专题03 三角形（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材人教版五四制

专题03 三角形 题型1 三角形的识别与有关概念（常考点） 题型7 与三角形的高有关的计算问题（重点） 题型2 三角形的分类（重点） 题型8 三角形的内角（重点） 题型3 三角形的边（重点） 题型9 三角形内角和定理的应用（重点） 题型4 三角形的稳定性及应用 题型10 直角三角形的两个锐角互余（重点） 题型5 三角形的中线（难点） 题型11 三角形的外角的定义及性质（重点） 题型6 三角形角平分线的定义（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的识别与有关概念（共4小题） 1．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 题型二 三角形的分类（共5小题） 5．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 7．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在中，，D，E是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是 ． 8．（23-24八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使的面积是10； (2)在图②中画一个，使是轴对称图形； (3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于． 9．（23-24八年级上·四川凉山·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 题型三 三角形的边（共8小题） 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）在下列长度的四条线段中，能与长，的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是 ． 14．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 15．（23-24八年级上·广东云浮·期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 16．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 17．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 题型四 三角形的稳定性及应用（共4小题） 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性 20．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 的原理． 21．（24-25八年级上·四川泸州·期末）空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的 性． 题型五 三角形的中线（共8小题） 22．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 23．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 24．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 26．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且的面积等于15，则的面积为 ． 27．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，分别延长中线至　，使，，连接．求证：　    28．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是的中线，是的中线，于点，若，，求的长． 29．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图1，在中，，点D在上，点E在上，，延长到F，使得，过点F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如图2，当点D与点B重合，且，求证：点B为的重心． 题型六 三角形角平分线的定义（共4小题） 30．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 31．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 32．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 33．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）在中，的外角的平分线．试说明：． 题型七 与三角形的高有关的计算问题（共4小题） 34．（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 35．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为14和22，则的长为 ． 37．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 题型八 三角形的内角（共6小题） 38．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，于点，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 41．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    42．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，平分，则 ． 43．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 44．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 题型九 三角形内角和定理的应用（共6小题） 45．（22-23八年级上·全国·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 46．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，则的度数是    （   ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）三角形的三个内角之比为，那么这个三角形的最小内角为 ； 48．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，，，则 ． 49．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 50．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 题型十 直角三角形的两个锐角互余（共4小题） 51．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 52．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 53．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ． 54．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 题型十一 三角形的外角的定义及性质（共7小题） 55．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 56．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数是 ．       58．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 59．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 60．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 61．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由. $专题03 三角形 题型1 三角形的识别与有关概念（常考点） 题型7 与三角形的高有关的计算问题（重点） 题型2 三角形的分类（重点） 题型8 三角形的内角（重点） 题型3 三角形的边（重点） 题型9 三角形内角和定理的应用（重点） 题型4 三角形的稳定性及应用 题型10 直角三角形的两个锐角互余（重点） 题型5 三角形的中线（难点） 题型11 三角形的外角的定义及性质（重点） 题型6 三角形角平分线的定义（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的识别与有关概念（共3小题） 1．（23-24八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若线段分别是中线上的高和中线，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念、垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，根据垂线段最短可得，据此可得答案． 【详解】解：∵线段分别是中线BC上的高和中线，而垂线段最短， ∴， 故选C． 2．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列图形中，三角形是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形定义，根据不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，即可解题． 【详解】解：由三角形定义可知，   是三角形， 故选：C． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知点，在直线上，点，，在直线上．以点，，，，中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的概念，解题的关键是：不重不漏写出所有的三角形． 根据三角形的概念即可解答． 【详解】解：可以组成的三角形有：，，，，，，，，共9个， 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图1中，画的中线； (2)在（1）的基础上，在边上画点E，连接，使； (3)在图2中，画的高； (4)在（3）的基础上，在射线上，画点G，连接，使． 【知识点】三角形的识别与有关概念、画三角形的高、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查作图应用与设计作图，三角形的中线，高，线段的垂直平分线，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据三角形的中线的定义画出图形； （2）作线段的垂直平分线交于点即可； （3）取格点，连接，线段即为所求； （3）取格点，，连接交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求； （2）如图1中，线段即为所求； （3）如图2中，线段即为所求； （4）如图2中，线段即为所求． 题型二 三角形的分类（共3小题） 5．（24-25八年级上·吉林四平·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理结合计算得出，即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：D． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，三角形有一部分被遮挡，我们可以判定此三角形的类型为（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类，根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形和钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：露出的角是钝角，因此是钝角三角形， 故选：A． 7．（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在中，，D，E是边上的两点，且，有下列四个推断：①若是的高，则可能是的中线；②若是的中线，则不可能是的高；③若是的角平分线，则可能是的中线；④若是的高，则不可能是的角平分线．上述推断中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的高线，中线，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴①若是的高，则可能是的中线正确， ②是的中线，则不可能是的高正确， ③若是的角平分线，则可能是的中线正确， ④若是的高，则可能是的角平分线． 故答案为①②③ 8．（23-24八年级上·吉林松原·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．线段的端点A、B均在格点上，分别按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使的面积是10； (2)在图②中画一个，使是轴对称图形； (3)在图③中画一个，点E在格点上，且大于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、三角形的分类 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）． （1）利用三角形面积公式，在B点右边4格处取C点，则满足条件； （2）以过A的铅垂线为对称轴，作出B点的对称点D，则满足条件； （3）把B点右边1格处取E点，则满足条件． 【详解】（1）如图，即为所求；   ． （2）如图，即为所求；    （3）如图，，即为所求；    9．（23-24八年级上·四川凉山·期末）“我们把多项式及叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式： 解：原式 例如：求代数式的最小值． 解：， 因为：，所以：当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：____________． (2)当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)已知a，b，c是的三条边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)，时多项式有最小值，最小值4． (3)是等腰三角形． 【知识点】三角形的分类、完全平方公式分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质．本题的解答关键在于熟练的掌握因式分解的方法． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答； （3）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出，，，即可判断的形状． 【详解】（1）解：， 故答案为： （2）解： ∵， ∴ ∴当，时，有最小值，最小值为4． 即，原式有最小值4． （3） ∴ 则， ∵， ∴，，， 解得，，， ∴， ∴是等腰三角形． 题型三 三角形的边（共3小题） 10．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）在下列长度的四条线段中，能与长，的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题考查三角形三边关系，第三边必须大于已知两边之差，小于已知两边之和，据此判断． 【详解】解：设第三边长为， ∵，即， 选项中只有B选项满足， 故选：B． 11．（25-26八年级上·河北邢台·期末）将一根长的铁丝按下列四个选项标记的长度剪开，能围成三角形的是（   ） A．；； B．；； C．；； D．；； 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边．分别计算各选项的三边长度，验证是否满足此条件． 【详解】解：选项A：∵，∴不能围成三角形； 选项B：∵，等于第三边7，∴不能围成三角形； 选项C：∵，∴不能围成三角形； 选项D：∵，，，∴能围成三角形； 故选：D． 12．（24-25八年级上·河南商丘·期末）小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）若三角形两边a、b的长分别为3和4，则第三边c的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．根据三角形的三边关系即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 ∴ 故答案为：． 14．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为 ． 【答案】4 【知识点】三角形的分类、构成三角形的条件 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．考查学生分类讨论思想以及验证能力．先分类讨论，然后利用三角形的三边关系进行验证即可． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：， ∵， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 故答案为：4． 15．（23-24八年级上·广东云浮·期末）小刚参加一项跳跃泥潭障碍的体能训练，他平时助跑跳跃距离约为，但不确定自己是否能够跳过如图所示的这个泥潭（的长度），于是测量了相关长度，由于米尺长度有限，小刚测得，，根据小刚的测量，他 完成这项训练挑战．（填“能”或“不能”） 【答案】能 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握三角形任意两边长之和大于第三边是解题的关键．根据，可得答案. 【详解】解：由题意可知，， ∴小刚能完成这项训练挑战． 故答案为：能． 16．（24-25八年级上·江西赣州·期末）已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，求整数的最大值． 【答案】9 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题考查三角形的三边关系，利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：由三角形的三边关系可知：， 即， 因此整数的最大值是9． 17．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，已知O为内任意一点，求证 (1) ； (2) 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． （1）在、和中，利用三角形三边关系列式即可证明； （2）延长交于点D．在和中，得到，推出；同理，，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：在中，①， 在中，②， 在中，③， 得2， 即； （2）证明：如图，延长交于点D． 在中，①， 在中，②， ，得； ∵，， ∴， ∴③， 同理可证④，⑤， ，得， ∴． 题型四 三角形的稳定性及应用（共3小题） 18．（24-25八年级上·全国·期末）如图所示图形中具有稳定性的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的稳定性及应用、四边形的不稳定性 【分析】根据三角形的稳定性作答即可． 此题考查三角形的稳定性，多边形，解题关键在于掌握其性质． 【详解】解：∵三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性， ∴图形中具有稳定性的是A． 故选：A． 19．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，将空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种做法的依据是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形的稳定性 【答案】D 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，掌握三角形具有稳定性的特征是解题关键．根据三角形具有稳定性可得答案． 【详解】解：∵空调安装在墙上时，采用如图所示的三角形支架方法固定， ∴这种方法应用的几何原理：三角形的稳定性． 故选：D． 20．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用了三角形具有 的原理． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．在窗框上斜钉上一根木条，构成三角形故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉上一根木条，这是利用三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 21．（24-25八年级上·四川泸州·期末）空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的 性． 【答案】稳定 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查三角形的稳定性．三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性． 故答案为：稳定． 题型五 三角形的中线（共3小题） 22．（23-24八年级上·河北沧州·期末）如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（    ） A．4 B．1 C．2 D．7 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，根据三角形中线的定义得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差 ， 故选：C． 23．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．两个锐角之和一定是钝角 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．同旁内角互补 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补、构成三角形的条件、重心的概念、判断命题真假 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，利用反例对A进行判断，利用三角形三边关系对B进行判断，根据平行线的性质对C进行判断，三角形的重心的性质对D进行判断． 【详解】解：A、两个锐角之和不一定为钝角，故原命题错误，是假命题，不符合题意； B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意； C、两直线平行，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； D、三角形的重心是这个三角形的三条边上的中线的交点，故原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：B． 24．（24-25八年级上·贵州黔南·期末）如图，在中，，，分别是，，边的中点，连接，，．已知的面积为，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是性质的熟练应用． 由三角形的中线将面积分成相等的两部分，得到阴影部分面积是整个三角形面积的二分之一，进而得求． 【详解】∵ 点 为 边的中点，， ∴， ∵E 为AC边的中点， ， ∵  为 边的中点， ， ， 故答案选： C． 25．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）等腰三角形周长为，一中线将周长分成的两部分差为，则这个三角形三边长为 ． 【答案】8，8，5或6，6，9 【知识点】等腰三角形的定义、根据三角形中线求长度、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中线的性质，一元一次方程的实际应用．根据等腰三角形的性质可知，该中线为腰上的中线，则推出腰长和底边长差为，设这个等腰三角形腰长为，则底边长为，列出方程求解即可． 【详解】解：设这个等腰三角形腰长为，则底边长为， 或， 解得：或， ∴或， ∴这个三角形三边长为8，8，5或6，6，9． 故答案为：8，8，5或6，6，9． 26．（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，已知点D、E、F分别是的中点，且的面积等于15，则的面积为 ． 【答案】/3.75 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式、三角形中线的性质等知识点，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两等份是解题的关键． 根据三角形中线的性质可得，，，即；最后再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵点D为边的中点，且的面积等于15， ∴， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∵点F为边的中点， ∴． 故答案为：． 27．（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期末）在中，分别延长中线至　，使，，连接．求证：　    【答案】详见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，根据中线得，再利用证明，，从而得到，，利用等量代换从而得到结论． 【详解】证明：是的中线， ， 在与中， ， ， ， 在 与中， ， ， ， ． 28．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是的中线，是的中线，于点，若，，求的长． 【答案】3 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵于点，， ∴， 解得． 29．（23-24八年级上·福建南平·期末）如图1，在中，，点D在上，点E在上，，延长到F，使得，过点F作，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)如图2，当点D与点B重合，且，求证：点B为的重心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、重心的概念 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形重心，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，得到，当点D与点B重合时，得出，进而得出平分，再由等腰三角形三线合一的性质，得到，由三角形重心的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， 当点D与点B重合时， ∵，， ∴， 由（1）知，即， ∴平分， ∵， ∴， ∴边的中线与边的中线交于点， ∴点B为的重心． 题型六 三角形角平分线的定义（共2小题） 30．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 31．（22-23八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用、最短路径问题 【分析】在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 32．（24-25八年级上·山西大同·期末）如图，在中，，过点作交的平分线于点，连接．求证：为等腰三角形． 【答案】详见解析 【知识点】两直线平行内错角相等、等腰三角形的性质和判定、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键． 根据得，由角平分线的定义得，所以，再根据等腰三角形的判定得，再结合得，即可得证． 【详解】证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 33．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）在中，的外角的平分线．试说明：． 【答案】见解析 【知识点】三角形角平分线的定义、等边对等角、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据角平分线的定义，可得，再根据平行线的性质得到，，推出，即可证明． 【详解】证明：平分， ， ， ，， ， ． 题型七 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 34．（25-26八年级上·内蒙古·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形的高：三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的定义进行判断． 【详解】解：若线段是的高，需过点A作对边的垂线，则垂线段是的高． 选项B、C、D错误，只有选项A符合题意， 故选：A． 35．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】考查三角形的内角和定理以及高的性质.根据三角形的内角和定理与，即可求得三个内角的度数，再根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得，， 则， ∵是边上的高， ∴， ∴， 故选：C． 36．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为14和22，则的长为 ． 【答案】11 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识，作于E，利用三角形的面积公式求出，利用角平分线的性质定理，推出，再根据的面积求出即可． 【详解】解：如图作于E， ∵，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：11． 37．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先证明，求解，，，结合角平分线的定义可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：是边上的高， ． ，， ， ． ． 是的平分线， ． ． 题型八 三角形的内角（共3小题） 38．（24-25八年级上·河北邢台·期末）下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 39．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，于点，是的平分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和、三角形的角平分线的定义和高线的定义，先由和求出，然后由平分求，再结合求，最后求得解答即可． 【详解】解：，， ． ， ， ， 平分， ， 故选：B． 40．（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 41．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、两直线平行同位角相等 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 42．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，平分，平分，则 ． 【答案】/110度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可求出，根据角平分线的定义求得，在中利用三角形内角和定理可求出的度数解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 44．（24-25八年级上·湖北随州·期末）如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【答案】， 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，进而求出；利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型九 三角形内角和定理的应用（共3小题） 45．（22-23八年级上·全国·期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（　　） A．， B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和． 根据三角形内角和逐一计算，看是否有90度角即可． 【详解】解：A．，，则，是直角三角形，不符合题意； B．，则，，即，解得，则，，是直角三角形，不符合题意； C．，则，是直角三角形，不符合题意； D．，即，解得，则，，不是直角三角形，符合题意； 故选：D 46．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，点D、E分别在、的延长线上，则的度数是    （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是．先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据对顶角相等求出的度数即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴． 故选：C． 47．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）三角形的三个内角之比为，那么这个三角形的最小内角为 ； 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，一元一次方程的应用．设三角形三个角的度数分别为，，，根据三角形内角和定理得，解得，然后计算即可． 【详解】解：设三角形三个角的度数分别为，，， 所以， 解得：， 所以， 即这个三角形的最小内角为． 故答案为：． 48．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，，，则 ． 【答案】/20度 【知识点】对顶角相等、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用对顶角相等和平行线的同位角相等，求出中两个内角的度数，再结合三角形内角和计算． 根据对顶角相等，得、；由，同位角相等，得；最后在中，利用三角形内角和为，用减去与的度数，即可求出． 【详解】解：∵与是对顶角，， ∴， ∵与是同位角， ∴， ∵与是对顶角，， ∴． 在中，∵三角形内角和为， ∴． 故答案为：． 49．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 50．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，在三角形中，，直线与边分别交于两点，直线与边分别交于两点，且． (1)若，求的度数； (2)如图2，为边上一点，连结，若，请你探索与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若，延长交直线于点，在射线上有一动点，连接，请直接写出之间的数量关系（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查平行线性质和三角形内角和定理，综合性较强，画出辅助线是关键． （1）过点B作直线，结合平行线性质即可得出结论． （2）过点B作直线，结合平行线性质即可． （3）结合题意分为①当点M在上时；②当点M在的延长线上时，两种情况画出图形，分类讨论即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作直线， ， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作直线， 由（1）得，， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）或理由如下： 当点M在上时，如图3（1）， 在中，， ， ， ， ， ， ； 当点M在的延长线上时，如图3（2）， 在中，， ， ， ， ， ， ， 综上，或． 题型十 直角三角形的两个锐角互余（共3小题） 51．（25-26八年级上·全国·期末）在中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余．根据直角三角形的两个锐角互余，解答即可． 【详解】解：由题意得， 故选：A． 52．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 53．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，平分，平分，、交于点O，，若，，则 ． 【答案】/10度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 54．（24-25八年级上·甘肃武威·期末）已知：如图，在中，，于D，平分，，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题考查了直角三角形的两个锐角互余，角平分线的定义．根据直角三角形的性质求得，根据角平分线的定义求出，再利用角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型十一 三角形的外角的定义及性质（共4小题） 55．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，直接利用三角形的外角和定理可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：B． 56．（24-25八年级上·广东河源·期末）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和求出，则由角平分线的定义得到，进而可由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴， 故选：B． 57．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数是 ．       【答案】/ 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质求解即可. 【详解】解：如图，∵，，    ∴，， ∴． 故答案为：． 58．（25-26八年级上·全国·期末）将一副三角板拼成如图所示的图形交于点，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．是的一个外角，根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 是的一个外角， ． 故答案为：． 59．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，平分的外角，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)试猜想、、三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求解，可得，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明，结合，，可得结论． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由条件可知， 又∵， ∴ ， 即． 60．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是的外角，平分，平分，且交于点E． (1)若，求证：； (2)试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，平行线的判定． （1）根据角平分线的定义得出，结合已知推出，于是问题得证； （2）根据是的一个外角得出，再根据角平分线的定义推出，再根据是的一个外角得出，从而推出与之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由： ∵是的一个外角， ， ∵平分平分， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ， ． 61．（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在直角中，，平分交于，且． (1)求的度数； (2)过点作交于，若，则是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了角平分线的判定以及计算，三角形内角和定理以及三角形外角的定义和性质． （1）根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可得出． （2）根据三角形外角的定义和性质得出，再根据角的和差可得出，进而可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）解：是的平分线，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线. $