二、中档题必练-【众相原创·赋能中考】2026年陕西中考数学方向卷

二、中档题必练 必练10特殊四边形的相关计算与判定(2025陕西7考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 特殊四边形的考查主要在选填题中考查，近5年除2024年外都 常在选填题 5年9考 3分 涉及2道题，掌握相关性质是解题的关键；2022年T4涉及矩形 中考查 的判定 1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O.若∠ADB=70°，则∠OCB的度数为 A.20° B.25 C.30° D.35 D D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点.若∠PBC=80°，则∠BPC的度数为 A.609 B.55° C.45° D.40° 3.如图，在□ABCD中，BF⊥AD于点F,BE⊥CD于点E.若∠A=60°，AF=3,CE=2,则□ABCD的周 长为 () A.8 B.12 C.20 D.25 4.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,DE,F是AE的中点，连接BF.若AD=DE,BF= 25,AB=8,则EC的长为 () A.25 B.6 C.8 D.10 B E 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.如图，菱形ABCD的周长为52，连接AC,过点C作CE⊥AC,交AB的延长线于点E,若CE=10,则 AC的长为 () A.28 B.26 C.24 D.22 6.如图，在矩形ABCD中，F是BC的中点，E是AD上一点，连接BE,CE,EF,且∠EBC=∠DCE,EF= 3,则AD的长为 () A.3 B.33 C.6 D.63 7.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=100°，AB的垂直平分线交AC于点F,垂足为E,连接DF,则∠DFE 的度数为 () A.130 B.120 C.110° D.105 17 8.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，B,C,G三点在同一条直线上，点D在边CE上.若AB= 2,CE=5,连接AF,P是AF的中点，连接CP,则CP的长是 () A.W58 B.10 C.8 D.217 2 少 E E 第8题图 第9题图 第10题图 第11题图 9.如图，口ABCD的对称中心为点O,点E在边BC上， CE2,连接B0并延长交AD于点R若 BE 1 AD=12,则线段AF的长为 () A.4 B.6 C.8 D.10 10.如图，在矩形ABCD中，AC,BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E.若∠ODA=30°，则 ∠BOE的度数为 () A.45° B.609 C.65° D.75 11.如图，在□ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E,连接DE,过点C作CF⊥DE于点F,且DF=2EF= 25,若CE=3,则BE的长为 () A.2 B.3 C.5 D.25 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC的中点，连接AE,DF⊥AE于点F,连接AC交DF于 点M,则AM的值为 CM () 9 A.1 B. 8 6 D. 8 1 5 D FB B E 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F,连接DE并延长，交边BC于点M,交 边AB的延长线于点G.若AF=4,FB=2,则MG= () A.43 B.35 C.25+2 D.210 14.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，∠BAE+∠DAF=45°，若DF=2BE=2,则 EF的长为 15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,M,N分别是边AD,CD的中点，连接MN,OM. 若MN=3,S菱形ABcD=24,则OM的长为 18 必练11 二次函数的图象与性质(2025陕西T8考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 主要涉及参数分析、符号判断、对称轴、函数增减性、最值等.其 5年5考 T8 3分 中2025、2024、2021年均为结合图象特征逐项判断 1.将抛物线y=-2(x-1)2+3向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是 A.y=-2(x-4)2-1 B.y=-2(x+2)2+1 C.y=-2(x+2)2+5 D.y=-2(x-4)2+5 2.在平面直角坐标系x0y中，将抛物线y=x2+2绕着原点旋转180°，得到的抛物线的表达式为() A.y=-x2+2 B.y=x2-2 C.y=x2+2 D.y=-x2-2 3.如图，二次函数y=x2-4x+m的图象与y轴交于点C,B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称 的点.已知一次函数y=x+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)和点B,则满足kx+b≥x2 4x+m的x的取值范围是 A.x≤1或x≥4 B.1≤x≤4 C.x≤1或x≥5 D.1≤x≤5 4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m),其中m,n为 常数，则”的值为 m B、3 5 3 D.、 5.已知二次函数y=mx2-2mx+3(m<0),当-1≤x≤2时，2≤y≤n,则n的值为 A月 B.3 C.4 6.已知点(-3，y),(0,y2),(2,y3)在二次函数y=2x2+4x+c的图象上，则y1,y2,y3的大小关系是 () A.y1<y3<y2 B.y3<y1<y2 C.y2<y1<3 D.y2<y3<y1 7.【新定义】若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，则称此抛物线为定弦抛物线.已知某 定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛 物线的表达式为 () A.y=x2-4 B.y=(x-2)2-2 C.y=x2+2 D.y=(x+2)2-4 8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x与函数y的部分对应值如下表： -2 0 1 2 3 0 -2 -3 -3 -2 0 有下列结论：①抛物线的开口向下：②抛物线的对称轴是直线x= 2③抛物线与x轴的交点坐标 为(0，-3)：④由抛物线可知ax2+bx+c<0的解集是-2<x<3.其中结论正确的是 () A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 19 9.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+(m+1)x+m绕点(2,0)旋转180°，在旋转后所得的抛物线 上，当x>-4时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 () A.m≤-4 B.m>-4 C.m≤-17 D.m≥7 10.已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表： -3 -2 0 1 4 -24 -15 -3 0 -3 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 A.图象的开口向上 B.图象经过第二、三、四象限 C.当x>3时，y的值随x值的增大而增大 D.二次函数的最大值为1 11.下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的 是 () -2 -1 0 2 -5 0 3 4 3 A.对称轴为直线x=-1 B.当x=3时，y=-5 C.当x<2时，y随x的增大而增大 D.此函数有最小值4 12如图，二次两数)=am4加(a,bc为常数a≠0)的图象与：辅交于点A(子，0，对称辅是直线 下面说法正确的是 1 X=- () A.abc<0 B.3a+4c=0 ax +bx+c 11 C.am2+bm< 402 b(m为任意实数)》 D.若点(-1，y,)和点(2，y2)都在抛物线上，则y1<y2 13.已知抛物线y=2x2+(1+m)x+2m(m为常数)，当x=1时，y>0;当x<-1时，y的值随x值的增大而 减小，则m的取值范围是 () A.m>-1 B.m<3 C.-1<m≤3 D.3≤m<4 14.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(1,-3),与x轴的一个交点A在点(2,0)和(3,0)之间，其部分图 象如图，则以下结论正确的是 A.a-b+c<0 3 B.点P(-2),Q(3,)在二次函数图象上，则y< -2-1012343 C.当x>-3时，y随x增大而减小 D.若方程ax2+bx+c-m=0有实数根，则m≥-3 20 必练12 圆的相关计算与应用(2025陕西T12考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 常在选填 一般考查两方面的内容：①圆周角定理；②垂径定理.其中2021 5年5考 3分 题中考查 年在填空压轴题中考查点圆最值问题（与正方形结合） 1.如图，在⊙0中，弦AB,CD相交于点P,连接AC,BD.若∠C=32°，则∠B的度数为 A.32° B.42° C.52° D.64° B D 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，AB是⊙0的直径，C,D是⊙0上的两点，连接OC,OD,BC.若AC=CD,∠COD=70°，则 ∠ABC的度数是 () A.35° B.55 C.70° D.140° 3.赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁，桥的下部呈圆弧形.如图，桥的跨 度（孤所对的弦长）AB=37.4m,拱高（弧的中，点到弦的距离）CD=7.2m,则赵州桥桥拱所在圆的 半径R约为 () A.55.8m B.27.9m C.21.4m D.10.7m 4.如图，BD是⊙0的直径，点A,C在⊙0上，连接AB,BC,CD,AC.若∠A=55°，则∠DBC的度数是 A.55° B.45° C.35° D.25° A 0 0 B 水面AN D C D 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 5.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮 船的轮子被水面截得的弦AB长4m,轮子的吃水深度CD为1m,则该桨轮船的轮子直径为 () 5 A.2 B.4m C.5m D.6 m 6.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC交AC于点E,连接BC,OB,若BD=8,AE=2,则△OBC的面积 是 () A.10 B.20 C.40 D.5 7.如图，四边形ACBD是⊙O的内接四边形，连接对角线AB,CD交于点E,且AB⊥CD,AB为⊙O的 直径，若AB=12,BE=3,则CD的长为 () A.33 B.9 C.63 D.65 21 8.如图，AB为⊙0的直径，点C,D均在⊙0上，∠ABC=56°，则∠D的度数为 A.34° B.56 C.28 D.44o D D 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，AB是⊙O的直径，C,D为⊙O上的点，连接AC,BC,CD,BD.若∠ABC=25°，则∠D的度数为 () A.50° B.115° C.150° D.165° 10.如图，在⊙O中，AB为直径，C,D为圆上的点，连接AC,CD,BC,BD.若∠CDB=54°，则∠CBA的度 数为 () A.46° B.36° C.42° D.49° 11.如图，AD是⊙0的直径，B,C,E是⊙O上的三个点，连接BC,CD,BE,AE,∠BCD=125°，则∠AEB 的度数为 () A.55 B.50° C.45° D.35° E R 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，AB为⊙O的直径，点C,D均在⊙O上，过点D作DE⊥AB于点E,延长DE交⊙O于点F, 连接AC.若AE=3,AC=12,DC=AF,则线段0E的长为 () A.5 B.4 C.4.5 D.3 13.如图，CD是⊙0的直径，AB是⊙0的弦，CD⊥AB于点E,DE=2,AB=8,则AC的长为 14.图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点H的直线HF经过圆心，且垂直底座 CD于点F,点A,B在圆上，AC,BD均垂直于CD.已知AC=BD=2cm,CD=12cm,HF=32cm,则 灯罩截面所在圆的半径为 A Br CFD 图1 图2 CE B 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，AB,CD是⊙0中两条互相垂直的弦，垂足为M,BD=6,AC=2,则⊙0的半径为 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,AB=5,D,E分别是AC,BC上的点，且DE=3,若以DE为 直径的圆与斜边AB相交于点M,N,则MN的最大值为 22 必练13 反比例函数的图象与性质(2025陕西T13考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 主要涉及反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数与几 5年5考 T12或T13 3分 何图形相结合以及点的坐标特征等.2025年改为第13题考查， 其中例析与指导中涉及反比例函数的实际应用 1.已知点(-2，y1),(-1,y2),(3,y3)都在反比例函数y 12的图象上，那么1，的大小关系为 （用“<”连接) 2如图，已知平行四边形的顶点B,C,D分别在y轴和x轴上，点A在反比例函数y=(>0,>0)的 图象上，若OB=20C=4,OD=5,则k的值为 yl度t 500 D 0.20.25x/米 第2题图 第5题图 第6题图 3在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y上（≠0）的图象交于A,B两点，若点A的坐 标为(2，-3)，则点B的坐标为 4.已知点A(x1y),B(x2,),C(6,1)均在反比例函数y=(k为常数，且k≠0)的图象上，且，<0< x2,则y1与y2的大小关系为y y2.（填“>”“<”或“=”) 5.新方向【反比例函数的实际应用】验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米) 成反比例关系，则y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间佩戴某种镜片进行矫正治疗后，小 颖的镜片焦距由0.2米调整到0.25米，则近视眼镜的度数减少了 度 6如图，正方形OABC的顶点A,C分别在y轴和x轴的正半轴上，反比例函数y=6（x>0)的图象经 过点B,则正方形OABC的对角线OB的长为 7.已知点A(2,),B(2,)分别在反比例函数y=(h>0)和y-2+'的图象上，连接AB.若AB=3. 则k的值为 8.在平面直角坐标系中，反比例函数y=一(k,≠0)的图象与一次函数y=k2x(k2≠0)的图象分别交于 点A(-1,n)和B(m,-3),则k+k2的值为 9.在平面直角坐标系中，直线y=2x与反比例函数y=“(k≠0)的图象交于第三象限内一点A,若将 点A向上和向右均平移3个单位长度后得到点A',且点A'在该反比例函数的图象上，则点A的坐 标为 23 10.如图，点A在反比例函数)=4的图象上，点B在反比例函数y=(≠0)的图象上，连接O1,OB, AB.若AO⊥B0,且tan∠OBA=√2，则k的值为 y=是 第10题图 第11题图 11.新方向【反比例函数的实际应用】发电厂的大烟囱的专业名字叫双曲线冷却塔，它的截面是如图 所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形.若以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，曲线DE,CF分别是两个反比例函数图象的一部分，若 AB=87m,BC=20m,EF=16m,则整个冷却塔的高度为 12.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边满足AB:BC=3:2,点A(3,0),B(0,6)分别在x轴、 y轴上，反比例函数y=(k≠0)的图象经过点D,则k的值为 第12题图 第13题图 13,如图，反比例函数)=-4（x0)的图象与直线y=-2x交于点A,点B在反比例函数y=-4(x>0) 的图象上，直线AB与y轴交于点C,连接OB,若AB=3AC,则OB的长为 14.如图，在反比例函数y1=一(x<0)和y2=二(x>0)的图象上，分别有A,B两点，若AB∥x轴，交y轴 于点C,且OA⊥OB,SA4oc=1,S△C=4,则线段AB的长度为 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在口ABCD中，AB:轴，A(1,2),D(0,1),反比例函数y=(k≠0)的图象经过点C,且与 AB交于点E.若BE=2AE,则点E的坐标为 16.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数)y=mx(m<0)的图象与反比例函数y=人(k≠0)的图象交 于A,B两点，点C在x轴上，且AC=A0,若S△Bc=12,则k= 24 必练14测高(2025陕西T21考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 般考查两方面的内容：①解直角三角形的实际应用；②相似三 5年5考 T21 6分 角形的实际应用.其中2023年涉及中心投影，2022年涉及平行 投影 1.在学习了利用三角函数测高一课后，小华准备测量一下学校的旗杆高度.如图，他在测点A处安置 测角仪，测得旗杆顶部点M的仰角为30°，在与点A相距b米的点D处安置测角仪，测得点M的仰 角为45°，已知测角仪的高度为a米（点A,D,N在同一水平线上，且，点M,N,D,A,B,E,C都在同一 竖直平面内，点B,E,C在同一直线上)，求旗杆顶部距离地面的高度MW.（保留根号，用含有a,b 的代数式表示) 2.如图，初三学生小李想测量他家楼下的一棵松树AB的高度，由于松树周边有花坛无法直接到达松 树下面测量，他先通过查询资料得到这栋住宅楼CD的高度为30，在楼顶端C处测得松树顶端A 的俯角为22°，在某一时刻太阳光照射下，松树顶端A的影子落在地面上的点E处，楼顶端C的影 子落在地面上的点F处，测得DE=8m,DF=30m,已知松树、住宅楼均垂直于地面，且点B,E,D, F在同一条直线上，求松树的高度AB.（结果精确到0.1m,参考数据：sim22°≈0.37，cos22°≈0.93， tan22°≈0.40) 25 3.天天所在的兴趣小组准备测量某大厦的高度PQ,如图，他在M处放置了一面平面镜（大小忽略不 计)，然后沿QM方向移动，当他站在点D处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端P的像，已知天天 的眼睛距离地面的高度CD为1.5米，DM=1.5米；小组成员在大厦另一侧点B处安装一个1.5米 高的测角仪AB,测得大厦顶端P的仰角为56.3°，已知BM=164米，AB⊥DB,PQ⊥DB,CD⊥DB, 点B,Q,M,D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内.请你帮助该小组求出该大厦的高 度PQ.（参考数据：sin56.3°≈0.83，cos56.3°≈0.55，tan56.3°≈1.50) DM 4.如图，测量小组操作无人机在点A处竖直上升34米后飞行至点B处，在点B处测得旗亭顶端D的 俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得旗亭顶端D和点A的俯角均为 45°.点A,B,C,D,E在同一竖直平面内，且点A和点E在同一水平线上，DE⊥AE.请根据上述数 据，计算旗亭DE的高度.（结果精确到1米.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36) C45° B 45ò 、20° 26 5.新题型【2026例析与指导·综合与实践】郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一 座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”.某综合实践 小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告： 项目主题 景物高度的测量与计算 驱动问题 如何测量“豫楼”的高度 如图，某一时刻“豫楼”AB的影长为BE,小玲站在点D处，她影子的顶端也恰 好落在点E处.小玲沿射线BE行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不 计)后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A 方案 说明 活动过程 B DE FH 数据 CD=GH=1.5m,DE=2m,DF=12m,FH=2.5m,点A,B,C,D,E,F,G,H均在 测量 同一竖直平面内，且AB⊥BH,CD⊥BH,GH⊥BH,∠AFB=∠GFH 计算 请根据以上数据，计算“豫楼”AB的高度 27 必练15 一次函数的实际应用(2025陕西T22考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 (1)2~3问，近4年均在T22考查，2021年在T23考查； 5年5考 T22或T23 7分 (2)主要涉及函数关系式的求解以及已知一个值求另一个值等 1.某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔一段时间记录一次电池电量百分比， 发现这种新型太阳能充电器的电池电量百分比y(%)是其充电时间x(h)的一次函数.已知当充电 时间为0h时，电池电量为6%：当充电时间为1h时，电池电量为46%. (1)求y与x之间的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当电池电量达到86%时，其充电时间是多少h? 2.鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意成为爱的使者，传递着子女们对母亲最真挚的祝 福，成为了母亲节不可或缺的礼物.母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进A,B两种类型的鲜花共 200束，设购进A种鲜花x束，销售完这200束鲜花的总利润为y元.鲜花的进价和售价如下表. (1)求y与x之间的函数关系式； A B (2)该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜 进价/（元/束） 45 60 花，购进多少束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获 得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 售价/（元/束） 80 100 3.已知一辆汽车行驶时的平均耗油量为0.15升/千米，如图是油箱剩余油量y(升)关于加满油后已 行驶的路程x(千米)的变化情况， (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当汽车加满油后，汽车行驶200千米，求油箱内的剩余油量，以及计算加满油时油箱的油量. 1y(升) 30 400x(千米) 28 4.为加强劳动教育，落实五育并举，某校在校园内建立了一处劳动教育基地.现学校选定基地中土壤 水平及光照时长适中的一块地来种植一种菜苗.从种植开始，每隔两天记录一次数据，数据记录如 下.通过分析数据，发现菜苗的高度y(单位：cm)与菜苗种植天数x(单位：天)为一次函数关系。 菜苗种植的天数x/天 0 2 4 6 P 菜苗的高度y/cm 3 6 9 12 15 (1)求y与x之间的函数关系式； (2)查阅资料了解到该菜苗在高度达到60cm时成熟，求该菜苗种植多少天达到成熟。 5.“一粒米千滴汗，粒粒粮食汗珠换”，为积极响应总书记提出的坚决抵制餐饮浪费行为的重要指示， 某送餐公司推出了“半份餐”服务，餐量是整份餐的一半，价格也是整份餐的一半，整份餐单价为 16元.希望中学每天中午从该送餐公司订200份午餐，其中半份餐订x份(0<x≤200)，其余均为 整份餐，该中学每天午餐订单总费用为y元 (1)求y与x之间的函数关系式： (2)已知某天希望中学午餐订单的总费用为2720元，当天订半份餐多少份？ 6.某项工程由甲、乙两个工程队合作完成，先由甲队单独做3天，剩下的工作由甲、乙两工程队合作 完成，工程进度满足如图所示的函数关系(x为天数，y为工作量). (1)求合作部分工作量y与工作时间x之间的函数关系式 (2)该工程共支付8万元，若按完成的工作量所占比例支付工资，甲工程队应得多少元？ 0.5 0.25 29 必练16 统计图（表）的分析(2025陕西T23考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 3问，主要考查统计图（表）的分析，以及中位数、平均数、众数的 5年5考 T23 7分 计算，第三问均考查用样本估计总体 1.为激发学生兴趣，提高学生素质，促进学生全面发展，爱知中学在课后延时服务期间开展了丰富多 彩的社团课.王老师为大家开展了《财经素养》课程，在这节社团课后，同学们为了解全校2400名 学生每天使用零花钱的情况，随机调查了部分学生每天使用零花钱的金额，并用得到的数据绘制 了如图所示的统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校随机抽取的学生人数为 (2)本次调查获取样本数据的众数为 元，中位数为 兀； (3)根据样本数据，估计该校全体学生每天使用零花钱的总金额是多少？ ↑人数 16 16 14 2 12 10 10 6 5元10元15元20元30元金额 2.为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级各900名学生进行防溺水 知识竞赛（满分100分）.现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x(单位：分)进 行统计、整理如下： 七年级：86,90,79,84,74,93,76,81,90,87 八年级：85,76,90,81,84,92,81,84,83,84 七、八年级测试成绩频数统计表 七、八年级测试成绩分析统计表 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 平均数 中位数众数方差 七年级 3 4 e 七年级 84 b 90 36.4 八年级 1 7 2 八年级 84 84 18.4 根据以上信息，解答下列问题： (1)a= ,b= ,C= (2)根据以上数据，你认为哪个年级的学生防溺水知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条 理由即可)； (3)如果把x≥85的记为“优秀”，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为“优 秀”的学生共有多少名？ 30 3.新方向【2026例析与指导·加权平均数】某校为加强学生对防灾减灾知识的了解，举行了防灾减灾 知识竞赛，答题后发现所有学生的成绩均不低于50分.为了更好地了解本次答卷的成绩情况，随 机抽取了其中20名学生的成绩x(成绩取整数，单位：分)作为样本进行整理，得到下列不完整的 统计图.(A组：50≤x<60;B组：60≤x<70;C组：70≤x<80;D组：80≤x<90:E组：90≤x≤100) 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全频数分布直方图，所抽取学生竞赛成绩的中位数在 组； (2)求所抽取学生竞赛成绩的平均数； (3)若该校共有900名学生参加防灾减灾知识竞赛，请你估计成绩不低于80分的学生人数. 学生竞赛成绩频数分布直方图 8/频数 4 5060708090100成绩/分 4.新热点2025年，“人形机器人”“Deepseek'”等彰显中国科技实力的人工智能迅速席卷全球.某学 校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生的信息技术水平进行测试，现从八、 九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整 数，共分为5组.A组：90≤x≤100，B组：80≤x<90,C组：70≤x<80,D组：60≤x<70,E组：0≤x< 60)下面给出了部分信息： 九年级被抽取学生测试得分中B组的所有数据为：88,88,85,88,88,84,89,88. 八年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 九年级被抽取学生 测试得分扇形统计图 A 90≤x≤100 平均数 众数 中位数 10% B 80≤x<90 a 八年级 78分 87分 84分 E/15% D 70≤x<80 3 九年级 78分 b分 c分 C D 60≤x<70 2 20% B E 0≤x<60 3 请根据以上提供的信息，解答下列问题： (1)上述图表中：a= ,b= ,C= (2)在测试中等级为B及B以上说明学生对人工智能的关注与了解程度达标.若该校八、九年级 共有学生1600名，估计该校八、九年级中达标的学生共有多少名？ (3)根据以上数据，你认为该校八年级和九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度 较好？请说明理由。 31 5.新方向【2026例析与指导·数据分析对比】某校举办“学生讲堂”，八年级为了选出一位同学代表年 级参赛，先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分 100分)分别是95分，94分，88分.在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位 评委最高打10分，面试成绩等于十位评委打分之和.对甲、乙、丙三位同学的面试数据进行整理、 描述和分析，下面给出了部分信息 信息二：评委给乙、丙两 信息一：评委给甲同学打分的条形统计图 位同学打分的折线统计图 ↑人数 ↑评委打分分 ◆一乙 6 78910评委打分1分 0 12345678910评委编号 信息三：甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 面试成绩 评委打分的中位数 评委打分的众数 甲 a 8 8 乙 86 9 丙 87 8 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：a= 分，m= 分，n= 分： (2)在面试中，如果评委给某位同学的打分的方差越小，则认为评委对该同学面试的评价越一致， 根据已知信息，判断乙、丙两位同学中，评委对谁的评价更一致； (3)按笔试成绩占40%，面试成绩占60%来确定甲、乙、丙三位同学的综合成绩，综合成绩最高者 将代表年级参赛，请你通过计算确定参赛的同学. 32 必练17 圆的综合题(2025陕西T24考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 (1)除2023年考查圆的基本性质的相关证明题外，其余均考查 5年5考 T24 8分 切线性质的相关证明与计算；(2)一般有两个设问：①证明角度 (线段)相等；②求线段长度 1.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E,D是BF的中点，F是⊙O上一点，连接CF交OB于点G, 连接BC (1)求证：GE=BE; (2)若OG=1,CD=8,求BC的长 2.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙0的直径，D为AC边的中点，连接D0并延长交⊙O于 点E.连接AE,过点B作⊙O的切线，交AE的延长线于点F (1)求证：BCDE; (2)若AE=4EF,⊙0的半径为3，求EF的长. 33 3.如图，等腰三角形ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径，D是线段OB上异于点O,B的一点.连接CD 并延长交⊙O于点E,点P在AB的延长线上，连接PE,且PE是⊙O的切线 (1)求证：PE=PD; （2)若00=1.B=rE,求BD的长 0D B 4.如图，AB是⊙O的直径，点C,E在⊙O上，E是劣弧BC的中点，连接AC,BC,AE,BE,且AE与BC 交于点D,F是AB延长线上的一点，连接EF,且∠BEF=∠CAE. (1)求证：EF是⊙O的切线； (2)若⊙0的半径为5，BE=6,求BF的长 D 34 5.如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB于点E,BD交CE于点F,连接AC,BC,CD. (1)求证：CF=BF; (2)若CD=6,AC=8,求⊙0的半径及CE的长 6.如图，在△ABC中，AB=AC,以AC为直径作⊙O分别交BC,AB于D,F两点，连接DF,AD,过点C 作⊙O的切线交AD的延长线于点E. (1)求证：∠BAE=∠DCE; (2)若BD=号B脉=3，求DE的长 B 35 必练18 二次函数的综合应用(2025陕西T25考法) 考查频次 考查题位 分值 考查特点 2问，近4年涉及抛物线型问题，其中2021年涉及二次函数背景 5年5考 T25 8分 下的几何问题，其主要考查二次函数的图象与性质：近4年第一 问均为求解抛物线的表达式 1.投壶（如图1）是“投箭入壶”的简称，作为非物质文化遗产，不仅具有深厚的历史渊源和文化背景， 还承载着中华民族的传统礼仪和娱乐文化，成为连接传统与现代的文化纽带.其中箭头的行进路 线可看作一条抛物线，如图2是一名男生在投壶时，箭头行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的 函数关系图象，投出时箭头在起点处的高度0A为？m,当水平距离为1m时，箭头行进至最高点 2m处 (1)求箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表达式： 2)若BC是一个高为m的圆柱形容器的最左端（看作垂直于x抽的线段），且OB=3m,通过五 算判断这名男生此次投壶能否投中，请说明理由 图1 图2 36 2.某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L,钢缆L,L2均呈抛物线型，线段 BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC,OA=3m,L1,L2关于OA所在直线对称.L1的最低点到BC的 距离为1m,到OA的距离为3m.以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立 平面直角坐标系。 (1)求L,所在抛物线的表达式； (2)现要悬挂两条灯带M,N,M2N2来增加夜景效果，M,N,M2N2均与BC垂直，点M,M2分别在 L1,L2上，点N1,N2均在L上，点M1,M2到OA的距离均为4m.已知L所在抛物线的表达式为y= ,求这两条灯带的总长度 3.陕西窑洞是中国北方黄土高原上特有的传统民居形式，窑洞的截面通常呈现抛物线型，某市开发 了一些以窑洞为主题的景点，向外界展示窑洞的魅力.如图，是某窑洞截面示意图，其跨度ON为 16米，最高点M与地面ON的距离为6米，在门上正中间悬挂了一个牌匾AB,保洁师傅站在一个 矩形CDEF的脚手架上清理牌匾，其中高CD为3米，宽DE为5米，顶点C恰好在抛物线上，建立 如图所示的平面直角坐标系，DE在x轴上.（牌匾的宽度忽略不计) (1)求抛物线的函数表达式； (2)若该脚手架可左右移动，则在该洞门下，脚手架最多可向右移动多少米？（结果保留根号） 37 4.跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后 落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里OA表示起跳点 A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O的水平距离，建立 如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y(单位：m)与水平距离 x(单位：m)近似满足函数关系：=6+x+已知01=70m,0C=60m,落点P的水平距离是 40m,竖直高度是30m. (1)求竖直高度y与水平距离x的函数关系式； (2)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时，求此时的水平 距离。 助滑道 B 38 5.已知抛物线L:y=x2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求该抛物线的表达式； (2)连接BC,交抛物线L的对称轴于点D. ①求点D的坐标； ②将抛物线L向左平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L'.抛物线L的对称轴交抛物线L'于点 E,抛物线L'的对称轴交抛物线L于点F.当DE=2EF时，求m的值. 39必练10特殊四边形的相关计算与判定 1.A2.B3.C4.B5.C6.C7.B8.C9.C 10.D11.A12.B13.B14.315.2.5 必练11二次函数的图象与性质 1.C2.D3.B4.D5.D6.C7.A 8.C【解析】：当x=0和x=1时，y=-3,.抛物线y= r+x+(a≠0)的对称轴为直线x=号，故2正确：由 表格数据可知，当<2时，y随x的增大而减小，当> )时，)随的增大而增大，抛物线开口向上，散① 误；当x=0时，y=-3,则抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与 y轴的交点坐标为(0，-3)，故③错误；当x=-2和 x=3时，y=0,.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交 点坐标为(-2,0)和(3,0).抛物线开口向上，.当 -2<x<3时，y<0,∴ax2+bx+c<0的解集是-2<x<3,故 ④正确.故选C. 9.C【解析】由抛物线y=x2+(m+1)x+m可知抛物线开 考 口向上，对称轴为直线=：将抛物线绕点(2， 练 0)旋转180°，.旋转后的对称轴为直线x=2×2- (_m+1-m 2J≈ 2,且开口向下.“当>-4时，y随x的增 大而减小"9 ≤-4，∴.m≤-17. 10.D【解析】已知二次函数y=ax2+bx+c,将(0，-3)， c=-3, a=-1, (1,0),(4,-3)代入得 a+b+c=0, ∴.{b=4, 16a+4b+c=-3,（c=-3, .二次函数的表达式为y=-x2+4x-3.a=-1<0, .图象开口向下，选项A错误；令y=0,解方程-x2+4 -3=0,得x=1或x=3,∴与x轴的交点为(1,0)，（3， 0),令x=0,则y=-3,.与y轴交点为(0，-3)，∴图 象经过第一、三、四象限，选项B错误；二次函数的对 b 4 称轴为直线x=2.2x（-)2,二次函数图象开 口向下，∴.在对称轴左侧(x<2),y随x的增大而增 大：在对称轴右侧(x>2),y随x的增大而减小，因此 当x>3时，y随x增大而减小，选项C错误；二次函数 图象开口向下，函数在对称轴直线x=2处取得最大 值，代人得y=-2+4×2-3=1,.二次函数的最大值 为1，选项D正确.故选D. 11.C【解析】结合表格数据可得抛物线的对称轴是直 线x=0+2=1,故A错误“对称轴是直线x=1,当 2 x=3时的函数值与当x=-1时的函数值相等.：当 x=-1时，y=0,则当x=3时，y=0,故B错误.结合表 22 格数据可得，当x<1时，y随x的增大而增大，.当x< 随x的增大而增大，故C正确.心当x 随x的增大而增大，且对称轴是直线x=1,∴.抛物线 开口向下..当x=1时，y取最大值，最大值为4，故D 错误.故选C. 12.B【解析】：二次函数开口向下，与y轴交于正半 h 轴a<0,c>0.-2a<0,b<0bc>0,故A错 0 误； 20=2六b=a.当x=-2时，y=040 +c=09a-60+4c=0,即3+4c=0,放B正确： 3 1 、抛物线开口向下，对称轴为直线x=),当x=- 2 时，函数取最大值子之+，对于任意实数m有 11 am+bm+c≤4a-2b+c,am+bm≤4a-2b,故C 错误；：抛物线对称轴为直线x=2,点(-1，)和 点(2，y2)都在抛物线上，且点(-1，y)到对称轴的距 离小于点(2，y,)到对称轴的距离，抛物线开口向下， y>y2,故D错误故选B. 13.C【解析】：抛物线的表达式为y=2x2+(1+m)x+2m (m为常数)，.抛物线的开口向上，对称轴为直线x= 当<1生”时，)的值随值的特大面减小 1+m 4 :当x=1时，y>0;当x<-1时，y的值随x值的增大而 2+1+m+2m>0, 减小，{ mz-1, 解得-1<m≤3，m的取值 4 范围是-1<m≤3. 14.D【解析】：抛物线y=a2+bx+c的顶点为D(1, -3),.对称轴为直线x=1.:抛物线与x轴的一个交 点A在点(2,0)和(3,0)之间，.抛物线与x轴的另 一个交点在点(-1,0)和(0,0)之间，.x=-1时，y= 3 a-b+c>0,故A错误；：点P(-2,)到对称轴的距 离大于点Q(3,y2)到对称轴的距离，抛物线开口向 上，∴.y>y2,故B错误抛物线开口向上，对称轴为 直线x=1,.当x<1时，y随x的增大而减小，故C错 误；抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(1,-3),∴.函数 有最小值-3，∴.当m≥-3时，直线y=m与抛物线有 交点，.若方程ax2+bx+c-m=0有实数根，则m≥-3， 故D正确.故选D. 必练12圆的相关计算与应用 1.A2.A3.B4.C5.C6.A7.C8.A9.B 10.B11.D12.C13.4514.15.6cm15.√10 12 16.5 必练13反比例函数的图象与性质 1.y2<y1<y32.123.(-2,3)4.<5.1006.23 7.58.-69.(-1,-2) 10.-2【解析】如解图，过点A作AC⊥y轴于点C,过点 B作BD⊥y轴于点D,则∠AC0=∠ODB=90°， .∠CA0+∠A0C=90°.A0⊥B0,∴.∠A0B=90°， ∴.∠AOC+∠DOB=90°，.∴.∠CA0=∠DOB,.∴.△AOC∽ △0BD,SAOn (OA2=(an∠0BA)2.:点A在反 OB 比例函数y=4的图象上，lan∠0BA=2,SAm= 1 一=(2)2，.1k1=2.·反比例函数y= 2 (k≠0)的图象在第二象限心k=-2 11.43 4m【解析】设曲线CF的表达式为y=←(k≠0). 四边形ABCD是矩形，∴.BC⊥AB,AD⊥AB.y轴 垂直平分AB,AB=87,.0B=43.5.BC=20, 870 C(48.5,20),20=48.5k=870y= 6P=16,心点上的横坐标为8，二y0-5整 个冷却塔高度为135m 4m. 12.14【解析】如解图，过点C作CH⊥y轴于点H,则 ∠CBH+∠ABO=∠CBH+∠BCH=90°，.∴.∠ABO= ∠BCH..·∠CHB=∠BOA=90°，.△CHB∽△BOA. 小品船G由条件可知0=30-6肌 =2,CH=4,∴.0H=BH+B0=8,.C(4,8).设点D(x, y),由条件可知x-4=3-0,y-8=0-6,解得x=7,y= 2,.D(7,2),.k=xy=14. yt H 13.130 2 【解析】如解图，过点B作BE⊥x轴于点E, 过点A作01：销于点n:反比例函数手(：> 0)的图象与直线y=-2x交于点A,.联立 s4 解得=2，或=-2（会去A2. y=-2x, (y=-22(y=22 -22),.OD=√2.BE⊥x轴，AD⊥x轴，.AD∥ EA0AB=3AC.3即g=32 0E=2+32=4W2,将x=42代入y=-4得y= 2,.B(42,-2）BB=2 √2 20B=0E+BE -130 2 必 14.5【解析】由条件可知2k,1=1,2h,1=4,心k 点快 8 2k=8,2少-8设点B的坐标为， 2 t)(>0),则点A的纵坐标为.把y,=1代入y,=- 得x=一2，点A的坐标为().0A10B, ∠AOC+∠BOC=90°..∠OBC+∠B0OC=90°，. ∠AOC=∠OBC,易知∠AC0=∠OCB,.△AOC 2 8C8C专=2点A的坐标 △0BC,BC0C 为(-1,2)，点B的坐标为(4,2)，.线段AB的长度为 4-(-1)=5. 15.(3,2)【解析】设AE=a,BE=2AE,.AB=3AE= 3a.四边形ABCD为平行四边形，AB∥x轴，A(1, 2),D(0,1),.CD=AB=3a,C(3a,1),E(a+1,2). :反比例函数)y=六(k≠0)的图象经过点C,E,3a= 2(a+1),解得a=2,.E(3,2). 16.-6【解析】如解图，过点A作AD⊥OC于点D.AC =AO,.CD=DO..:直线y=mx(m<0)与反比例函数 y=k≠0)的图象交于A,B两点，心点A,B关于原 点对称，01=0B.Sac=12,.S△0c=2Sac= 23 6Sw-分5m=6=L.又：该反比例商 数的图象在第二、四象限，即k<0,.k=-6. 2 必练14测高 1.解：如解图，延长BE交MN于点H,则BH⊥MN, M H 459c30B D ∴.四边形ABED,DEHN,ABHN为矩形， .HE=ND,BE=AD=b米，AB=DE=HN=a米. 设MH=x米。 考点 在Rt△MEH中，∠MEH=45°， ∴.EH=MH=x米，∴.BH=(x+b)米 在Rt△MBH中，∠MBH=30°， tan∠WBH=MH,x-3 Mx+63,解得x=+6, 2 MN-MI+HN-+a=+1+2a). 2 2 答：旗杆顶部离地面的高度MN为2a+(,3+1)b米 2 2.解：如解图，过点A作AH⊥CD于点H,则四边形ABDH 为矩形， 225 B E D .AH=BD.AB=DH. 设AB=xm,则DH=xm,由题意知AE/∥CF, ∴.∠AEB=∠CFD. ·.·∠ABE=∠CDF=90°，.·.△ABE∽△CDF. BE DF 30 ·ABCD30 1,∴.BE=AB=xm, .CH=CD-DH=(30-x)m,AH BD =BE+ED=(x+ 8)m 在C处测得A的俯角为22°， m∠CH=CB30=0.40,解得x=19.L AH x+8 答：松树的高度AB约为19.1m. 24 3.解：如解图，过点A作AN⊥PQ于点N. DM 0 PQ⊥DB,CD⊥DB,∴.∠PQM=∠CDM=90. 由题意得∠PMO=∠CMD, PQ QM ÷△PQM∽△cD,CDDM Qm=15米，N=15米gg即m=0m 设PQ=x米，则QM=x米. ·AN⊥PQ,PQ⊥DB,AB⊥DB, .四边形ANQB是矩形， .∴.PN=PO-NQ=PO-AB=(x-1.5)米，AN=OB=BM- QM=(164-x)米. 在R△PMN中，an∠PAN-PX AN ∠PHN=56.3,1.50≈-.5，解得≈99 164-x 答：该大厦的高度PQ约为99米. 4.解：如解图，延长ED交BC的延长线于点F, C45 B 20°9 D .∴.∠CBD=20°，∠BCA=∠FCD=45°. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BCA=45°， .BC=AB=34米，同理，DF=FC. 在R△FBD中，LCBD=20°，an∠CBD= EB' ∴.DF=FB·tan20°≈0.36(FC+BC)=0.36(DF+34), 即DF≈0.36(DF+34),解得DF≈19.13（米）. ·.·EF=AB=34米， ∴.ED=EF-DF≈34-19.13≈15（米）. 答：旗亭DE的高度约为15米. 5.解：：AB⊥BH,CD⊥BH,∴∠ABE=∠CDE=90°. 又：∠AEB=LCED,△ABE△CDE,CDDE AB BE n=15m,5=2m将gE-号版 GH⊥BH,∠GHF=90°，∴.∠ABF=∠GHF. 又：LAFB=LGFH,△ABF∽△GHF,HFGH BF AB DF=12 m,DE=2 m, BF=BE+EF=BE+(DF-DE)=(AB+10)m .GH=1.5m,FH=2.5m, AB 2.51.5 解得AB=30m 答：“豫楼”AB的高度为30m. 必练15一次函数的实际应用 1.解：(1)y与x之间的函数表达式为y=40x+6. （2)当y=86时，40x+6=86,解得x=2, .当电池电量达到86%时，其充电时间是2h. 2.解：(1)y与x之间的函数关系式为y=-5x+8000(0≤ x≤200)： (2)根据题意，得45x+60(200-x)≤10500，解得 x≥100. y=-5x+8000,且-5<0， .当x=100时，y有最大值，最大值为7500. 答：购进100束A种鲜花时，该经销商售完这两种鲜花可 获得最大利润，获得的最大利润是7500元 3.解：(1)y与x之间的函数关系式为y=-0.15x+90. (2)当x=200时，y=-0.15×200+90=60, ·.当汽车行驶200千米时，油箱内的剩余油量为 60升. 当x=0时，y=90, ·.加满油时油箱的油量为90升. 4解：1y与*之间的函数关系式为)=+3（≥0）. 2)将v=60代入y=)x+3,即60=3 2+3, 解得x=38, 该菜苗种植38天达到成熟 5.解：(1)y与x之间的函数关系式为y=-8x+3200(0< x≤200) (2)把y=2720代入y=-8.x+3200中，得-8x+3200= 2720,解得x=60. 答：当天订半份餐60份 6.解：(1)合作部分的工作量y与工作时间x之间的函数 关系式为y=0.125x-0.125(x≥3). (2)当y=1时，0.125x-0.125=1,解得x=9, .完成此项工程共需9天 .∴.甲工程队9天完成的工作量是9×(0.25÷3)=0.75， .0.75×8=6(万元)，∴甲工程队应得6万元 必练16统计图（表）的分析 1.解：(1)50. (2)1015 (3)样本平均数为5x4+10x16+15×12+20×10+30x8 50 16(元)，∴.2400×16=38400（元）. 答：估计该校全体学生每天使用零花钱的总金额是 38400元. 2.解：(1)38584. (2)八年级的学生防溺水知识竞赛的成绩较好.理由 如下： 七、八年级测试成绩的平均数相同，且八年级测试成 绩的方差小于七年级测试成绩的方差， ·八年级的学生掌握防溺水知识的总体水平较好（答 案不唯一） 3 (3)900× 0+900x10=720(名). 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成 绩为“优秀”的学生共有720名. 3.解：(1)C补全频数分布直方图略 (2)由题意可得(55×3+65×6+75×5+85×4+95×2)÷20 =73(分)， 、.所抽取学生竞赛成绩的平均数是73分. (3)900x4+2 270(名)， 20 .估计成绩不低于80分的学生有270名. 4.解：(1)88884.5. (2)1600x4+8+8+3 920(名) 20+20 答：估计该校八、九年级中达标的学生共有920名. 必考点快练 (3)九年级学生对人工智能的关注与了解程度较好. 理由如下： 由表知，九年级被抽取学生测试得分的中位数大于八 年级，所以九年级被抽取学生测试得分的高分人数多 于八年级，故九年级学生对人工智能的关注与了解程 度较好.（合理即可） 5.解：(1)788.510. (2)由题意可知，乙的数据在6和10之间波动，丙的数 据在8和10之间波动，即评委给丙同学的打分的方差 最小，所以评委对丙同学的评价更一致。 (3)甲的综合成绩为95×40%+78×60%=84.8（分）， 乙的综合成绩为94×40%+86×60%=89.2（分）， 丙的综合成绩为88×40%+87×60%=87.4（分）. 89.2>87.4>84.8,.综合成绩最高的是乙， 参赛的同学为乙. 必练17圆的综合题 1.(1)证明略. (2)解：如解图，连接OC.设GE=BE=x,则OB=1+2x. GE B D AB LCD,CD=8,..CE=DE=4. 在Rt△0CE中，0E2+CE2=0C2,即(1+x)2+42=(1+ 2x)2, 25 解得=2=（不符合题意，合去5-2 .BC=√CE+BE=√4+22=25，即BC的长为 25. 2.(1)证明略 (2)解：如解图，连接BE. 设EF=a,∴.AE=4EF=4a. ·AB是⊙0的直径，且⊙0的半径为3， ∴.∠BEF=∠BEA=90°，AB=6. ·.BF是⊙O的切线，.∠ABF=90° :∠EAB+∠ABE=90°，∠ABE+∠EBF=90°， .∠EAB=∠EBF,.△AEB∽△BEF, AEBE BEF=AB·sr=42. 考点 在Rt△ABE中，由勾股定理得AB=√AE+BE= 25a=6, ∴.a= Er35 35 3.(1)证明略 (2)解：如解图，连接OC,OE E CPB=PE设PE=5a,则PB=3动 由(1)知PD=PE=5a,.∴.BD=2a. .OD=1,∴.0E=OB=1+2a. 在Rt△OEP中，.PE2+OE2=PO, .(5a)2+(1+2a)2=(5a+1)2, 或a=0(舍去)，“BD=2a=3. 3 a= 4.(1)证明略. （2)解：⊙0的半径为5，BE=6,∴.AB=10. 在Rt△ABE中，AE=√102-6=8 :E是劣弧BC的中点， 六∠BMB=∠EBD,.an∠EAB=ian∠EBD,即BE_DE AE BE DE=BE·BE6x69 AE 82AD=AE-DE=8-9-7 Γ2-2 易得∠BEF=∠EBC,.BCEF,.∠F=∠DBA. 26 ∠EAF=∠DAB,∴.△DAB∽△EAF, 7 AE AF' 810+B,解得BF=90 ADAB即 10 71 即B即的长为 5.(1)证明略。 (2)解：BC=CD.BC=CD=6. ∠ACB=90°， .AB=BC+AC=√6+82=10，.⊙0的半径为5. S6c=2AB,CE=2BC·AC, CC-0即C5的长为 .CE= AB 105 6.(1)证明略. (2)解：如解图，连接CF交AE于点G :AC是⊙0的直径， .∠AFC=∠BFC=∠CDE=∠ADC=90° AB=AC.AD L BC...CD=BD= 2…BC=9 BF=3,.CF=√92-32=62 ∴.在Rt△BCF中，tan∠FCB BF312 CF62224, DGDG√2 .在Rt△CDG中，tan∠FCB= CD94, 2 92 ∴.DG= 81 '∠BAE=∠FCB,∠BAE=∠DCE,∴.∠DCE=∠FCB, .△GDC≌△EDC(ASA), DE=DG982即DE的长为2 必练18二次函数的综合应用 1.解：(1)箭头行进的高度y与水平距离x之间的函数表 达式为=高1号 (2)这名男生此次投壶不能投中.理由如下： 0B=3m, 当=3时=高x(3-1高号 21051 这名男生此次投壶不能投中 2解：(1)儿，所在抛物线的表达式为y弓(-3)+1 (2)点M1,M2到OA的距离均为4m, 11 把x三4代人y=。(x-3+1,得y9 9 把=4代入y=,得y= *42、4 5 114、91 ÷M,N,=MN=9(-5) 45m, 91182 这两条灯带的总长度为2×4545(m): 答：这两条灯带的总长为182 m. 3解：(1)抛物线的表达式为)y=- 32(x-8)2+6 3 (2)当y=3时，32(x-8)2+6=3, 解得x,=8+42,x2=8-42, .8+42-(8-42)-5=(82-5)米 答：脚手架最多可向右移动(82-5)米 4.解：(1)竖直高度y与水平距离x的函数关系式为y= (2)设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0). 把C(0,60),P(40,30)代入， 得/60=m, 3 k=- 解得 4 30=40k+n, n=60, 3 直线BC的表达式为y=-4+60 如解图，取抛物线的最高点为M,作MNy轴，分别交 抛物线和直线BC于点M,N. 助济造 A B 3 3 设(m,16m+2m+70)Nm,4m+60), 1 3 3 9 六MN=16m+ 2m+70-(- 4m+60)=16m2+ 10-6m-182 4 心-60，心当m=18时.MN的值最大 即当他与着陆坡BC竖直方向上的距离达到最大时， 此时的水平距离为18m. 5.解：(1)该抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)①由(1)得抛物线L的表达式为y=x2-2x-3=(x- 1)2-4, ,抛物线L的对称轴为直线x=1. 抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C, .当x=0时，得y=-3,.C(0,-3). 设直线BC的表达式为y=kx+n(k≠0). 将点B(3,0),C(0,-3)的坐标代入， 0 n=-3, .直线BC的表达式为y=x-3. 直线BC交抛物线的对称轴于点D,当x=1时，得 y=1-3=-2, .点D的坐标为(1，-2). ②由(1)可得抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .将抛物线L向左平移m(m>0)个单位长度得到抛物 线L'为y=(x-1+m)2-4, .抛物线L'的对称轴为直线x=1-m. 把x=1代入y=(x-1+m)2-4,得y=(1-1+m)2-4=m2-4, .E(1,m2-4); 把x=1-m代人y=(x-1)2-4,得y=(1-m-1)2-4=m2-4, .F(1-m,m2-4). DE=2EF. ∴.m2-4-(-2)=2[1-(1-m)]或-2-(m2-4)=2[1-(1-m)], 整理得m2-2m-2=0或m2+2m-2=0, 解得m1=1+√3，m2=1-√3（舍去）， m3=√3-1，m4=-√3-1（舍去）， 考点快练 .m的值为1+3或3-1. 必练19填空几何综合题 1号 【解析】如解图，过点C作CH∥AE,交BD的延长 线于点H,则∠H=∠AFD.设FD=m.BF:FD=3:1, .BF=3FD=3m.D是AC的中点，.CD=AD.在 I∠CDH=∠ADF, △CDH和△ADF中， ∠H=∠AFD,.△CDH≌ CD=AD. △ADF(AAS),.HD=FD=m,∴.BH=3m+m+m=5m, BEBF3m3 EF∥CH,△BEF∽△BCH,.BCBH5m5' 3 .'BE=- BC...CE=BC-BE=BC..BC=16...C= 516 32 5 2.4【解析】如解图，连接CD,交MN于点P,连接BP :直线MN垂直平分BC,.CP=BP,.BE+DE≥BP+ DP=CP+DP=CD,即BE+DE的最小值为线段CD的 长.△ABC为等腰三角形，D为AB的中点，BD=2, AB=2BD=2x2=4,CD LAB,SAMc=2AB CD= 27