精品解析：上海市民立中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

民立中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 （满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸指定区域内） 一．填空题：（满分30分，每小题3分） 1. 若点为角终边上一点，则________________. 【答案】 【解析】 【详解】 2. 函数取得最大值时的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的性质求解即可 【详解】当，即时，函数x的最大值为3. 故答案为： 3. 若，且，则________________. 【答案】##0.8 【解析】 【详解】因为，且，所以，则 4. 函数 的最小正周期是________ 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数，根据最小正周期等于求出结果. 【详解】函数， 函数的最小正周期为 故答案为：. 5. 若函数是偶函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意利用三角函数的性质考查时函数取得最值即可确定的值. 【详解】函数为偶函数，则当时函数取得最值， 即：. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性，由奇偶性确定参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 在△ABC中，如果有性质，则这个三角形的形状是 三角形 【答案】等腰或直角 【解析】 【分析】利用正弦定理化已知等式为，再由二倍角公式得，这样和可能相等也可能互补． 【详解】∵，又，∴，即， ∴或， ∴或， ∴是等腰三角形或者直角三角形． 故答案为等腰或直角． 【点睛】本题考查正弦定理和二倍角公式，易错点是在由只得出结论而忘记有． 7. 已知函数定义域为，值域为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据定义域和值域，结合余弦函数的图像与性质即可求得的值，进而得解. 【详解】因为，由余弦函数的图像与性质可得， 则， 由值域为可得， 所以， 故答案为：3. 【点睛】本题考查了余弦函数图像与性质的简单应用，属于基础题. 8. 函数的单调递增区间__________ 【答案】 【解析】 【详解】 因此 9. 若关于的方程在上有两个不同的解，则的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】令，利用二倍角公式和辅助角公式化简得，将问题转化为函数与的图象在有两个交点，结合三角函数图象求得的取值范围. 【详解】令，所以， 等价于，所以此方程的解的个数也即函数与的交点个数， 画出函数在图象如图所示，时， ；时，， 由已知函数与的交点个数为2，所以，所以，即的取值范围是. 10. 设函数满足：为奇函数，为偶函数，且，则________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用倍角公式可得，结合函数奇偶性可得，进而可得结果. 【详解】因为， 且，则，可得， 又因为为奇函数，为偶函数，则， 可得，即， 所以 . 二、选择题：（满分12分，每小题3分） 11. 若是第一象限角，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是第一象限角，可得为第一或第三象限角，结合象限角性质逐项判断即可得. 【详解】由是第一象限角，则， 则，为第一或第三象限角； 对A：若为第三象限角，则，故A错误； 对B：若为第三象限角，则，故B错误； 对C：为第一或第三象限角，则，故C正确； 对D：取，则，，， 此时，故D错误. 12. 设函数的最小正周期为,最大值为,则 A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由于三角函数的最小正周期，最大值为：Ａ＋Ｂ；所以函数的最小正周期，最大值：Ａ＝2－1＝1；故选Ａ． 考点：三角函数的周期与最值． 13. 在中，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，整理可得，进而判断三角形形状. 【详解】由正弦定理可得,所以， 即，又，所以，所以，所以， 所以是直角三角形. 故选：A. 14. 下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，分析函数的单调性及奇偶性即可得出结果. 【详解】对于函数，当时无意义，在上不单调，故A不正确； 函数在上单调递减，故B不正确； 函数是偶函数，在上单调递增，故C正确； 当时， 函数单调递减，故D不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的单调性，奇偶性，诱导公式，属于中档题. 三、解答题： 15. 用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 【答案】 【解析】 【分析】令,取，列表描点，即得图象. 【详解】令,则，列表并描点作图，得 0 0 1 0 -1 0 0 2 0 -2 0 16. 上海的金茂大厦是改革开放以来的上海超高层标志性建筑.有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的处测得金茂大厦顶部的仰角为，再向金茂大厦前进米到处，测得金茂大厦顶部的仰角为.他能否算出金茂大厦的高度呢？若能算出，请计算其高度（精确到1米）. 【答案】能，420米 【解析】 【分析】由题意可得，求解金茂大厦的高度，可以转化为三角形边上的高求解. 【详解】根据题意，中，， 米，，金茂大厦高度为边上所在直线上的高， ，所以，他测得的金茂大厦高度约为米. 17. 已知，求的值域、周期和单调区间. 【答案】值域为；周期；增区间为，减区间为 【解析】 【分析】借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数性质计算即可得. 【详解】， 由，则的值域为； 周期； 令，解得； 令，解得； 故的单调增区间为， 单调减区间为. 18. 已知函数，若恒成立，求常数的取值范围. 【答案】或 【解析】 【分析】令，利用三角函数关系将转化为关于的表达式，把原函数转化为关于的二次函数，确定的取值范围，求出该二次函数在取值范围内的最小值，由此得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】设，由辅助角公式得：，故， 两边平方得，即， 代入原函数得：， 即， 即对任意恒成立， 是开口向上的二次函数， 对称轴为，对称轴落在区间内， 所以， 解得：或. 19. 已知函数.当时，.对 内任意实数，恒有成立. （1）求和的值； （2）当时，求的解析式； （3）求函数的值域. 【答案】（1）， （2） （3）若，函数的值域为； 若，函数的值域为； 若，函数的值域为； 若，函数的值域为. 【解析】 【分析】（1）（2）根据题中函数的解析式代入求解即可； （3）分、、和四种情况，结合正弦函数的有界性分析求解即可. 【小问1详解】 因为，则； 所以. 【小问2详解】 设，则， 所以. 【小问3详解】 当时，， 若，则，可得， 则，可得， 依次类推可得：当时，，， 所以函数的值域为； 若，则，可得， 则，可得， 依次类推可得：当时，，， 且，所以函数的值域为； 若，则，可得， 则，可得， 依次类推可得：当为正偶数时，则，， 当为正奇数时，则，， 所以函数的值域为； 若，则，可得， 则，可得， 依次类推可得：当为正偶数时，则，， 且； 当为正奇数时，则，， 且； 所以函数的值域为； 综上所述：若，函数的值域为； 若，函数的值域为； 若，函数的值域为； 若，函数的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民立中学2023学年第二学期高一年级期中考试数学试卷 （满分100分，90分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸指定区域内） 一．填空题：（满分30分，每小题3分） 1. 若点为角终边上一点，则________________. 2. 函数取得最大值时的值为________. 3. 若，且，则________________. 4. 函数 的最小正周期是________ 5. 若函数是偶函数，则________． 6. 在△ABC中，如果有性质，则这个三角形的形状是 三角形 7. 已知函数定义域为，值域为，则______． 8. 函数的单调递增区间__________ 9. 若关于的方程在上有两个不同的解，则的取值范围是_______________. 10. 设函数满足：为奇函数，为偶函数，且，则________________. 二、选择题：（满分12分，每小题3分） 11. 若是第一象限角，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 设函数的最小正周期为,最大值为,则 A. , B. , C. , D. , 13. 在中，若，则一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 14. 下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）. A. B. C. D. 三、解答题： 15. 用“五点法”作出函数在一个周期内的图像. 16. 上海的金茂大厦是改革开放以来的上海超高层标志性建筑.有一位测量爱好者在与金茂大厦底部同一水平线上的处测得金茂大厦顶部的仰角为，再向金茂大厦前进米到处，测得金茂大厦顶部的仰角为.他能否算出金茂大厦的高度呢？若能算出，请计算其高度（精确到1米）. 17. 已知，求的值域、周期和单调区间. 18. 已知函数，若恒成立，求常数的取值范围. 19. 已知函数.当时，.对 内任意实数，恒有成立. （1）求和的值； （2）当时，求的解析式； （3）求函数的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $