精品解析：上海市民办西南高级中学2025学年高二年级第二学期数学期中考试试卷

2025学年高二年级第二学期数学期中考试试卷 一、填空题（4分×12） 1. 直线，则倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程先求斜率，再根据斜率求倾斜角. 【详解】直线，知直线斜率，设倾斜角为，则， 又，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查的根据直线方程求直线的斜率，根据斜率求倾斜角，注意倾斜角的范围，属于容易题. 2. 过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 3. 抛物线y2=8x的焦点坐标是______ 【答案】(2,0) 【解析】 【详解】试题分析：一次项系数除以4得焦点横坐标或纵坐标，所以焦点 考点：抛物线焦点 点评：的焦点 4. 圆的圆心的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】圆的圆心的坐标为． 5. 若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 【答案】4 【解析】 【详解】由椭圆方程，可知焦点在轴上，长半轴长为， 根据椭圆的定义知，而， 则点到另一个焦点的距离. 6. 双曲线的焦距为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线方程求出，，然后求出 即可得到结果． 【详解】双曲线的方程为：， 可得，，所以， 所以双曲线的焦距长为：． 故答案为：． 7. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】对a分类讨论，利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出． 【详解】a=1时，两条直线不垂直，舍去． a≠1时，由﹣×=﹣1，解得a=． 故答案为． 【点睛】本题考查了分类讨论、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意：抛物线的准线为，设点P的纵坐标为， 由抛物线定义可得，解得， 所以点P的纵坐标为4. 故答案为：4 9. 若双曲线的离心率e=2，则m=________. 【答案】48 【解析】 【详解】根据双曲线方程＝1知a2＝16，b2＝m，并在双曲线中有a2＋b2＝c2，∴离心率e＝＝2，＝4＝，m＝48. 10. 以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 11. 过椭圆（）的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若，则该椭圆的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意，得到A点的坐标为，l的方程为，得到B点的坐标为，得到M点的坐标为，代入椭圆方程得到，从而有，进而求得椭圆的离心率，得到答案. 【详解】由题意知A点的坐标为， l的方程为， ∴B点的坐标为，故M点的坐标为， 代入椭圆方程得，即，∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的离心率，属于基础题目. 12. 已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解. 【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为， 圆的圆心，半径，由椭圆的定义得， 则， 而，当且仅当点在直线上时取等号， 所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值. 二、选择题（4分×4） 13. 直线的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线的斜率为2，则该直线的方向向量为， 垂直于向量的向量为，因此直线的法向量为， 取，得是直线的法向量，C是； 不存在非零实数，使得该直线的法向量为ABD. 14. 方程所确定的直线必经过点 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知方程化为，若经过定点，则，且，解方程即可得到答案． 【详解】此方程表示过一个定点的直线束，将此方程转化为关于k的方程，即，令，则，可联立解得，则直线必经过点． 【点睛】本题考查了含参直线过定点问题，属于基础题． 15. AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线的焦点为，准线为，设焦点弦的端点为、，根据抛物线的定义，，， 故弦长，由得， 所以中点的横坐标为. 16. 若椭圆的离心率，则的值为（ ） A. 16 B. 16或 C. D. 3或 【答案】B 【解析】 【详解】当焦点在轴时，有 ，，则，解得； 当焦点在轴时，有 ，，则，解得， 因为，满足题意，综上所述，或. 三、解答题 17. （1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】（1）直线可化为， 由直线的斜截式方程可知； （2）直线的斜率为， 过，两点的直线斜率为， 由题意可得，解得， 此时，点不在直线， 故. 18. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. （1）写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； （2）求△的周长. 【答案】（1）长轴长为，短轴长为，焦距为，坐标为 （2） 【解析】 【小问1详解】 因为椭圆方程为，所以，，所以， 所以，，，所以长轴长为，短轴长为，焦距为， 坐标为； 【小问2详解】 因为，两点在椭圆上，所以 ， ， 所以的周长为 . 19. 已知圆，直线. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解； （2）根据弦长和半径求出弦心距，然后利用点到直线的距离公式构建关于的方程. 【小问1详解】 解：圆，即， 则圆心，半径，又直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 解得； 【小问2详解】 解：， 解得，则， 解得或， 则直线的方程为或． 20. 已知双曲线的方程为. （1）求的渐近线方程； （2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 【答案】（1）； （2）①，②. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线公式即可得到答案； （2）①利用点差法即可求得直线方程；②利用弦长公式即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得，则双曲线C的渐近线方程为. 【小问2详解】 ①设，，直线l的斜率为k， 则，两式相减，得， 即，所以，即. 直线l的方程为，即. 联立得，则， 则直线与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以，直线l的方程为. ②由①得， 则. 21. 抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8. (1)求p的值. (2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点?若是,求出交点坐标;若不是,说明理由. (3)求直线l的斜率的取值范围. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【解析】 【分析】(1)联立切线方程与抛物线方程，根据相切时判别式为0即可求得p的值． (2)根据|AF|+|BF|=8，结合抛物线定义可转化为与A、B横坐标相关的等式，从而求得x1+x2=6.设C点坐标(m,0)，因为C在AB的垂直平分线上，所以|AC|=|BC|．然后根据两点间距离公式，代入两个横坐标的和即可求得m的值，进而确定过定点． (3)设AB的中点为M(x0,y0),表示出直线l方程y=k1(x-5)．将AB中点坐标代入方程后得到M的坐标与直线斜率k之间的关系．根据中点M的在抛物线内可得不等式，进而求得k的范围． 【详解】(1)因为抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,所以由得y2-2py+2p=0(p>0)有两个相等实根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2. (2)抛物线y2=4x的准线x=1.且|AF|+|BF|=8, 所以由定义得x1+x2+2=8,则x1+x2=6. 设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C(m,0). 由C在AB的垂直平分线上,从而|AC|=|BC|, 即(x1-m)2+=(x2-m)2+, 所以(x1-m)2-(x2-m)2=, 即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2). 因为x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4. 又因为x1+x2=6,所以m=5. 所以点C的坐标为(5,0). 即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点(5,0). (3)设直线l的斜率为k1,由(2)可设直线l方程为y=k1(x-5). 设AB的中点M(x0,y0),由x0==3,可得M(3,y0). 因为直线l过点M(3,y0),所以y0=-2k1. 又因为点M(3,y0)在抛物线y2=4x的内部, 所以<12.即4<12,则<3. 因为x1≠x2,则k1≠0. 所以k1的取值范围为(-,0)∪(0,). 【点睛】本题考查了直线与抛物线的关系，直线过定点问题与参数取值范围等，要熟练掌握抛物线的定义与几何性质，也是高考的重点和难点，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年高二年级第二学期数学期中考试试卷 一、填空题（4分×12） 1. 直线，则倾斜角为______. 2. 过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 3. 抛物线y2=8x的焦点坐标是______ 4. 圆的圆心的坐标为__________． 5. 若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离是__________. 6. 双曲线的焦距为________． 7. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________． 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为_______． 9. 若双曲线的离心率e=2，则m=________. 10. 以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 11. 过椭圆（）的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M，与y轴的交点为B，若，则该椭圆的离心率为________. 12. 已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________. 二、选择题（4分×4） 13. 直线的法向量可以是（ ） A. B. C. D. 14. 方程所确定的直线必经过点 A. B. C. D. 15. AB为抛物线的焦点弦，若，则AB中点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 若椭圆的离心率，则的值为（ ） A. 16 B. 16或 C. D. 3或 三、解答题 17. （1）直线的斜率为，在轴上的截距为，求和的值； （2）已知过，两点的直线与直线平行，求的值. 18. 已知分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，连接和. （1）写出椭圆的长轴长，短轴长，焦距和的坐标； （2）求△的周长. 19. 已知圆，直线. （1）当为何值时，直线与圆相切； （2）当直线与圆相交于两点，且，求直线的方程. 20. 已知双曲线的方程为. （1）求的渐近线方程； （2）经过点的直线交于两点，且为线段的中点， ①求的方程；②求. 21. 抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8. (1)求p的值. (2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点?若是,求出交点坐标;若不是,说明理由. (3)求直线l的斜率的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $