＋59－△＝87，根据等式的性质求出△的值。 【详解】因为△＋□＝42，所以□＝42－△ 因为△＋⊙＝59，所以⊙＝59－△ 由□＋⊙＝87，可得： 42－△＋59－△＝87 解：（42＋59）－（△＋△）＝87 101－2△＝87 2△＝101－87 2△＝14 △＝14÷2 △＝7 那么△＝7。 2．小华的自行车锁密码是☆○☆△，如果☆＋○＝10，☆－○＝4，△×5－6＝24，那么小华的自行车锁密码是( )。 【答案】7376 【分析】将24加上6，求出和，再将和除以5，求出△的值。根据等式的性质1，将☆＋○＝10、☆－○＝4，左边加左边，右边加右边，求出☆的值。用10减去☆的值，求出○的值，求出小华的自行车锁密码。 等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个数（0除外），等式仍然成立。 【详解】（24＋6）÷5 ＝30÷5 ＝6 ☆＋○＋（☆－○）＝10＋4 2☆＝14 2☆÷2＝14÷2 ☆＝7 10－7＝3 所以，小华的自行车锁密码是7376。 【易错点21】定义新运算和程序框图 【易错点拨】题型较为抽象。 1．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）＝( )。 【答案】8 【分析】根据题目所给的新运算“⊗”，a⊗b表示第一个数的倍减去第二个数的4倍，即减去。则12⊗（﹣1）＝×12－4×（﹣1），依次分步计算，涉及负数的运算，可以从负数以及数轴的意义角度进行计算求解。 【详解】12⊗（﹣1） ＝×12－4×（﹣1） ＝4－（﹣4） ＝4＋4 ＝8 故12⊗（﹣1）的值是8。 2．一个运算程序，运算规则如下图，如果输入15，那么结果是( )，如果输入7，那么结果是( )。 【答案】 32 51 【分析】由运算程序可知：如果输入质数，就按先把质数平方再加2计算；如果输入合数，就按先把合数乘2再加2计算。15是合数（除了1和它本身两个因数，还有因数3、5），按照2×15＋2计算；7是质数（只有1和它本身两个因数），按照72＋2计算。 【详解】2×15＋2 ＝30＋2 ＝32 72＋2 ＝7×7＋2 ＝49＋2 ＝51 所以如果输入15，那么结果是32；如果输入7，那么结果是51。 【易错点22】量率对应问题 【易错点拨】未掌握量率对应问题的通用解法。 1．工程队挖一条水渠，第一周挖了全长的，第二周挖了60米，还剩下340米，这条水渠全长多少米？ 【答案】640米 【分析】把水渠全长看作单位“1”，第一周挖了全长的，则剩下的长度占全长的 ，剩下的长度为60加340，也就是400米，400米对应全长的，根据分数除法的意义，用400除以对应分率即可求出全长。 【详解】 （米） 答：这条水渠全长 640米。 2．修路队修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下1200米没有修完，这条路一共长多少米？ 【答案】2000米 【分析】将这条路的全长看作单位“1”，用单位“1”减去前两天已修路占全长的分率，求出剩下路程占全长的分率，正好对应未修的1200米，根据“总量＝部分量÷部分分率”，用除法计算出这段路的全长。 【详解】1－－ ＝－ ＝－ ＝ ＝ 1200÷ ＝1200× ＝2000（米） 答：这条路全长2000米。 【易错点23】促销问题 【易错点拨】综合型的促销问题，综合性较强，难度较大。 1．学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6元，三家超市采取了不同的促销方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 【答案】甲超市 【分析】根据单价×数量＝总价，分别计算出在三家超市所需实际支付的费用，进行比较； 甲超市：看总价里面有几个完整的100元，就用总价减去几个25元后为实付钱数；乙超市是“买10赠2”的问题，看要购买的总数量中有几个完整的（10＋2）本，就有几个2本是赠送的；丙超市：“打八折”即实付价是原价的80%. 【详解】甲超市：120×6＝720（元） 720÷100＝7（个）……20（元） 720－7×25 ＝720－175 ＝545（元） 乙超市：将10＋2＝12本分为一组 120÷（10＋2） ＝120÷12 ＝10（组） 一组里边有2本是赠送的，所以120本中一共赠送的数量为： 10×2＝20（本） 需要实际付钱的本数： 120－20＝100（本） 100×6＝600（元） 丙超市：打八折 120×6×80% ＝720×0.8 ＝576（元） 545＜576＜600 答：学校选择甲超市购买最便宜。 2．随着科技与文化融合发展进校园，某中学计划采购一批“AI智能文创学习终端”，用于校园文化社团活动。该终端单价为150元/台，学校需采购30台。现有三家科技文创平台提供不同优惠、具体如下。 甲平台（科技直营店） “买5赠1”，即每购买5台终端，免费赠送1台同款终端 乙平台（文创折扣店） 所有商品一律打八八折销售 丙平台（综合服务平台） 购物每满2000元，返还现金240元 请计算在三家平台采购30台“AI智能文创学习终端”的费用，并判断选择哪家平台最节省费用。 【答案】 甲平台:3750元；乙平台：3960元；丙平台：4020元；选择甲平台 【分析】甲平台：用5加1计算出每买5台可得6台，然后用30除以6计算出有5组6，也就是需要付费的有5×5＝25（台），再根据“总价＝单价×数量”用150乘25即可计算出在甲平台购买30台终端需要付的总费用； 乙平台：将八八折化成88%；根据“总价＝单价×数量”用150乘30计算出30台终端的总价；再根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”用30台终端的总价乘88%即可计算在乙平台购买30台终端需要付的总费用； 丙平台：根据“总价＝单价×数量”用150乘30计算出30台终端的总价是4500元；然后用4500除以2000计算出4500中有2组2000；再用2乘240计算出可以返还的现金是480元；最后用4500减去480即可计算在丙平台购买30台终端需要付的总费用。 最后比较甲、乙、丙三个平台的费用即可。 【详解】甲平台： 30÷（5＋1） ＝30÷6 ＝5（组） 5×5×150 ＝25×150 ＝3750（元） 乙平台： 八八折＝88% 150×30×88% ＝4500×88% ＝4500×0.88 ＝3960（元） 丙平台： 150×30＝4500（元） 4500÷2000＝2（组）……500（元） 4500－2×240 ＝4500－480 ＝4020（元） 3750＜3960＜4020，所以甲平台更优惠。 答：选择甲平台最节省费用。 【易错点24】比与分数应用题的结合 【易错点拨】综合性较强，处理起来较为困难。 1．婷婷读一本故事书，第一天看的页数与剩下页数的比是1∶4，第二天看了15页，正好看完了全书的一半，第一天看了多少页？ 【答案】10页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据已看的页数与剩下的页数的比是1∶4，可知已看页数是总页数的，第二天看了15页，正好看完了全书的一半，15页的对应分率是； 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决；用15除以对应分率即可求出这本书一共多少页；求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用本书的总页数乘第一天已读的分率即可列式解答。 【详解】 ＝50（页） ＝10（页） 答：第一天看了10页。 2．张师傅加工一批零件，上午完成的个数和剩下个数的比是1∶4；如果再加工360个就可以完成任务，这批零件共有多少个？ 【答案】450个 【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”，上午完成的个数和剩下个数的比是1∶4，如果再加工360个就可以完成任务，即剩下的360个占总个数的，单位“1”未知，用剩下的个数除以，求出这批零件的总个数。 【详解】360÷ ＝360÷ ＝360× ＝450（个） 答：这批零件共有450个。 【易错点25】图形规律探索 【易错点拨】观察与探索题型较为灵活。 1．聪聪用小棒搭房子（如图），搭1间房子用5根小棒，搭2间房子用9根小棒，像这样搭4间房子用( )根小棒，搭n间房子用( )根小棒。 【答案】 17 4n＋1/1＋4n 【分析】如图，搭1间房子用5根小棒，搭2间房子用9根小棒，由此可知，搭第4间房子，需要在5根小棒的基础上增加4×（4－1）根小棒。搭n间房子，需要在5根小棒基础上增加4×（n－1）根小棒。据此解答。 【详解】5＋4×（4－1） ＝5＋4×3 ＝5＋12 ＝17（根） 5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝4n＋1 所以，像这样搭4间房子用17根小棒，搭n间房子用（4n＋1）或（1＋4n）根小棒。 2．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【答案】 17 40 【分析】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【详解】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【点睛】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 【易错点26】用字母表示数字 【易错点拨】符合个数字数位上的特点。 1．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，用含有字母的式子表示是( )。 【答案】10a＋b 【分析】根据两位数的组成，十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一。十位上的数字是a，即a个十，对应数值为10a；个位上的数字是b，对应数值为b。 【详解】10×a＋b＝10a＋b 因此这个两位数为10a＋b。 2．一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大的是( )。 【答案】69 【分析】设原数的十位上是A，个位上是B，则原数为10A＋B，个位和十位数字对调后的数为10B＋A。A、B≥1，则10B＋A－（10A＋B）＝9B－9A＝9（B－A）。根据题意，9（B－A）＝27，则B－A＝3，即原来个位上的数比十位上的数大3。这样的数有：14、25、36、47、58、69这6个，其中最大的两位数是69。 【详解】设原数的十位上是A，个位上是B。 10B＋A－（10A＋B） ＝10B＋A－10A－B ＝9B－9A ＝9（B－A） ＝27 由此可得：B－A＝3，这样的两位数有14、25、36、47、58、69，其中最大的是69。 【点睛】用含有字母的式子分别表示原数和新数，从而通过化简得到个位和十位上数字的关系是解题的关键。 【易错点27】等量代换问题 【易错点拨】天平两边平衡，重量相同。 1．●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 【答案】5 【分析】根据天平平衡，将▲代替成●与■的和，即可求出●是几个■，由此即可求出●与▲的和是几个■。 【详解】●＋●＝▲＋■ ●＋■＝▲ 所以●＋●＝●＋■＋■ 即●＝■＋■ 所以●＋▲＝●＋●＋■＝■＋■＋■＋■＋■＝5个■ 即“？”为5。 2．在创作剪纸作品时，手工艺人喜欢喝金寨瓜片提神。在金寨县的传统手工制茶作坊中，茶农老王用一杆老式天平称量茶叶，准备送给李奶奶。如图：天平两端各放着一个同样的茶罐，左边的茶罐装满了水，右边的茶罐装了半罐水后，又放上一个重0.2千克的砝码，这时天平处于平衡状态，天平左边的茶罐里水重( )千克。 【答案】0.4 【分析】左边的茶罐装满了水，右边的茶罐装了半罐水后，又放上一个重0.2千克的砝码，说明半罐水的质量（不含茶罐）是0.2千克，半罐水的质量×2＝一罐水的质量（不含茶罐），据此列式计算。 【详解】0.2×2＝0.4（千克） 天平左边的茶罐里水重0.4千克。 【易错点28】齿轮配套问题 【易错点拨】齿轮配套稍微抽象。 1．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解即可。 【详解】解：设小齿轮每分钟转圈。 答：小齿轮每分钟转85圈。 2．某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】20名；64名 【分析】设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数＝2×大齿轮总数”的配套关系，列出方程10（84－x）＝2×16x，解方程求出加工大齿轮的工人数，进而求出加工小齿轮的工人数。 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则（84－x）名工人加工小齿轮。 10（84－x）＝2×16x 840－10x＝32x 840－10x＋10x＝32x＋10x 840＝42x 42x＝840 42x÷42＝840÷42 x＝20 84－20＝64（人） 答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。 【易错点29】比与等腰三角形的结合 【易错点拨】未掌握等腰三角形的特点和按比例分配问题的通用解法。 1．一个等腰三角形的周长是20cm，已知其中两条边的长度比2∶1，那么腰为( )cm，底为( )cm。 【答案】 8 4 【分析】根据三角形边的关系，三角形任意两边的和大于第三边；根据等腰三角形的特征，当腰是1份时，底是2份，这时不能围成三角形，所以这个等腰三角形的腰是2份，底是1份。用周长除以（2＋2＋1）份，算出底的长度，再乘2算出腰的长度。 【详解】底：20÷（2＋2＋1） ＝20÷5 ＝4（cm） 腰：4×2＝8（cm） 2．一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是( )度。按角来分，它是( )三角形。 【答案】 90 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，则这个等腰三角形的3个内角的度数比为2∶1∶1，再根据三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法，求出最大角的度数，即为此三角形的顶角；若最大角大于90°，为钝角即为钝角三角形；若最大角等于90°，为直角即为直角三角形；若最大角小于90°，为锐角即为锐角三角形；据此解答。 【详解】180°× ＝180°× ＝90° 一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是90度。按角来分，它是直角三角形。 【易错点30】根据算式判断比例关系 【易错点拨】未能掌握正反比例的特点及变化。 1．如果a与b是两种相关联的量（a、b均不为0），当时，a与b成( )比例关系；当时，a与b( )比例关系。 【答案】 反 不成 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】由，得a×b＝15，乘积一定，符合反比例的意义，所以a与b成反比例； 由a＝b＋5，得a－b＝5，差一定，所以a与b不成比例关系。 所以当时，a与b成反比例关系；当时，a与b不成比例关系。 【点睛】本题关键是根据正反比例的判定规则，通过变形判断a和b的关系：可推出a×b＝15，乘积一定故成反比例；a＝b＋5仅差一定，不满足正反比例的判定条件，因此不成比例。 2．如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 【答案】 15 正 【分析】（1）根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解答。 （2）根据正反比例的定义：两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系，解答。 【详解】（1）由得： ，即ab＝15。 （2）由6a－8b＝0得：6a＝8b 两边同时除以2，得3a＝4b，所以a∶b＝。 a与b的比值一定，因此a与b成正比例关系。 因此，如果（a≠0），那么ab＝15，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成正比例关系。 【易错点31】不变量问题 【易错点拨】找到不变量，再解决问题。 1．装配车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5∶3，如果第一小组调出14人到第二小组，这时第一小组与第二小组人数的比是1∶2，原来第一小组有( )人。 【答案】30 【分析】设原来第一小组有5x人，因为第一小组与第二小组人数的比是5∶3，所以原来第二小组有3x人。第一小组调出14人到第二小组后，第一小组人数变为（5x－14）人，第二小组人数变为（3x＋14）人。此时第一小组与第二小组人数的比是1∶2，根据比例关系可得：（5x－14）∶（3x＋14）＝1∶2，据此求出x的值，再乘5即可求出原来第一小组的人数。 【详解】解：设原来第一小组有5x人。 （5x－14）∶（3x＋14）＝1∶2 2（5x－14）＝（3x＋14） 10x－28＝3x＋14 7x＝42 x＝6 5×6＝30（人） 所以，原来第一小组有30人。 【点睛】此题考查比的应用。本题可通过设未知数，根据人数调动前后两组人数的比例关系来建立方程求解，属于比例问题结合方程的应用类型。 2．一个班男生和女生人数原来的比是9∶11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的，这个班原来有( )人。 【答案】40 【分析】设这个班原来有x人，因为男生和女生人数原来的比是9∶11，所以原来男生人数有x人，女生人数有x人，这学期转来2名男生，总人数变为（x＋2）人，且男生占总人数的，因为女生人数不变，把新的总人数看作单位“1”，所以此时男生人数占新总人数的（1－），据此可列方程：（x＋2）×（1－）＝x，然后根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设这个班原来有x人。 把新的总人数看作单位“1”。 （x＋2）×（1－）＝x （x＋2）×＝x x＋2＝x÷ x＋2＝x× x＋2＝x x－x＝2 x＝2 x＝2÷ x＝2×20 x＝40 这个班原来有40人。 【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用 【易错点拨】综合性较强，计算量较多，难度较大。 1．如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 【答案】45.8元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费用，据此作答即可。 【详解】 ＝6÷ ＝6×500000 ＝3000000（厘米） 3000000厘米＝30千米 8＋1.4×（30－3） ＝8＋1.4×27 ＝8＋37.8 ＝45.8（元） 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 2．下面是小明坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价11元计算，以后每增加1千米车费就增加1.2元。请你按图中提供的信息算一算，小明去展览馆（单程）一共要花多少元出租车费？ 【答案】72.2元 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出小明家到文化馆，文化馆到展览馆的实际距离，再把它们相加，求出小明家到展览馆的实际距离，再减去3千米，求出部分的路程，再乘1.2，求出超出部分需要的钱数，再加上11元，即可求出小明去展览馆一共要花的钱数，据此解答，注意单位名数的换算。 【详解】6÷ ＝6×300000 ＝1800000（厘米） 1800000厘米＝18千米 12÷ ＝12×300000 ＝3600000（厘米） 3600000厘米＝36千米 （18＋36－3）×1.2＋11 ＝（54－3）×1.2＋11 ＝51×1.2＋11 ＝61.2＋11 ＝72.2（元） 答：小明去展览馆（单程）一共要花72.2元出租费。 【易错点33】求比问题 【易错点拨】在较复杂的变化关系中求比，不易分析，难度稍大。 1．甲乙丙三人投篮比赛，甲投的个数比乙多，乙投的个数比丙少，则甲与丙投球的个数比是( )。 【答案】24∶25 【分析】设丙投篮的次数为一个不为0的数，由甲投的个数比乙多，乙投的个数比丙少，可知，甲投的个数＝乙投的个数×（1＋），乙投的个数＝丙投的个数×（1－），再把甲与丙投球的个数作比即可。 【详解】设丙投篮的个数为25个，则乙投的个数为（个），甲投的个数为（个），所以甲与丙投球的个数比是24∶25。 2．六（1）班男生人数比女生人数多，则男生人数与女生人数的比是( )；如果女生比男生少5人，六（1）一共有( )人。 【答案】 5∶4 45 【分析】把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生的（1＋＝），据此求男生与女生人数比。根据对应量÷对应份数＝1份量，用少的人数除以少的份数再乘总份数即可。 【详解】1＋＝ 男生与女生人数比： ∶1 ＝（×4）∶（1×4） ＝5∶4 1份量：5÷（5－4） ＝5÷1 ＝5（人） 总人数：5×（5＋4） ＝5×9 ＝45（人） 【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 【易错点拨】将长方体和按比例分配问题结合，综合性较强，计算量较多，难度较大。 1．用120厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 550 750 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和等于4×（长＋宽＋高）。已知铁丝长120厘米，即棱长总和是120厘米，那么长、宽、高的和为120÷4＝30（厘米）。 长、宽、高的比是3∶2∶1，总份数为3＋2＋1＝6份，那么每份是30÷6＝5（厘米），长占3份：5×3＝15（厘米）；宽占2份：5×2＝10（厘米）；高占1份：5×1＝5（厘米）。 根据长方体表面积公式：S＝2×（ab＋ah＋bh）（a为长，b为宽，h为高），把长15厘米，宽10厘米，高5厘米代入公式计算即可得出长方体的表面积。长方体体积公式为V＝abh，把数据代入计算即可得出长方体的体积。 【详解】120÷4＝30（厘米） 3＋2＋1＝6（份） 30÷6＝5（厘米） 长：5×3＝15（厘米） 宽：5×2＝10（厘米） 高：5×1＝5（厘米） 2×（15×10＋15×5＋10×5） ＝2×（150＋75＋50） ＝2×275 ＝550（平方厘米） 15×10×5＝750（立方厘米） 这个长方体的表面积是550平方厘米，体积是750立方厘米。 2．用一根48分米的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是5∶4∶3，在这个长方体框架外面糊一层纸，至少需要( )平方分米的纸。它的体积是( )立方分米。 【答案】 94 60 【分析】长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，据此用长方体的棱长和除以4，求出长、宽、高的和，把长、宽、高的比看作份数比，用长、宽、高的和除以份数和，求出1份是多少分米，再分别乘长、宽、高各自的份数，求出长、宽、高分别是多少分米，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】长、宽、高的和： 48÷4＝12（分米） 总份数： 5＋4＋3＝12（份） 12×＝5（分米） 12×＝4（分米） 12×＝3（分米） 表面积： （5×4＋4×3＋5×3）×2 ＝（20＋12＋15）×2 ＝47×2 ＝94（平方分米） 体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方分米） 故至少需要94平方分米的纸，它的体积是60立方分米。 【易错点35】推理问题 【易错点拨】未掌握逻辑推理思路。 1．长跑比赛中，小李、小张、小刘、小陈四人中有一人得了第一名。小张说：“小李是第一名。”小李说：“小刘是第一名。”小刘说：“我不是第一名。”小陈说：“小李在说谎。”已知四人中只有一人说真话，则( )说了真话，( )是第一名。 【答案】 小李 小刘 【分析】小李和小刘说的话互相矛盾，他们两人中一定有人说了真话；而四人中只有一人说了真话，所以小张和小陈都说的是假话，则“小李在说谎”这句是假话，即小李说的是真话，由此可以判断出“小刘是第一名”这句话是真的。 【详解】长跑比赛中，小李、小张、小刘、小陈四人中有一人得了第一名。小张说：“小李是第一名。”小李说：“小刘是第一名。”小刘说：“我不是第一名。”小陈说：“小李在说谎。”已知四人中只有一人说真话，则小李说了真话，小刘是第一名。 2．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、戊五个人猜各包里的珠子的颜色。 甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色。” 丙猜：“第一包红色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第四包白色 戊猜：“第二包黄色，第五包紫色 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 【答案】 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 红色 蓝色 黄色 白色 紫色 【分析】假设甲猜的第二包紫色是对的，则第三包黄色是错的，戊猜的第五包紫色是错的，戊猜的第二包黄色是对的，与假设矛盾， 则甲猜的第二包紫色是错的，所以第三包黄色是对的； 则丁猜的第三包蓝色是错的，所以第四包白色是对的。 所以乙猜第四包红色是错的，第二包蓝色是对的； 则戊猜第二包黄色是错误，第五包紫色是对的，所以丙猜第五包白色错的，第一包红色是对的。 【详解】根据分析可知，第一包是红色，第二包是蓝色，第三包是黄色，第四包是白色，第五包是紫色。 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 红色 蓝色 黄色 白色 紫色 【易错点36】鸡兔同笼问题 【易错点拨】未掌握不同类型鸡兔同笼问题的通用解法。 1．中超足球联赛积分规则的核心：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。某球队2024年全年比赛30场，共计得了49分，已知其中负了5场。问：该球队胜和平各多少场？ 【答案】胜的场数：12场 平的场数：13场 【分析】首先根据总比赛场数和负的场数，求出胜和平的总场数。然后利用假设法，假设胜和平的场次全部为平局，计算出假设的总得分，与实际总得分进行比较找出差值。最后根据胜一场比平一场多的分数，求出胜的场数，进而求出平的场数。 【详解】胜和平的总场数：（场） 假设25场全部为平局，得分：（分） 实际得分与假设得分的差：（分） 胜一场比平一场多的得分：（分） 胜的场数：（场） 平的场数：（场） 答：该球队胜12场，平13场。 2．学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 【答案】24道 【分析】假设30道题全部默对，则得分为（30×8）分，而实际得分174分，即比实际得分多了（30×8－174）分，因为默对一题得8分，默错或未默一题扣3分，差值为（8＋3）分，用比实际多得的分数除以默对一题和默错或未默一题的差值即可求出默错或未默的题数，默对的题数＝总题数－默错或未默的题数，据此解答。 【详解】默错或未默的题数： （30×8－174）÷（8＋3） ＝（240－174）÷11 ＝66÷11 ＝6（道） 默对的题数：30－6＝24（道） 答：他默对了24道题。 【易错点37】指针夹角问题 【易错点拨】未掌握计算指针夹角的方法。 1．8时30分，时针和分针的较小夹角是( )度。 【答案】75 【分析】时钟面上有12个大格，时针转一周12小时是360度，那么每大格之间的夹角是360÷12＝30度。 8时30分，时针指向8和9的正中间，分针指向6，时针和分针形成的较小夹角有2个半格即2.5格，再乘30度，即是时针和分针较小夹角的度数。 【详解】360÷12＝30（度） 30×2.5＝75（度） 8时30分，时针和分针的较小夹角是75度。 2．2024年有( )天；下午时，钟面上的时针与分针的夹角是( )角。 【答案】 366 钝 【分析】根据年份数是4的倍数的就是闰年，整百年份必须是400的倍数，否则是平年，平年有365天，闰年有366天。据此解答。 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，1：30分，时针在1和2中间，分针在6的位置，1到6之间有5个大格，用30°×5，再减去半格的度数，求出1：30分针与时针所成角度，再进行比较，即可解答。 【详解】2024÷4＝506，所以2024年是闰年，有366天； 1到6之间有5个大格。 30°×5－30°÷2 ＝150°－15° ＝135° 135°＞90°，所成角是钝角。 2024年有366天；下午1：30时，钟面上的时针与分针的夹角是钝角。 【易错点38】外方内圆与外圆内方 【易错点拨】体会两种方圆图形的特点，采用不同方法进行计算。 1．贴窗花是中国春节的传统习俗，人们以此寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。下图为一窗花图片，圆的面积是200.96平方厘米，用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 64 256 【分析】已知圆形窗花的面积是200.96平方厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，可知半径的平方r2＝S÷π，进而得出圆的半径。 用来裁剪该窗花的最小正方形的边长等于圆的直径，根据圆的直径＝半径×2，求出正方形的边长； 再根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，分别求出最小正方形的周长和面积。 【详解】半径的平方：200.96÷3.14＝64（平方厘米） 因为64＝8×8，所以圆的半径是8厘米； 圆的直径（正方形的边长）：8×2＝16（厘米） 正方形的周长：16×4＝64（厘米） 正方形的面积：16×16＝256（平方厘米） 所以，用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是（64）厘米，面积是（256）平方厘米。 2．如图中正方形的面积和圆的面积比是( )。（比的结果保留） 【答案】 【分析】设圆的半径为r，由图可知，圆的直径等于正方形的对角线长度，圆的半径为r，则直径为2r，也就是正方形的对角线长2r。把正方形沿对角线分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底是2r，高是r。根据三角形面积公式S＝ah（a为底，h为高），一个三角形的面积是×2r×r＝r2。那么正方形的面积就是2×r2＝2r2。 根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径），这里圆的半径是r，所以圆的面积是πr2。 正方形面积是2r2，圆的面积是πr2，它们的面积比为2r2∶πr2。因为r2不为0，根据比的基本性质，比的前项和后项同时除以r2，即可解答。 【详解】设圆的半径为r。 ×2r×r＝r2 2×r2＝2r2 S＝πr2 2r2∶πr2＝2r2÷r2∶πr2÷r2＝2∶π 正方形的面积和圆的面积比是2∶π。 【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形 【易错点拨】未能掌握等底等高的平行四边形和三角形的关系。 1．如图中平行四边形的面积是22.4dm2，则空白部分的面积是( )dm2。 【答案】11.2 【分析】由图可知，阴影部分是一个三角形，与平行四边形等底等高。平行四边形的面积公式为：面积＝底×高，三角形的面积公式为：面积＝底×高÷2，所以三角形的面积是平行四边形面积的一半，已知平行四边形的面积是22.4dm2，用22.4除以2即可得出三角形的面积，也是空白部分的面积。 【详解】22.4÷2＝11.2（dm2） 空白部分的面积是11.2dm2。 2．如图中，正方形的周长是16厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】 16 8 【分析】已知正方形周长16厘米，由“正方形周长＝边长×4”，用周长除以4可算出边长；平行四边形底和高都等于正方形边长，依据“平行四边形面积＝底×高”，把数值代入可求面积；三角形底和高等于正方形边长，根据“三角形面积＝底×高÷2” ，代入数值就能算出面积。 【详解】16÷4＝4（厘米） 4×4＝16（平方厘米） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 所以平行四边形的面积是16平方厘米，三角形的面积是8平方厘米。 【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较 【易错点拨】比较阴影部分图形的周长或面积大小，注意图形的关联性。 1．甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比( )。 A．甲更高 B．乙更高 C．丙更高 D．三人都相同 【答案】D 【分析】假设正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的，利用“”分别求出三位同学所剪图形的面积。 所剪的图形面积越大，对手工纸的利用率越高。 所剪的图形面积相等，对手工纸的利用率相同。 所剪的图形面积越小，对手工纸的利用率越低，据此解答。 【详解】假设正方形边长为2， 甲： 乙： 丙： 由上可知：甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩的手工纸一样多，也就是三个人对手工纸的利用率相同。 故答案为：D 2．如下图：两个图形阴影部分的( )。 A．周长相等，面积不等 B．周长和面积都相等 C．周长和面积都不相等 D．周长不相等，面积相等 【答案】D 【分析】两个图形中，空白部分均可组成一个完整的圆（第一个图形的四个空白扇形可拼成一个圆，第二个图形的两个空白半圆可拼成一个圆），且正方形的面积相等。根据“阴影部分面积＝正方形面积－空白圆的面积”，可知两个图形中阴影部分的面积相等。 第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长；第二个图形中阴影部分的周长是圆的周长加上正方形的两条边长。因此，两个图形中阴影部分的周长不相等。 【详解】据以上分析，两个图形阴影部分的周长不相等，面积相等。 故答案为：D 【易错点41】复杂的阴影图形面积计算 【易错点拨】总体图形面积减去空白图形面积等于阴影图形面积。 1．在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆周率取3.14） 【答案】1.42平方厘米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，用大圆面积减去小圆面积，这时剩下的面积是大阴影部分和长方形白色部分的面积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积差。长方形的面积＝长×宽。 【详解】3.14×42×－3.14×22× ＝3.14×16×－3.14×4× ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方厘米） 9.42－4×2 ＝9.42－8 ＝1.42（平方厘米） 答：两个阴影部分的面积差1.42平方厘米。 【点睛】用大圆面积减去小圆面积，这时剩下的面积是大阴影部分和长方形白色部分的面积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积差。 2．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】28.5平方厘米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2解决。画辅助线如图，图中阴影部分被分成了①②③块，其中①和②的面积相等，可以用直径10厘米的半圆的面积减去小三角形的面积得到。③的面积可以用半径10厘米圆的面积的减去小三角形的面积得到。再把①②③的面积相加即可。 【详解】10÷2＝5（厘米） 3.14×52÷2－10×5÷2 ＝3.14×25÷2－10×5÷2 ＝39.25－25 ＝14.25（平方厘米） （180°－90°）÷2 ＝90°÷2 ＝45° 360°÷45°＝8（份） 3.14×102÷8－10×5÷2 ＝3.14×100÷8－10×5÷2 ＝39.25－25 ＝14.25（平方厘米） 14.25＋14.25＝28.5（平方厘米） 所以，阴影部分的面积是28.5平方厘米。 【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法 【易错点拨】未能熟练掌握圆柱和圆锥的旋转构成法。 1．如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是( )cm3，阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。 【答案】 78.5 1∶2 【分析】由图可知，这个长方形的宽为3cm，长为5cm； ①阴影部分旋转后得到的立体图形为底面半径为5cm，高为3cm的圆锥的体积，根据圆锥的体积＝即可求出阴影部分旋转后得到的立体图形的体积； ②空白部分旋转后得到的立体图形为底面半径为5cm，高为3cm的圆柱的体积减去底面半径为5cm，高为3cm的圆锥的体积； 根据圆柱的体积＝，等底等高的圆柱体积为圆锥体积的3倍，将阴影部分旋转后得到的立体图形的体积看作“1”，则空白部分旋转后得到的立体图形的体积为“3－1”，由此即可求出阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比。 【详解】① ＝78.5（cm3） 即阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是78.5cm3。 ②等底等高的圆柱体积为圆锥体积的3倍； 则阴影部分旋转后得到的立体图形的体积∶空白部分旋转后得到的立体图形的体积＝1∶（3－1）＝1∶2； 即阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是1∶2。 【点睛】根据旋转的特征即可确定旋转后的立体图形，再等底等高的圆柱体积为圆锥体积的3倍即可解答。 2．如下图，一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和5cm，以直角边的短边或长边为轴，将三角形旋转一周分别得到甲乙两个圆锥。那么甲乙两个圆锥的体积比为( )。 【答案】3∶5 【分析】若以5cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为5cm的圆锥为甲；若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为5cm，高为3cm的圆锥为乙，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，据此进行计算求出两个圆锥的体积，再求出两个体积之比即可。 【详解】若以5cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm，高为5cm的圆锥为甲 ×π×32×5 ＝×π×9×5 ＝15π（cm3） 若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为5cm，高为3cm的圆锥为乙 ×π×52×3 ＝×π×25×3 ＝25π（cm3） 那么甲乙两个圆锥的体积比为15π∶25π＝3∶5 即如下图，一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和5cm，以直角边的短边或长边为轴，将三角形旋转一周分别得到甲乙两个圆锥。那么甲乙两个圆锥的体积比为3∶5。 【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 【易错点拨】未能熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥的关系，不能灵活处理问题。 1．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 36 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，假设圆锥的体积是1，则圆柱的体积是3，求出圆锥体积比圆柱体积少多少，再除以圆柱的体积即可；根据等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，体积之和就是圆锥的4倍，用48÷4，即可求出圆锥的体积。圆锥体积乘3即可求出圆柱体积。 【详解】（3－1）÷3 ＝2÷3 ＝ 48÷（3＋1）×3 ＝48÷4×3 ＝12×3 ＝36（立方分米） 所以等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是36立方分米。 2．两个大小相同的量杯里都盛有200mL的水。如图，将等底等高的圆柱与圆锥分别放入甲、乙两个量杯后，甲的水面刻度为440mL，圆锥的体积是( )cm3。 【答案】80 【分析】根据题意，两个大小相同的量杯里都盛有200mL的水，甲杯中放入圆柱后，水面刻度为440mL，那么水上升部分的体积就是圆柱的体积； 乙杯中放入圆锥后，水上升部分的体积就是圆锥的体积；因为圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出圆锥的体积。注意单位的换算：1mL＝1cm3。 【详解】200mL＝200cm3，440mL＝440cm3 （440－200）× ＝240× ＝80（cm3） 圆锥的体积是80cm3。 【易错点44】等积变形问题 【易错点拨】未能掌握等积变形问题的核心特点。 1．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 【答案】6 【分析】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变； 先根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出零件的体积；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆锥的底面积；再根据圆锥的高h＝3V÷S，求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆柱的体积： 3.14×（4÷2）2×8 ＝3.14×22×8 ＝3.14×4×8 ＝100.48（立方分米） 圆锥的底面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 ＝301.44÷50.24 ＝6（分米） 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 2．如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 8 4.8 【分析】（1）先根据长方体体积＝长×宽×高，求出乙容器中水的体积，再利用圆柱的体积＝底面积×高，求出水倒入甲容器后的水深。圆柱底面积S＝πr2、d＝2r。 （2）根据圆柱和圆锥的底面积之比可知，圆锥底面积是圆柱的底面积的5倍，先求出圆锥的底面积，由圆锥体积公式V＝πr2h，可知用水的体积×3÷圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。 【详解】（1）水的体积：10×10×6.28＝628（cm3） 圆柱底面积：3.14×（10÷2）2 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 水深：628÷78.5＝8（cm） （2）圆锥底面积：78.5×5＝392.5（cm2） 圆锥的高：628×3÷392.5 ＝1884÷392.5 ＝4.8（cm） 【易错点45】立体图形的切拼问题 【易错点拨】不同立体图形的不同切拼方式，面积有着不同的变化特点。 1．把一根长1.2米的长方体木料截成三小段，表面积比原来增加36平方分米。这根木料原来的体积是( )立方分米。 【答案】108 【分析】 如图，将长方体木料截成三小段后，表面积会增加，增加的是截面的面积，也就是长方体的底面积，截成三小段，需要截2次，每截一次增加2个截面，截2次就要增加4个截面，利用增加的面积除以4求出一个截面的面积，也就是长方体的底面积，再利用长方体的体积＝底面积×高求长方体的体积，计算时需将1.2米换算为12分米。 【详解】求增加的截面数： （个） （平方分米） 1.2米＝12分米 （立方分米） 这根木料原来的体积是108立方分米。 2．把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2，这根钢材的体积是( )dm3。 【答案】15.7 【分析】圆柱体钢材截成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积，根据表面积增加了6.28 dm2，可求出这个圆柱的底面积是6.28÷4＝1.57dm2，再利用圆柱的体积＝底面积×高即可解答。 【详解】1m＝10dm 6.28÷4×10 ＝1.57×10 ＝15.7（dm3） 所以这根钢材的体积是15.7 dm3。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 目 录 【易错点01】循环小数与周期规律问题 5 【易错点02】不同类型数之间的大小比较 5 【易错点03】不同类型数之间的综合转化 5 【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法 5 【易错点05】倒数的性质应用 6 【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用 6 【易错点07】稍复杂的最小公倍数的应用题 6 【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题 7 【易错点09】混淆单位“1”与总量 7 【易错点10】混淆分量和数量 7 【易错点11】在算式中比较不同分数的大小 7 【易错点12】温度与温差 7 【易错点13】负数与百分率的综合应用问题 8 【易错点14】计算星期 8 【易错点15】将错就错 8 【易错点16】百分率的增减变化问题 8 【易错点17】“买几送几”与折扣的关系 8 【易错点18】百分率与生活的结合 9 【易错点19】利润问题 9 【易错点20】利用等式的性质求未知数 9 【易错点21】定义新运算和程序框图 9 【易错点22】量率对应问题 10 【易错点23】促销问题 10 【易错点24】比与分数应用题的结合 11 【易错点25】图形规律探索 12 【易错点26】用字母表示数字 12 【易错点27】等量代换问题 12 【易错点28】齿轮配套问题 13 【易错点29】比与等腰三角形的结合 13 【易错点30】根据算式判断比例关系 13 【易错点31】不变量问题 14 【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用 14 【易错点33】求比问题 15 【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 15 【易错点35】推理问题 15 【易错点36】鸡兔同笼问题 16 【易错点37】指针夹角问题 16 【易错点38】外方内圆与外圆内方 16 【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形 17 【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较 17 【易错点41】复杂的阴影图形面积计算 18 【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法 18 【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 19 【易错点44】等积变形问题 19 【易错点45】立体图形的切拼问题 19 2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴 小升初·终极模式04：易错攻略模式 模式说明： 易错攻略模式以“典例系列”为根基，以小升初真题为蓝本，选取易错易混考点，设置易错点拨和两道考题，建议讲解与训练并重。 【易错点01】循环小数与周期规律问题 【易错点拨】找错或漏算循环小数的循环节，混淆新周期或步骤不严密。 1．循环小数50.405405…小数部分第56位上的数字是( )。 2．将化成小数，小数部分第100位上的数字是( )。 【易错点02】不同类型数之间的大小比较 【易错点拨】未掌握多类数的互化方法，未严格按照数的大小比较方法进行比较。 1．在、、0.277、27.2%这四个数中，最大的数是( )。 2．在π、3.14、31.4%、中，最大的数是( )，最小的数是( )。 【易错点03】不同类型数之间的综合转化 【易错点拨】未掌握多类数的互化方法，计算不够严密。 1．＝( )∶8＝0.75＝( )÷12＝( )%＝( )折。 2．( )∶24＝0.25＝( )%＝＝( )折＝( )（填成数）。 【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法 【易错点拨】未掌握最大公因数和最小公倍数的基础求法，未掌握在特殊情境下找最大公因数和最小公倍数。 1．两个非零自然数a和b，如果a÷b＝8，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )；如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( )，最大公因数是( )。 2．A＝m×3×5，B＝m×3×7（m是大于0的自然数），如果A和B的最大公因数是6，则A和B的最小公倍数是( )。 【易错点05】倒数的性质应用 【易错点拨】未掌握倒数的性质，不能灵活的运用倒数解题。 1．如果和互为倒数，则( )。 2．如果x和y互为倒数，且，那么15a＝( )。 【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用 【易错点拨】未掌握几类数的基本概念，未能记住常考的几个特殊数字。 1．a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a＋b＝16－c，则的积是( )。 2．有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成两个质数相加的和；③这个数可以写成两个不同质数相乘的积。这个数是( )。 【易错点07】稍复杂的最小公倍数的应用题 【易错点拨】未掌握最小公倍数应用题的常规解法，特殊类最小公倍数特殊处理。 1．小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 2．士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题 【易错点拨】未掌握该类问题的常用解法，混淆和差倍的不同情况。 1．一个两位小数，若将它的小数点向右移一位，则得到一个新的小数。已知这个新的小数与原两位小数之和是7.92，那么原两位小数是( )。 2．一个两位小数，去掉小数点后比原来数大14.85，这个两位小数是( )。 【易错点09】混淆单位“1”与总量 【易错点拨】未能理解单位“1”与总量，混淆二者概念。 1．把3米长的铁丝平均分成5段，每段长( )米，每段是全长的( )。 2．把一根5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的( )，每段长( )米。 【易错点10】混淆分量和数量 【易错点拨】未能理解分量和数量，混淆二者概念。 1．把一根绳子截成两段，第一段占全长的，第二段长米，两段的长度相比( )。 A．第一段长 B．第二段长 C．同样长 D．无法比较 2．两根同样长的电线，都用去一部分后，第一根剩下它的，第二根剩下米。那么两根电线用去部分相比较，( )。 A．第一根长 B．第二根长 C．同样长 D．无法比较 【易错点11】在算式中比较不同分数的大小 【易错点拨】未掌握通用解法来比较算式中的异分母分数大小比较。 1．已知a、b、c均为非零数，并且，那么最大的是( )。 2．如果A÷＝B×＝C÷（A、B、C≠0），则A、B、C三个数中( )最大。 【易错点12】温度与温差 【易错点拨】未掌握负数情境下求温差的方法。 1．温度越低就越冷，﹣4℃和﹣16℃相比，( )温度低。 2．冬季的一天，室内温度为8℃，室外温度为零下8℃，则室内室外温差为( )℃。 【易错点13】负数与百分率的综合应用问题 【易错点拨】综合情境下，能力要求较高。 1．乒乓球是中国国球，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种。标准的比赛用球（赛璐珞球）质量是每粒2.5±0.2g。某次抽检五粒球的质量分别是2.56g、2.61g、2.73g、2.58g和2.50g，这些乒乓球的合格率为( )%。 2．体育老师对某班男生进行引体向上的测试，连续做7个为达标记为0，超过7个的个数用正数表示，不足7个的个数用负数表示。其中5个男生的成绩分别是：﹣2、﹣1、0、1、2这5个男生的达标率是( )%，完成个数最多的男生做了( )个引体向上。 【易错点14】计算星期 【易错点拨】未掌握周期问题和时间的推算方法。 1．今年教师节是星期二，再过60天是星期( )，明年元旦是星期( )。 2．某年的七月里有5个星期三，4个星期四，则这年的7月1日是星期( )。 【易错点15】将错就错 【易错点拨】未掌握“将错就错”题型的解法。 1．玲玲在计算4×（□＋9）时，错看成了4×□＋9，她得到的结果比正确结果少( )。 2．小明在计算×（☐－8）时，错看成了×☐－8，他得到的结果比正确结果少( )。 【易错点16】百分率的增减变化问题 【易错点拨】未掌握单位“1”的不同变化。 1．一件商品先涨价20%，再降价20%后售价为96元，这件商品的原价是( )元；若先降价20%，再涨价( )%才能恢复原价。 2．一个正方形的一边减少10%，另一边增加10%，得到的长方形的面积是原正方形面积的( )。 【易错点17】“买几送几”与折扣的关系 【易错点拨】未掌握“买几送几”与折扣数之间的转化方法。 1．超市做促销活动，某罐装牛奶“买四送一”，即每购买4罐送1罐。李老师需10罐这样的牛奶，相当于可以按原价的( )折购买。 2．六一儿童节，某文具店的足球八折出售。这款足球实际售价比原价便宜了( )%，实际售价与原价的比是( )。当购买数量是5的倍数时，“八折出售”也可以看成是“买( )送一”。 【易错点18】百分率与生活的结合 【易错点拨】未掌握百分率的计算方法。 1．如图有三杯盐水，每杯盐水中盐和水的质量如图所示（单位：g）。( )杯盐水更咸。 2．有两杯糖水，红杯里的糖水，糖与水的比是1∶8，蓝杯里的糖水含糖率是25%，( )杯里的糖水更甜。 【易错点19】利润问题 【易错点拨】稍复杂的利润问题，解决起来较为困难。 1．如果一件商品按180元定价，可获利20%。实际上，该商品的售价为240元，那么所得的利润是( )元。 2．某种商品去年的成本为100元，若按定价的八折出售，能获得20%的利润。由于今年的成本降低，按去年定价的七折出售仍能获得50%的利润。今年的成本价是( )元。 【易错点20】利用等式的性质求未知数 【易错点拨】未掌握等式的性质，题型较为灵活，解决起来较为抽象。 1．如果，，，那么( )。 2．小华的自行车锁密码是☆○☆△，如果☆＋○＝10，☆－○＝4，△×5－6＝24，那么小华的自行车锁密码是( )。 【易错点21】定义新运算和程序框图 【易错点拨】题型较为抽象。 1．定义新运算“⊗”，，则12⊗（﹣1）＝( )。 2．一个运算程序，运算规则如下图，如果输入15，那么结果是( )，如果输入7，那么结果是( )。 【易错点22】量率对应问题 【易错点拨】未掌握量率对应问题的通用解法。 1．工程队挖一条水渠，第一周挖了全长的，第二周挖了60米，还剩下340米，这条水渠全长多少米？ 2．修路队修一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，还剩下1200米没有修完，这条路一共长多少米？ 【易错点23】促销问题 【易错点拨】综合型的促销问题，综合性较强，难度较大。 1．学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6元，三家超市采取了不同的促销方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 2．随着科技与文化融合发展进校园，某中学计划采购一批“AI智能文创学习终端”，用于校园文化社团活动。该终端单价为150元/台，学校需采购30台。现有三家科技文创平台提供不同优惠、具体如下。 甲平台（科技直营店） “买5赠1”，即每购买5台终端，免费赠送1台同款终端 乙平台（文创折扣店） 所有商品一律打八八折销售 丙平台（综合服务平台） 购物每满2000元，返还现金240元 请计算在三家平台采购30台“AI智能文创学习终端”的费用，并判断选择哪家平台最节省费用。 【易错点24】比与分数应用题的结合 【易错点拨】综合性较强，处理起来较为困难。 1．婷婷读一本故事书，第一天看的页数与剩下页数的比是1∶4，第二天看了15页，正好看完了全书的一半，第一天看了多少页？ 2．张师傅加工一批零件，上午完成的个数和剩下个数的比是1∶4；如果再加工360个就可以完成任务，这批零件共有多少个？ 【易错点25】图形规律探索 【易错点拨】观察与探索题型较为灵活。 1．聪聪用小棒搭房子（如图），搭1间房子用5根小棒，搭2间房子用9根小棒，像这样搭4间房子用( )根小棒，搭n间房子用( )根小棒。 2．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【易错点26】用字母表示数字 【易错点拨】符合个数字数位上的特点。 1．一个两位数，十位上的数字是a，个位上的数字是b，用含有字母的式子表示是( )。 2．一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大的是( )。 【易错点27】等量代换问题 【易错点拨】天平两边平衡，重量相同。 1．●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 2．在创作剪纸作品时，手工艺人喜欢喝金寨瓜片提神。在金寨县的传统手工制茶作坊中，茶农老王用一杆老式天平称量茶叶，准备送给李奶奶。如图：天平两端各放着一个同样的茶罐，左边的茶罐装满了水，右边的茶罐装了半罐水后，又放上一个重0.2千克的砝码，这时天平处于平衡状态，天平左边的茶罐里水重( )千克。 【易错点28】齿轮配套问题 【易错点拨】齿轮配套稍微抽象。 1．如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 2．某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？ 【易错点29】比与等腰三角形的结合 【易错点拨】未掌握等腰三角形的特点和按比例分配问题的通用解法。 1．一个等腰三角形的周长是20cm，已知其中两条边的长度比2∶1，那么腰为( )cm，底为( )cm。 2．一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2∶1，这个三角形顶角度数是( )度。按角来分，它是( )三角形。 【易错点30】根据算式判断比例关系 【易错点拨】未能掌握正反比例的特点及变化。 1．如果a与b是两种相关联的量（a、b均不为0），当时，a与b成( )比例关系；当时，a与b( )比例关系。 2．如果（a≠0），那么ab＝( )，如果6a－8b＝0（a、b不为0），那么a与b成( )比例关系。 【易错点31】不变量问题 【易错点拨】找到不变量，再解决问题。 1．装配车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5∶3，如果第一小组调出14人到第二小组，这时第一小组与第二小组人数的比是1∶2，原来第一小组有( )人。 2．一个班男生和女生人数原来的比是9∶11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的，这个班原来有( )人。 【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用 【易错点拨】综合性较强，计算量较多，难度较大。 1．如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内（含3千米）的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚去展览馆一共需要多少元出租车费？ 2．下面是小明坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价11元计算，以后每增加1千米车费就增加1.2元。请你按图中提供的信息算一算，小明去展览馆（单程）一共要花多少元出租车费？ 【易错点33】求比问题 【易错点拨】在较复杂的变化关系中求比，不易分析，难度稍大。 1．甲乙丙三人投篮比赛，甲投的个数比乙多，乙投的个数比丙少，则甲与丙投球的个数比是( )。 2．六（1）班男生人数比女生人数多，则男生人数与女生人数的比是( )；如果女生比男生少5人，六（1）一共有( )人。 【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 【易错点拨】将长方体和按比例分配问题结合，综合性较强，计算量较多，难度较大。 1．用120厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3∶2∶1，这个长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 2．用一根48分米的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是5∶4∶3，在这个长方体框架外面糊一层纸，至少需要( )平方分米的纸。它的体积是( )立方分米。 【易错点35】推理问题 【易错点拨】未掌握逻辑推理思路。 1．长跑比赛中，小李、小张、小刘、小陈四人中有一人得了第一名。小张说：“小李是第一名。”小李说：“小刘是第一名。”小刘说：“我不是第一名。”小陈说：“小李在说谎。”已知四人中只有一人说真话，则( )说了真话，( )是第一名。 2．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、戊五个人猜各包里的珠子的颜色。 甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色。” 丙猜：“第一包红色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第四包白色 戊猜：“第二包黄色，第五包紫色 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 【易错点36】鸡兔同笼问题 【易错点拨】未掌握不同类型鸡兔同笼问题的通用解法。 1．中超足球联赛积分规则的核心：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。某球队2024年全年比赛30场，共计得了49分，已知其中负了5场。问：该球队胜和平各多少场？ 2．学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 【易错点37】指针夹角问题 【易错点拨】未掌握计算指针夹角的方法。 1．8时30分，时针和分针的较小夹角是( )度。 2．2024年有( )天；下午时，钟面上的时针与分针的夹角是( )角。 【易错点38】外方内圆与外圆内方 【易错点拨】体会两种方圆图形的特点，采用不同方法进行计算。 1．贴窗花是中国春节的传统习俗，人们以此寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。下图为一窗花图片，圆的面积是200.96平方厘米，用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 2．如图中正方形的面积和圆的面积比是( )。（比的结果保留） 【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形 【易错点拨】未能掌握等底等高的平行四边形和三角形的关系。 1．如图中平行四边形的面积是22.4dm2，则空白部分的面积是( )dm2。 2．如图中，正方形的周长是16厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。 【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较 【易错点拨】比较阴影部分图形的周长或面积大小，注意图形的关联性。 1．甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比( )。 A．甲更高 B．乙更高 C．丙更高 D．三人都相同 2．如下图：两个图形阴影部分的( )。 A．周长相等，面积不等 B．周长和面积都相等 C．周长和面积都不相等 D．周长不相等，面积相等 【易错点41】复杂的阴影图形面积计算 【易错点拨】总体图形面积减去空白图形面积等于阴影图形面积。 1．在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆周率取3.14） 2．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法 【易错点拨】未能熟练掌握圆柱和圆锥的旋转构成法。 1．如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是( )cm3，阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( )。 2．如下图，一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和5cm，以直角边的短边或长边为轴，将三角形旋转一周分别得到甲乙两个圆锥。那么甲乙两个圆锥的体积比为( )。 【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 【易错点拨】未能熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥的关系，不能灵活处理问题。 1．等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( )，如果它们的体积一共是48立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 2．两个大小相同的量杯里都盛有200mL的水。如图，将等底等高的圆柱与圆锥分别放入甲、乙两个量杯后，甲的水面刻度为440mL，圆锥的体积是( )cm3。 【易错点44】等积变形问题 【易错点拨】未能掌握等积变形问题的核心特点。 1．一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 2．如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm，将乙容器中的水全部倒入甲容器中，这时水深( )cm；如果倒入与这个圆柱底面积之比是5∶1的圆锥形容器中，刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm。 【易错点45】立体图形的切拼问题 【易错点拨】不同立体图形的不同切拼方式，面积有着不同的变化特点。 1．把一根长1.2米的长方体木料截成三小段，表面积比原来增加36平方分米。这根木料原来的体积是( )立方分米。 2．把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2，这根钢材的体积是( )dm3。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 周杰伦《烟花易冷》 石板上回荡的是，再等。 斑驳的城门，盘粥着老树根。 我听闻，你始终一个人。 雨纷纷，旧故里草木深 第1页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目录 冥【易错点01】循环小数与周期规律问题… 5 冥【易错点02】不同类型数之间的大小比较… .5 原【易错点03】不同类型数之间的综合转化… .5 冥【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法… .5 原【易错点0S】倒数的性质应用… .6 只【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用…6 貝【易错点0们】稍复杂的最小公倍数的应用题6 只【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题… 7 只【易错点09】混淆单位“1”与总量… .7 只【易错点10】混淆分量和数量… .7 只【易错点11】在算式中比较不同分数的大小… .7 冥【易错点12】温度与温差…。 7 原【易错点13】负数与百分率的综合应用问题. .8 冥【易错点14】计算星期.… .8 原【易错点15】将错就错… .8 只【易错点16】百分率的增减变化问题… 8 只【易错点17】“买几送几”与折扣的关系… 8 原【易错点18】百分率与生活的结合… 9 冥【易错点19】利润问题.… 9 只【易错点20】利用等式的性质求未知数， 9 只【易错点21】定义新运算和程序框图… .9 第2页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 冥【易错点22】量率对应问题… 10 只【易错点23】促销问题…。 .10 冥【易错点24】比与分数应用题的结合 .11 原【易错点25】图形规律探索…。 .12 只【易错点26】用字母表示数字… ...12 只【易错点27】等量代换问题… .12 只【易错点28】齿轮配套问题… 13 月【易错点29】比与等腰三角形的结合.13 只【易错点30】根据算式判断比例关系.… .13 只【易错点31】不变量问题… .14 只【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用…。 .14 冥【易错点33】求比问题… .15 冥【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 ...15 只【易错点35)】推理问题.… .15 冥【易错点36】鸡免同笼问题… .......16 原【易错点37】指针夹角问题… .16 只【易错点38】外方内圆与外圆内方… 16 只【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形17 具【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较… 17 冥【易错点41】复杂的阴影图形面积计算… .18 只【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法、 .18 只【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 .19 第3页共19页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点44】等积变形何题… ,19 冥【易错点45】立体图形的切拼问题… 19 第4页共19页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴 小升初终极模式04：易错攻略模式 昆日期： ⊙用时： 贝评价： 模式说明： 易错攻略模式以“典例系列”为根基，以小升初真题为蓝本，选取易错易混考点，设置易错 点拨和两道考题，建议讲解与训练并重。 原【易错点01】循环小数与周期规律问题 【易错点拔】找错或漏算循环小数的循环节，混淆新周期或步骤不严密。 1.循环小数50.405405..小数部分第56位上的数字是( ) 2.将化成小数，小数部分第100位上的数字是( ) 原【易错点02】不同类型数之间的大小比较 令【易错点拔】未掌握多类数的互化方法，未严格按照数的大小比较方法进行比校。 1.在0.27、3、0.27、27.2%这四个数中，最大的数是( 2.在、3.14、314%、2号中，最大的数是( ),最小的数是( ) 冥【易错点03】不同类型数之间的综合转化 会【易错点拔】未掌握多类数的互化方法，计算不够严密。 1.2=( ):8=0.75=( )片12=( )%=( )折。 3 2.( ):24=0.25=( %=()=( )折=( )(填成数)。 具【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法 会【易错点拔】未掌握最大公因数和最小公倍数的基础求法，未掌握在特殊情境下找最大公 因数和最小公倍数。 1.两个非零自然数a和b,如果ab=8,那么a和b的最小公倍数是( ),最大公因数 第5页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 是( );如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( ),最大 公因数是( ) 2.A=m×3×5,B=m×3×7(m是大于0的自然数)，如果A和B的最大公因数是6，则A 和B的最小公倍数是( 。 具【易错点05】倒数的性质应用 【易错点拔】未掌握倒数的性质，不能灵活的运用倒数解题。 1.如果m和n互为倒数，则4；上×2=( m 2 m n 2.如果x和y互为倒数，且-二，那么15a=( x a 冥【易错点6】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用 【易错点拔】未掌握几类数的基本概念，未能记住常考的几个特殊数字。 1.a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a+b=16一c,则a×b×c的积是( )。 2.有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成 两个质数相加的和；③这个数可以写成两个不同质数相乘的积。这个数是( 泉【易错点07】稍复杂的最小公倍数的应用题 会【易错点拔】未掌握最小公倍数应用题的常规解法，特殊类最小公倍数特殊处理。 1.小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80 到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 2.士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最 后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 第6页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 冥【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题 令【易错点拔】未掌握该类问题的常用解法，混清和差倍的不同情况。 1.一个两位小数，若将它的小数点向右移一位，则得到一个新的小数。已知这个新的小数与 原两位小数之和是7.92，那么原两位小数是( 。 2.一个两位小数，去掉小数点后比原来数大14.85，这个两位小数是( ) 只【易错点09】混淆单位“1”与总量 会【易错点拨】未能理解单位“1”与总量，混淆二者概念。 1.把3米长的铁丝平均分成5段，每段长( )米，每段是全长的( 2.把一根5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的( ),每段长( )米。 泉【易错点10】混淆分量和数量 会【易错点拔】未能理解分量和数量，混淆二者概念。 1.把一根绳子截成两段，第一段占全长的？，第二段长米，两段的长度相比( ) A.第一段长B.第二段长 C.同样长 D.无法比较 2.两根同样长的电线，都用去一部分后，第一根剩下它的)，第二根剩下号米。那么两根电 线用去部分相比较，( ) A.第一根长B.第二根长 C.同样长 D.无法比较 原【易错点11】在算式中比较不同分数的大小 会【易错点拔】未掌握通用解法来比较算式中的异分母分数大小比较。 1.已知a、b、c均为非零数，并且a÷】=b×三=cx1,那么最大的是( 8 4 ) 2.如果A号=Bx9=C}(A、B、C0),则A、B、C三个数中( )最大。 具【易错点12】温度与温差 会【易错点拔】未掌握负数情境下求温差的方法。 1.温度越低就越冷，-4℃和-16℃相比，( )温度低。 2.冬季的一天，室内温度为8℃，室外温度为零下8℃，则室内室外温差为( )℃。 第7页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果【易错点13】负数与百分率的综合应用问题 令【易错点拔】综合情境下，能力要求较高。 1.乒乓球是中国国球，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种。 标准的比赛用球（赛璐珞球）质量是每粒2.5±0.2g。某次抽检五粒球的质量分别是2.56g、2.61g、 2.73g、2.58g和2.50g,这些乒乓球的合格率为( )%。 2.体育老师对某班男生进行引体向上的测试，连续做7个为达标记为0，超过7个的个数用 正数表示，不足7个的个数用负数表示。其中5个男生的成绩分别是：-2、-1、0、1、2这 5个男生的达标率是( )%,完成个数最多的男生做了( )个引体向上。 泉【易错点14】计算星期 【易错，点拨】未掌握周期问题和时间的推算方法。 1.今年教师节是星期二，再过60天是星期( ),明年元旦是星期( )。 2.某年的七月里有5个星期三，4个星期四，则这年的7月1日是星期( )a 只【易错点15】将错就错 二【易错点拔】未掌握“将错就错”题型的解法。 1.玲玲在计算4×（口十9）时，错看成了4×口十9，她得到的结果比正确结果少( 2。小明在计算×（口-8）时，错看成了×口一8，他得到的结果比正确结果少( 泉【易错点16】百分率的增减变化问题 【易错点拔】未掌握单位“1”的不同变化。 1.一件商品先涨价20%，再降价20%后售价为96元，这件商品的原价是( )元：若先 降价20%，再涨价 )%才能恢复原价。 2.一个正方形的一边减少10%，另一边增加10%，得到的长方形的面积是原正方形面积的 ( )。 原【易错点17】“买几送几”与折扣的关系 【易错点拔】未掌握“买几送几”与折扣数之间的转化方法。 1.超市做促销活动，某罐装牛奶“买四送一”，即每购买4罐送1罐。李老师需10罐这样的牛 奶，相当于可以按原价的( )折购买。 第8页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.六一儿童节，某文具店的足球八折出售。这款足球实际售价比原价便宜了( )%,实 际售价与原价的比是( )。当购买数量是5的倍数时，“八折出售”也可以看成是“买 )送一”。 只【易错点18】百分率与生活的结合 会【易错点拔】未掌握百分率的计算方法。 1.如图有三杯盐水，每杯盐水中盐和水的质量如图所示（单位：g)。( )杯盐水更咸。 甲 丙 水：25 水：30 水：60 盐：10 盐：15 盐：24 2.有两杯糖水，红杯里的糖水，糖与水的比是1：8，蓝杯里的糖水含糖率是25%，( 杯里的糖水更甜。 原【易错点19】利润问题 令【易错点拔】稍复杂的利润问题，解决起来较为困难。 1.如果一件商品按180元定价，可获利20%。实际上，该商品的售价为240元，那么所得的 利润是( )元。 2.某种商品去年的成本为100元，若按定价的八折出售，能获得20%的利润。由于今年的成 本降低，按去年定价的七折出售仍能获得50%的利润。今年的成本价是( )元。 原【易错点20】利用等式的性质求未知数 【易错点拔】未掌握等式的性质，题型较为灵活，解决起来较为抽象。 1.如果△+口=42，△+⊙=59，口+⊙=87，那么△=( ) 2.小华的自行车锁密码是☆o☆△，如果☆十o=10,☆一o=4,△×5一6=24，那么小华的 自行车锁密码是( 。 泉【易错点21】定义新运算和程序框图 会【易错点拔】题型较为抽象。 1.定义新运算0”，a®-写0-4h,则12(~1)=( )a 第9页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.一个运算程序，运算规则如下图，如果输入15，那么结果是( ),如果输入7，那 么结果是( )。 输入数A A是质数 A是合数 A2+2 2A+2 显示结果 原【易错点22】量率对应问题 【易错点拨】未掌握量率对应问题的通用解法。 1.工程队挖一条水渠，第一周挖了全长的，第二周挖了60米，还剩下340米，这条水渠全 长多少米？ 2.修路队修一条路，第一天修了全长的4，第二天修了全长的0，还剩下120米没有修完， 这条路一共长多少米？ 原【易错点23】促销问题 【易错点拔】综合型的促销问题，综合性较强，难度较大。 1.学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6元，三家超市采取了不同的促销 方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 第10页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.随着科技与文化融合发展进校园，某中学计划采购一批“AI智能文创学习终端”，用于校园 文化社团活动。该终端单价为150元/台，学校需采购30台。现有三家科技文创平台提供不同 优惠、具体如下。 甲平台（科技直营 “买5赠1”，即每购买5台终端，免费赠送1台同款终端 店) 乙平台（文创折扣 所有商品一律打八八折销售 店) 丙平台（综合服务 购物每满2000元，返还现金240元 平台) 请计算在三家平台采购30台“AI智能文创学习终端”的费用，并判断选择哪家平台最节省费用。 原【易错点24】比与分数应用题的结合 【易错点拨】综合性较强，处理起来较为困难。 1.婷婷读一本故事书，第一天看的页数与剩下页数的比是1：4，第二天看了15页，正好看 完了全书的一半，第一天看了多少页？ 2.张师傅加工一批零件，上午完成的个数和剩下个数的比是1：4；如果再加工360个就可以 完成任务，这批零件共有多少个？ 第11页共19页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点25】图形规律探索 令【易错点拔】观察与探索题型较为灵活。 1.聪聪用小棒搭房子（如图），搭1间房子用5根小棒，搭2间房子用9根小棒，像这样搭 4间房子用( )根小棒，搭n间房子用( )根小棒。 公C公公公公 2.按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角 形的个数为122个。 会。 △△公△△ △△△公△△△ (1) (2) (3) 只【易错点26】用字母表示数字 【易错点拨】符合个数字数位上的特点。 1.一个两位数，十位上的数字是a,个位上的数字是b,用含有字母的式子表示是( )。 2.一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大 的是( ) 原【易错点27】等量代换问题 【易错点拔】天平两边平衡，重量相同。 1.·、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保 持平衡，那么“？”为( 2.在创作剪纸作品时，手工艺人喜欢喝金寨瓜片提神。在金寨县的传统手工制茶作坊中，茶 农老王用一杆老式天平称量茶叶，准备送给李奶奶。如图：天平两端各放着一个同样的茶罐， 左边的茶罐装满了水，右边的茶罐装了半罐水后，又放上一个重0.2千克的砝码，这时天平处 于平衡状态，天平左边的茶罐里水重( )千克。 第12页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点28】齿轮配套问题 令【易错点拔】齿轮配套稍微抽象。 1.如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是 相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少 圈？（用比例的知识解答） 2.某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，己知1 个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加 工的大小齿轮刚好配套？ 果【易错点29】比与等腰三角形的结合 会【易错点找】未掌握等腰三角形的特点和按比例分配问题的通用解法。 1.一个等腰三角形的周长是20cm,已知其中两条边的长度比2：1，那么腰为( )cm, 底为( )cm。 2.一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是( )度。 按角来分，它是( )三角形。 冥【易错点30】根据算式判断比例关系 【易错点拨拔】未能掌握正反比例的特点及变化。 1.知果a与b是丙种析关联的址(a,b均不为0)，当时，a与b成 )比例关 第13页共19页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 系；当a=b+5时，a与b( )比例关系。 2.如果a3= b (a≠0)，那么ab=( ),如果6a一8b=0(a、b不为0)，那么a与b 成( )比例关系。 原【易错点31】不变量问题 【易错点拔】找到不变量，再解决问题。 1.装配车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5：3，如果第一小组调出14人到 第二小组，这时第一小组与第二小组人数的比是1：2，原来第一小组有( )人。 2。一个班男生和女生人数原来的比是9：山，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的号， 这个班原来有( )人。 冥【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用 会【易错点按】综合性较强，计算量较多，难度较大。 1.如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内 (含3千米)的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚 去展览馆一共需要多少元出租车费？ 展览馆 小刚家 4厘米 2厘米 文化馆 比例尺=1：500000 2.下面是小明坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价 11元计算，以后每增加1千米车费就增加1.2元。请你按图中提供的信息算一算，小明去展览 馆（单程）一共要花多少元出租车费？ 展览馆、 12厘米 小明家 6厘米 比例尺：1：300000 文化馆 第14页共19页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点33】求比问题 会【易错点拔】在较复杂的变化关系中求比，不易分析，难度稍大。 1.甲乙丙三人投篮比赛，甲投的个数比乙多；，乙投的个数比丙少写，则甲与丙投球的个数 比是( ) 2.六(1)班男生人数比女生人数多，则男生人数与女生人数的比是( )；如果女生 比男生少5人，六(1)一共有( )人。 原【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 【易错点拔】将长方体和按比例分配问题结合，综合性较强，计算量较多，难度较大。 1.用120厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的表面积 是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 2.用一根48分米的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是5：4：3，在这个长方 体框架外面糊一层纸，至少需要( )平方分米的纸。它的体积是( )立方分米。 原【易错点35】推理问题 会【易错点拔】未掌握逻辑推理思路。 1.长跑比赛中，小李、小张、小刘、小陈四人中有一人得了第一名。小张说：“小李是第一名。” 小李说：“小刘是第一名。”小刘说：“我不是第一名。”小陈说：“小李在说谎。”已知四人中只 有一人说真话，则( )说了真话，( )是第一名。 2.红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、 戊五个人猜各包里的珠子的颜色。 甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色。” 丙猜：“第一包红色，第五包白色。”猜：“第三包蓝色，第四包白色 戊猜：“第二包黄色，第五包紫色 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 第15页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果【易错点36】鸡免同笼问题 令【易错点拔】未掌握不同类型鸡兔同笼问题的通用解法。 1.中超足球联赛积分规则的核心：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。某球队2024 年全年比赛30场，共计得了49分，已知其中负了5场。问：该球队胜和平各多少场？ 2.学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未 默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 原【易错点37】指针夹角问题 令【易错点拔】未掌握计算指针夹角的方法。 1.8时30分，时针和分针的较小夹角是( )度。 2.2024年有( )天；下午1：30时，钟面上的时针与分针的夹角是( )角。 果【易错点38】外方内圆与外圆内方 【易错点拔】体会两种方圆图形的特点，采用不同方法进行计算。 1.贴窗花是中国春节的传统习俗，人们以此寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。下图为一窗花 图片，圆的面积是200.96平方厘米，用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是( )厘米， 面积是( )平方厘米。 2.如图中正方形的面积和圆的面积比是( )。（比的结果保留π) 第16页共19页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形 令【易错点拔】未能掌握等底等高的平行四边形和三角形的关系。 1.如图中平行四边形的面积是22.4dm2,则空白部分的面积是( )dm2。 2.如图中，正方形的周长是16厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米，三角形的 面积是( )平方厘米。 貝【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较 令【易错点拔】比较阴影部分图形的周长或面积大小，注意图形的关联性。 1.甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一 个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比( 丙 A.甲更高 B.乙更高 C.丙更高 D.三人都相同 2.如下图：两个图形阴影部分的( A.周长相等，面积不等 B.周长和面积都相等 C.周长和面积都不相等 D.周长不相等，面积相等 第17页共19页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点41】复杂的阴影图形面积计算 令【易错点拔】总体图形面积减去空白图形面积等于阴影图形面积。 1.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆 周率取3.14) 2.求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） D 10 10 原【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法 会【易错点拔】未能熟练掌握圆柱和圆锥的旋转构成法。 1.如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是( )cm3, 阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( ) 5cm 3cm 2.如下图，一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和5cm,以直角边的短边或长边为轴， 将三角形旋转一周分别得到甲乙两个圆锥。那么甲乙两个圆锥的体积比为( ) 2---5 甲 乙 第18页共19页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 令【易错点拔】未能熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥的关系，不能灵活处理问题。 1.等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( ),如果它们的体积一共是48 立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 2.两个大小相同的量杯里都盛有200L的水。如图，将等底等高的圆柱与圆锥分别放入甲、 乙两个量杯后，甲的水面刻度为440mL,圆锥的体积是( )cm3. 440mL 原【易错点44】等积变形问题 会【易错点拔】未能掌握等积变形问题的核心特点。 1.一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底 面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 2.如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm,将乙容器中的水全部倒入甲 容器中，这时水深( )cm;如果倒入与这个圆柱底面积之比是5：1的圆锥形容器中， 刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm. 甲 20cm 20cm '10cm 10cm 10cm 原【易错点45】立体图形的切拼问题 【易错点拔】不同立体图形的不同切拼方式，面积有着不同的变化特点。 1.把一根长1.2米的长方体木料截成三小段，表面积比原来增加36平方分米。这根木料原来 的体积是( )立方分米。 2.把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2,这根钢材的体积是 )dm3。 第19页共19页命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 周杰伦《烟花易冷》 石板上回荡的是，再等。 斑驳的城门，盘粥着老树根。 我听闻，你始终一个人。 雨纷纷，旧故里草木深 第1页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 目录 冥【易错点01】循环小数与周期规律问题… .5 冥【易错点02】不同类型数之间的大小比较… .6 原【易错点03】不同类型数之间的综合转化… .6 冥【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法… .8 原【易错点0S】倒数的性质应用… 8 只【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用9 貝【易错点0们】稍复杂的最小公倍数的应用题1 只【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题… .11 只【易错点09】混淆单位“1”与总量… .12 只【易错点10】混淆分量和数量… .13 只【易错点11】在算式中比较不同分数的大小… .14 冥【易错点12】温度与温差…。 ..15 原【易错点13】负数与百分率的综合应用问题. .15 冥【易错点14】计算星期.… .17 原【易错点15】将错就错… .18 只【易错点16】百分率的增减变化问题… .18 只【易错点17】“买几送几”与折扣的关系… 20 原【易错点18】百分率与生活的结合… .21 冥【易错点19】利润问题.… 23 只【易错点20】利用等式的性质求未知数， .24 只【易错点21】定义新运算和程序框图… .25 第2页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 冥【易错点22】量率对应问题… ,26 只【易错点23】促销问题…。 .27 冥【易错点24】比与分数应用题的结合 .30 原【易错点25】图形规律探索…。 .31 只【易错点26】用字母表示数字… ..32 只【易错点27】等量代换问题… .33 只【易错点28】齿轮配套问题… .34 月【易错点29】比与等腰三角形的结合35 只【易错点30】根据算式判断比例关系… 36 只【易错点31】不变量问题… .37 只【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用…。 .39 只【易错点33】求比问题… 41 冥【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 ....42 只【易错点35)】推理问题.… …43 冥【易错点36】鸡免同笼问题… .....45 原【易错点37】指针夹角问题… .46 只【易错点38】外方内圆与外圆内方… .47 只【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形…48 具【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较… …49 冥【易错点41】复杂的阴影图形面积计算… .51 只【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法， …53 只【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 .55 第3页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点44】等积变形何题… ,56 冥【易错点45】立体图形的切拼问题… .57 第4页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2026年小升初数学典型例题系列·从热点情境到终极压轴 小升初终极模式04：易错攻略模式 昆日期： ⊙用时： 贝评价： 模式说明： 易错攻略模式以“典例系列”为根基，以小升初真题为蓝本，选取易错易混考点，设置易错 点拨和两道考题，建议讲解与训练并重。 原【易错点01】循环小数与周期规律问题 令【易错点拔】找错或漏算循环小数的循环节，混淆新周期或步骤不严密。 1.循环小数50.405405..小数部分第56位上的数字是( ) 【答案】0 【分析】观察可知，循环小数50.405405..的循环节是405，把一个循环节看作一个周期，用 56除以循环节中的数字个数，求出商为整数时候的余数，商表示56里面有多少个周期，余数 是几，就按从左往右的顺序数出循环节的第几位数字，据此解答。 【详解】50.405405..的循环节是405，一共有3个数字。 56÷3=18…2 因为循环节的第2位数字是0，所以循环小数50.405405..的小数部分第56位上的数字是0。 2.将化成小数，小数部分第100位上的数字是( 【答案】8 【分析】把化成小数是1.142857，循环节是6位数字，用100除以6，商为循环节数，根据 余数即可确定小数部分第100位上的数字。 【详解】 =1.142857 100÷6=16..4 每个循环节的第四个数字是8。 小数部分第100位上的数字是8。 第5页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果【易错点02】不同类型数之间的大小比较 会【易错点拔】未掌握多类数的互化方法，未严格按照数的大小比较方法进行比校。 1.在0.27、18、0.27、27.2%这四个数中，最大的数是( 【答案) 【分析】先把循环小数的简写形式写成无限小数形式，再把分数和百分数转化成小数，然后按 照小数大小比较的方法进行比较，先看它们的整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同的， 就比较十分位，十分位大的数就大，以此类推，依次往后比较百分位、千分位..从而确定最 大的数。 【详解】0.27=0.2727… J 18 =0.2777. 27.2%=0.272 0.2777..>0.277>0.2727..>0.272 即8>0277>0.27>27.2% 18 所以最大的数是合 2.在π、3.14、31.4%、 2中，最大的数是( ),最小的数是( 【答案】 22 31.4% 【分析】比较不同类型数的大小，需先将所有数统一转化为相同形式（如小数），再进行比较。 【详解】31.4%=0.314 22 > ≈3.143 π≈3.1416 3.143>31416>3.14>0.314,则2>元>3.14>314%。 7 所以最大的数是号，最小的数是314%。 原【易错点03】不同类型数之间的综合转化 【易错点拔】未掌握多类数的互化方法，计算不够严密。 第6页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.=( ):8=0.75=( )片12=( )%=( )折。 【答案】3；6；9：75：七五 【分析】根据“分子=分母×分数值”，分母是4，分数值是0.75，可得分子为4x0.75=3,即2=075， 第一空填3。 根据“比的前项=比的后项×比值”，比的后项为8，比值为0.75，可得比的前项为8×075=6， 即6：8=0.75，第二空填6。 根据“被除数=除数×商”，除数是12，商是0.75，可得被除数为12×0.75=9，即9÷12=0.75， 第三空填9。 把0.75转化为百分数，将小数点向右移动两位，再加上百分号，可得0.75=75%，第四空填 75。 根据折扣的定义，几折就是百分之几十，0.75=75%，所以75%就是七五折，第五空填七五。 【详解】由分析可知： 4=6:8=0.75=9-12=75%=七五折 2.( ）:24=0.25=( %=()=( )折=( )(填成数)。 【答案】6；25；12；二五；二成五 【分析】因为0.25=4，根据比与分数的关系：=1：4，再根据比的基本性质，24：4=6，即4 乘了6，则1也要乘6,1×6=6，所以6：24=0.25。第一空填6。 把0.25的小数点向右移动两位，再加上百分号，即0.25=25%。第二空填25。 已知025=子，=己，分子1变成3，乘了3，根据分数的基本性质，分母4也要乘3,43 =12,所以025=日第三空填12. 百分之几十就是几折，百分之几十几就是几几折，25%就是二五折。第四空填二五。 百分之几十就是几成，百分之几十几就是几成几，25%就是二成五。第五空填二成五。 【详解】由分析可知： 6:24=025=25%=}=二五折=二成五 12 第7页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点04】不同情境下最大公因数和最小公倍数的不同找法 令【易错点拔】未掌握最大公因数和最小公倍数的基础求法，未掌握在特殊情境下找最大公 因数和最小公倍数。 1.两个非零自然数a和b,如果ab=8,那么a和b的最小公倍数是( ),最大公因数 是( );如果a和b是两个不同的质数，那么a和b的最小公倍数是( ),最大 公因数是( )。 【答案】 a b ab 1 【分析】两个数公有的因数，叫做它们的公因数。其中，最大的一个，叫做它们的最大公因数： 两个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中，最小的一个，叫做它们的最小公倍数： 两个非零的自然数，如果它们是倍数关系，较大数是它们的最小公倍数，较小数是它们的最大 公因数。如果它们是互质数，那么它们的最小公倍数是它们的乘积，它们的最大公因数是1。 【详解】ab=8,那么a和b的最小公倍数是a,最大公因数是b:a和b是两个不同的质数， 那么a和b的最小公倍数是ab,最大公因数是1。 2.A=m×3×5,B=m×3×7(m是大于0的自然数)，如果A和B的最大公因数是6，则A 和B的最小公倍数是( 【答案】210 【分析】两个数的最小公倍数是它们共有的质因数与各自独有的质因数的乘积。根据A和B 的最大公因数是6，求出，然后再求最小公倍数。 【详解】A=m×3×5 B=m×3×7 A和B的最大公因数是3×m=6 所以m=2 A和B的最小公倍数是3×2×5×7=210。 原【易错点05】倒数的性质应用 会【易错点拔】未掌握倒数的性质，不能灵活的运用倒数解题。 1.如果m和n互为倒数，则4÷”Lx2=( m 2 m n 【答案】 第8页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】乘积是1的两个数互为倒数，除以一个数(0除外)等于乘这个数的倒数，据此计算 化简即可。 【详解】4”1×2 m 2 m n 421x2 =4×2 m n m n 4×21×2 mxnm×n 2 m×nm×n 6 m×n 因为m×n=1, 即6=6-6 m×n1 所以如果m和n互为倒数，则4÷”1×2 ×-=6。 m 2 m"n 2. 如果x和y互为倒数，且3-二，那么15a=( 【答案】3 【分析】根据比例的基本性质“两个外项之积等于两个内项之积得5a=xy;x和y互为倒数， 那么xy的乘积是1，说明5a=1;然后根据等式的性质，方程两边同时除以5计算出a的值： 再将a的值代入15a中求出结果即可。 【详解】由3-二得5a=xy x a 已知x和y互为倒数，那么5a=xy=1。 5a=1 解：5a÷5=1÷5 a=0.2 当a=0.2时，15a=15×0.2=3。 所以，15a=3。 原【易错点06】因数和倍数、奇数和偶数、质数和合数综合运用 会【易错点拨】未掌握几类数的基本概念，未能记住常考的几个特殊数字。 1.a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a十b=16一c,则a×b×c的积是( 【答案】40 【分析】合数：指自然数中除了能被1和它本身整除外，还能被其他的数整除的数。“01”既 第9页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 不是质数也不是合数。最小的合数是4。质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作 质数，最小的质数是2。 【详解】c是最小的合数是4,16一c=16-4=12: 2a+b=16-c=12,则b=12-2a; 因为2a一定是偶数，(12-2a)也一定是偶数 即b是偶数，由题知b是质数，既是质数又是偶数的只有2，所以b=2 2a+2=12 解：2a=10 a=5 a×b×c=5×2×4=40 所以日自×日。×。日的积是40。 【点睛】明确质数里只有2一个偶数，除了2都是奇数是解题关键。 2.有一个20以内的自然数满足以下三个条件：①这个数减1是一个偶数；②这个数可以写成 两个质数相加的和：③这个数可以写成两个不同质数相乘的积。这个数是( )。 【答案】15 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 条件①：该数减1是偶数，说明这个数是奇数，列举出20以内所有的奇数： 条件③：该数是两个不同质数的积，列举出20以内所有的质数；根据偶数×奇数=偶数，排除 2与其它质数的乘积，列举出除2以外其他两个质数的乘法组合，排除乘积大于20的组合； 利用条件②验证这个数能否写成两个质数之和，进而确定这个数。 【详解】20以内的奇数为1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。 20以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19： 该数是两个不同质数的积，因为偶数×奇数=偶数，排除2与其它质数的乘积，则可能的组合 有： 3×5=15,15是20以内的奇数，符合条件①：15=2+13,2和13均为质数，符合条件②： 3×7=21,21>20,排除： 后面组合的积都大于20，排除。 所以，这个数是(15)。 第10页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 果【易错点07】稍复杂的最小公倍数的应用题 令【易错点拔】未掌握最小公倍数应用题的常规解法，特殊类最小公倍数特殊处理。 1.小红家有一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，已知这些鸡蛋总数在80 到100个之间。你能算出小红家有多少个鸡蛋吗？ 【答案】92个 【分析】根据题意，一些鸡蛋，5个5个地数，6个6个地数都多出了2个，说明这些鸡蛋的 总个数比5和6的公倍数还多2： 先求出5和6的最小公倍数，再找出在80到100之间的公倍数，最后再加上2个，即是这些 鸡蛋的总个数。 【详解】5和6的最小公倍数是：5×6=30 30在80到100之间的公倍数是：30×3=90 90+2=92(个) 答：小红家有92个鸡蛋。 2.士兵们在操练，韩信前来点兵。他发现每行6人，最后一行缺1人；每行4人或5人，最 后一行也都缺1人。算一算，这批士兵至少有多少人？ 【答案】59人 【分析】根据题意可知，这批士兵人数是6的倍数加上1人：4的倍数加上1人：5的倍数加 上1人，也就是6,4,5最小公倍数减去1，根据求最小公倍数的方法：几个数的共有质因数 与每一个数独有质因数的连乘积；如果这几个数是倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如 果这几个数是互质数，最小公倍数为几个数的连乘积，据此解答。 【详解】6=2×3 4=2×2 5=1×5 6,4,5的最小公倍数是3×2×2×5=60。 60-1=59(人) 答：这批士兵至少有59人。 泉【易错点08】小数点变化引起的和差倍问题 令【易错点找】未掌握该类问题的常用解法，混淆和差倍的不同情况。 第11页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.一个两位小数，若将它的小数点向右移一位，则得到一个新的小数。已知这个新的小数与 原两位小数之和是7.92，那么原两位小数是( 【答案】0.72 【分析】一个两位小数，若将它的小数点向右移一位，得到的新小数是原小数的10倍，两数 之和是7.92，根据和倍问题的求法，求出一倍数就是原两位小数。 【详解】7.92÷(1+10) =7.92÷11 =0.72 【点晴】本题考查了小数点的移动和和倍问题，较小数=和÷（倍数十1）。 2.一个两位小数，去掉小数点后比原来数大14.85，这个两位小数是( 【答案】0.15 【分析】一个两位小数，去掉小数点相当于扩大到原来的100倍，增大的部分相当于原数的 99倍，则用差除以99即可求出这个两位小数是多少。 【详解】14.85÷(100-1) =14.85:99 =0.15 一个两位小数，去掉小数点后比原数大14.85，这个两位小数是0.15。 原【易错点09】混淆单位“1”与总量 会【易错点拔】未能理解单位“1”与总量，混淆二者概念。 1.把3米长的铁丝平均分成5段，每段长( )米，每段是全长的( 【答案】 306 【分析】把这根铁丝的长度看作单位1”。 根据除法的意义，把3米平均分成5段，用除法计算： 根据分数的意义，把单位1平均分成5段，每段是全长的； 3 【详解】3+5=亏（米） 1÷5= 2.把一根5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的( ),每段长( )米。 第12页共58页 而学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 5 6 【分析】把绳子的总长度看作单位“1”，用1除以截成的段数即可得到每段是全长的几分之几： 用绳子的总长度除以截成的段数即可得到每段长多少米。 【详解】1÷6= 6 56=5 (米) 6 所以把一根5米长的绳子平均截成6段，每段是全长的，每段长米。 6 6 原【易错点10】混淆分量和数量 【易错点拔】未能理解分量和数量，混淆二者概念。 1.把一根绳子截成两段，第一段占全长的；，第二段长，米，两段的长度相比( A.第一段长B.第二段长 C.同样长 D.无法比较 【答案】B 【分析】将整根绳子的长度看作单位“1”，第一段占全长的，则第二段占全长的1-写： 比较 两段绳子占全长的分率即可。 【详解】1-1-2 33 21 33 第二段占全长的分率>第一段占全长的分率，则第二段绳子的长>第一段绳子的长。 即两段的长度相比第二段长。 故答案为：B 2.两根同样长的电线，都用去一部分后，第一根剩下它的号，第二根剩下号米。 那么两根电 线用去部分相比较，( )。 A.第一根长B.第二根长 C.同样长 D.无法比较 【答案】D 【分析】分数的意义：把一个整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数，分母是分成 的份数，分子表示占其中的几份：第一根剩下它的号，表示把第一根电线的长度看作单位“， 平均分成9份，还剩下4份，但是电线的长度未知，所以无法确定4份对应的长度是多少米， 第13页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 据此解答。 【详解】根据分析可知：因为电线的长度未知，所以第一根电线剩下的长度也未知，也就无法 和第二根剩下的长度比较，无法比较剩下的长度，也就无法确定两根电线哪根用去的部分更长： 所以两根电线用去的部分无法比较。 故答案为：D 原【易错点11】在算式中比较不同分数的大小 令【易错点找】未掌握通用解法来比较算式中的异分母分数大小比校。 1.已知a、b、c均为非零数，并且agb×cx1,那么最大的是( 4 【答案】b 【分析】假设a。b子c日，根据商×除数=被除数，积因数=另一个因数，分别计算出 8 a、b、c,比较即可。 3 3 【详解】假设a÷。=b×=c×l=l 8 4 33 a=1× 88 3_4 b=1÷ 43 c=1÷1=1 4 最大的是b。 2. 如果A号B号=C(AB、C40),则A、B、C三个数中 )最大。 【答案】C 【分析】三个算式的计算结果相等，可以设计算结果都是1；根据被除数=商×除数，因数 积：另一个因数，分别求出A、B、C的值，再通分化成同分母的分数比较大小：分母相同时， 分子越大，分数就越大。 【详解】设A写=Bx=C】= A号=1，则A=号： 3 B9=1,则B=名 7 c-1,则c= 第14页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2= 2×48 33×412 77×214 66×212 手器-台 因为片>台合所u>君号 所以A、B、C三个数中C最大。 【点睛】也可以将分数除法转化成分数乘法，再比较三个乘法算式中分数的大小：根据积相等 时，其中一个因数越大，则另一个因数反而越小，找出A、B、C中最大的数。 原【易错点12】温度与温差 令【易错点拔】未掌握负数情境下求温差的方法。 1.温度越低就越冷，-4℃和-16℃相比，( )温度低。 【答案】-16℃ 【分析】负数大小比较的方法：数字越大，这个数越小，反之则越大，据此解答即可。 【详解】-4℃>-16℃，所以-16℃温度低。 【点睛】熟练掌握负数大小比较的方法是解答本题的关键。 2.冬季的一天，室内温度为8℃，室外温度为零下8℃，则室内室外温差为( )C。 【答案】16 【分析】根据题意，室内温度为8℃，室外温度为零下8℃，8℃与0℃相差8℃，零下8℃与 0℃相差8℃，则室内室外温差为：8十8=16（℃）。 【详解】8+8=16（℃） 所以，室内室外温差为16℃。 泉【易错点13】负数与百分率的综合应用问题 会【易错点拔】综合情境下，能力要求较高。 1.乒乓球是中国国球，是一种世界流行的球类体育项目，比赛分团体、单打、双打等数种。 标准的比赛用球（赛璐珞球）质量是每粒2.5±0.2g。某次抽检五粒球的质量分别是2.56g、2.61g、 2.73g、2.58g和2.50g,这些乒乓球的合格率为( )%。 【答案】80 【分析】正数、负数表示两种相反意义的量。“2.5土0.2g”的含义，即2.5g是这种比赛用球的标 第15页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 准净重，实际每粒球的质量最多不超过(2.5+0.2)g,最少不低于(2.5-0.2)g,比较抽检的 五粒球的质量，质量在范围内的是合格的粒数，然后根据“合格率=合格的粒数÷总粒数×100%”， 代入数据计算即可。 【详解】最多不超过：2.5+0.2=2.7(g) 最少不低于：2.5-0.2=2.3(g) 2.3g<标准的比赛用球的质量<2.7g 2.3<2.56<2.7,合格 2.3<2.61<2.7,合格： 2.73>2.7,不合格： 2.3<2.58<2.7,合格： 2.3<2.50<2.7,合格； 抽检的五粒球的质量有1粒不合格，4粒合格； 合格率为： 4÷5×100% =0.8×100% =80% 【点睛】本题考查正负数的意义及应用和百分率的计算，知道以哪个数为标准，规定超出标准 的为正，低于标准的为负：明确求一个数是另一个数的百分之几，用除法计算。 2.体育老师对某班男生进行引体向上的测试，连续做7个为达标记为0，超过7个的个数用 正数表示，不足7个的个数用负数表示。其中5个男生的成绩分别是：-2、-1、0、1、2这 5个男生的达标率是( )%,完成个数最多的男生做了( )个引体向上。 【答案】 60 【分析】由题意可知，成绩为0、1、2的同学测试成绩达标，达标率=达标人数÷总人数×100%： 连续做7个标记为0,2表示比7个多2个，此时做引体向上的个数最多，据此解答。 【详解】3÷5×100% =0.6×100% =60% 所以，这5个男生的达标率是60%。 7+2=9(个) 第16页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以，完成个数最多的男生做了9个引体向上。 【点睛】掌握正负数的意义和一个数占另一个数百分之几的计算方法是解答题目的关键。 只【易错点14】计算星期 会【易错点拔】未掌握周期问题和时间的推算方法。 1.今年教师节是星期二，再过60天是星期( ),明年元旦是星期( )。 【答案】 六 三 【分析】教师节是9月10日，一周有7天，把7天看作一个周期，用60天除以7，如果可以 整除，那么60天后也是星期二，如果不能整除，余数是几，就从星期二往后推几天； 先根据1、3、5、7、8、10、12是大月有31天；4、6、9、11是小月有30天，计算9月10 日到明年的1月1日有多少天，再根据上述方法列式计算即可。 【详解】607=8（个）.4（天） 2十4=6，所以星期二，再过60天是星期六： (30-10)+31+30+31+1 =20+31+30+31+1 =51+30+31+1 =81+31+1 =112+1 =113(天) 113÷7=16(个)...1（天） 2十1=3，明年元旦是星期三。 所以今年教师节是星期二，再过60天是星期六，明年元旦是星期三。 2.某年的七月里有5个星期三，4个星期四，则这年的7月1日是星期( 【答案】 一 【分析】一周有7天，用除法求出七月31天里有几周，余几天，因为某年的七月里有5个星 期三，4个星期四，那么余数表示最后的几天里一定包含一个星期三，但不包含星期四，由此 确定七月的最后一天31日是星期几；进而得出七月每个星期三分别是几号，倒推出7月1日 是星期几。 【详解】31÷7=4（周）..3（天） 因为星期三比星期四多一个，所以余下的3天是星期一、星期二、星期三。 第17页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 七月的每周三分别是3日、10日、17日、24日、31日（共5次），7月3日是星期三，那么 7月1日是星期一。 所以，这年的7月1日是星期（一）。 泉【易错点15】将错就错 令【易错点拔】未掌握“将错就错”题型的解法。 1.玲玲在计算4（口+9）时，错看成了4×o+9,她得到的结果比正确结果少( 【答案】27 【分析】根据题意，将“4×（口+9）”减去“4×口十9”求出的差就是玲玲得到的结果比正确答案 少出的数值。计算时注意“4×（口十9）”应先利用乘法分配律展开。 【详解】4×(o+9)一(4×0+9) =4▣+36-40-9 =36-9 =27 她得到的结果比正确结果少27。 2. 小明在计算。×（口一8）时，错看成了×口一8，他得到的结果比正确结果少( 【答案】3 【分析】根据分数乘法的分配律得到式子，再将化简后的式子减去错看成的式子，计算得出答 案。 【详解】 5x(口-8)-(x口-8) 80- 8*8- 5 ×▣+8 8 80-0-5+8 =8-5 =3,即他得到的结果比正确结果少3。 【点晴】本题主要考查的是分数的乘法运算，解题的关键是熟练掌握分数乘法运算法则，进而 得出答案。 果【易错点16】百分率的增减变化问题 会【易错点拔】未掌握单位“1”的不同变化。 第18页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.一件商品先涨价20%，再降价20%后售价为96元，这件商品的原价是( )元：若先 降价20%，再涨价( )%才能恢复原价。 【答案】 100 25 【分析】由于降价20%后售价是96元，把降价前价格看作单位“1”，据此求出降价前的价格： 再把原价看作单位“1”，求出原价；降价20%，是把原价看作单位“1”，求出降价后的价格；要 想求涨百分之几才能恢复原卷，用现价与原价的差值除以降价后的价格再乘100%，求出需要 再涨价百分之几。 【详解】涨价后的价格：96÷(1-20%) =96-0.8 =120(元) 原价：120÷(1+20%) =120÷1.2 =100(元) 降价后的价格：100×(1-20%) =100×0.8 =80(元) 涨价百分比：(100一80)÷80×100% =20÷80×100% =0.25×100% =25% 2: 一个正方形的一边减少10%，另一边增加10%，得到的长方形的面积是原正方形面积的 )。 【答案】99% 99 100 【分析】假设正方形的边长10厘米，将正方形边长看作单位“1”，一边减少10%，是正方形边 长的(1一10%)，另一边增加10%，是正方形边长的(1+10%)，正方形边长×减少后的对 应百分率=长方形的宽，正方形边长×增加后的对应百分率=长方形的长，根据长方形面积 长×宽，正方形面积=边长×边长，分别计算出得到的长方形和原正方形面积，得到的长方形 的面积÷原正方形面积=得到的长方形的面积是原正方形面积的百分之几或几分之几。 【详解】假设正方形的边长10厘米。 第19页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10×(1-10%) =10×0.9 =9(厘米) 10×(1+10%) =10×1.1 =11(厘米) 11×9=99(平方厘米) 10×10=100(平方厘米) 99÷100=0.99=99% 得到的长方形的面积是原正方形面积的99%。 原【易错点17】“买几送几”与折扣的关系 会【易错点拔】未掌握“买几送几”与折扣数之间的转化方法。 1.超市做促销活动，某罐装牛奶“买四送一”，即每购买4罐送1罐。李老师需10罐这样的牛 奶，相当于可以按原价的( )折购买。 【答案】八 【分析】“买四送一”表示每购买4罐牛奶即赠送1罐，因此每5罐牛奶中只需支付4罐的钱。 先求出赠送的罐数，即10÷(4+1)=2罐，再求出实际支付的罐数为10一2=8罐，最后用实 际支付的罐数除以原来需购买的总罐数，结果乘100%得到百分数，即8÷10×100%=80%， 相当于八折。 【详解】10÷(4+1) =10÷5 =2(罐) 10-2=8(罐) 8÷10×100% =0.8×100% =80% 80%,相当于八折。 因此，超市做促销活动，某罐装牛奶“买四送一”，即每购买4罐送1罐。李老师需10罐这样 的牛奶，相当于可以按原价的八折购买。 第20页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.六一儿童节，某文具店的足球八折出售。这款足球实际售价比原价便宜了( )%,实 际售价与原价的比是( )。当购买数量是5的倍数时，“八折出售”也可以看成是“买 )送一”。 【答案】 20 4:5 四 【分析】把原价看作单位“1”，打八折指的是现价相当于原价的80%，即实际售价比原价便宜 了1一80%；根据比的意义可知实际售价：原价=80%：1，再根据比的基本性质把结果化成最 简整数比即可；当购买数量是5的倍数时，根据(2)中得到的实际售价与原价的比，比的前 项表示需要花钱购买的数量，比的后项表示实际得到的数量，用实际得到的数量减去花钱购买 的数量即可得到送的数量，据此解答。 【详解】1一80%=20% 80%:1 =0.8:1 =(0.8×10):(1×10) =8:10 =(8÷2):(10:2) =4:5 5-4=1 六一儿童节，某文具店的足球八折出售。这款足球实际售价比原价便宜了20%，实际售价与原 价的比是4：5，当购买数量是5的倍数时，“八折出售”也可以看成是“买四送一”。 原【易错点18】百分率与生活的结合 会【易错点拔】未掌握百分率的计算方法。 1.如图有三杯盐水，每杯盐水中盐和水的质量如图所示（单位：g)。( )杯盐水更咸。 甲 丙 水：25 水：30 水：60 盐：10 盐：15 盐：24 【答案】乙 【分析】含盐率=盐的质量÷盐水的质量×100%，代入数值分别求出三杯盐水的含盐率，并比 第21页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 较大小，含盐率越高盐水越咸，据此解答。 【详解】甲：10÷(25+10)×100% =10÷35×100% ≈0.286×100% =28.6% 乙：15÷(30+15)×100% =15÷45×100% ≈0.333×100% =33.3% 丙：24÷(60+24)×100% =24÷84×100% 0.286×100% =28.6% 28.6%=28.6%<33.3% 所以乙杯盐水更咸。 2.有两杯糖水，红杯里的糖水，糖与水的比是1：8，蓝杯里的糖水含糖率是25%，( 杯里的糖水更甜。 【答案】蓝 【分析】由题意可知，红杯里的糖水，糖与水的比是1：8，则假设糖的质量为1，水的质量为 8,则糖水的质量为1+8=9：再根据含糖率=糖的质量：糖水的质量×100%，据此求出红杯中 糖水的含糖率，再与蓝杯里的糖水含糖率对比即可。 【详解】假设糖的质量为1，水的质量为8，则糖水的质量为1+8=9 1÷(1+8)×100% =1÷9×100% ≈0.11×100% =11% 11%<25% 则蓝杯里的糖水更甜。 第22页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点19】利润问题 令【易错点拔】稍复杂的利润问题，解决起来较为困难。 1.如果一件商品按180元定价，可获利20%。实际上，该商品的售价为240元，那么所得的 利润是( )元。 【答案】90 【分析】根据题意，成本×(1十20%)=定价，把成本看作单位1，那么定价就是成本的(1 +20%)。根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法。用180除以(1+20%) 即可算出成本。再用最终售价240减去成本，就是得到的利润。 【详解】180：(1+20%) =180÷120% =180÷1.2 =150(元) 240-150=90(元) 那么所得的利润是90元。 2.某种商品去年的成本为100元，若按定价的八折出售，能获得20%的利润。由于今年的成 本降低，按去年定价的七折出售仍能获得50%的利润。今年的成本价是( )元。 【答案】70 【分析】先算出按八折出售的售价，因为利润是成本的20%，所以售价为成本加上利润，利润 =成本×利润率，用100×20%求出利润是多少元，再加上100元就是按定价的八折出售的售价， 再根据已知一个数的百分之几是多少，求这个数用除法解答，用按定价的八折出售的售价除以 80%求出去年的售价，再根据求一个数的百分之几是多少，用乘法，用去年的售价乘七折（七 折就是按70%出售)求出今年的售价，今年按此售价出售能获得50%的利润，即售价是今年 成本的(1+50%)，再用今年的售价除以(1+50%)即可求出今年的成本价。 【详解】100×20%=20（元） 100+20=120(元) 120:80%=150(元) 150×70%÷(1+50%) =105÷1.5 =70(元) 第23页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以今年的成本价是70元。 冥【易错点20】利用等式的性质求未知数 令【易错点拔】未掌握等式的性质，题型较为灵活，解决起来较为柚象。 1.如果△+口=42，△+⊙=59，口+⊙=87，那么△=( 【答案】7 【分析】一个加数十另一个加数=和，可知和一一个加数=另一个加数，由此可知口=42一△， ⊙=59一△，那么口+⊙=87，也就是42一△+59一△=87，根据等式的性质求出△的值。 【详解】因为△+口=42，所以如=42-△ 因为△+⊙=59，所以⊙=59-△ 由D+⊙=87，可得： 42-△+59-△=87 解：(42+59)-（△+△）=87 101-2△=87 2△=101-87 2△=14 △=14÷2 △=7 那么△=7。 2.小华的自行车锁密码是☆0☆△，如果☆+0=10，☆一0=4，△×5一6=24，那么小华的 自行车锁密码是( 【答案】7376 【分析】将24加上6，求出和，再将和除以5，求出△的值。根据等式的性质1，将☆+o 10、☆一。=4，左边加左边，右边加右边，求出☆的值。用10减去☆的值，求出o的值，求 出小华的自行车锁密码。 等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个数(0除外)，等式仍然成立。 【详解】(24+6)÷5 =30÷5 =6 第24页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ☆+0+（☆一o)=10+4 2☆=14 2☆÷2=14÷2 ☆=7 10-7=3 所以，小华的自行车锁密码是7376。 冥【易错点21】定义新运算和程序框图 令【易错点拔】题型较为抽象。 1.定义新运算9”a®0-0-40，则12e(-D=( 【答案】8 【分析】根据题目所给的新运算“。”，a®b表示第一个数的，倍减去第二个数的4倍，即a减 去4h。则12。(-1)=×12-4×(-1)，依次分步计算，涉及负数的运算，可以从负数以 及数轴的意义角度进行计算求解。 【详解】12®(-1) 1 =3×12-4×（-1D =4-(-4) =4+4 =8 故12®（-1)的值是8。 2.一个运算程序，运算规则如下图，如果输入15，那么结果是( ),如果输入7，那 么结果是( )。 输入数A A是质数 A是合数 A2+2 2A+2 显示结果 【答案】 32 51 第25页共58页 品学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 【分析】由运算程序可知：如果输入质数，就按先把质数平方再加2计算；如果输入合数，就 按先把合数乘2再加2计算。15是合数（除了1和它本身两个因数，还有因数3、5），按照 2×15+2计算；7是质数（只有1和它本身两个因数），按照72+2计算。 【详解】2×15+2 =30+2 =32 72+2 =7×7+2 =49+2 =51 所以如果输入15，那么结果是32：如果输入7，那么结果是51。 原【易错点22】量率对应问题 会【易错点找】未掌握量率对应问题的通用解法。 1.工程队挖一条水渠，第一周挖了全长的，第二周挖了60米，还剩下340米，这条水渠全 长多少米？ 【答案】640米 【分析】把水渠全长看作单位“”，第一周挖了全长的，则剩下的长度占全长的 1-8 ，剩 下的长度为60加340，也就是400米，40米对应全长的1-)， 根据分数除法的意义，用400 除以对应分率即可求出全长。 【详解】(60+340)--8 5 =400÷ 8 -400×5 =640(米) 答：这条水渠全长640米。 2.修路队修一条路，第一天修了全长的？，第二天修了全长的品，还剩下1200米没有修完， 这条路一共长多少米？ 第26页共58页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】2000米 【分析】将这条路的全长看作单位“1”，用单位“1”减去前两天已修路占全长的分率，求出剩下 路程占全长的分率，正好对应未修的1200米，根据“总量=部分量÷部分分率”，用除法计算出 这段路的全长。 【解1一-片动 33 420 153 2020 12 20 12003 =1200 3 =2000(米) 答：这条路全长2000米。 冥【易错点23】促销问题 会【易错点拔】综合型的促销问题，综合性较强，难度较大。 1.学校要买120本奖本，每种奖本在三家超市的原价都是6元，三家超市采取了不同的促销 方法（如下表），学校选择哪家超市购买最便宜？请写出比较的过程。 甲超市：每满100元减25元 乙超市：每买10本送2本 丙超市：打8折出售 【答案】甲超市 【分析】根据单价×数量=总价，分别计算出在三家超市所需实际支付的费用，进行比较： 甲超市：看总价里面有几个完整的100元，就用总价减去几个25元后为实付钱数；乙超市是“买 10赠2”的问题，看要购买的总数量中有几个完整的(10十2)本，就有几个2本是赠送的；丙 超市：“打八折即实付价是原价的80% 第27页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】甲超市：120×6=720（元） 720÷100=7(个)...20（元） 720-7×25 =720-175 =545(元) 乙超市：将10+2=12本分为一组 120-(10+2) =120÷12 =10(组) 组里边有2本是赠送的，所以120本中一共赠送的数量为： 10×2=20(本) 需要实际付钱的本数： 120-20=100(本) 100×6=600(元) 丙超市：打八折 120×6×80% =720×0.8 =576(元) 545<576<600 答：学校选择甲超市购买最便宜。 2.随着科技与文化融合发展进校园，某中学计划采购一批“AI智能文创学习终端”，用于校园 文化社团活动。该终端单价为150元/台，学校需采购30台。现有三家科技文创平台提供不同 优惠、具体如下。 甲平台（科技直营 “买5赠1”，即每购买5台终端，免费赠送1台同款终端 店) 乙平台（文创折扣 所有商品一律打八八折销售 店) 丙平台（综合服务 购物每满2000元，返还现金240元 第28页共58页 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 平台) 请计算在三家平台采购30台“AI智能文创学习终端”的费用，并判断选择哪家平台最节省费用。 【答案】 甲平台：3750元：乙平台：3960元；丙平台：4020元；选择甲平台 【分析】甲平台：用5加1计算出每买5台可得6台，然后用30除以6计算出有5组6，也 就是需要付费的有5×5=25（台），再根据“总价=单价×数量”用150乘25即可计算出在甲平 台购买30台终端需要付的总费用： 乙平台：将八八折化成88%；根据“总价=单价×数量”用150乘30计算出30台终端的总价： 再根据“求一个数的百分之几是多少，用乘法计算”用30台终端的总价乘88%即可计算在乙平 台购买30台终端需要付的总费用： 丙平台：根据“总价=单价×数量”用150乘30计算出30台终端的总价是4500元：然后用4500 除以2000计算出4500中有2组2000：再用2乘240计算出可以返还的现金是480元；最后 用4500减去480即可计算在丙平台购买30台终端需要付的总费用。 最后比较甲、乙、丙三个平台的费用即可。 【详解】甲平台： 30÷(5+1) =30÷6 =5(组) 5×5×150 =25×150 =3750(元) 乙平台： 八八折=88% 150×30×88% =4500×88% =4500×0.88 =3960(元) 丙平台： 150×30=4500(元) 第29页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4500÷2000=2(组)..500（元） 4500-2×240 =4500-480 =4020(元) 3750<3960<4020,所以甲平台更优惠。 答：选择甲平台最节省费用。 冥【易错点24】比与分数应用题的结合 会【易错点拔】综合性较强，处理起来较为因难。 1.婷婷读一本故事书，第一天看的页数与剩下页数的比是1：4，第二天看了15页，正好看 完了全书的一半，第一天看了多少页？ 【答案】10页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据己看的页数与剩下的页数的比是1：4，可知己看页数是 总页数的中，第二天看了15页，止好看元了全书的一卡，15页的对应分市是行中)： 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用险法解决：用15除以对应分率}44 即可求出这本书一共多少页；求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用本书的 总页数乘第一天已读的分率4即可列式解答。 【详解】15÷ 11 21+4 52 =151010 -15*0 3 =159 =50(页) 50x1 1+4 1 =50× 5 =10(页) 答：第一天看了10页。 2.张师傅加工一批零件，上午完成的个数和剩下个数的比是1：4：如果再加工360个就可以 第30页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 完成任务，这批零件共有多少个？ 【答案】450个 【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”，上午完成的个数和剩下个数的比是1：4，如果再 加工360个就可以完成任务，即剩下的360个占总个数的4，单位T未知，用剩下的个数 除以4 求出这批零件的总个数。 【详解】360+4 4 =360÷ 5 =360 4 =450(个) 答：这批零件共有450个。 冥【易错点25】图形规律探索 会【易错点拔】观察与探索题型较为灵活。 1.聪聪用小棒搭房子（如图），搭1间房子用5根小棒，搭2间房子用9根小棒，像这样搭 4间房子用( )根小棒，搭n间房子用( )根小棒。 【答案】 17 4n+1/1+4n 【分析】如图，搭1间房子用5根小棒，搭2间房子用9根小棒，由此可知，搭第4间房子， 需要在5根小棒的基础上增加4×(4一1)根小棒。搭n间房子，需要在5根小棒基础上增加 4×(n一1)根小棒。据此解答。 【详解】5+4×(4-1) =5+4×3 =5+12 =17(根) 5+4×(n-1) =5+4n-4 =4n+1 第31页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 所以，像这样搭4间房子用17根小棒，搭n间房子用(4n+1)或(1+4n)根小棒。 2.按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角 形的个数为122个。 会 A会A △△△△△ △△△公△△△ (1) (2) (3) 【答案】 17 40 【分析】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第 n个图有[5+3(n-1)]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解 得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【详解】5+3×(5-1) =5+3×4 =5+12 =17(个) 所以第五堆三角形的个数为17个。 5+3(n-1)=122 解：5+3(n-1)-5=122-5 3(n-1)=117 3(n-1)÷3=117÷3 n-1=39 n-1+1=39+1 n=40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【点睛】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图 多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 原【易错点26】用字母表示数字 【易错点拨】符合个数字数位上的特点。 1.一个两位数，十位上的数字是a,个位上的数字是b,用含有字母的式子表示是( 【答案】10a十b 第32页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】根据两位数的组成，十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一。十位上的 数字是a,即a个十，对应数值为10a;个位上的数字是b,对应数值为b。 【详解】10×a+b=10a+b 因此这个两位数为10a+b。 2.一个两位数，将它的十位和个位数字对调，得到的数比原来的数大27，这样的两位数最大 的是( ) 【答案】69 【分析】设原数的十位上是A,个位上是B,则原数为10A+B,个位和十位数字对调后的数 为10B+A。A、B≥1，则10B+A-(10A+B)=9B-9A=9(B-A)。根据题意，9(B A)=27,则B-A=3,即原来个位上的数比十位上的数大3。这样的数有：14、25、36、47、 58、69这6个，其中最大的两位数是69。 【详解】设原数的十位上是A,个位上是B。 10B+A-(10A+B) =10B+A-10A-B =9B-9A =9(B-A) =27 由此可得：B一A=3,这样的两位数有14、25、36、47、58、69，其中最大的是69。 【点晴】用含有字母的式子分别表示原数和新数，从而通过化简得到个位和十位上数字的关系 是解题的关键。 原【易错点27】等量代换问题 【易错点拔】天平两边平衡，重量相同。 1.·、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保 持平衡，那么“？”为( ●● 【答案】5 【分析】根据天平平衡，将▲代替成·与■的和，即可求出●是几个■，由此即可求出·与▲的和 是几个。 第33页共58页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】·+。=▲+d ·十■=▲ 所以。十●=。十■十口 即●三■十· 所以·十▲=·十·十■=■十■十■十■十■=5个■ 即“？”为5。 2.在创作剪纸作品时，手工艺人喜欢喝金寨瓜片提神。在金寨县的传统手工制茶作坊中，茶 农老王用一杆老式天平称量茶叶，准备送给李奶奶。如图：天平两端各放着一个同样的茶罐， 左边的茶罐装满了水，右边的茶罐装了半罐水后，又放上一个重0.2千克的砝码，这时天平处 于平衡状态，天平左边的茶罐里水重( )千克。 【答案】0.4 【分析】左边的茶罐装满了水，右边的茶罐装了半罐水后，又放上一个重0.2千克的砝码，说 明半罐水的质量（不含茶罐）是0.2千克，半罐水的质量×2=一罐水的质量（不含茶罐），据 此列式计算。 【详解】0.2×2=0.4（千克） 天平左边的茶罐里水重0.4千克。 貝【易错点28】齿轮配套问题 会【易错点拔】齿轮配套稍微抽象。 1.如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是 相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少 圈？（用比例的知识解答） 第34页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮 转的圈数=总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例 方程，并求解即可。 【详解】解：设小齿轮每分钟转x圈。 24x=3460 24x=2040 24x,24=2040,24 x=85 答：小齿轮每分钟转85圈。 2.某机械厂加工车间有84名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或者小齿轮10个，已知1 个大齿轮与2个小齿轮刚好配成一套，问分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加 工的大小齿轮刚好配套？ 【答案】20名：64名 【分析】设安排x名工人加工大齿轮，则(84一x)名工人加工小齿轮，根据“小齿轮总数=2× 大齿轮总数的配套关系，列出方程10(84一x)=2×16x,解方程求出加工大齿轮的工人数， 进而求出加工小齿轮的工人数。 【详解】解：设安排x名工人加工大齿轮，则(84一x)名工人加工小齿轮。 10(84-x)=2×16x 840-10x=32x 840-10x+10x=32x+10x 840=42x 42x=840 42x÷42=840-42 X=20 84-20=64(人) 答：安排20名工人加工大齿轮，64名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套。 果【易错点29】比与等腰三角形的结合 会【易错点拔】未掌握等腰三角形的特点和按比例分配问题的通用解法。 第35页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.一个等腰三角形的周长是20cm,已知其中两条边的长度比2：1，那么腰为( )cm, 底为( )cm. 【答案】 8 4 【分析】根据三角形边的关系，三角形任意两边的和大于第三边：根据等腰三角形的特征，当 腰是1份时，底是2份，这时不能围成三角形，所以这个等腰三角形的腰是2份，底是1份。 用周长除以(2+2十1)份，算出底的长度，再乘2算出腰的长度。 【详解】底：20÷(2+2+1) =20÷5 =4(cm) 腰：4×2=8(cm) 2.一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是( )度。 按角来分，它是( )三角形。 【答案】 90 直角 【分析】等腰三角形的两个底角相等，则这个等腰三角形的3个内角的度数比为2：1：1，再 根据三角形的内角和是180度，利用按比例分配的方法，求出最大角的度数，即为此三角形的 项角：若最大角大于90°，为钝角即为钝角三角形：若最大角等于90°，为直角即为直角三角 形；若最大角小于90°，为锐角即为锐角三角形；据此解答。 【详解】180×2+1+1 2 =180×号 =90° 一个等腰三角形，顶角与一个底角度数之比是2：1，这个三角形顶角度数是90度。按角来分， 它是直角三角形。 原【易错点30】根据算式判断比例关系 会【易错点拔】未能掌握正反比例的特点及变化。 1.如果a与b是两种相关联的量(a、b均不为0)，当：=2时，a与b成( )比例关 系；当a=b+5时，a与b( )比例关系。 【答案】 反 不成 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例：若它们的乘积一定，两种量 第36页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 成反比例。据此解答。 【详解】由号名，得a*b=15,乘积一定，符合反比例的意义，所以a与b成反比例： 由a=b+5,得a-b=5,差一定，所以a与b不成比例关系。 所以当：=3时，a与b成反比例关系；当a=b+5时，a与b不成比例关系。 5 b 【点睛】本题关键是根据正反比例的判定规则，通过变形判断a和b的关系：？可雅出ab =15,乘积一定故成反比例：a=b+5仅差一定，不满足正反比例的判定条件，因此不成比例。 2. 如果a3=3 (a≠0)，那么ab=( ),如果6a-8b=0(a、b不为0)，那么a与b 成( )比例关系。 【答案】 15 正 【分析】(1)根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，解答。 (2)根据正反比例的定义：两种相关联的量，若这两种量的比值（商）一定，两种量成正比 例关系；若这两种量的乘积一定，两种量成反比例关系，解答。 【详解】()由a3-名得：8=56 ab=3×5,即ab=15。 (2)由6a-8b=0得：6a=8b 两边同时除以2，得3a=4b,所以a:b= 3 a与b的比值一定，因此a与b成正比例关系。 因此，如果a3-名 (a≠0)，那么ab=15,如果6a-8b=0(a、b不为0)，那么a与b成正比 例关系。 原【易错点31】不变量问题 【易错点拔】找到不变量，再解决问题。 1.装配车间有两个小组，第一小组与第二小组人数的比是5：3，如果第一小组调出14人到 第二小组，这时第一小组与第二小组人数的比是1：2，原来第一小组有( )人。 【答案】30 【分析】设原来第一小组有5x人，因为第一小组与第二小组人数的比是5：3，所以原来第二 小组有3x人。第一小组调出14人到第二小组后，第一小组人数变为(5x一14)人，第二小组 第37页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 人数变为(3x+14)人。此时第一小组与第二小组人数的比是1：2，根据比例关系可得：(5x -14):(3x+14)=1:2,据此求出x的值，再乘5即可求出原来第一小组的人数。 【详解】解：设原来第一小组有5x人。 (5x-14):(3x+14)=1:2 2(5x-14)=(3x+14) 10x-28=3x+14 7x=42 x=6 5×6=30(人) 所以，原来第一小组有30人。 【点睛】此题考查比的应用。本题可通过设未知数，根据人数调动前后两组人数的比例关系来 建立方程求解，属于比例问题结合方程的应用类型。 2.一个班男生和女生人数原来的比是9：11，这学期转来2名男生，这时男生占总人数的0 1 这个班原来有( )人 【答案】40 【分析】设这个班原来有x人，因为男生和女生人数原来的比是9：11，所以原来男生人数有 ,×人，女生人数有，×人这学期转来2名男生，总人数变为(x十2》人，且男生古 9 总人数的”，因为女生人数不变，把新的总人数看作单位，所以此时男生人数占新总人数 的（1-9)，据此可列方程：(《+2)x(1-9)=x,然后根据等式的性质解方程即 可。 【详解】解：设这个班原来有x人。 把新的总人数看作单位“1”。 （X十2)×1)=9x 21 (x+2)x1=1 21-20X +2-0x引 +2-品x号 第38页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x+2=0x 21 21 20X-X=2 1 20X=2 =20 x=2×20 x=40 这个班原来有40人。 原【易错点32】比例尺与分段计费问题综合应用 【易错点拔】综合性较强，计算量校多，难度较大。 1.如图是小刚从家出发乘坐出租车去展览馆的路线图（途经文化馆）。出租车在3千米以内 (含3千米)的起步价是8元，以后路程每增加1千米车费就增加1.4元。请你算一算，小刚 去展览馆一共需要多少元出租车费？ 展览馆 小刚家 4厘米 2厘米 文化馆 比例尺=1：500000 【答案】45.8元 【分析】根据实际距离=图上距离比例尺，可求得小刚家到展览馆的实际距离，然后将这个 距离的长度单位换算为千米，3千米内收费8元，超过部分每千米1.4元，求出相应的租车费 用，据此作答即可。 【详解】(4+2)÷ 500000 1 =6÷500000 =6×500000 =3000000(厘米) 3000000厘米=30千米 8+1.4×(30-3) =8+1.4×27 第39页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =8+37.8 =45.8(元) 答：小刚去展览馆一共需要45.8元出租车费。 2.下面是小明坐出租车去展览馆的路线图，已知出租车在3千米以内（含3千米）按起步价 11元计算，以后每增加1千米车费就增加1.2元。请你按图中提供的信息算一算，小明去展览 馆（单程）一共要花多少元出租车费？ 展览馆， 12厘米 小明家 6厘米 比例尺：1：300000 文化馆 【答案】72.2元 【分析】根据实际距离=图上距离：比例尺，代入数据，求出小明家到文化馆，文化馆到展览 馆的实际距离，再把它们相加，求出小明家到展览馆的实际距离，再减去3千米，求出部分的 路程，再乘1.2，求出超出部分需要的钱数，再加上11元，即可求出小明去展览馆一共要花的 钱数，据此解答，注意单位名数的换算。 1 【详解】6÷300000 =6×300000 =1800000(厘米) 1800000厘米=18千米 1 12÷ 300000 =12×300000 =3600000(厘米) 3600000厘米=36千米 (18+36-3)×1.2+11 (54-3)×1.2+11 =51×1.2+11 =61.2+11 第40页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =72.2(元) 答：小明去展览馆（单程）一共要花72.2元出租费。 原【易错点33】求比问题 会【易错点拔】在较复杂的变化关系中求比，不易分析，难度稍大。 1.甲乙丙三人投篮比赛，甲投的个数比乙多；，乙投的个数比丙少则甲与丙投球的个数 比是( )。 【答案】24：25 【分析】设丙投篮的次数为一个不为0的数，由甲投的个数比乙多；，乙投的个数比丙少！ 可知，甲投的个数=乙投的个数×(1+兮)，乙投的个数=丙投的个数×(1一)，再把甲与 丙投球的个数作比即可。 【详解】设丙投篮的个数为25个，则乙投的个数为25× 1=25×4-20 (个)，甲投的个数 为20×1+5 =20×6=24(个)，所以甲与丙投球的个数比是24：25。 5 2. 六(1)班男生人数比女生人数多4， 则男生人数与女生人数的比是( 如果女生 比男生少5人，六(1)一共有( )人 【答案】 5:4 45 【分析】把女生人数看作单位，男生人数是女生的(1+}=)，据此求男生与女生人数 4 比。根据对应量÷对应份数=1份量，用少的人数除以少的份数再乘总份数即可。 【详解】1+子- 4 男生与女生人数比： 31 =(3x4):(1x4) 4 =5:4 1份量：5÷(5-4) =5÷1 =5(人) 第41页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 总人数：5×(5+4) =5×9 =45(人) 泉【易错点34】长方体与按比例分配问题的结合 会【易错点拔】将长方体和按比例分配问题结合，综合性较强，计算量较多，难度较大。 1.用120厘米的铁丝做一个长方体框架，长、宽、高的比是3：2：1，这个长方体的表面积 是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 550 750 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高，所以棱长总和等于4×（长+宽+高）。已知铁丝 长120厘米，即棱长总和是120厘米，那么长、宽、高的和为120÷4=30（厘米）。 长、宽、高的比是3：2：1，总份数为3+2+1=6份，那么每份是306=5（厘米），长占3 份：5×3=15（厘米）；宽占2份：5×2=10（厘米）；高占1份：5×1=5（厘米）。 根据长方体表面积公式：S=2×(ab+ah+bh)(a为长，b为宽，h为高)，把长15厘米， 宽10厘米，高5厘米代入公式计算即可得出长方体的表面积。长方体体积公式为V=abh,把 数据代入计算即可得出长方体的体积。 【详解】120÷4=30（厘米） 3+2+1=6(份) 30÷6=5(厘米) 长：5×3=15（厘米） 宽：5×2=10（厘米） 高：5×1=5（厘米） 2×(15×10+15×5+10×5) =2×(150+75+50) =2×275 =550(平方厘米) 15×10×5=750(立方厘米) 这个长方体的表面积是550平方厘米，体积是750立方厘米。 2.用一根48分米的铁丝做一个长方体框架，使它的长、宽、高的比是5：4：3，在这个长方 体框架外面糊一层纸，至少需要( )平方分米的纸。它的体积是( )立方分米。 第42页共58页 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 94 60 【分析】长方体的棱长和=（长+宽+高）×4，据此用长方体的棱长和除以4，求出长、宽、 高的和，把长、宽、高的比看作份数比，用长、宽、高的和除以份数和，求出1份是多少分米 再分别乘长、宽、高各自的份数，求出长、宽、高分别是多少分米，再根据长方体的表面积= (长×宽+宽×高十长×高)×2，长方体的体积=长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】长、宽、高的和： 48÷4=12(分米) 总份数： 5+4+3=12(份) 12x2=5(分米) 5 12没-4（分米） 2品3（分米） 表面积： (5×4+4×3+5×3)×2 =(20+12+15)×2 =47×2 =94(平方分米) 体积：5×4×3 =20×3 =60(立方分米) 故至少需要94平方分米的纸，它的体积是60立方分米。 泉【易错点35】推理问题 会【易错点拔】未掌握逻辑推理思路。 1.长跑比赛中，小李、小张、小刘、小陈四人中有一人得了第一名。小张说：“小李是第一名。” 小李说：“小刘是第一名。”小刘说：“我不是第一名。”小陈说：“小李在说谎。”己知四人中只 有一人说真话，则( )说了真话，( )是第一名。 【答案】 小李 小刘 【分析】小李和小刘说的话互相矛盾，他们两人中一定有人说了真话：而四人中只有一人说了 第43页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 真话，所以小张和小陈都说的是假话，则“小李在说谎”这句是假话，即小李说的是真话，由此 可以判断出“小刘是第一名”这句话是真的。 【详解】长跑比赛中，小李、小张、小刘、小陈四人中有一人得了第一名。小张说：“小李是 第一名。”小李说：“小刘是第一名。”小刘说：“我不是第一名。”小陈说：“小李在说谎。”已 知四人中只有一人说真话，则小李说了真话，小刘是第一名。 2.红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着放在桌子上一排，甲、乙、丙、丁、 戊五个人猜各包里的珠子的颜色。 甲猜：“第二包紫色，第三包黄色。”乙猜：“第二包蓝色，第四包红色。” 丙猜：“第一包红色，第五包白色。”丁猜：“第三包蓝色，第四包白色 戊猜：“第二包黄色，第五包紫色 结果每个人都猜对了一半，他们各猜对了哪种颜色的珠子？ 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 【答案】 第 包 第二包 第三包 第四包 第五包 颜色 红色 蓝色 黄色 白色 紫色 【分析】假设甲猜的第二包紫色是对的，则第三包黄色是错的，戊猜的第五包紫色是错的，戊 猜的第二包黄色是对的，与假设矛盾， 则甲猜的第二包紫色是错的，所以第三包黄色是对的： 则丁猜的第三包蓝色是错的，所以第四包白色是对的。 所以乙猜第四包红色是错的，第二包蓝色是对的： 则戊猜第二包黄色是错误，第五包紫色是对的，所以丙猜第五包白色错的，第一包红色是对的 【详解】根据分析可知，第一包是红色，第二包是蓝色，第三包是黄色，第四包是白色，第五 包是紫色。 第一包 第二包 第三包 第四包 第五包 第44页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 颜色 红色 蓝色 黄色 白色 紫色 原【易错点36】鸡兔同笼问题 令【易错点拨】未掌握不同类型鸡兔同笼问题的通用解法。 1.中超足球联赛积分规则的核心：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。某球队2024 年全年比赛30场，共计得了49分，己知其中负了5场。问：该球队胜和平各多少场？ 【答案】胜的场数：12场 平的场数：13场 【分析】首先根据总比赛场数和负的场数，求出胜和平的总场数。然后利用假设法，假设胜和 平的场次全部为平局，计算出假设的总得分，与实际总得分进行比较找出差值。最后根据胜 场比平一场多的分数，求出胜的场数，进而求出平的场数。 【详解】胜和平的总场数：30-5=25（场） 假设25场全部为平局，得分：25×1=25（分） 实际得分与假设得分的差：49-25=24（分） 胜一场比平一场多的得分：3-1=2（分） 胜的场数：24÷2=12（场） 平的场数：25-12=13（场） 答：该球队胜12场，平13场。 2.学校举办“古诗文默写大赛”，共有30道题。比赛规则如下：“默对一题得8分，默错或未 默一题扣3分。”小明在比赛中获得了174分，请问他默对了多少道题？ 【答案】24道 【分析】假设30道题全部默对，则得分为(30×8)分，而实际得分174分，即比实际得分多 了(30×8-174)分，因为默对一题得8分，默错或未默一题扣3分，差值为(8+3)分，用 比实际多得的分数除以默对一题和默错或未默一题的差值即可求出默错或未默的题数，默对的 题数=总题数一默错或未默的题数，据此解答。 【详解】默错或未默的题数： (30×8-174)÷(8+3) =(240-174)÷11 第45页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =66÷11 =6(道) 默对的题数：30一6=24（道） 答：他默对了24道题。 原【易错点37】指针夹角问题 令【易错点拔】未掌握计算指针夹角的方法。 1.8时30分，时针和分针的较小夹角是( )度。 【答案】75 【分析时钟面上有12个大格，时针转一周12小时是360度，那么每大格之间的夹角是360：12 =30度。 8时30分，时针指向8和9的正中间，分针指向6，时针和分针形成的较小夹角有2个半格即 2.5格，再乘30度，即是时针和分针较小夹角的度数。 【详解】360÷12=30（度） 30×2.5=75(度) 8时30分，时针和分针的较小夹角是75度。 2.2024年有( )天；下午1：30时，钟面上的时针与分针的夹角是( )角。 【答案】 366 钝 【分析】根据年份数是4的倍数的就是闰年，整百年份必须是400的倍数，否则是平年，平年 有365天，闰年有366天。据此解答。 因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，1：30分，时针在1和2中 间，分针在6的位置，1到6之间有5个大格，用30°×5，再减去半格的度数，求出1：30分 针与时针所成角度，再进行比较，即可解答。 【详解】2024÷4=506，所以2024年是闰年，有366天： 1到6之间有5个大格。 30°×5-30°÷2 =150°-15° =135 135°>90°，所成角是钝角。 2024年有366天；下午1：30时，钟面上的时针与分针的夹角是钝角。 第46页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原【易错点38】外方内圆与外圆内方 令【易错点拔】体会两种方国图形的特点，采用不同方法进行计算。 1.贴窗花是中国春节的传统习俗，人们以此寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望。下图为一窗花 图片，圆的面积是200.96平方厘米，用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是( )厘米， 面积是( )平方厘米。 【答案】 64 256 【分析】已知圆形窗花的面积是200.96平方厘米，根据圆的面积公式S=2,可知半径的平 方=S元，进而得出圆的半径。 用来裁剪该窗花的最小正方形的边长等于圆的直径，根据圆的直径=半径×2，求出正方形的边 长 再根据正方形的周长=边长×4，正方形的面积=边长×边长，分别求出最小正方形的周长和面 积。 【详解】半径的平方：200.96÷3.14=64（平方厘米） 因为64=8×8，所以圆的半径是8厘米： 圆的直径（正方形的边长）：8×2=16（厘米） 正方形的周长：16×4=64（厘米） 正方形的面积：16×16=256（平方厘米） 所以，用来裁剪该窗花的最小正方形的周长是(64)厘米，面积是(256)平方厘米。 2.如图中正方形的面积和圆的面积比是( )。(比的结果保留π) 【答案】2：π 【分析】设圆的半径为，由图可知，圆的直径等于正方形的对角线长度，圆的半径为，则 第47页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 直径为2r,也就是正方形的对角线长2r。把正方形沿对角线分成两个完全一样的三角形，每 个三角形的底是2r,高是r。根据三角形面积公式S=)ah(a为底，h为高)，一个三角形的 面积是；×2r×灯=2。那么正方形的面积就是2×2=2r2。 根据圆的面积公式S=2(r为半径)，这里圆的半径是r,所以圆的面积是。 正方形面积是2r2,圆的面积是2，它们的面积比为2r2:2。因为r2不为0，根据比的基本性 质，比的前项和后项同时除以2，即可解答。 【详解】设圆的半径为r。 3×2rx灯=t 2×r2=2r2 S=ar2 2r2:r2=2r2÷r2:πr2÷r2=2:元 正方形的面积和圆的面积比是2：π。 原【易错点39】等底等高的平行四边形和三角形 会【易错点拔】未能掌握等底等高的平行四边形和三角形的关系。 1.如图中平行四边形的面积是22.4dm2,则空白部分的面积是( )dm2。 【答案】11.2 【分析】由图可知，阴影部分是一个三角形，与平行四边形等底等高。平行四边形的面积公式 为：面积=底×高，三角形的面积公式为：面积=底×高2，所以三角形的面积是平行四边形 面积的一半，已知平行四边形的面积是22.4dm2,用22.4除以2即可得出三角形的面积，也是 空白部分的面积。 【详解】22.4÷2=11.2(dm2) 空白部分的面积是11.2dm2。 2.如图中，正方形的周长是16厘米，则平行四边形的面积是( )平方厘米，三角形的 面积是( )平方厘米。 第48页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 16 8 【分析】已知正方形周长16厘米，由“正方形周长=边长×4”，用周长除以4可算出边长；平 行四边形底和高都等于正方形边长，依据“平行四边形面积=底×高”，把数值代入可求面积： 三角形底和高等于正方形边长，根据“三角形面积=底×高÷2”，代入数值就能算出面积。 【详解】16÷4=4（厘米） 4×4=16(平方厘米) 4×4-2 =16÷2 =8(平方厘米) 所以平行四边形的面积是16平方厘米，三角形的面积是8平方厘米。 泉【易错点40】含圆的阴影图形的周长和面积比较 会【易错点找】比较阴彩部分图形的周长或面积大小，注意图形的关联性。 1.甲、乙、丙三名小朋友用相同的正方形手工纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一 个最大的圆，丙剪了四个最大的圆，如下图，三个人对手工纸的利用率相比( A.甲更高 B.乙更高 C.丙更高 D.三人都相同 【答案】D 【分析】假设正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边 长的一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的：，利用“S形=π”分别求出三位同学所剪图形 的面积。 所剪的图形面积越大，对手工纸的利用率越高。 所剪的图形面积相等，对手工纸的利用率相同。 所剪的图形面积越小，对手工纸的利用率越低，据此解答。 【详解】假设正方形边长为2， 第49页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 甲：元x22x1 4 =rx4x号 4 =元X4×4 1 =π 乙：π×(2÷2)月 =π×12 =元 1)2 丙：π×2×x4 4 1 =π×-×4 4 (1 =πX44 =π 由上可知：甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩的手工纸一样多，也就是三 个人对手工纸的利用率相同。 故答案为：D 2.如下图：两个图形阴影部分的( A.周长相等，面积不等 B.周长和面积都相等 C.周长和面积都不相等 D.周长不相等，面积相等 【答案】D 【分析】两个图形中，空白部分均可组成一个完整的圆（第一个图形的四个空白扇形可拼成 个圆，第二个图形的两个空白半圆可拼成一个圆)，且正方形的面积相等。根据“阴影部分面 积=正方形面积一空白圆的面积”，可知两个图形中阴影部分的面积相等。 第50页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 第一个图形中阴影部分的周长是圆的周长；第二个图形中阴影部分的周长是圆的周长加上正方 形的两条边长。因此，两个图形中阴影部分的周长不相等。 【详解】据以上分析，两个图形阴影部分的周长不相等，面积相等。 故答案为：D 原【易错点41】复杂的阴影图形面积计算 令【易错点拔】总体国形面积减去空白国形面积等于阴影图形面积。 1.在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆 周率取3.14) 【答案】1.42平方厘米 【分析】根据圆的面积公式：S=,用4大圆面积减去4小圆面积，这时剩下的面积是大阴 影部分和长方形白色部分的面积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积 差。长方形的面积=长×宽。 【详解】3.14x4×号-3.14×2× =3.14×16×4-3.14×4×4 =12.56-3.14 =9.42(平方厘米) 9.42-4×2 =9.42-8 =1.42(平方厘米) 答：两个阴影部分的面积差1.42平方厘米。 【点睛】用！大圆面积减去4小圆面积，这时剩下的面积是大阴影部分和长方形白色部分的面 积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积差。 2.求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米) 第51页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 B 10 【答案】28.5平方厘米 【分析】根据圆的面积公式：S=π，三角形的面积=底×高2解决。画辅助线如图，图中阴 影部分被分成了①②③块，其中①和②的面积相等，可以用直径10厘米的半圆的面积减去小 三角形的面积得到。③的面积可以用半径10厘米圆的面积的。减去小三角形的面积得到。再 把①②③的面积相加即可。 【详解】10÷2=5（厘米） 3.14×52÷2-10×5÷2 =3.14×25÷2-10×5÷2 =39.25-25 =14.25(平方厘米) (180°-90°)÷2 =90°÷2 =450 360°÷45°=8（份） 3.14×102÷8-10×5÷2 =3.14×100÷8-10×5÷2 =39.25-25 =14.25(平方厘米) 14.25+14.25=28.5(平方厘米) 所以，阴影部分的面积是28.5平方厘米。 第52页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 10 【易错点42】圆柱和圆锥的旋转构成法 会【易错点拔】未能熟蛛掌握圆柱和圆锥的旋转构成法。 1.如图，将长方形绕轴旋转一周，那么阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是( )cm3, 阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是( 。 5cm 3cm 【答案】 78.5 1:2 【分析】由图可知，这个长方形的宽为3cm,长为5cm: ①阴影部分旋转后得到的立体图形为底面半径为5cm,高为3cm的圆锥的体积，根据圆锥的 体积=rh即可求出阴影部分旋转后得到的立体图形的体积： ②空白部分旋转后得到的立体图形为底面半径为5cm,高为3cm的圆柱的体积减去底面半径 为5cm,高为3cm的圆锥的体积： 根据圆柱的体积=πrh,等底等高的圆柱体积为圆锥体积的3倍，将阴影部分旋转后得到的立 体图形的体积看作1”，则空白部分旋转后得到的立体图形的体积为3一1”，由此即可求出阴 影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比。 【详解】①x3.14×5x3 3×3.14x25x3 =78.5(cm3) 即阴影部分旋转后得到的立体图形的体积是78.5cm。 ②等底等高的圆柱体积为圆锥体积的3倍； 则阴影部分旋转后得到的立体图形的体积：空白部分旋转后得到的立体图形的体积=1：(3 -1)=1:2: 第53页共58页 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 即阴影部分与空白部分旋转后得到的立体图形的体积之比是1：2。 【点睛】根据旋转的特征即可确定旋转后的立体图形，再等底等高的圆柱体积为圆锥体积的3 倍即可解答。 2.如下图，一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和5cm,以直角边的短边或长边为轴， 将三角形旋转一周分别得到甲乙两个圆锥。那么甲乙两个圆锥的体积比为( 甲 【答案】3：5 【分析】若以5cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm,高为5cm的圆锥为 甲；若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为5cm,高为3cm的圆锥为乙， 再根据圆锥的体积公式：V=;,据此进行计算求出两个圆锥的体积，再求出两个体积之 比即可。 【详解】若以5cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为3cm,高为5cm的圆锥为 甲 1 3×πx32x5 1 =5×π×9×5 3 =15π(cm3) 若以3cm的直角边为轴旋转一周，则形成一个底面半径为5cm,高为3cm的圆锥为乙 3×Tx52x3 =3×元×25x3 =25π(cm3) 那么甲乙两个圆锥的体积比为15π：25π=3：5 即如下图，一个直角三角形的两条直角边分别为3cm和5cm,以直角边的短边或长边为轴， 将三角形旋转一周分别得到甲乙两个圆锥。那么甲乙两个圆锥的体积比为3：5。 第54页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 果【易错点43】圆柱和圆锥的关系问题 令【易错点拔】未能熟练掌握等底等高的圆柱和圆锥的关系，不能灵活处理问题。 1.等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少( ),如果它们的体积一共是48 立方分米，那么圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 3 36 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，假设圆锥的体积是1，则圆柱的体积是3，求出圆锥体积比 圆柱体积少多少，再除以圆柱的体积即可；根据等底等高的圆柱与圆锥，圆柱的体积是圆锥的 3倍，体积之和就是圆锥的4倍，用48÷4，即可求出圆锥的体积。圆锥体积乘3即可求出圆柱 体积。 【详解】(3一1)÷3 =2÷3 =2 3 48÷(3+1)×3 =48÷4×3 =12×3 =36(立方分米) 所以等底等高的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积少？，如果它们的体积一共是48立方分 米，那么圆柱的体积是36立方分米。 2.两个大小相同的量杯里都盛有200L的水。如图，将等底等高的圆柱与圆锥分别放入甲、 乙两个量杯后，甲的水面刻度为440mL,圆锥的体积是( )cm3。 440m 0 甲 【答案】80 【分析】根据题意，两个大小相同的量杯里都盛有200L的水，甲杯中放入圆柱后，水面刻 度为440mL,那么水上升部分的体积就是圆柱的体积； 乙杯中放入圆锥后，水上升部分的体积就是圆锥的体积：因为圆柱和圆锥等底等高，圆锥的体 第55页共58页 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 积是圆柱体积的；根据求一个数的几分之几是多少，用圆柱的体积乘，求出圆锥的体积。 注意单位的换算：1mL=1cm3。 【详解】200mL=200cm3,440mL=440cm3 (440-200)× =240 =80(cm3) 圆锥的体积是80cm3。 原【易错点44】等积变形问题 【易错点拨】未能掌握等积变形问题的核心特点。 1.一个圆柱形零件，底面直径是4分米，高是8分米，如果将这个圆柱形零件熔铸成一个底 面直径是8分米的圆锥形零件，那么这个圆锥形零件的高是( )分米。 【答案】6 【分析】根据题意，把一个圆柱形零件熔铸成一个圆锥形零件，则零件的体积不变： 先根据圆柱的体积公式V=πh,求出零件的体积；根据圆的面积公式S=πr2,求出圆锥的底 面积；再根据圆锥的高h=3V÷S,求出这个圆锥形零件的高。 【详解】圆柱的体积： 3.14×(4÷2)2×8 =3.14×22×8 =3.14×4×8 =100.48(立方分米) 圆锥的底面积： 3.14×(8÷2)2 =3.14×42 =3.14×16 =50.24(平方分米) 圆锥的高： 100.48×3÷50.24 =301.44÷50.24 第56页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =6(分米) 那么这个圆锥形零件的高是6分米。 2.如下图，甲圆柱形容器是空的，乙长方体容器中水深6.28cm,将乙容器中的水全部倒入甲 容器中，这时水深( )cm;如果倒入与这个圆柱底面积之比是5：1的圆锥形容器中， 刚好倒满，那么圆锥的高是( )cm. 甲 20cm 20cm 10cm 10cm 10cm 【答案】 8 4.8 【分析】(1)先根据长方体体积=长×宽×高，求出乙容器中水的体积，再利用圆柱的体积 底面积×高，求出水倒入甲容器后的水深。圆柱底面积S=2、d=2r。 (2)根据圆柱和圆锥的底面积之比可知，圆锥底面积是圆柱的底面积的5倍，先求出圆锥的 底面积，由圆锥体积公式V=;h,可知用水的体积×3圆锥的底面积，即可求出圆锥的高。 【详解】(1)水的体积：10×10×6.28=628(cm3) 圆柱底面积：3.14×(102)2 =3.14×25 =78.5(cm2) 水深：628÷78.5=8(cm) (2)圆锥底面积：78.5×5=392.5(cm2) 圆锥的高：628×3÷392.5 =1884÷392.5 =4.8(cm) 果【易错点45】立体图形的切拼问题 会【易错点拔】不同立体图形的不同切拼方式，面积有着不同的变化特点。 1.把一根长1.2米的长方体木料截成三小段，表面积比原来增加36平方分米。这根木料原来 的体积是( )立方分米。 【答案】108 第57页共58页 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】 如图，将长方体木料截成三小段后，表面积会增加，增加的是截面的面积，也就是长方体的底 面积，截成三小段，需要截2次，每截一次增加2个截面，截2次就要增加4个截面，利用增 加的面积除以4求出一个截面的面积，也就是长方体的底面积，再利用长方体的体积=底面积 ×高求长方体的体积，计算时需将1.2米换算为12分米。 【详解】求增加的截面数： (3-1)×2 =2×2 =4(个) 36÷4=9(平方分米) 1.2米=12分米 9×12=108(立方分米) 这根木料原来的体积是108立方分米。 2.把一根长1m的圆柱体钢材截成3段后，表面积增加了6.28dm2,这根钢材的体积是 ( )dm3。 【答案】15.7 【分析】圆柱体钢材截成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积，根据表面积增加了 6.28dm2,可求出这个圆柱的底面积是6.28÷4=1.57dm?,再利用圆柱的体积=底面积×高即可 解答。 【详解】1m=10dm 6.28÷4×10 =1.57×10 =15.7(dm3) 所以这根钢材的体积是15.7dm3。 第58页共58页