精品解析：江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年第二学期第一次素质检测高一数学试卷

启东市第一中学2024——2025年度第二学期第一次素质检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式计算． 【详解】． 故选：A． 2. 若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标计算公式可求点的坐标. 【详解】设，故，而， 故，故，故， 故选：A. 3. 若，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正切两角差的公式直接求解. 【详解】. 故选:D 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合平面向量共线的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解． 【详解】， 则，解得， 故， ． 故选：A． 5. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出,再求即得解. 【详解】由题得, . 故选B 【点睛】本题主要考查平面向量的三角形加法法则和减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6. 已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ） A. B. C. 或1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，由二倍角正弦公式求出，再根据二倍角余弦公式进行求解即可. 【详解】因为，所以， 因为角的终边不在坐标轴上，所以， 则，由二倍角余弦公式可得： 故选：A. 7. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得利用两角和的正弦公式求解，用两角和的余弦公式求解，先利用正切化弦，再利用余弦的二倍角公式求解，然后将三个值都化在内，利用函数的单调性求解即可. 【详解】由已知得 ， ， ， 因为在上单调递增， 所以， 所以. 8. 点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量关系可得，即可表示出面积关系. 【详解】如图，设中点为，中点为， 因为，即，则， 即， 则， 所以的面积与的面积的比值是6. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设向量，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】分别求出即可判断；由，即可判断B；根据即可判断C；运用向量夹角公式即可判断D． 【详解】由题意，，， 所以， 则，故A错误； 因为，，所以由， 所以与不平行，故B错误； 又，即，故C正确； 因为，， 所以在上的投影向量为，故D正确． 故选：CD． 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得A正确，再由两角和的正切公式计算可得B错误；由二倍角公式计算可得C正确，再由半角公式计算可得D错误. 【详解】因为，当时，， 所以，可得， 在左边分子分母上同乘可得， 解得，故A正确； 由，故B错误； 联立与，解得或； 所以，故C正确； 由得，解得或，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可得为的中点，根据平面向量加法的平行四边形法则判断A，建立平面直角坐标系，求出圆的方程，设，，利用坐标法判断B、C，由三点共线得到，即可求出，从而求出，，即可判断D. 【详解】因为，即为的中点，所以，故A正确； 如图建立平面直角坐标，则，，，， 所以，，则，故B错误； 又， 所以圆的方程为， 设，， 则，又， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，故最大值为，故C正确； 因为，，三点共线，所以， 又，， 所以，即， 所以， 所以，又，， 且，即， 所以，所以，所以，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，判断三角形的形状______. 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】由余弦定理化简可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得，所以，化简得， 所以是等腰三角形. 13. 若是两个不共线的向量，已知，若三点共线，则_________. 【答案】1 【解析】 【分析】先利用向量的差计算，再根据三点共线设，构建关系解出即可. 【详解】由题意知，， 因为三点共线，故可设， 即，故， 解得. 故答案为：. 14. 已知，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， ， ， 又， ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理结合已知条件可求出角B的值； （2）由已知求出的值，再利用诱导公式和两角和的正弦公式可求得结果 【详解】（1）在中，由余弦定理可知，因为，所以，又，得， （2）因为，所以， 在中，， 则 【点睛】此题考查余弦定理的应用，考查诱导公式和两角和的正弦公式，属于基础题 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，根据两角和的正切公式运算求解； （2）根据诱导公式结合齐次式问题运算求解. 【小问1详解】 ∵，则， ∴. 【小问2详解】 由（1）可得：， 故. 17. 如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 【答案】（1） （2） （3）时，最小 【解析】 【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可； （2）将向量转化为已知向量等，进行运算； （3）法一：设()，利用基底法计算，结合二次函数求最值； 法二：建立平面直角坐标系，设()，利用数量积的坐标运算，再求最值. 【小问1详解】 ，，，， ，， ， ； 【小问2详解】 【小问3详解】 法一：设()，则， ， 当时，即时，最小. 法二：建立如图平面直角坐标系，则，， ，， 设()，则， 当时，即时，最小． 18. 已知向量与互相垂直，其中. （1）求和的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式可得，再结合，可得解； （2）根据两角差的余弦公式化简求解即可. 【详解】（1）与互相垂直，则 ，即， 又，得，， 又， ，； （2），， ，则， . 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 ① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. 【小问2详解】 依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2024——2025年度第二学期第一次素质检测 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 1 2. 若，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. 0 C. D. 4. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正方形中，为的中点，若，则的值为 A. B. C. D. 1 6. 已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ） A. B. C. 或1 D. 7. 若，，则的大小关系是（    ） （ ） A. B. C. D. 8. 点P是菱形内部一点，若，则的面积与的面积的比值是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 15 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 设向量，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 已知，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在直角三角形中，，，点是以为直径的半圆弧上的动点，若，则（ ） A. B. C. 最大值为 D. ，，三点共线时 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，判断三角形的形状______. 13. 若是两个不共线的向量，已知，若三点共线，则_________. 14. 已知，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B的值； （2）若，求的值． 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，在平面四边形中，已知，，，为线段上一点. （1）求的值； （2）若为线段的中点，求的值； （3）试确定点的位置，使得最小. 18. 已知向量与互相垂直，其中. （1）求和的值； （2）若，，求的值. 19. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $