课时分层检测(18)函数与方程的综合应用&课时分层检测(19)函数模型的应用-【创新大课堂】2026年高三数学一轮总复习

区间（一2,2）上的图象有两个交点 所以0<<1，解得0<m<2.] 设1=2-，xE(-2,2,则y=十1一3,4C[作出画数fr的 解得a=x一是或a=x十二 x t∈(0,4). 图象如图所示，因为 当x>0时，y=x- 2单调递增，且工兰∈R, 作出函数y= 4 +1-3 关于x的方程f(x)= 则方程a=x一 2a恰有两个不同的实 2有一个正根x1: t-3,t∈(0,4)的图 根，所以y=2a与函数 象，如图所示， y=f(x)的图象恰有 则方程a=x十 2,即x2-ax+2=0, 当1<a<2时，函数 两个交点，结合图象， 要有两个不相等的正根x2,x3（x2<x3),且 y=a与y= 4十1 得2a>2或子<2a≤ x2≠x1,x3≠x1, 若x2一ax十2=0有两个正根， 3,1∈(0,4)的图象有两个交点，即关于x 的方程f(x)=log2(a十x)有两个不同的 1.解得a>1或尽<a≤.] 则{4=a2-8>0, (x2十x3=a>0, 实数根， 5.A[因为f(x)是定义域为(0，+∞)的单 解得a>2√2，排除A,B: 故实数a的取值范国是(1,2) 调函数，且对任意的x∈(0，十∞)，都有 15.D[因为(x+sinx)f(x)-ax2=0, f(f(x)一log2x)=3,故可设存在唯一的实 当a=3时，令f(x)=0,得x1=厅+3 f(x)=x2023|x|, 数C∈(0，+∞)，使得f(C)=3,则f(x) 2 所以(x+sinx)x2023|x-ax2=0, log2x=C,所以f(x)=1og2x十C, x2=1,x3=2,符合题意 ①当x=0时，方程成立： 所以f(C)=1og2C十C=3,则1og2C= 当a-4时，令f(x)-0,得x1-2+, ②若x≠0，(.x+sinx)x202|x|-ax2=0} 3-C, x2=2一√2，x3=2+√2，符合题意.故 可化为 由于函数y=10g2x在(0，+∞)上单调递 选CD.] (x+sin r)x2021-a=0(r+sin x) 增，函数y=3-x在(0，十∞)上单调递减， 又1og22=1=3-2,所以C=2, 19.f(x)= 1 x2+x[由f(x)=a.x2+bx, x20211xl=a, 令F(.x)-(.x十sinx)x2021|x|, f(r)=log2 x+2=log (4x), 且f(2)=0, 则4a十2b=0, 因为定义域关于原，点对称， 再令2)一1 =0,x∈(0，+∞)，得4x- 又方程f(x)=x有等根， 且F(-x）-[-x+sim(-x)](-x)221|-x| 1 即ax2+(b-1)x=0有等根 (+sin )2 -F(r), =0, 1 所以F(x)为偶函数，图象关于y轴对称， 得b=1,从而a=一之1 所以F(x)与y=a的两个交点对应的横坐标 关于y轴对称，即方程(x+inx)21|x= 解得=（负值合去）. 所以f)--是2+x] a的另外两解一定一正一负， 则函数y=2x) 上的点为门 10.4[若x≤0，f(x)=-x2-2x,f(x)关于 又x1<x2x3, 原，点对称的函数为g(x)=x2一2x(x≥0). 所以<0，x2=0,x西>0，且1=一x≠0，！6.D[由题意可知函数g(x)=f(x) 2的 在同一直角坐标系中画出g(x)=x2-2x 所以sinx2+20231x3=-2023x号<0.] 1( 41 零点，等价于函数y-f(x)与直线y-号的 [由题意可知f(2)=0,且 （r≥0》和代x)=x-上(x>0)的图象，此 交，点的横坐标，作函数y=f(x)与直线y= 时有两个“优美点”(x0,f(x。),满足 f(x)在R上单调递减， f(x0)十f(-xo)=0,如图①. 所以函数f(x)只有一个零，点2， 之的因象知国， 1 由f(x)与g(x)互为“1度零点函数”，得 若r>0,f(x)=x ,f(x)关于原点对 12-3<1. 由2-3<1，得1<3<3， 称的函数为g(x)=x一 (x<0),在同- 所以函数g(x)=x2-ae在区间(1,3)上 -5x1--322-1 1243x5 直角坐标系中画出g(x)=x一 存在零，点 1(x<0) 和f(x)=一x2一2x(x≤0)的图象，此时有 由g(.x)=x2-aex=0,得a= 两个“优美点”(x0,f(x0),满足f(x0)十 令=三，则Nx)=2二兰-2-卫 结合图象，设函数g(x)=f(x)-立(0< f -x0)=0,如图②. a<1)的零点分别为工1，x2,g,x4,,则由 所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区 对称性可知：x1十x2-一6，x4十x5=6,又 间(2,3)上单调递减， 有-log(-十1)=立，解得x=1- 且h(1)= 4 e ,h(2)= e,h(3)= >日 √2，故x1十x2十x3+x4+x5=-6+6+1- 要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零，点， 2=1-√2，故选D.] 图D 只含a(日] 7.ABD[对于A,易知当m=0时，(x一2)(x一 综上可知，满足题意的“优美点”有4个，] 3)=0的根为x1=2,x2=3,故A正确： 课时分层检测（十九） 课时分层检测（十八） 对于B,设y=(x-2)(x-3)=x2-5.x+ 1,B[由函数图象可知符合条件的只有指数 1.A [令f(x)=-x2+a.x+4, 6-(-)->-子，因为y-(x 51 函数模型，并且m>0,0<a<1,] 则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小 :2.D[当甲商品的价格为6元时，该商人全 于-1， 2)(x一3)的图象与直线y=m有两个交点， 部买入甲商品，可以买120÷6=20（万份）， 由二次函数的图象可知， 所以n>一 1 故B正确； 在12时刻全部卖出，此时获利20×2=40 2中{ (万元)：当乙商品的价格为4元时，该商人 -(-1)2+a·(-1)+40, 对于C,当n>0时，y=(x-2)(x-3)-n1 买入乙商品，可以买(120十40)÷4=40（万 的图象由y=(x一2)(x一3)的图象向下平 份)，在14时刻全部卖出，此时获利40X2= 解得0a<3.] 80(万元).故该商人共获利40十80= 2.D[f(x)=x·aos2x=0→x=0或cos2x= 移n个单位长度得到，则x1<2<3<x2,故 C错误； 120(万元). 0又0s2-0在[0.2上有子子受 对于D,由(x一2)(x-3)=m展开得x2 3.A[由题意得，30%I0=Ine10K,即30%= 共4个根，故原函数有5个零，点.] 5x十6一m=0,由根与系数的关系得x1十 e1o,两边取自然对数得，-10K=ln3 3.C[f(x)的图象如图 x2=5,x1x2=6-,代入y=(x-x1)(x ln10=ln3-ln2-ln5,所以K 所示， x)+m可得y=x2-(x1十2)x十x1x2十 1n2+1m5-lm3≈0.7+1.6-1.1=0.12. 由F(x)=f(x)[2f(x) m=x2-5.x+6-m+m=x2-5x+6= 10 10 Rx) n]=0,得f(x)=0或 (x一2)(x一3)，所以二次函数y 故选A.] 2f(x)一m=0, /5-10 当f(x)=0时，f(x)有 0川2 （)(x-)+m的点为2和3，故D4.A[由已知得L1-10lg（0)=10 正确. 3个零点，当2fx)-m=0时，fx)-受， 18.CD[当x0时，f(x)<0恒成立， 10 即f(x)在（一∞，0]上无零点， (12-101g5)=10×(12-10lg2)）=10× 即y一fx)与y-受有4个交点， 所以当x>0时，f(x)有三个零点， (2+101g2)≈10×(2+10×0.30)= 即x|x一a|=2有三个不相等的正根 50(dB).故选A.] 469 5.C[若购物总额为78元，则应付款 ,·该学生在高考中可能取得的总分约为！ 当t=8√2，即x=128时，y取最大值88. 78一5=73（元），故A正确： 400+62=462. 因为88一(26+16√15)=2×(31 若购物总额为228元，则应付款 :12.8[过滤第1次污染物的含量为 228×0.9=205.2(元)，故B正确 8/15)>0, 1.2×(1-0.2)(mg/cm3); 若购物总额为368元，则应付款 过滤第2次污染物的含量为1.2×(1一 故f(x)的最大值为88. 300×0.9+68×0.8=324.4(元)，故C 0.2)2(mg/cm3): 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资 错误； 112万元时，总收益最大，且最大收益为 过滤第3次污染物的含量为1.2×(1一 若购物时一次性应付款442.8元，则包含购】 88万元. 0.2)3(mg/cm°)； 物总额300元应付的270元，还有172.8元 课时分层检测（二十） 对应的购物额度1728=216（元），因此购 过滤第n次污染物的含量为1.2×(1一 0.8 1.D[y'=4t,当t=3时，y=4×3=12(m/s), 0.2)(mg/cm3). 物总额为300十216=516（元），故D正确.] 所以物体在t=3s时的瞬时速度是12/s, 要求废气中该污染物的含量不能超过！ 6.D[由题意，f(x)=loga[k(x+1)2]= 故选D 0.2mg/cm3, 2.B从函数的图象可知，函数值在2,4上 logak +2loga (x+1), 由f(2)=2,f(8)=3 则1.2(1一0.2)”≤0.2，即 () 的增长越来越快，故函数在[2,4]上各点处 ≥6 logak+2log (2+1)=2,log k+2log (8+ 的斜率也越来越大.因为④)二2-4， 4—2 1)=3, 5 所以f(2)af'(4),故选B.] 两式相减得1og9=1,则a=9, 两边取以10为底的对数可得1（广） 3.A[导数的儿何意义（理性思维、数学应用） 所以10g.k+2=3,得k=9. Ig 6, (e+2cos x)(12)-(e*+2sin r).2x 该住房自装修完成后要达到安全入住的标 准，则需0.48-0.1f(x)0.08,即fx)≥4， 即nlg 5×2 f(x)= 8 ≥1g2十1g3,所以n≥ (1+x22 即1十21og9(x十1)≥4，解得x≥26， 所以f(0)=3,所以曲线y=f(x)在，点(0， lg 2+1g 3 1)处的切线方程为y-1=3(x一0)，即3x 故至少需要通风26周，故进D.] 1-31g2 7.BD[在A中，甲在公园休息的时间是 因为lg2≈0.3,1g3≈0.477 y十1=0，切线与两坐标轴的交点分别为 10min,所以只走了50min,A错误：由题中 =7.77, (0,1), 图象知，B正确：甲从家到公园所用的时间 所以g2g3≈0：3+947 1-3×0.3 (一了0）小所以切线与两坐标轴所 1-31g2 比从公园到乙同学家所用的时间长，而距 所以n≥7.77， 离相等，所以甲从家到公园的速度比从公 又n∈N",所以1mn=8, 因成的三角影的面叔为号X1X合-合， 园到乙同学家的速度慢，C错误：当0≤x 故排放前需要过滤的次数至少为8.] 故选A.] 30时，设y=kx(k≠0)，则2=30k,解得k= 13.解(1)当x∈[0,16]时， 4.C[过点P作曲线y=lnx一x2的切线， 5D正确.J 设函数f(x)=b(x-12)2+84(b<0), 当切线与直线：x十y一4=0平行时， 因为f(16)=b(16-12)2+84=80, 点P到直线l:x十y一4=0的距离最小， 8.ACD[由题意可知，四等奖比五等奖的面 所以b= 1 ,所以f(x)= 1 设切点为P(x0,yo)(x0>0), 值多20元，因为100÷20=5， 所以ca++)-(ea+0+) (x-12)2+ 又y'= 一2x,所以切线斜率k= -2x0 =e-a=5, 84 etatk)-(eatbk) 当x∈[16,40]时，f(x)=log0.8(x十 由题意知 -2.x0=-1, 则a=一ln5,故A正确： .0 a)+80, 由(e3a+b十k)-(eta+b十k)=ea+b(1-e&) 由f(16)=1og0.8(16+a)+80=80,解得1 解得x0=1或x0=- =100, 之（含） a=-15, 可知e3a+b=125. 所以P(1,一1)， 所以f(x)=log0.8(x-15)+80, 因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，所 此时，点P到直线l:x十y一4=0的距离d= 以ea+b十k=3(e5a+b十k),解得k=5,故B 综上，fx) (x-12)2+84.x∈「0,167， 11-1-4=2√2.] 错误； (1cg.8(x-15)+80,x∈[16,40]. ② 则三等奖的面值为e3a+b+k=125十5= 5.B[由y=e+1,可得y=e； (2)当x∈[0,16]时，令f(x)= 1 130(元)，故D正确； 4 由y=e+1,可得y=e+1, 由e“+b+k=e3a+b·e2a+k=125×25+ 12)2+84≤68. 设两个切点分别为(x1,ei十1)和(x2, 5=3130, 即(x-12)2≥64，解得x≤4或x≥20（舍： e2+1), 故一等奖的面值为3130元，故C正确.] 去)， 直线l的斜率k=e=e+1, 9.11.1[结合已知条件可知，某人坐出租车 所以x∈[0,4]： 故x1=x2十1，即x1≠x2· 走了12km,应付6+(10-3)×0.5+(12 当x∈[16,40]时，令f(x)=logo.8(x 10)×0.8=11.1(元).] 15)+8068,得x≥15+0.8 -12≈29.6,1 所以1一11 =1, 10.48800[设AB=xm,x>0,则BC= 所以x∈[30,40]， 即直线L的斜率为1.] 6 m, 所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为6.D[,f(.x)=2 sin a十2sin一3， 4-0+40-30=14(分钟). 这样的一个工作房的总造价为2×3x×:14.解(1)当x-128,即甲城市投资128万 ..f'(1)-2sina+2-sina-3. 800+2×6×3X1200+20000=4800x+ 片-1≤sima≤1，.21≤2ma≤2， 元时，乙城市投资112万元， 则2ina十2sina≥2√2ma·2sma-2,当 43200+20000, 所以f128)=4X√2X1I2题-6+X112+ 且仅当sina=0时等号成立， 2=88(万元). f(1)的最小值为一1， 因为4800r+43200+20000 因此，此时公司的总收益为88万元 易得f(1)的最大值为2+2-1一3<0， x (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城！ ≥2，√4800z.1820+2000=4880, 市投资(240一x)万元， c[经故选D] 当且仅当4800x=43200,即x=3时，等 依题意得{≥80， :7.BCD[由图知f(2)>f(3)>0,故A错 1240-x≥80， 误，B正确. x 解之得80≤x160, 设A(2,f(2)),B(3,f(3), 号成立， 当80x<120,即120<240-x≤160时， 所以一个这样的工作房的总造价最低为！ 则f3)-f2)=f3）二f2-kAB, f(x)=4√2x-6+32=4√2x+26< 3-2 48800元.J 26+16/15: 由图知f(3)<kAB<f(2), P 11.462[由题意得，f(60)= 当120x160,即80240-x120时， 即f(3)<f(3)-f(2)<f(2),故C,D 1+1g61 正确. fx)=4V2匠-6+子(240-x）+2=8.BCD[对于A,f(x)=osx+sinx, k=279-0.465. 1 f=-inxosx=-Ean(一） 6 x+4√2x+56. /(10) 186 令t=√x,则1∈[230,4√10]， 1+lg100+g1.01 所以y-+4E+56-}1 当xe(o,)时，sim(x-于)<o ≈186=62， 3 8√②)2+88. f)=-(-)>0,故A错误： 470课时分层检测（十八） 一、单项选择题 1.若方程一x2十a.x十4=0的两实根中一个小于 一1，另一个大于2，则a的取值范围是() A.(0,3) B.[0,3] C.(-3,0) D.(-∞，1)U(3,+∞) 2.(2025·赣州模拟)函数f(x)=x·cos2x在区 间[0,2π]上的零点的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 3.设m是不为0的实数，已知函数f(x)= 132-11,x≤2， 若函数F(x)=2[f(x)] x2-10.x+24,x>2, mf(x)有7个零点，则m的取值范围是() A.(-2,0)U(0,16) B.(0,16) C.(0,2) D.(-2,0)U(0,+∞) 4.(2025·合肥模拟)已知函数f(x)= 2x,x≤1， 若关于x的方程f(x)=2a x2-3x+3,x>1, (a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值 范围为 ) A(2 B{} c(层，2]U,+∞) D.R 5.已知f(x)是定义域为(0，十∞)的单调函数，若 对任意的x∈(0，+∞)，都有f(f(x)-log2x)= 3,则函数y=2)一二的零点为 A.2 B.3 C.2 D.3 2 函数与方程的综合应用 6.(2025·青州模拟)定义在R上的奇函数f(x), log(x+1),0≤x<1, 当x≥0时，f(x) 则关 1-|x-3|,x≥1， 于x的函数g(x)=f(x)- 的所有零点的和为 A.√2-1 B.12+√2 C.12-√2 D.1-√2 二、多项选择题 ；7.若关于x的一元二次方程(x一2)(x-3)=m有 实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的是 A.当m=0时，x1=2,x2=3 R>- C.当m>0时，2<x1<x2<3 D.二次函数y=(x一x1)(x一x2)+m的零点为 2和3 8.(2025·聊城调研)已知函数f(x)=xx-a|-2 有三个不同的零点，则实数a的取值可以为 A.0 B.2√2 C.3 D.4 三、填空题 9.(2025·贵州模拟)已知a,b是常数且a≠0，f(x) =a.x2十bx且f(2)=0,且使方程f(x)=x有等 根.则f(x)的解析式为 10.对于函数y=f(x),若存在非零常数xo,使f(xo) 十f(-xo)=0,则称点(xo,f(xo)是曲线f(x) 〔-x2-2x,x0, 的“优美点”.已知f(x)= 1 则曲 ,x>0, 线f(x)的“优美点”个数为 课时分层检测（十九 一、单项选择题 1.（2025·泰州调研)中国 ↑y(℃) 90 茶文化博大精深，茶水的 80 口感与茶叶类型和水的 70 温度有关.经验表明，某 种绿茶用85℃的水泡 o12345x(min): 制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生 最佳口感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时： 间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温： 度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察 散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似： 地刻画茶水温度y随时间x变化的规律( ) A.y=m.x2+n(.x>0) B.y=ma2+n(m>0,0<a<1) C.y=ma*+n(m>0a>1) D.y=mlogax+n(m>0,a>0a1) 2.(必修一P155T9改编)已 ↑价格/元 甲 知甲、乙两种商品在过去 一段时间内的价格走势如 乙 图所示.假设某商人持有 资金120万元，他可以在t1 至4的任意时刻买卖这两 t4时间 ,‘ 种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不 计).如果他在4时刻卖出所有商品，那么他将获 得的最大利润是 A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 3.(2025·烟台调研)海水中的光照强度随着深度： 增加而减弱，可用ID=IoeKD表示其总衰减规 律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D (单位：米)是海水深度，ID(单位：坎德拉)和I。 (单位：坎德拉)分别表示在深度D处和海面的光 强.已知某海区10米深处的光强是海面光强的 30%,则该海区消光系数K的值约为（参考数据：： ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6) A.0.12B.0.11 C.0.07 D.0.01 4.(2025·合肥联考)一般地，声音大小用声强级L1: （单位：dB表示.其计算公式为：山，=10g(1。)小： 其中I为声强，单位：W/m,若某种物体发出的 声强为5一10W/m2,其声强级约为（参考数据： 1g2≈0.30) () A.50 dB B.55 dB C.60 dB D.70 dB 5.某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活： 动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50： 元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元： —26 函数模型的应用 但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3) 如果购物总额超过100元但不超过300元，则按 该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超 过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠， 超过300元的部分给予8折优惠.某人购买了部 分商品，则下列说法不正确的是 ( ) A.如果购物总额为78元，则应付款73元 B.如果购物总额为228元，则应付款205.2元 C.如果购物总额为368元，则应付款294.4元 D.如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总 额为516元 6.(2025·湖南部分学校联考)甲醛是一种无色、有 着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危 害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过 0.08mg/m3,否则，该新房达不到安全入住的标 准，若某套住房自装修完成后，通风x(x=1,2, 3,…,50)周与室内甲醛浓度y(单位：mg/m3)之 间近似满足函数关系式y=0.48-0.1f(x)(x∈ N*),其中f(x)=loga[k(x2+2x十1)](k>0, x=1,2,3,…,50),且f(2)=2,f(8)=3,则该住 房自装修完成后要达到安全入住的标准，至少需 要通风 A.17周B.24周 C.28周 D.26周 二、多项选择题 7.(2025·铜仁调研)甲同学家到乙同学家的途中 有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家 到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学 从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间 x(min)的关系，下列结论正确的是() ↑y/km 1 0102030405060x/min A.甲同学从家出发到乙同学家走了60min B.甲从家到公园的时间是30min C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的 速度快 D.当0≤≤30时，y与x的关系式为y=5x 8.(2024·宿迁模拟)某大型商场开业期间为吸引 顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活 动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该 商场消费.抽奖结果共分五个等级，等级x与购 物卡的面值y(元)的关系式为y=eax+b十k,三等 奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多 120元，且四等奖的面值是五等奖面值的3倍，则 A.a=-1n5 B.k=15 C.一等奖的面值为3130元 D.三等奖的面值为130元 三、填空题 9.某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可 行3km(含3km),3km后到10km(含10km) 每多走1km(不足1km按1km计)加价0.5元， 10km后每多走1km加价0.8元，某人坐出租 车走了12km,他应付 兀. 10.某市拟建造一批外形为长方 H 体的工作房，如图所示.房子 的高度为3m,占地面积为 6m,墙体ABFE和DCGH D月 的造价均为800元/m2,墙体 A B ADHE和BCGF的造价均为1200元/m2,地 面和房顶的造价共20000元.则一个这样的工 作房的总造价最低为 元 11.(2025·黄冈模拟)“百日冲刺”是各个学校针对 高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短 时间内最大限度地激发一个人的潜能，使成绩 在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高 考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中 等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大 现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的 学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了 一个经过时间t(30≤t≤100)（单位：天），增加 总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(1)= kP 1+1g(+Dk为增分转化系数，P为“百日冲 刺”前的最后一次模考总分，且f(60)=。P.现 有某学生在高考前100天的最后一次模考总分 为400分，依据此模型估计此学生在高考中可 能取得的总分约为 .（保留到个位) (1g61≈1.79) 12.(2024·海南模拟)“环境就是民生，青山就是美 丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的 进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生 的废气中污染物的含量为1.2mg/cm3,排放前 每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当 地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超 过0.2mg/cm3,若要使该工厂的废气达标排 放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（参考 数据：1g2≈0.3，lg3≈0.477) 3 四、解答题 13.(2025·株洲模拟)研究表明：在 y 84 一节40分钟的网课中，学生的 注意力指数y与听课时间x(单 位：分钟)之间的变化曲线如图 所示，当x∈[0,16]时，曲线是 二次函数图象的一部分；当x∈ 16 0112 40衣 [16,40]时，曲线是函数y= logo.8(x十a)+80图象的一部分，当学生的注意 力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课 状态” (1)求函数y=f(x)的解析式； (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听 课状态”的时间有多长？（参考数据：0.8一12≈ 14.6,精确到1分钟) 14.(2025·长治质检)某共亭单车公司计划在甲、 乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每 个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可 知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足 P=4√2a-6,乙城市收益Q与投入a(单位：万 元)满足Q=a+2.80≤a≤120设甲城市的 32,120<a160, 投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x) (单位：万元). (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总 收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能 使公司总收益最大？