2026届高三数学一轮复习-函数与导数专题训练卷（六）

**基本信息** 聚焦函数与导数核心知识，通过选择、填空、解答题的层级设计，系统整合定义域、单调性、极值、切线方程等考点，强化数学思维与问题解决能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2题|考查定义域、奇偶性判断|从函数定义出发，构建奇偶性与单调性的关联| |性质应用|单选3-8题、填空12-13题|涉及切线方程、单调区间、极值计算|以导数为工具，推导函数性质（单调性→极值→最值）的逻辑链条| |综合探究|解答15-19题|含证明、恒成立、零点个数讨论|整合函数与导数知识，通过推理与运算解决复杂问题，体现模型观念与推理能力|

高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（六）函数与导数综合训练 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 的定义域为（ ） A．[-1，2) B．(-1，2) C．[-1，2] D．(-∞，2) 2．已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。若 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数 的零点个数为（ ） A．0 B．2 C．1 D．3 6．函数 在区间 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．函数 的极大值与极小值之和为（ ） A． B． C． D． 8．若直线 是曲线 的切线，则 k =（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 在 和 上单调递增 C． 的极大值为 D．方程 恰有两个不同实根 10．已知函数 ，，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 在 上单调递增 B．若 ，则 在 处取得最大值 C．当 时， 对任意 恒成立 D．若 ，则方程 恰有一个实根 11．设函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 对任意 恒成立 B． 的最小值为 C．方程 有两个不同实根 D． 在 上单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线 在点 处的切线方程为__________。 13．函数 在区间 上的最大值与最小值之差为__________。 14．若函数 的最大值为 ，则 a =__________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 ，。 （1）求函数 的单调区间； （2）证明：当 时，。 16．（15分）已知函数 。 （1）求函数 的极大值和极小值； （2）若方程 有三个不同实根，求实数 的取值范围。 17．（15分）已知函数 ，。 （1）讨论函数 的单调性； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的值。 18．（17分）已知函数 ，其中 。 （1）证明： 是函数 的零点； （2）讨论函数 的零点个数。 19．（17分）已知 。 （1）证明：； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的值。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学一轮复习函数与导数专题训练卷（六）函数与导数综合训练 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数 的定义域为（ ） A．[-1，2) B．(-1，2) C．[-1，2] D．(-∞，2) 【答案】A 【解析】 由题意得 且 ，即 且 ，所以函数的定义域为 [-1，2)。故选A。 2．已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。若 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为 为奇函数，所以 。由 ，得 。又 在 上单调递增，所以 ，解得 。故选B。 3．曲线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设 ，则 ，所以 。切线经过点 ，故切线方程为 ，即 。故选A。 4．若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 。要使 在 上单调递增，只需 在 上恒成立，即 对任意 恒成立。因为 在 上的最小值为 ，所以 。故选D。 5．函数 的零点个数为（ ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】C 【解析】 函数定义域为 ，且 ，所以 在 上单调递增。又 ，，故 有且仅有一个零点。故选C。 6．函数 在区间 上的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 。当 时，，所以 在 上单调递增，最大值为 。故选B。 7．函数 的极大值与极小值之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 。当 时，；当 时，；当 时，。故 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，二者之和为 。故选B。 8．若直线 是曲线 的切线，则 k =（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设切点横坐标为 ，则 ，切线方程为 。与 比较可得 ，所以 ，于是 。故选B。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A． 是奇函数 B． 在 和 上单调递增 C． 的极大值为 D．方程 恰有两个不同实根 【答案】ABC 【解析】 因为 ，所以 为奇函数，A正确。又 ，所以 在 和 上单调递增，B正确；在 处取得极大值 ，C正确。由 ，得三个不同实根，D错误。故选ABC。 10．已知函数 ，，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 在 上单调递增 B．若 ，则 在 处取得最大值 C．当 时， 对任意 恒成立 D．若 ，则方程 恰有一个实根 【答案】ABCD 【解析】 。若 ，则 ，A正确。若 ，则当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最大值，B正确。当 时，最大值为 ，所以 ，C正确。若 ，则 单调递增，且当 x 从右侧趋近于 0 时， 趋于负无穷；当 x 趋于正无穷时， 趋于正无穷，故方程 恰有一个实根，D正确。故选ABCD。 11．设函数 ，则下列说法正确的是（ ） A． 对任意 恒成立 B． 的最小值为 C．方程 有两个不同实根 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解析】 。当 时，；当 时，，所以 在 处取得最小值 ，A、B正确，D错误。又当 x 趋于负无穷时， 趋于正无穷；当 x 趋于正无穷时， 趋于正无穷，结合单调性可知方程 有两个不同实根，C正确。故选ABC。 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．曲线 在点 处的切线方程为__________。 【答案】 【解析】 设 ，则 ，所以 ，且 。故切线方程为 ，即 。 13．函数 在区间 上的最大值与最小值之差为__________。 【答案】 【解析】 ，区间内的驻点为 。计算得 ，，，，所以最大值为 ，最小值为 ，差为 。 14．若函数 的最大值为 ，则 a =__________。 【答案】 【解析】 若 有最大值，则 。由 ，得最大值点为 ，最大值为 。由 ，得 。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数 ，。 （1）求函数 的单调区间； （2）证明：当 时，。 【解析】 （1）由题意， 因为 ，所以 的符号由 决定。 当 时，；当 时，。 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 （2）由（1）可知， 在 上单调递增，所以当 时， 即 ，所以 。 16．（15分）已知函数 。 （1）求函数 的极大值和极小值； （2）若方程 有三个不同实根，求实数 的取值范围。 【解析】 （1）。 当 时，；当 时，；当 时，。 因此 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。 （2）由（1）可知，若方程 有三个不同实根，则函数的极大值大于 ，极小值小于 ，即 解得 。 所以实数 的取值范围为 。 17．（15分）已知函数 ，。 （1）讨论函数 的单调性； （2）若 对任意 恒成立，求实数 的值。 【解析】 （1），且 。 当 时，，所以 ，函数 在 上单调递增。 当 时，由 得 。当 时，；当 时，。所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 （2）若 ，则当 x 从右侧趋近于 0 时， 趋于负无穷，不满足题意；若 ，则当 x 从右侧趋近于 0 时， 趋于 0，也不满足 对任意 恒成立。 故 。由（1）可知， 的最小值为 题意等价于 。 设 ，，则 。所以 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值为 。 因此 仅当 成立。 所以 。 18．（17分）已知函数 ，其中 。 （1）证明： 是函数 的零点； （2）讨论函数 的零点个数。 【解析】 （1）因为 ，所以 是函数 的零点。 （2）当 时，由 得 令 ，。则 设 ，则 。当 时，；当 时，，且 ，又当 x 趋于负无穷时， 趋于 1，所以当 时，。 因此 ，即 在 和 上均单调递增。 又当 在 上变化时， 的取值范围为 ；当 在 上变化时， 的取值范围为 。 所以：当 时，除 外无其他零点，故有 个零点； 当 时，在 上还有一个零点，加上 ，共有 个零点； 当 时，除 外无其他零点，故有 个零点； 当 时，在 上还有一个零点，加上 ，共有 个零点。 综上，当 或 时，函数有 个零点；当 或 时，函数有 个零点。 19．（17分）已知 。 （1）证明：； （2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的值。 【解析】 （1）先证 。令 ，，则 当 时，；当 时，。所以 在 处取得最小值 ，故 ，即 。 再证 。令 ，，则 当 时，；当 时，。所以 在 处取得最小值 ，故 ，即 。 综上，。 （2）若 对任意 恒成立。 当 时，，故 令 x 从右侧趋近于 1，得 。 当 时，，故 令 x 从左侧趋近于 1，得 。 于是 。 当 时，由（1）知 对任意 恒成立，符合题意。 所以实数 的值为 。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $