2026年陕西省初中学业水平考试数学试卷(八)-【众相原创·赋能中考】2026年陕西中考数学方向卷

2026年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（八） （全卷总分：120分考试时间：120分钟) 第一部分（选择题共24分）】 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是 1 A.√12 B.5 D.0.7 2.某物体的三视图如图所示，该物体是 主视图 左视图 俯视图 正面 正面 正面 正面 A C D 3.如图是一架婴儿车的示意图，其中AB∥CD,∠1=110°，∠2=70°，则∠3的度数是 n 月 烘 A.30° B.40° C.50° D.60 4.不等式2x+4≥6的解集是 A.x≥1 B.x>1 C.x≤1 D.x<1 5.如图，在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，AB⊥AD,AD=6,则BC的长为 I A.12 B.15 C.18 D.21 戡 B D 第5题图 第7题图 6.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x+b与y=-x+6的图象相交于点P.若点P的纵坐标为2，则 关于的方程组化三6的解为 () A/x2, B./5, C./x=3, D./t4, y=4 y=3 y=2 y=2 7.如图，在正方形ABCD中，点E在正方形ABCD内部，连接AE,DE,△ADE是等边三角形，过点E作 EF⊥AB于点F.若AD=4,则BF的长度为 () A.1 B.4-23 C.2 D.4-/3 数学试卷（八）第1页（共8页） &抛物线y=+伽+：的对称轴为直线x=弓，最小值为且经过点(-2.0)，则下列关于该函数的结论 正确的是 () A.abc>0 B.a+2=0 C.点A(-1,y1),B(1,y2)在抛物线y=ax2+bx+c上，则y1>y2 D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-3有一个实数根 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.因式分解：4a2-8ab= 10.有人建议向火星发射如图1的图案，它叫幻方，其中9个格中的点数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9.幻 方的排列规律是：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相等.如果火星上有智能生 物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）.请你类比图1推算出图2幻 方中P处所对应的数字是 田 ● P -13 … 88. -21 13 4(9,4) 8 图1 图2 R/O 第10题图 第12题图 第13题图 第14题图 11.新考法【一元一次方程的实际应用】“思奇阅读”倡导“阅读即思考，思考即创造”，七年级(1)班统计图 书角借阅情况：科普类书籍每本借阅一次计4分，文学类书籍每本借阅一次计3分.本月这两类书籍 共被借阅50次，累计积分达175分，则科普类书籍借阅 次 12.如图，在⊙0中，AB=BC,点D在⊙0上.若∠BAC=40°，则∠ADB= 13.新方向【反比例函数的实际应用】蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R (Ω)之间的函数关系如图所示.若以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过3A,原电路中已经 有一个82的定值电阻，则至少应再串联一个 2的电阻才可以保证电路安全. 14.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，过点B作BE⊥AB交CD于点E,连接AE,F为AE的中 点，连接CF,CF交BE于点G,则GF的长为 三、解答题（共12小题，计78分.解答题应写出过程） 15.(本题满分5分)计算：3-1-(3)2-12x(-3). 29 数学试卷（八）第2页（共8页） 16.(本题满分5分)先化简，再求值：(3a+1)(3a-1)+9a(2-a),其中a=sin30°. 口.（本题满分5分）解方程：，2，三 18.（本题满分5分)如图，在△ABC中，AB=AC.请用尺规作图法，求作矩形ADCE,使得点D在BC上. (保留作图痕迹，不写作法) 19.（本题满分5分)如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于点F.BC=DE,AC=AE,∠ACF+∠AED= 180°.求证：AB=AD 30 数学试卷（八）第3页（共8页） 20.（本题满分5分)“二十四节气”是中华民族上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五 大发明”，小明同学购买了“二十四节气”主题邮票（如图），他将A(春分)、B(夏至)、C(秋分)、D(冬 至)四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀 (1)小明从中随机抽取一张邮票，抽中是D(冬至)的概率是 (2)小明先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票.请 用画树状图或列表的方法求小明两次抽取的邮票中至少有一张是C(秋分)的概率， 50 50 ★50 21.(本题满分6分)某数学小组的同学计划利用所学知识测量一个寺塔的高度AB(如图).该数学小组 的成员在点C处竖立一根高为2.1米的标杆CD(即CD=2.1米)，此时寺塔和标杆CD在阳光下的 投影分别为AC,CE.随后，该数学小组的成员从点C处移动9米到达点F处（即CF=9米），在点F 处放置一个测角仪（测角仪的高度忽略不计），测得∠BFA的度数为45°，经测量得知：CE=1.4米.已 知点A,C,E,F在同一直线上，AB⊥AF,CD⊥AF,图中所有点均在同一平面内，请你帮助该数学小组 的成员求出寺塔的高度AB. CE F 数学试卷（八）第4页（共8页） 22.(本题满分7分)如图，是一个函数求值机示意图，其中y是x的函数.下面表格中，是通过该函数求 值机得到的几组x与y的对应值 输入 x≤0x>0 y=2x+1 y=kx+b y…-3@ 输出y (1)当输入的x值为-1时，输出的y值为 (2)求k,b的值； (3)若输出的y值小于0，求输入的x的取值范围. 23.(本题满分7分)良好的时间管理习惯有助于提升学习效率.某校为了解甲、乙两校区的学生完成相 同作业量的时间的情况，从甲、乙两校区的九年级学生中各随机抽取20名学生完成作业的时间（时 间单位为分钟且为整数)进行整理、描述和分析（完成作业的时间用x表示，共分为四个时段： A.x≤60，B.60<x≤70，C.70<x≤80，D.x>80),下面给出了部分信息： 甲校区所抽取20名学生中完成作业的时间在C时段的所有数据为72,74,75,75,75,75,76,78. 乙校区所抽取20名学生完成作业的时间为55,58,60,60,60,64,65,66,70,75,75,78,78,78,78,80， 82,85,85,88. 甲校区所抽取学生完成 作业时间扇形统计图 B 25% /1m% 20% 数学试卷（八）第5页（共8页） 根据以上信息，解答下列问题： (1)求扇形统计图中m的值； (2)甲校区所抽取学生完成作业时间的中位数为 分钟，乙校区所抽取学生完成作业时间的 众数为 分钟 (3)该校甲校区九年级有学生900名，乙校区九年级有学生800名，请估计该校九年级完成作业的时 间不超过70分钟的学生人数共是多少？ 24.（本题满分8分)如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O,交边AC于点D,过点D作DE⊥AB交AB于 点F,交⊙O于点E,连接BE,BC为⊙O的切线 (1)求证：∠ABE=∠C; (2)若F为OB的中点，且OF=1,求线段DE的长. D B 31 数学试卷（八）第6页（共8页） 25.(本题满分8分)某小区有一个半径为3的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱 为抛物线，在距水池中心1m处达到最大高度为3m,且各个方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装 饰物处汇合，以水平方向为x轴，喷水池中心为原，点建立如图所示的平面直角坐标系 (1)求水柱所在抛物线对应的函数关系式； (2)王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2处，通过 计算说明身高1.8m的王师傅是否被淋湿？ B 32 数学试卷（八）第7页（共8页） 26.（本题满分12分)新题型【综合几何与作图结合】问题探究 (1)如图1，在线段AB上方作一点C,使得∠ACB=90°，且△ABC的面积最大； (2)如图2，点B在半径为3的⊙O上运动，连接AB,C为AB的中点，求点C经过的路径长； 解决问题 (3)如图3，某正方形无人机试飞场ABCD,其边长为300m,现需要在其内部修建一座信号塔E,使得 通信覆盖角∠BEC=60°.其中，△BEC的面积越大，信号覆盖面积越大.现有无人机P与测控车Q在 该试飞场进行信号强度测试，B是固定导航基站，P到B的距离为150（飞行范围不限制在正方形 ABCD内部)，PE,BQ是通信链路长度，∠PEQ是链路夹角，若C= ∠PEQ=30°，则链路长度与链 PE 2' 路夹角对信号测试的干扰达到最小.当通信链路长度PE+EQ越短时，信号强度越强，求当信号覆盖 面积最大，信号强度最强时，EQ的长度 D E B A、 -B 图1 图2 图3 数学试卷（八）第8页（共8页）为4， .(t+1)2-9-(-9)=4,解得t=1或t=-3<0(不符合 题意，舍去).…(7分)》 综上所述，t的值为1.…(8分) 26.【命题立意】本题考查四边形综合题、等边三角形的 判定和性质、对称的性质、勾股定理、直角三角形的性 质，解直角三角形、四边形的面积等知识 解：(1)如解图1，分别取AB,AC的中点E,F,分别作 点D关于AB,AC的对称点M,N,连接AM,AN,EF DE,DF,MN,FN,过点A作AG⊥MN于点G. M D( 解图1 :AD为△ABC的边BC上的高， .∠ADB=∠ADC=90° .△ADB,△ADC都是直角三角形.…(2分) E,F分别是AB,AC的中点， DE=B,DF=号4C,EF是△ABC的中位线。 1 ·EF=2BC,.Car=2Cac,当△DEF的周长取 最小值时，△ABC的周长取最小值， 易得DE+DF+EF=ME+FN+EF≥MN,则MN的长即 为△DEF周长的最小值，∠MAN=2∠BAC=120°. .AM=AD=3,AN=AD=3,..AM=AN=3, .△AMN是等腰三角形， .∠AMN=∠ANM=- (180-LwMW=30,NG=G .AG⊥MN,.∠AGM=90°， MG=AM·COs LAMN=33 2， .MN=2MG=33,.△DEF周长的最小值为35， .△ABC周长的最小值为63.…(5分) (2)存在，如解图2，作点E,H分别关于OA,OB的对 称点K,L,连接OK,OL,FK,GL,KL,OE,OH,过点O作 OT⊥KL于点T,设KL与OA,OB的交点分别为点 M,N. 解图2 同理，得EF+HG+FG的最小值为KL的长. :EH=10m为定值， .四边形EFGH周长的最小值为(KL+10)m. OE=OH=EH=10m,·.△OEH是等边三角形， ∴.∠E0H=60°， 同理，得∠0KL=∠0LK=30°，0K=OL=10m, .0T⊥KL,.∠0TK=90°， .KT=0K·cos∠0KL=53(m),0T=0K·sin∠0KL =5(m), .KL=2KT=103(m), .四边形EFGH周长的最小值为(103+10)m.… …(8分) 如解图3，此时，点F与点M重合，点G与点N重合 0 解图3 由对称的性质得∠OEM=∠OKL=30°，∠OHN= ∠0LK=30°， ∠MEH=∠NHE=90°，.EMWH, ·四边形EFGH的面积为2(EF+HG)·EH=5(EF+ 方 HG)m2, 设FG=xm,则KF+LG=KL-FG=(103-x)m, 由对称的性质得EF=KF,HG=GL, .EF+HG=KF+GL=(103-x)m, ∴.四边形EFGH的面积为5(10√3-x)=(-5x+ 50W3)m2.…(10分) :-5<0,.当FG最小时，四边形EFGH的面积最大， 当FG⊥HG时，FG最小，则∠FGH=90°. ·:∠MEH=∠NHE=∠FGH=90°， .此时四边形EFGH为矩形.FG=EH=10m, ∴.四边形EFGH的最大面积为-5×10+503=(503- 50)m2. 此时，F7=67=2FG=5m, .0F=√0T+FT=52m,0G=√0T+GT=52m, .此时，F,G在距离0点52m处. …(12分) 2026年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（八） ☑选择题答案速查 题号1 23 4 5 7 8 答案BD BAC D BB 8.B【命题立意】本题考查二次函数图象与系数的关 系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的最值及抛物线与x轴的交点： 【解析】由题意得，-2=-)，.a=h.抛物线y=ax2+ 17 bx+c过点 (-2，0)，∴4a-2a+c=0，∴c=-2a， ，则 abc<0， 故A错误；当 c=-2a 时， $$a + \frac { c } { 2 } = 0 ，$$ ，故 B 正确 ·抛物线 称轴为直线 $$x = - \frac { 1 } { 2 } ，$$ ，且最小值为 $$- \frac { 3 } { 2 } ，$$ ，经过点(-2， \left.0)，∴ .抛物线开口向上， ∴ .抛物线上的点离对称轴越 近，其纵坐标越小.∵点 $$A \left( - 1 ， y _ { 1 } \right) ， B \left( 1 ， y _ { 2 } \right)$$ 在抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c \bot ， \therefore - \frac { 1 } { 2 } - \left( - 1 \right) = \frac { 1 } { 2 } ， 1 - \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = \frac { 3 } { 2 } .$$ $$\because \frac { 1 } { 2 } < \frac { 3 } { 2 } ， \therefore y _ { 1 } < y _ { 2 } ，$$ ，故 C 错误；关于 x 的一元二次方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = - 3$$ 的解可看成抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 和直线 y=-3 的交点问题. ∵ 抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 的最低点纵 坐标为 $$- \frac { 3 } { 2 } ， \therefore$$ 抛物线 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c$$ 和直线 y=-3 3没有 交点，∴关于 x 的一元二次方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = - 3$$ 没有实 数根，故D错误.故选B. 9.4a(a-2b) $$1 0 . 2 1 \quad 1 1 . 2 5 \quad 1 2 . 4 0 ^ { \circ } \quad 1 3 . 4$$ $$1 4 . \frac { \sqrt { 1 9 } } { 2 }$$ 【命题立意】本题考查菱形的性质、三角形中 位线定理、全等三角形的判定与性质、含 $$3 0 ^ { \circ }$$ 角的直角 三角形的性质以及勾股定理等. 【解析】如解图，取 BE 的中点 H. ，连接 FH. ·菱形ABCD 卷 的边长为 $$4 ， \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } ， \therefore A B = B C = C D = 4 ， A B \parallel C D ，$$ $$\angle B C E = \angle B A D = 6 0 ^ { \circ } . \because F$$ 为 AE 的中点， H 为 BE 的 中点， $$\therefore E H = \frac { 1 } { 2 } B E ， F H$$ 是 △ABE 的中位线， ∴FH= $$\frac { 1 } { 2 } A B = 2 ， A B \parallel f F ， \therefore A B / / F H / / C D . \because B E \bot A B ， \therefore F H \bot$$ $$B E ， C D \bot B E ， \therefore \angle F H E = \angle B E C = 9 0 ^ { \circ } ， \therefore \angle C B E = 9 0 ^ { \circ } -$$ $$6 0 ^ { \circ } = 3 0 ^ { \circ } ， \therefore C E = \frac { 1 } { 2 } B C = 2 ， \therefore F H = C E ， \therefore B E =$$ $$\sqrt { B C ^ { 2 } - C E ^ { 2 } } = 2 \sqrt 3 ， \therefore E H = \frac { 1 } { 2 } B E = \sqrt 3 .$$ 在 △FHG 和 (∠FHG=∠CEG， ∠FHG=∠CEG， △CEG 中 ∠FGH=∠CGE，∴△FHG≅△CEG(AAS)， FH=CE， $$\therefore E G = G H = \frac { 1 } { 2 } E H = \frac { \sqrt 3 } { 2 } .$$ 在 Rt△FHG 中，由勾股定理得 $$G F = \sqrt { F H ^ { 2 } + G H ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 1 9 } } { 2 } .$$ E D C G E H A B 15.【命题立意】本题考查绝对值、二次根式、有理数的乘 法运算法则. 解：原式 $$= \sqrt 3 .$$ .......................................(5分) 16.【命题立意】本题考查整式的化简求值、平方差公式、 整式的混合运算 18 解：原式=9a2-1+18a-9a =18a-1, …(3分） 当a=n0=时，原式=18x子1-8…(5分) 17.【命题立意】本题考查解分式方程， 原分式方程的解是x=-1.…(5分) 18.【命题立意】本题考查尺规作图一作角平分线、等腰 三角形的性质、矩形的判定 解：如解图，矩形ADCE即为所求 B …(5分) 19.【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质. 证明略. 20.【命题立意】本题考查用画树状图或列表的方法求 概率。 解：(1)4 …(2分）》 (2)画树状图略.…(4分) 共有16种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至 少有一张是C(秋分)的结果有7种， .两次抽取的邮票中至少有一张是C(秋分)的概率 为 6 …(5分） 21.【命题立意】本题考查相似三角形的判定与性质、平 行投影. 解：AB⊥AF,CD⊥AF, .∠A=∠DCE=90°，AB∥DC. .·∠BFA=45°，.∠ABF=∠BFA=45°」 .AB=AF=AC+CF=AC+9,.AC=AB-9.·(3分) 由题意可知，BCDE,.∠DEC=∠ACB, ∴.△DECn△BCA, Dc-cg,即2.11.4 六ABAC,即BB-g解得AB=27, 即寺塔的高度AB为27米 …(6分)》 22.【命题立意】本题考查用待定系数法求一次函数的表 达式. 解：(1)-1.…(2分) (2)将(1,0)，(3，-2)代人y=x+b,得 k+b=0,解得b=1, k=-1, 3k+b=-2, 即k的值为-1，b的值为1.…(4分) (3)由(2)得x>0时的函数表达式为y=-x+1. 若y<0,则分两种情况： ①当x≤0时，<0，即2x+1<0,解得x<-2 ②当x>0时，y<0,即-x+1<0,解得x>1, ·.若输出的y值小于0，则输入的x的取值范围为x< )或2l…(7分》】 23.【命题立意】本题考查扇形统计图的分析、中位数、众 数的计算、用样本估计总体 解：(1)由题意得，m%=1-25%-20% 20×100%= 15%,..m=15.…(2分） (2)74.578.…(5分) (3)900×(15%+25%)+800× 20=720(人). 答：估计该校九年级完成作业的时间不超过70分钟 的学生人数共是720人.…(7分)》 24.【命题立意】本题考查切线的性质、垂径定理、直角三 角形的性质等。 (1)证明略.…(4分) (2)解：如解图，连接0E. D B F为0B的中点，0F=1OB=1 .∠0EF=30°.…(6分) ·OF=1,∴.OE=2,EF=3. DE⊥AB,AB为⊙O的直径， .DE=2EF=2√3.…(8分) 25.【命题立意】本题考查二次函数在实际问题中的应 用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次 函数的性质是解题的关键」 解：(1)由题意知，抛物线的顶点坐标为(1,3) 设抛物线对应的函数关系式为y=a(x-1)?+3, 将点C(3,0)代入，得4+3=0，解得a=-3。 4, ·.抛物线对应的函数关系式为y=一 4(x-1)2+3. …(4分）》 (2)当=2时y-1043=x2-10+3 4>1.8, .身高1.8m的王师傅不会被淋湿.…(8分) 26.【命题立意】本题考查作图、相似三角形的判定与性 质、正方形的性质、直角三角形的性质等，解题的关键 在于认清模型. 解：(1)如解图1，点C即为所求. B …(3分) 解图1 (2)如解图2，连接OB,OA,过点C作CD∥B0交AO 于点D. B 解图2 :C为AB的中点，，CD是△ABO的中位线。 3 0B=3,CD=。0B9 2 点C在以D为圆心，CD长为半径的圆上运动， .点C经过的路径长为该圆的周长3π.…(7分) (3).∠BEC=60°，BC=300, 如解图3，分别以B,C为圆心，BC长为半径画弧交于 正方形ABCD内点E处，连接BE,CE,作△BCE的外 接圆⊙O,连接E0并延长交BC于点H,连接BO, D 卷 解图3 ∴.△BEC为等边三角形. 信号覆盖面积最大时，△BEC的面积最大， .EH为线段BC的垂直平分线， ∠B0H=60°，BH=。BC=150, 2 在Rt△BH0中，∠B0H=60°，BH=150, .B0=1005,0H=503. 在m上找-点长，使得品，连接O那 (8分) :PB=150(飞行范围不限制在正方形ABCD内部)， ∴点P的运动轨迹是以点B为圆心，BP长为半径 的圆。 :∠PEQ=30°=∠PEB+∠BEQ,∠BEF=30°=∠QEF +∠BEQ,.∴.∠PEB=∠QEF EQ 1 PE=2△PEB△QEF,g6=2OF=75, .点Q的运动轨迹是以点F为圆心，QF长为半径的 圆。……(10分) .信号强度最强时，PE+EQ最小， ∴.PE+EQ=3EQ,即EQ最小时，信号强度达到最强， ·.当点Q在EF上时，EQ最小，此时点P在BE上. 成=0器行n=10 .·QF=75,∴.EQ=EF-QF=75, ..EQ的长度为75m.…(12分) 19