三、压轴题必练-【众相原创·赋能中考】2026年陕西中考数学方向卷

三、压轴题必练 必练19 填空儿何综合题(2025陕西T14考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 主要涉及特殊四边形的考查，其中2024年涉及三角形、2021年 5年5考 T13或T14 3分 涉及，点圆最值的考查；常与其他知识相结合考查，如：相似三角 形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、动点问题等 1.如图，在△ABC中，D是AC的中点，连接BD,点F在边BD上，连接AF并延长交BC于点E.若 BF:FD=3:1,BC=16,则CE的长为 D 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,MN垂直平分BC,D为AB的中点，E为MN上一动点，连接 DE,BE.若BD=2,等腰三角形ABC的面积为8，则BE+DE的最小值为 3.如图，在△ABC中，AB=2,∠B=60°，∠ACB=45°，D为BC上一动点，连接AD,将AD绕点A逆时针 旋转90°得到AE,连接CE,DE,则S△cos的最大值为 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4,点D在边AC上运动，连接BD,F为AB的中 点，点E在线段BD上，连接CE,EF,且CD=DE·BD,则EF的最小值为 5.如图，在△ABC中，AC=BC,AB=4,△ABC的面积为10，BC的垂直平分线DE交AC于点D,交BC于 点E,P为线段DE上一动点，Q是AB的中点，连接PQ,BP,则△BPQ周长的最小值为 E 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，在菱形ABCD中，AB=43,∠BAD=60°，对角线AC,BD相交于点O,E是对角线AC上的一个动 点，连接BE,将BE绕点B按逆时针方向旋转60°，得到BF,连接OF,则OF的最小值是 7.如图，四边形ABCD是正方形，AB=4,对角线AC,BD相交于点O,将直角三角板的直角顶点放在点 O处，三角板的两边足够长，与BC,CD分别交于点E,F.当三角板绕点O旋转时，线段EF的最小 值为 40 8.如图，在四边形ABCD中，ADBC,∠B=60°，AB=10,AD=30,BC=8,E为边BC上一点，且BE=2, F为边AD上一点.若EF恰好平分四边形ABCD的面积，则EF的长为 B C 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，在正方形ABCD中，AD=2,E,F分别为边DC,CB上的点，且始终保持DE=CF,连接AE和 DF交于点P,连接CP,则线段CP的最小值为 10.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=7,E,F分别是CD,AD上的动点，CE=DF,连接AE,CF,则AE+ CF的最小值为 11.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB=6,M为BC上一点，连接AM,DM.若E,F分别为AM,DM的中 点，则BE+CF的最小值为 M 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，且AE=3BE,F是边AD的中点，BF与CE,DE分别相交 于点M,N.若AB=4,BC=6,则MN的长为 13.如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在△ABC内，BD=3,CD=4,∠BDC=135°，点E,F 分别在边AB和边AC上，并满足AF=√2AE,连接DE,DF,则W2DE+DF的最小值为 14.如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点 F,若AB=10,F是DC的中点，则BC的长为 第14题图 第15题图 第16题图 15如图，在菱形ABCD中，am∠ABC=子，E,P,G分别为D,AB,AD上的点，连接EC,EG若EF+ EG=12,则菱形ABCD面积的最大值为 16.如图，正方形ABCD的边长为4，E是边CD上一动点，连接AE,将线段AE绕点E逆时针旋转90° 得到线段EF,连接AF,BF,当AF+BF取最小值时，线段CE的长为 41 必练20 综合与实践(2025陕西T26考法，2025年分值由10分变为12分) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 2~3问，一般为四边形、三角形综合题及辅助圆问题。 【问题提出】数学模型的提出 5年5考 T26 10分或12分 【问题解决】数学模型解决实际问题 2025年分值由10分变为12分；解答过程中涉及作图问题 1.问题探究 (1)如图1，在口ABCD中，连接AC,∠BAD=∠B.若∠ACB=30°，探究线段BC与线段AB之间的数 量关系； 问题解决 (2)如图2，矩形ABCD是一块待开发的旅游景点规划地，CA,CE,CF是从入口C通往三个观光点 A,E,F的路线，其中CE=CF,且∠ECF=∠ACB=30°，因自然地理环境的限制，观光点A无法直接 到达观光点E,F,为方便旅客顺利、便捷地从观光点A到达观光点E,F(观光点E,F分别在AB, AD上)，现要在AE,AF上架一座桥梁，已知AC=4km,桥梁AE的造价为200万元/km,桥梁AF的 造价为100万元/km,求建好AE和AF两座桥梁所需要的总造价. 图1 图2 42 2.新题型【综合几何与作图结合】问题探究 (1)如图1，在△ABC中，请在边BC上找一点D,使得∠BDA=∠BAC; (2)如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,在线段BC和线段CD上分别取点E,F,使得E6, CF5,连 接AE,BF相交于点P,连接CP,求CP的最小值： 问题解决 (3)如图3，菱形ABCD是某社区的一块空地，经测量，AB=120m,∠ABC=60°.社区管委会计划对 该空地进行重新规划利用，在线段AD上取一点E,沿BE,CE修两条小路，并在小路BE上取一点 H,将CH段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求， ∠BHC=∠BCE,为了节省铺设成本，要求休闲通道CH的长度尽可能小，问CH的长度是否存在最 小值？若存在，求出CH长度的最小值；若不存在，请说明理由. 图1 图2 图3 43 3.问题探究 (1)如图1，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF=3FD,连接BE,EF, ∠BEF=90°，EF与BC的延长线交于点G,若AB=4,求CG的长； 问题解决 (2)如图2，李叔叔家有一个正方形菜园ABCD,AC为人行步道，李叔叔要对该菜园进行重新扩建 规划，在CA的延长线上取一个点E,连接DE,在AC上取一点F,使得DE⊥DF,在△DEF区域内种 植某种新品种蔬菜，在DF的延长线与BC的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），将DG修 建为灌溉水渠，经测量，BG=2GC.根据李叔叔的规划要求，AE的长应为60m,请你计算灌溉水渠 DG的长度 G 图1 图2 44 4.问题探究 (1)如图1，在等边三角形ABC中，AB=4,AD为BC边上的高，E为AC的中点，连接BE交AD于点 0,则A0的长为 ； 1 (2)如图2，在正方形ABCD中，AB=6,P为正方形内一点，当SAP=人S正方形BC时，求PA+PB的最 41 小值； 问题解决 (3)如图3，四边形ABCD是某现代农业生态园部分平面示意图，其中AB∥CD,∠C=90°，∠A= 60°，AB=AD,CD=300m,△ABD的中心O是一座有机蔬菜餐厅，生态园的入口M是CD的中点， BM是一条有机蔬菜展览走廊，BC是一条循环生态河，现需要在BC上取点E,BM上找点P,修建 道路ME,EP,OP,为了节省成本，需要修建的道路最短，即ME+EP+OP的值最小：是否存在这样的 点E,P,使得ME+EP+OP的值最小？若存在，请求出ME+EP+OP的最小值；若不存在，请说明 理由. 图3 45 5.问题探究 (1)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，E是对角线BD上一动点，连接AE,将EA绕点E顺时 针旋转60°得到EF,连接AF,DF.求∠ADF的度数； (2)如图2，在正方形ABCD中，AB=6,E是对角线BD上一动点，连接AE,将EA绕点E逆时针旋 转90°得到EF,连接AF,当BE=2ED时，求BF的长度； 问题解决 (3)如图3，某科技公司现有一块形如矩形ABCD的研发基地，已知AB=200米，AD=2003米，为 了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积.扩建方案如下：E是对角线BD上一动点，以 AE为边在AE右侧作Rt△AEF,满足∠AEF=90°，∠FAE=60°，其中将△EDF修建成新能源研发 区，△AEF为试验区，为保证研发效果，要使研发区（即△EDF)的面积最大，求此时试验区（即 △AEF)的面积. 图1 图2 图3 462解：(1)儿，所在抛物线的表达式为y弓(-3)+1 (2)点M1,M2到OA的距离均为4m, 11 把x三4代人y=。(x-3+1,得y9 9 把=4代入y=,得y= *42、4 5 114、91 ÷M,N,=MN=9(-5) 45m, 91182 这两条灯带的总长度为2×4545(m): 答：这两条灯带的总长为182 m. 3解：(1)抛物线的表达式为)y=- 32(x-8)2+6 3 (2)当y=3时，32(x-8)2+6=3, 解得x,=8+42,x2=8-42, .8+42-(8-42)-5=(82-5)米 答：脚手架最多可向右移动(82-5)米 4.解：(1)竖直高度y与水平距离x的函数关系式为y= (2)设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0). 把C(0,60),P(40,30)代入， 得/60=m, 3 k=- 解得 4 30=40k+n, n=60, 3 直线BC的表达式为y=-4+60 如解图，取抛物线的最高点为M,作MNy轴，分别交 抛物线和直线BC于点M,N. 助济造 A B 3 3 设(m,16m+2m+70)Nm,4m+60), 1 3 3 9 六MN=16m+ 2m+70-(- 4m+60)=16m2+ 10-6m-182 4 心-60，心当m=18时.MN的值最大 即当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时， 此时的水平距离为18m. 5.解：(1)该抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)①由(1)得抛物线L的表达式为y=x2-2x-3=(x- 1)2-4, ,抛物线L的对称轴为直线x=1. 抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C, .当x=0时，得y=-3,.C(0,-3). 设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0). 将点B(3,0),C(0,-3)的坐标代入， 0 n=-3, .直线BC的表达式为y=x-3. 直线BC交抛物线的对称轴于点D,当x=1时，得 y=1-3=-2, .点D的坐标为(1，-2). ②由(1)可得抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .将抛物线L向左平移m(m>0)个单位长度得到抛物 线L'为y=(x-1+m)2-4, .抛物线L'的对称轴为直线x=1-m. 把x=1代入y=(x-1+m)2-4,得y=(1-1+m)2-4=m2-4, .E(1,m2-4); 把x=1-m代人y=(x-1)2-4,得y=(1-m-1)2-4=m2-4, .F(1-m,m2-4). DE=2EF. ∴.m2-4-(-2)=2[1-(1-m)]或-2-(m2-4)=2[1-(1-m)], 整理得m2-2m-2=0或m2+2m-2=0, 解得m1=1+√3，m2=1-√3（舍去）， m3=√3-1，m4=-√3-1（舍去）， 考点快练 .m的值为1+3或3-1. 必练19填空几何综合题 1号 【解析】如解图，过点C作CH∥AE,交BD的延长 线于点H,则∠H=∠AFD.设FD=m.BF:FD=3:1, .BF=3FD=3m.D是AC的中点，.CD=AD.在 I∠CDH=∠ADF, △CDH和△ADF中， ∠H=∠AFD,.△CDH≌ CD=AD. △ADF(AAS),.HD=FD=m,∴.BH=3m+m+m=5m, BEBF3m3 EF∥CH,△BEF∽△BCH,.BCBH5m5' 3 .'BE=- BC...CE=BC-BE=BC..BC=16...C= 516 32 5 2.4【解析】如解图，连接CD,交MN于点P,连接BP :直线MN垂直平分BC,.CP=BP,.BE+DE≥BP+ DP=CP+DP=CD,即BE+DE的最小值为线段CD的 长.△ABC为等腰三角形，D为AB的中点，BD=2, AB=2BD=2x2=4,CD LAB,SAMc=2AB CD= 27 2CD,即8=2CD,解得CD=4,∴.BE+DE的最小值为4. M 3氵【解折]如解图，过点A作AN1BC交BC于点N AH⊥AC交CB的延长线于点H.:AN⊥BC,∠ABC= W∠8W-0rN=24B=1,AN=B=3 21 AH⊥AC,∠ACB=45°，∴.△AHC是等腰直角三角形， .AH=AC,∠H=∠ACB=45°，∠HAC=90°.AN⊥ BC,∴.HC=2AW=23.将AD绕点A逆时针旋转90 得到AE,∴.AD=AE,∠DAE=90°=∠HAC,∠CAE= ∠HAD,.△AEC≌△ADH(SAS),.∠ACE=∠H= 45°，CE=HD,.∠DCE=90°，Sace=2CD·CE= D25-0)=(m-8+3<0, 1 考点快练 .当CD的长度为3时，SAce有最大值，.SAce的最 大位为号 H B ND 4.23-2【解析】如解图，取BC的中点0，连接OE, OF在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4, .AB=2BC=8.由勾股定理得AC=√AB-BC=43. ~cD=DE·BD,8册-：LCDE=LBDC, CD DE ∴.△CDE△BDC,∴.∠CED=∠BCD=90°，∴.CE⊥ BD0E=2BC=2.:F是AB的中点，0是BC的中 点OF是△ABC的中位线，OF=】AC=23.EF≥ 0F-0E,.EF的最小值为23-2. A B4 5.7【解析】如解图，连接CQ交DE于点P',连接CP, BP'.DE垂直平分BC,∴.PB=PC,,BP+PQ=PC+ PQ≥CQ,.当点P位于CQ与DE的交点P'时，BP+ PQ的值最小，最小值为CQ的长.在△ABC中，AC= 28 BC,Q为AB的中点，AB=4,∴.CQ1AB,QB=2S△ABc= 1 2AB·CQ=10,4B=4,2×4CQ=10,C0=5, ·.△BPQ周长的最小值为CQ+QB=5+2=7. 6.√3【解析】如解图，连接DF.四边形ABCD是菱形， .∴.AB=AD,AC⊥BD..·∠BAD=60°，.∠BAE= 2∠BAD=30,△ABD是等边三角形，∠AB0=60, BD=AB=43,OB=OD=2BD=23.:BE绕点B 按逆时针方向旋转60°得到BF,.∠EBF=60°，BE= BF,.∠ABE+∠EBO=∠EBO+∠DBF,·.∠ABE= BE=BF. ∠DBF.在△ABE和△DBF中， ∠ABE=∠DBF,∴. AB=DB. △ABE≌△DBF(SAS),.∠BAE=∠BDF=30°，.当 1 0E1DF时，0F有最小值，最小值为)0D= ×23= 2 √3，.OF的最小值是3 D 7.22【解析】：四边形ABCD为正方形，.OC⊥OD, 0C=0D,∠0DC=∠0CB=45.∠E0F=90°， .∠DOF=∠COE=90°-∠FOC,.∴.△OEC≌△OFD (ASA),OE=OF.又∠E0F=90°，.EF=√2OE,故 要使EF有最小值，即为求OE的最小值，则当OE⊥BC 时，OE有最小值.0E⊥BC,0B=0C,∠B0C=90°， OB=BC=2,EF=20B=22,线段EF的最 2 小值为22 8.5√I9【解析】设AF=a,DF=b,四边形ABCD的高为 h.:EF恰好平分四边形ABCD的面积，AD∥BC, 1 1 小S边形Ae=Sm助，心2h·(BE+AF)=2h·(CE+ DF),即2+a=6+b.又.a+b=30,∴.a=17,b=13.如解 图，过点A作AG⊥BC于点G,过点E作EH⊥DA交DA 的延长线于点H,交AB于点K,则四边形HAGE为矩 形.∠B=60°，AB=10,BE=2,∴∠BKE=∠AKH= LB4G=0bk=28E=4,BG=4B=5AG= AB2-BC2=53,AK=AB-BK=6,..AH=EG=BG- BE=3,..HF=AH+AF=20.HE=AG=53,..EF= √HF+HE2=5√19. D K BEG C 9.5-1【解析】四边形ABCD是正方形，AD=CD, ∠ADE=∠DCF=90.在△ADE和△DCF中， (AD=CD, ∠ADE=∠DCF,∴.△ADE≌△DCF(SAS),.∴.∠DAE= DE=CF. ∠CDF.∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴.∠ADF+ ∠DAE=90°，.∠APD=90°，AE⊥DF.如解图，取AD 的中点0，连接0P,0C,则0P=2AD=×2=1.由题 意得当C,P,O三点共线时，线段CP的值最小.在 Rt△C0D中，根据勾股定理得OC=√CD2+0D=√/5， ∴.CP≥0C-0P=√5-1，.线段CP的最小值为5-1. 10.17【解析】如解图，在BC的延长线上取一点M,使 得CM=DC,连接EM,AM.四边形ABCD是矩形，且 AB=8.AD=7...CM=CD=AB=8,BC=AD=7.LB= ∠BCD=∠D=90°，.∠MCE=∠D=90°.在△MCE和 (CE=DF △CDF中， ∠MCE=∠D,'.△MCE≌△CDF(SAS), CM=DC, .EM=CF,.AE+CF=AE+EM,.当AE+EM的值最 小时，AE+CF的值最小，根据“两点之间，线段最短” 得AE+EM≥AM,∴·AE+EM的最小值为线段AM的 长，.当A,E,M三点共线时，AE+CF的值最小，最小 值为线段AM的长.在Rt△ABM中，AB=8,BM=BC+ CM=7+8=15,由勾股定理得AM=√AB+BM= √82+15=17，.AE+CF的最小值为17. B 11.32【解析】如解图，连接EF,过点E作EG∥CF交 BC于点G..四边形ABCD是矩形，AD=2AB=6. .ADBC,AB=3.E,F分别为AM,DM的中点，.EF 为△WD的中位线EF/D,EF=A0=3BF/ BC,.四边形EGCF为平行四边形，·.EG=CF.作点G 关于EF的对称点H,.点H在边AD上，连接EH, BH,∴.EG=EH,∴.EH=CF,∴.BE+CF=BE+EH≥BH. AH=BG=BC-CG=BC-EF=3,..BH=AB2+AH2= 32,故BE+CF的最小值为3√2. H D E B GM C 12. 8【解折】如解图，过点E作EH/AD,交Br于点 BE G,交CD于点H,∴.EH∥BC,.△BEG△BAF, AB =CGAE=3BE,F是AD的中点，AB=4.BC= 6BE=L,AB=3,AF=DF=AD=3在R△ABF 中，由勾股定理得BF=√AB+AF=5,4=3 1 EG g%CBG=,G=GF=ar-BG-5 BG 41 EH∥ BC∥AD,.△EGN∽△DFN,△EGM∽△CBM,. EG 必 DF 33 股6子-石c84e 练 NF 4'MB 1 4 4 5 3,5 MG=MB-BG-3MN=NG+MG-A36 8 8 。,即MN的长为 D E H C 13.√34【解析】如解图，过点C在点C的上方作CHL CD,使得CH=√2BD,连接DH,FH.CH⊥CD, .∴.∠HCA+∠ACD=90°..∠BDC=135°，∴.∠DBC+ ∠DCB=180°-∠BDC=45°..·△ABC是等腰直角三 角形，.∠ABC+∠ACB=135°，AC=√2AB,.∠ABD+ ∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=135°- 45°=90°，.∠HCA=∠ABD.:AF=W2AE,AC= 21.GR=2E8g8m△EACn BEDE√2. CF-HF=2 HF=DE.DE+DF=HF+ DF≥DH,∴.当点D,F,H在同一条直线上时，2DE+ DF取得最小值，最小值为DH的长.在Rt△DCH中， CH=√2BD=32,CD=4,.DH=√Cf+CD=√34， 29 .W2DE+DF的最小值是√34 B 14.52+5【解析：四边形ABCD是矩形，.CD=AB= 10,AD=BC,AD∥BC,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90. BE是∠ABC的平分线，.∠ABE=∠CBE.AD∥ BC,.∴.∠CBE=∠AEB,∴.∠ABE=∠AEB,∴.AB=AE= 10,BE=√AB+AE=10√2.如解图，过点F作FG ⊥BE于点G,连接BF.EF平分∠BED,∠D=90°， FG⊥BE,.FD=FG,.Rt△FED≌Rt△FEG(HL), ED=CF是DC的中点Fm=0=)m=X 10=5,.FD=FG=FC=5.在Rt△BFG和Rt△BFC (BF=BF, 中，FG=FCAR△BFG≌R△BFC(HL)BG= BC.设ED=EG=x,则AD=BC=AE+ED=10+x,∴.BG= BE-EG=102-x,.由BC=BG得，10+x=10V2-x,解 考点快练 得x=52-5,AD=BC=10+x=10+52-5=52+5. 15.180【解析】如解图，在CD上截取DM=DG,连接 ME,过点F作FN⊥CD于点N,过点A作AH⊥BC于 点H.,四边形ABCD是菱形，.∠EDG=∠EDM, AB=BC=CD.DE=DE,△DEM≌△DEG(SAS), .EM=EG..EF+EG=12,.∴.EF+EM=12,∴.FN≤FE+ EM=12.S菱形Cn=BC·AH=CD·FV,.AH=FN, 大阴≤12m∠4c=册手令M=,Bm 3x,AB=√A+Bf=5x, AH 4 5 AB5AB= 4,Sw=BC·AM=AR.Ahs ·BC=5 12,S装形w≤4×122=180， 16、8 【解析】如解图，过点F作FH⊥CD交DC的延长 线于点H.:四边形ABCD为正方形，AD=CD=4, ∠D=∠BCD=90°.·线段AE绕点E逆时针旋转90° 30 得到线段EF,.AE=FE,∠AEF=90°.∠AED+ ∠DAE=90°，∠AED+∠HEF=90°，.∠DAE=∠HEF I∠D=∠EHF, 在△ADE和△EHF中，{∠DAE=∠HEF,∴.△ADE≌ AE=EF, △EHF(AAS),∴.DE=FH,AD=EH.AD=CD,∴.EH= DC,即EC+CH=EC+DE,∴DE=CH,∴.FH=CH, .∠FCH=45°，.点F在∠BCH的平分线上.延长 DC到点B使CB'=CD,连接AB',当∠BCH的平分线 的交点为点F,点B和点B关于CF的对称，.FB =FB',.AF+FB=AF+FB'=AB',此时AF+BF的值 最小.设CE=x,则CH=FH=4-x,B'H=4-(4-x)=x 、FH_B'H,即4- FHAD.△B'FH△B'AD,∴.ADBD 4 名，解得8.即当+8F取最小值时，线段E的 长为 B 必练20综合与实践 1.解：(1)BC=√3AB.理由如下： ·.·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠BAD+∠B=180°. ∠BAD=∠B,.∠BAD=∠B=90°. ∠ACB=30°，.AC=2AB. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AC-AB= √/(2AB)2-AB2=√3AB. (2)如解图，延长CB至点G,使得GC=AC=4,连接 GE,AG. D GB .·∠ECF=∠ACB=30°，·.∠BCE=∠ACF CE=CF, 在△CEG和△CFA中 ,{∠GCE=∠ACF, GC=AC. ∴.△CEG≌△CFA(SAS),∴.GE=AF,∠CGE=∠CAF. :四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠ABC=∠ABG=90°， ∴.∠CAF=∠ACB=30°，∴.∠CGE=30°. 在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AC=4km, 4B=40=20> 由(1)知BC=√3AB=23(km), ∴.BG=CG-CB=AC-CB=(4-2√3)km. 在Rt△BGE中，∠BGE=30°，∴.BG=√3BE,GE=2BE, 6BB三32kmA=G6三(834m AE=AB-BE=2-(。-2)=(4-3)km 3 一总造价为(443×7 +(834)x10=40(万元. 3)×200+(3 2.解：(1)如解图1，点D即为所求 D 解图1 解图2 (2)四边形ABCD为矩形，AB=6,BC=5,∠ABE= ∠BCF=90°， AB 6 BC5' BE 6 AB BE CF5 BC CF' .△ABE∽△BCF,.∠BAE=∠CBF, ∴.∠BAP+∠ABP=∠CBP+∠ABP=90°， ∴.∠APB=90°，即AE⊥BF. 2AB=3. 如解图2，取AB的中点0，连接P0,C0,则0P= 在△0BC中，∠0BC=90°，0B= 2AB=3, .C0=√OB2+BC=√34， .CP≥C0-0P=√34-3，即CP的最小值为√34-3. (3)CH的长度存在最小值，且最小值为403m.如解 图3，连接AH. D 解图3 :四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，.∠EAB=120°. ∠CBH=∠EBC,∠BHC=∠BCE, 、△CBH∽△EBC,BEBC BC BH 又：AB=BC,BEAB AB BH 又.·∠ABH=∠EBA,.△ABH∽△EBA. ∴.∠AHB=∠EAB=120°. 以AB为底边，在AB左侧作等腰三角形AOB,使得 ∠AOB=120°. 易得∠0BA=30°，0A=0B=403m,.∠0BC=90°. 易得点H的运动轨迹为以点O为圆心，OH长为半径 的圆弧，且0H=A0=B0=403, 在Rt△BC0中，BC=AB=120m, .0C=√OB2+BC=80V3(m), .CH≥0C-0H=803-403=403(m), ..CH长度的最小值为403m. 3.解：(1)四边形ABCD为正方形， .∠A=∠D=90°，CD=AD=AB=4,AD∥BC, ..∠ABE+∠AEB=90°. ∠BEF=90°，∴.∠AEB+∠DEF=90°， LABE=LDEF,.△ABE∽△DEF,DPDE AE AB .CD=4,CF=3FD,..DF=1,CF=3, .4-0解得0E=2 ADBC,.∠D=∠GCF,∠DEF=∠G, △mAaF,5-8 CG3’ ..CG=6 必考点快练 (2)如解图，过点E作EH⊥AD,交DA的延长线于点 H,则∠H=90°. :四边形ABCD为正方形， .∴.AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠B=∠BCD=∠ADC=90°， .∴.∠ADG+∠GDC=90°，∠H=∠BCD. DE⊥DF,.∠EDG=90°，即∠EDH+∠ADG=90°， EH DH LEDI=LGDC,∴△DEH∽△DcC,GCC7 .BG=2GC,.设GC=x,则BG=2x,DC=BC=3x, Dms8a .·AC是正方形ABCD的对角线， ∴.∠DAC=45°，∴.∠EAH=∠DAC=45°. ∠H=90°，∴.∠HEA=45°， 六.EH=HA=2AE=30,2(m), .DH=902 m,.'.CD=AD=DH-AH=602 m, .GC=202m. 在Rt△CDG中，由勾股定理，得DG=√CD+CG= 40W5(m). 即灌溉水渠DG的长度为405m. 31 舞) (2)如解图1，过点P作MN∥AB,分别交AD,BC于点 M,N,过点P作PQ⊥AB,交AB于点Q,则四边形 MAQP是矩形，.MA=PQ. 女SaBn= 1 ∴.PQ=3,.MA=3. 作点A关于MN的对称点A',即与点D重合，连接 A'B,此时PA+PB=PA'+PB≥A'B.由“两点之间，线段 最短”可知PA+PB的最小值为A'B的长 .MA=MA'=3,.A'A=2MA=6. 在Rt△A'AB中，A'A=6,AB=6,由勾股定理，得A'B= √A'A'+AB2=62, .PA+PB的最小值为62. D) 必 M'C M D 解图1 解图2 点 (3)如解图2，作点M关于BC的对称点M',连接OM', 分别交BC,BM于点E,P,则有ME=M'E,MC=M'C, .ME+EP+OP=M'E+EP+OP. 由“两点之间，线段最短”可知ME+EP+OP的最小值 为OM'. ∠A=60°，AB=AD,.△ABD是等边三角形， .∠ABD=∠ADB=∠A=60°，AB=BD=AD 又：点O是等边三角形ABD的中心，连接OD,则OD 平分∠ADB,∠BD0=)∠ADB=309 AB∥CD,∴.∠M'DB=∠ABD=6O°， .∠ODM'=∠BD0+∠M'DB=90°，BD=2CD=600(m), △ODM是直角三角形 M为CD的中点，-MC=MC=)CD=150(m ∴.M'D=M'C+CD=450(m). :△ABD是等边三角形，.AD=AB=BD=6O0(m) 由(1)的方法可得D0=2003(m). 在Rt△OM'D中，M'0=M'D+D0, .M'0=√M'D2+D02=50√129(m), ∴.ME+EP+0P的最小值为50√129m. 5.解：(1)：四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， ∴.AB=AD,∠BAD=∠ABD=60°. 由旋转可知EA=EF,∠AEF=60°， ∴.∠EAF=∠AEF=60°，AE=EF=AF, .∠BAE=∠DAF,∴.△ABE≌△ADF(SAS), ∴.∠ADF=∠ABD=60°. (2)如解图1，过点E作EG⊥AD于点G 32 :四边形ABCD是正方形，AB=6, ∴.BD=6V2,∠ADB=45°，AD=AB=6. 又：∠DGE=90°，.△DGE是等腰直角三角形. BD=62,BE=2ED,.DE=22, .∴.DG=EG=2,.∴.AG=AD-DG=4. 在Rt△AGE中，AE=√AG+EG=25. :EA绕点E逆时针旋转90°得到EF, △EAF是等腰直角三角形，.AF=√2AE=2√I0. 在Rt△ABF中，AB=6,AF=2/10, ∴.BF=√AF-AB=2,即BF的长度为2. D 解图1 解图2 (3)如解图2，过点A作AM⊥BE于点M,过点F作FV ⊥BD,交BD的延长线于点N, .∴.∠AME=∠FNE=90°. 四边形ABCD是矩形，AB=200米，AD=2003米， .∠BAD=90°，.BD=√2002+(2003)2=400（米）， 六AM=4BAD_20x205=10.3(米). BD 400 .BM=√/2002-(1003)2=100（米）. 在Rt△AEF中，∠AEF=90°，∠FAE=60°， ian∠FAE=tan60°=E AE =3,∠FEN+∠AEM=90°. 又.∠EAM+∠AEM=90°，.∠EAM=∠FEN, ∴.△AME∽△ENF, EN FN EF ·AMEM AE =3,设EM=x米，则FN=√3x米 BD=400米，BM=100米， ..ED=400-100-x=(300-x)米 45mr=30:N=方(30-)x3x= 2(x、 150)2+112505, .当x=150时，△EDF的面积最大， 此时EM=150米，AM=1003米， .AE=√/1502+(1003)2=50√21（米）， .EF=W3AE=1507(米)， =号E.BF=×50vaIx1507=262503 :.= (平方米)， 即研发区的面积最大时，试验区的面积为262503平 方米.