2026年陕西省初中学业水平考试数学试卷(四)-【众相原创·赋能中考】2026年陕西中考数学方向卷

2026年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（四) （全卷总分：120分考试时间：120分钟) 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.计算(-9)×。的结果是 A.3 B.27 C.-27 D.-3 2.新方向【2026例析与指导·科学记数法】著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”.为纪念其卓越贡献，国 际上将一颗距地球约218000000km的行星命名为“苏步青星”.数据218000000用科学记数法表 示为 () A.2.18×10 B.2.18×109 C.0.218×109 D.218×10° 3.如图，ABCD∥EF,GH∥BF,则图中与∠F(不包括∠F)相等的角有 H A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.根据下面平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，能判定其为菱形的是 10 509 烘 309 670 A B C D 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠BCD=20°，E是斜边AB的中点，则∠DCE的度 数为 A.50° B.45° C.409 D.30° I B 栽 B'O A 第5题图 第6题图 第7题图 6如图，在平面直角坐标系中，已知直线y三x+3与x轴，y轴分别交于A,B两点，点C(0,n)是少轴 半轴上一点，把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是 () A.(0,4 R0草 C.(0,3) D.(0,4) 7.如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是圆上两点，连接AC,AD,CD.若∠C=13°，则∠BAD的度数为（） A.63 B.65° C.73 D.77° 8.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： 2 0 1 2 7 -1 -2 -1 数学试卷（四）第1页（共8页） 则下列判断中正确的是 () A.抛物线开口向下 B.方程ax2+bx+c=0一个解的范围是-2<x<0 C.当x>1时，y随x的增大而减小 D.抛物线与y轴交于正半轴 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.数轴上表示-2的点到原点的距离是 10.新考点【2025陕西中考·规律探索】修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃.其中偶数个苯 环可视为同系物（图2），则第n个图中C原子的个数为 ·（注：最简单的稠环芳香烃是萘，它 的分子结构图与结构简式如图1所示) 分 H-C CC.H H-C.CC CH H'CC CH H CIoHs CH C2H 结构图 结构简式 第1个图 第2个图 第3个图 图1 图2 11.新考法【一元一次方程的实际应用】黄老师带学生们去野炊，一人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合 用一个汤碗，一共用了28个碗，参加野炊的学生有 人 12.如图，在矩形ABCD中，AB=4,DE=5,AE平分∠BAD,则BC的长为 B EC 第12题图 第13题图 第14题图 3 13.如图，点A,B在反比例函数y=二(x>0)的图象上，点C在反比例函数y=(x>0)的图象上.若AC 轴，BC∥x轴，且AC=BC,则AB的长为 14.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=4,直线MN将平行四边形ABCD分成周长相等的两部分， 分别交AD,BC于点M,N.若∠MNB=45°，MN的长为√2，则CN的长为 三、解答题（共12小题，计78分.解答题应写出过程）》 49 15.(本题满分5分)计算：×2--1+64. 13 数学试卷（四）第2页（共8页） 16.（本题满分5分)先化简，再求值：a(a-2b)+(a+b)2,其中a=-1,b=2. 17(本道海分5分)据分式方程1 18.（本题满分5分)如图，已知∠AOB=60°，请用尺规作图法，在∠AOB的外部求作射线OP,使得∠AOP =45°.（保留作图痕迹，不写作法) 19.(本题满分5分)如图，D是△ABC的边AB上的一点，E是△ABC外的一点，AE∥BC,且AE=AC.连接 DE交AC于点F,AF=BC.求证：EF=AB. 14 数学试卷（四）第3页（共8页） 20.(本题满分5分)【跨学科】物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成.某学习小组在数 学活动课上制作了A,B,C,D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别：A.用托盘天平 测固体和液体的质量；B.氧气的制取；C.探究并联电路中电流的规律；D.溶液酸碱性的检验.小夏一 下子就分出：A,C是物理变化，B,D是化学变化，结果得到了老师和同学们的赞许.小冬从小夏手中 接过这四张卡片，放置于暗箱中摇匀，想和小组成员们接着进行数学概率实验 (1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中D卡片的概率是 (2)小敏从四张卡片中随机抽取两张，用列表或画树状图的方法求小敏抽取两张卡片内容分别为物 理、化学变化的概率 21.（本题满分6分)【跨学科·化学】实验是培养学生创新能力的重要途径，如图是小博同学安装的化 学实验装置，将该装置图抽象成右侧的示意图，竖直铁架上固定夹E的高度DE=29c,水平放置的 水槽高度MN=9cm,试管长AB=27cm,固定夹E正好在试管AB靠近开口B的三等分点上，试管倾 斜角为12°，直导管BF过水槽端点M.点C,D,N均在一条直线上.若∠NMF=45°，求铁架与水槽之 间的距离DN.(结果保留两位小数.参考数据：sinl2°≈0.21，cos12°≈0.98) 高锰酸钾∩蓬松的棉花团 E B 12 数学试卷（四）第4页（共8页） 22.(本题满分7分)数学风暴社团到附近山地进行实践活动，开展了“气温与海拔高度变化之间的关 系”为主题的跨学科活动.该社团分组行动，6个小组分别测量了当地同一时刻在不同海拔高度的气 温，测量数据记录如下表： 海拔高度h/百米 10 11 12 13 14 15 气温T/℃ 18.6 18.0 17.4 16.8 16.2 15.6 经过分析发现，气温T(℃)与海拔高度（百米）成一次函数关系. (1)求T与h之间的函数关系式； (2)求当日同一时刻海拔高度为2500米的气温 23.(本题满分7分)某中学为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程.为了解培训效果，学校对七年级 320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，两次检测项目相同，评委依据同一标准进行 现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级，依次记为2分、6分、8分（比如，某同学检测等级 为“优秀”，即得8分).学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统 计图. ↑人数 25 25 0 口培训前 16 ☐培训后 10 5 合格 良好优秀等级 数学试卷（四）第5页（共8页） (1)这32名学生在培训前、培训后得分的中位数对应等级分别为 ;(填“合格”、 “良好”或“优秀”) (2)求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？ (3)估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”和“优秀”的学生总人数 24.（本题满分8分)如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于点E,交AB于 点H,过点E作⊙O的切线EF,交CA的延长线于点F,连接BE. (1)求证：EF∥AB; (2)若CH=4,EH=6,求⊙0的半径. 15 数学试卷（四）第6页（共8页） 25.(本题满分8分)用石头打水漂是一项有趣的活动，抛掷出的石头与水面接触后弹起，石头在空中近 似地形成一组抛物线的运动路径.如图1，小亮站在河边的安全位置用一石头打水漂，石头在空中飞 行的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系如图2所示.石头第1次与水面接触的点为 A.运动路径证似为抛物线C少=名 ?+3+1.石头在水面上弹起后第2次与水面接触的点为B,运 动路径近似为抛物线C,:y=+m+m(小亮所站地面、水面在同一水平面，且石头近似看作点) (1)若点B的坐标为(7,0)，求抛物线C,的表达式； (2)在横坐标为6的位置恰有一只水鸭游过，水鸭的头高出水面0.4m,如果A到B的过程中石头能 够飞越水鸭，求m的取值范围， ty/m 0 B x/m 图1 图2 16 数学试卷（四）第7页（共8页） 26.（本题满分12分)问题探究 (1)如图1，在口ABCD中，已知AB=2,∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AD于点G,求BG的长； 问题解决 (2)某科技公司现有一块形如□ABCD的研发基地，如图2，已知AB=CD=200米，BC=AD=400米， ∠ABC=60°，∠ABC的平分线交AD于点G.为了响应国家“科教兴国”战略，现需要扩大基地面积.扩 建方案如下：P是射线BG上一动点，连接PC,PD,将△PCD修建成新能源研发区，为安全起见，要沿 △PCD一周修建隔离带（宽度忽略不计），为了节省费用，要求隔离带的长度尽可能的短，问隔离带 的长度是否存在最小值？若存在，请求出隔离带长度（△PCD的周长）的最小值：若不存在，请说明 理由 图1 图2 数学试卷（四）第8页（共8页）·.·将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE. .AD=AE,∠DAE=60° :△ABC是等边三角形，∴AB=AC,∠BAC=60°= ∠DAE,∴.∠BAD=∠CAE. AB=AC. 在△ABD和△ACE中 ∠BAD=∠CAE AD=AE. .△ABD≌△ACE(SAS),.BD=CE.·(3分) (2)证明：将线段AD绕点A逆时针旋转60°得 到AE, ∴.AD=AE,∠DAE=60°，.∠ADE=∠AED=60°， .∠ADB=120. :△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE, .∠BAD=∠CAE.…(5分) (AB=AC. 在△ABD和△ACE中 ∠BAD=∠CAE, AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS),.∠AEC=∠ADB=120°， .∠BEC=60°，∠AEB=∠BEC, EB平分∠AEC.…(7分) (3)解：如解图，连接BE,延长BD交AE于点F. B 由旋转可得AD=AE,∠DAE=60°， .△ADE是等边三角形，∴.DE=AE=AD=23. ,△ABC是等边三角形， ..AB=AC,∠BAC=60°=∠DAE,.∴∠BAD=∠CAE AB=AC. 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE. AD=AE. .△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE,∠ADB=∠AEC.…(9分) .:DE⊥CE,.∠AEC=∠AED+∠DEC=150°， .∠ADB=∠AEC=150°， .∠BDE=360°-∠ADB-∠ADE=150° .∠ADB=∠EDB. 又：AD=DE,BD=BD,∴.△ABD≌△EBD(SAS), .BA=BE,.点B在AE的垂直平分线上. 又DA=DE,.BD⊥AE,AF=EF=3 在Rt△ABF中，由勾股定理得BF=√AB-AF产=6， .DF=√AD2-AF2=√12-3=3， .CE=BD=BF-DF=6-3=3. 在Rt△CDE中，由勾股定理得CD=√DE+EC= /21.…(12分) 2026年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（四） ☑选择题答案速查 题号1234 6 7 答案D AB A BD B 9.210.6n+411.1512.713.22 143-3 2 【命题立意】本题考查平行四边形的性质。 【解析】如解图，连接AC交MN于点O..:直线MN将 平行四边形ABCD分成周长相等的两部分，.直线 MN过平行四边形ABCD的对称中心.又.·对角线AC 过平行四边形ABCD的对称中心，∴.它们的交点O即 为平行四边形ABCD的对称中心，.AO=CO.:四边 形ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,.∠OAM= ∠OCN,∠OMA=∠ONC,∴.△OMA≌△ONC(AAS), .AM=CN.分别过点A,M作AP⊥BC于点P,MQ⊥ BC于点Q,则四边形APQM为矩形，∴.PQ=AM,,PQ ECW,AP=MQ.LMNB=45°，.MQ=QN=)2MW 1,.AP=1,.BP=√AB-AP2=√3.BC=BP+PQ+ 方向卷 QN+CW,.3+CN+1+CN=4,CN=3- 2 M PQ六G 15.【命题立意】本题考查实数的运算 解：原式=2。…(5分) 16.【命题立意】本题考查整式的化简求值. 解：原式=2a2+b2.…(3分) 当a=-1,b=2时， 原式=2×(-1)2+22=6. …(5分) 17.【命题立意】本题考查解分式方程. x=2是分式方程的解.…(5分) 18.【命题立意】本题考查尺规作图一作等角、作角平 分线 解：如解图，射线OP即为所求 B…(5分) 19.【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质、平 行线的性质。 证明略. 20.【命题立意】本题考查简单概率的计算、用列表或画 树状图法求概率. ……(2分) 9 (2)根据题意，可列表略.…(4分) 根据列表可知共有12种等可能的结果，其中抽取两 张卡片内容分别为物理、化学变化的结果有8种， .抽取两张卡片内容分别为物理、化学变化的概率为 82 123 …(5分)》 21.【命题立意】本题考查解直角三角形的应用. 解：如解图，过点B作BP⊥DE于点P,则∠EBP=12°， E B 10 由题意，得BE=3AB=9cm, .PE=BE·sinl2°≈1.89(cm),BP=BE·cosl2°≈ 8.82(cm), .PD=DE-PE≈29-1.89=27.11(cm).…(2分) 过点M作MG⊥DE于点G,过点B作BH⊥MG于点 H,则四边形DNMG,BPGH都是矩形， .'DG=MN=9 cm,GH=BP=8.82 cm, 方 .PG=PD-DG≈27.11-9=18.11(cm), 卷 .BH=PG≈18.11cm.…(4分) ∠NMF=45°，∴.∠BMH=45°， .MH=BH≈18.11cm, .DN=MG=GH+MH≈8.82+18.11=26.93(cm). 答：铁架与水槽之间的距离DN为26.93cm. …(6分） 22.【命题立意】本题考查一次函数的实际应用. 解：(1)设T与h之间的函数关系式为T=h+b(k≠0). 南条可a不伦26 b=24.6, .T与h之间的函数关系式为T=-0.6h+24.6. …(4分） (2)2500米=25百米. 当h=25时，T=-0.6×25+24.6=9.6. 答：当日同一时刻海拔高度为2500米的气温为9.6℃. …(7分)》 23.【命题立意】本题考查条形统计图的分析、中位数、平 均数的计算、用样本估计总体， 解：(1)合格良好.…(2分) (2)培训前的平均分为(25×2+5×6+2×8)÷32= 3(分)， 培训后的平均分为(8×2+16×6+8×8)÷32=5.5（分）， 培训后比培训前的平均分提高5.5-3=2.5（分）. …(5分) （3)320x16+8-=240. 32 .估计培训后检测等级为“良好”和“优秀”的学生总 人数为240.…(7分)》 10 24.【命题立意】本题考查切线的性质、平行线的判定、相 似三角形的判定与性质. (1)证明略。…(3分) (2)解：如解图，连接OE. O:H B E .CH=4,EH=6, .EC=CH+EH=4+6=10. …(4分)》 .·∠HBE=∠ACE,∠BCE=∠ACE, .∠HBE=∠BCE.…(5分) ∠HEB=∠BEC,.△HEB∽△BEC,·(6分) EB EH ECEB' ∴.EB=√EH·EC=w6×10=2√/15.…(7分) 0B=0E,∠B0E=90°， .EB=N0B2+0E=√20B=2I5, .0B=√30，.⊙0的半径是√/30.…(8分) 25.【命题立意】本题考查二次函数的实际应用. 解：)对于Cy号1， 2 当)=0时.} +3+1=0, 解得x,=-1,x2=3,.A(3,0).…(1分) 将4(3.0).B(7.0)分别代人y=++a [ 5×9+3m+n=0, (m=2, 得 解得 21 …(3分) 1 ×49+7m+n=0, n=- 5 21 .抛物线C,的表达式为y=-一x+2、 5 …(4分) 2)将A(3,0)代入C2y+mx+n 得-兮×3+x3n=0,整理得n=号3m…（6分) 9 将=6代人G,得y=-写×6+6+n= +6m+ 36 +3m. 27 …(7分) 由题意知，对于C2,当x=6时，y>0.4, 、23 29 +3m>0.4,解得m>15: 29 、m的取值范围是m>15 …(8分) 26.【命题立意】本题考查平行四边形的性质、含30°的直 角三角形性质、勾股定理、轴对称等知识点的应用. 解：(1)如解图1，过点A作AH⊥BG于点H. ·∠ABC=60°，BG平分∠ABC, ∴.∠ABG=∠CBG=30° ·四边形ABCD是平行四边形，.ADBC, ..∠AGB=∠CBG=30°=∠ABG AG=AB=2.…(3分) 在△MBH中，AM=了B=1,由勾殷定理得BM √22-1下=3. .AB=AG,AH⊥BG,∴.BG=2BH=23. …(5分) 解图1 解图2 (2)隔离带的长度存在最小值： 如解图2，作点D关于BG的对称点E,连接DE交射 线BG于点F,则DE⊥BG,连接CE,交直线BG于点 P,过点D作DZ⊥CE于点Z,则此时PC+PD的值最 小，且等于CE长，即△PCD的周长最小 .…DE⊥BG,.∠DFG=90°.…(7分) 由(1)知，∠DGP=∠AGB=30°，AG=AB=200, DG=AD-AG=200..DF= 2DG=100, .DE=2DF=200米 ·CD=AB=200米，.CD=DE. 又.DZ⊥CE,.CE=2EZ.…(9分) 在Rt△EDZ中，∠EZD=90°，∠EDZ=60°，DE= 200米， .∴.DZ=100米，EZ=100wW3米，.CE=2EZ=200w3米， .△PCD的周长为CD+PD+PC=CD+CE=(200+ 200W3)米， .隔离带的长度存在最小值，最小值为(200+200√3) 米.…(12分） 2026年陕西省初中学业水平考试 数学试卷（五） ☑选择题答案速查 题号1 23 4567 8 答案B AD A BB C B 9.510.30111.5012.8-4213.y3<y1<y2 14.3-√7【命题立意】本题考查矩形的性质、菱形的性 质及全等三角形的判定与性质.将△FCG面积的最小 值转化为线段的最小值是解题的关键. 【解析】如解图，过点G作GI⊥BC,交BC的延长线于 点I,连接FH.四边形EFGH为菱形，∴.FG=EH= EF,FGEH,.∠EHF=∠HFG.四边形ABCD为矩 形，.AD∥BC,.∠AHF=∠HFI,.∠AHF-∠EHF= ∠HFI-∠HFG,即∠AHE=∠IFG.在△AHE和△IFG (∠HAE=∠FIG 中， ∠AHE=∠IFG,∴.△AHE≌△IFG(AAS),∴.GI= EH=GF, AB=1:Sm=宁c,1=号C5c的值最小 时，SAFCG取最小值.在Rt△AHE和Rt△EBF中，AE和 BE为定值，AH的最大值为AD,则EH的最大值为ED. :ED=√AE+AD=√+6=√37，.EH和EF的 最大值为√/37.，BF+BE=EF,BF的最大值为 √EF2-BE=√（√37）2-32=27.又FC=BC-BF= AD-BF,FC的最小值为6-27，.SAFCE的最小值 为}P0=×6-27)=3-7 B C 15.【命题立意】本题考查有理数的乘法、绝对值、二次根 式等 解：原式=33-13.…(5分) 方 16.【命题立意】本题考查解一元次不等式组，熟知“同 大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不 到”的原则是解答此题的关键. 解：该不等式组的解集为x<1.…(3分) 将解集在数轴上表示如解图： -5-4-3-2-1012345…(5分) 17.【命题立意】本题考查解分式方程。 该分式方程无解。…(5分) 18.【命题立意】本题考查尺规作图—复杂作图，涉及 菱形的判定。 解：如解图，菱形ABDE即为所求 B DC…(5分) 19.【命题立意】本题考查全等三角形的判定与性质. 证明略 20.【命题立意】本题考查游戏公平性的判断以及画树状 图或列表法求概率 架)子 …(2分)） (2)列表略.由表可知，共有20种等可能的结果，其中 摸到标有字母X的棋子的结果有8种，摸到标有两个 相同字母的棋子的情况有4种，故小军获胜的概率为 205,小波获胜的概率为41 82 2051 …(4分) 5>5该游戏的规则不公平.…(5分) 21 11