学易金卷：高一数学下学期第三次月考01（江苏专用，测试范围：苏教版必修第二册第9～14章）

■■ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) ◆频率组距 0.006------T 0.001 050100150200250300350400时长1分钟 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) S B 0 D A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与所成的角和与所成的角相等 5．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 8．某个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（   ） A．有效数据的极差是10 B．有效数据的平均数是80 C．有效数据的第80百分位数是86 D．有效数据的方差是50 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则符合条件的有且仅有两个 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 11．如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若为线段中点，则与垂直 D．平面截长方体的外接球所得截面面积是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 13．已知，且满足，，则______． 14．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则面积的最大值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知m为实数，设复数． (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 16．（15分） 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，于点M，于点N. (1)证明：为直角三角形； (2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，现已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点在底面的射影为的中点. ①若，求该四棱锥在处的离散曲率； ②若该四棱锥在处的离散曲率，求直线与平面所成角的正弦值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B C B D C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BCD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．/ 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由题意得， 所以；（6分） （2）复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点的坐标满足，所以． 解得或， 所以m的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由图知：，， ， ，，， 由于，则；（5分） （2）平均时长为 分钟；（10分） （3）由题目可知即求样本数据的第90百分位数，由（1）可知 ，， 故第90百分位数落在第六组，由， 可算出第六组小长方形的高为， 假设第90百分位数为x，则有， 解得，故最少需要325分钟.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）因为平面ABC，在平面内， 所以， 因为， 平面， 所以平面，又在平面内，所以. 因为， 平面PBC， 所以平面PBC，又在平面PBC内， 所以，所以为直角三角形.（6分） （2）由题意知， 在中，，所以， 所以，当且仅当时，体积最大. 由（1）知，平面PBC，在平面平面内，所以， 又因为， 平面， 所以平面AMN，所以为二面角的平面角. （9分） 当时，在中，， 在中，. 由（1）知，，所以， 即三棱锥体积最大时，二面角的余弦值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由正弦定理得，， 则，即， 又，则， 则，即.（4分） （2）（ⅰ）由， 因为为外接圆圆心，即外心， 所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，， 则， 由，解得， 所以，则， 所以.（10分） （ⅱ）设外接圆半径为，则， 且，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由（ⅰ）知，，令， 则， 所以当时，取得最大值. （17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意可知四棱锥在各个顶点处的角的和， 即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即， 故四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为：；（4分） （2）①连接，由于底面是边长为2的菱形，故交于点O， ，则为正三角形，则, 底面，底面，故，， 则，， 则 ， 由于为三角形内角，故； 同理求得， 故该四棱锥在处的离散曲率；（10分） ②由题意可知四棱锥的是个侧面三角形全等， 即得， 四棱锥在处的离散曲率，则， 设，则，而， 故，解得， 作于E，则E为AB中点，结合题意知为正三角形，故， 作于F，则，且， 则; 连接，由于底面，底面，故， 平面，故平面， 平面，故平面平面，平面平面， 作于G，则平面， 则即为直线与平面所成角， 则.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，所以. 2．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解. 【详解】由题可得，因为，，所以，得. 故选：A 3．已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 【答案】B 【分析】根据平均数与方差的基本公式以及性质求解即可. 【详解】由题意，，. 所以，，，的平均数 ， 方差. 故选：B. 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与所成的角和与所成的角相等 【答案】C 【分析】根据空间中点线面之间平行和垂直的判定定理以及性质定理，分别判断各选项的正误可得答案. 【详解】A.，， ，存在，使得，此时，则，故A正确. B.，平面与平面没有公共点， ，直线与平面没有公共点，即，故B正确. C. 如图所示，当平面与平面不垂直时，设，平面上存在直线，故C错误. D.，直线与平面所成的角相等，同理，直线与平面所成的角相等， ，与所成的角和与所成的角相等，故D正确. 故选：C. 5．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题意，利用由余弦定理计算即可. 【详解】设，则， 在中，，则， 解得，则. 故选：B． 6．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换，进行化简，根据三角函数单调性，判断大小. 【详解】因为，所以， 根据正切两角和的公式得， 根据二倍角公式可知， 根据余弦函数在上单调递减，且值域为，所以， 正切函数在上单调递增，所以， 所以， 故选：D. 7．在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 8．某个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出小球半径，由题意作出示意图.从而知道小球与圆锥能够接触的面为一个圆台的侧面和一个圆，在轴截面图中，通过圆与三角形两邻边相切求得圆台的上下底半径和母线，从而求得圆台的侧面面积，再求的圆的半径得到圆的面积，即可求得答案. 【详解】设小球的半径为，则小球表面积，即， 在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如图， 是这个封闭的圆锥形容器的轴截面，边长为6， ∴， ，，， 则， ∵都为等边三角形，∴， 圆台上下地面半径分别为，，母线长， ∴圆台侧面面积， 在圆锥地面，小球能够接触到的区域是一个圆，其半径， 其面积， ∴圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（   ） A．有效数据的极差是10 B．有效数据的平均数是80 C．有效数据的第80百分位数是86 D．有效数据的方差是50 【答案】BC 【分析】根据题意先求有效数据，再逐项验证即可求解. 【详解】根据题意有效数据为： 所以有效数据的极差为，故A错误； 有效数据的平均数为，故B正确； 由，所以有效数据的第80百分位数为，故C正确； 有效数据的方差为，故D错误. 故选：BC. 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则符合条件的有且仅有两个 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 【答案】BCD 【分析】根据余弦定理以及正弦定理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A：若，，， 由余弦定理得， 故符合条件的有且仅有一个，故A错误； 对于B：反证法：假设，根据三角形内大边对大角，则， 由正弦定理可得，与题干矛盾，故B正确； 对于C：若，由正弦定理得， 由余弦定理得，故，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：若为锐角三角形，则，所以， 因为在上单调递增，所以，故D正确． 故选：BCD． 11．如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若为线段中点，则与垂直 D．平面截长方体的外接球所得截面面积是 【答案】ACD 【分析】A选项：根据线线平行可证线面平行，即可判断A选项；B选项：根据线面平行可得体积为定值，并求值；C选项：根据线面垂直可得线线垂直；D选项：易知外接球球心到平面的距离为点到平面距离的一半，再利用等体积转化法可得解. 【详解】A选项：连接，， 由已知为长方体，则，，即， 又，且，平面，，平面， 平面平面， 又平面， 平面，A选项正确； B选项： 由，且平面，平面， 平面， 点在上， ， 又， ，B选项错误； C选项： 当为中点时，， ，即， ，即， 则， 由长方体可知平面，且平面， 所以， 又，，平面， 平面， 平面，，C选项正确； D选项：由长方体性质可知长方体的外接球球心为其体对角线中点， 则， 设点到平面的距离为， 则点到平面的距离为， 在三棱锥中，，， 即， 又，即， 解得， 则平面被长方体外接球所截小圆半径， 其面积为，D选项正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 【答案】 【分析】应用向量数量积的运算律可得，再由投影向量的定义求在上的投影向量的坐标. 【详解】由题设，则， 所以在上的投影向量为. 故答案为： 13．已知，且满足，，则______． 【答案】/ 【分析】应用同角三角函数关系结合两角差的余弦化简，应用角的范围或应用三角恒等变换结合角的范围得出，最后应用二倍角余弦公式计算. 【详解】因为，所以， 即， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为： 14．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则面积的最大值是_________. 【答案】/ 【分析】先根据求出，结合公式和二次函数可得答案. 【详解】因为， 所以， 由正弦定理可得， 由题意 令，则， 当，即时，取到最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知m为实数，设复数． (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出关于的不等式组，解出即可； （2）先得z在复平面内对应的点的坐标，解不等式即可. 【详解】（1）由题意得， 所以； （2）复数z在复平面内对应的点的坐标为， 因为点的坐标满足，所以． 解得或， 所以m的取值范围为. 16．（15分） 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 【答案】(1)， (2) (3)325分钟 【分析】（1）由频率分布直方图的面积特征结合题意计算可得； （2）由频率分布直方图中平均数的计算可得； （3）由频率分布直方图计算第90百分位数可得. 【详解】（1）由图知：，， ， ，，， 由于，则； （2）平均时长为 分钟； （3）由题目可知即求样本数据的第90百分位数，由（1）可知 ，， 故第90百分位数落在第六组，由， 可算出第六组小长方形的高为， 假设第90百分位数为x，则有， 解得，故最少需要325分钟. 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，于点M，于点N. (1)证明：为直角三角形； (2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得到平面，进而得到，再结合，即可求证； （2）先通过体积公式及基本不等式确定时，体积最大，再确定为二面角的平面角，结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）因为平面ABC，在平面内， 所以， 因为， 平面， 所以平面，又在平面内，所以. 因为， 平面PBC， 所以平面PBC，又在平面PBC内， 所以，所以为直角三角形. （2）由题意知， 在中，，所以， 所以，当且仅当时，体积最大. 由（1）知，平面PBC，在平面平面内，所以， 又因为， 平面， 所以平面AMN，所以为二面角的平面角. 当时，在中，， 在中，. 由（1）知，，所以， 即三棱锥体积最大时，二面角的余弦值为. 18．（17分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理及辅助角公式求解即可； （2）（ⅰ）根据平面向量的运算、数量积的性质及余弦定理可得，再利用正弦定理及两角和的正弦公式、正切函数的性质求解即； （ⅱ）设外接圆半径为，由正弦定理可得，结合三角形的面积公式及二倍角公式可得，进而根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得，， 则，即， 又，则， 则，即. （2）（ⅰ）由， 因为为外接圆圆心，即外心， 所以，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理得，， 则， 由，解得， 所以，则， 所以. （ⅱ）设外接圆半径为，则， 且，即， 因为，， 所以， ， 所以， 由（ⅰ）知，，令， 则， 所以当时，取得最大值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，现已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点在底面的射影为的中点. ①若，求该四棱锥在处的离散曲率； ②若该四棱锥在处的离散曲率，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)2 (2)①；② 【分析】（1）根据离散曲率的定义，直接计算，即可得答案； （2）①求出的值，利用余弦定理求出顶点S处的侧面的顶角大小，即可求得答案；②根据四棱锥在处的离散曲率，求出棱锥的高，再根据线面角的定义，即可求解答案. 【详解】（1）由题意可知四棱锥在各个顶点处的角的和， 即等于四个侧面上的三角形和底面四边形的内角和，即， 故四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和为：； （2）①连接，由于底面是边长为2的菱形，故交于点O， ，则为正三角形，则, 底面，底面，故，， 则，， 则 ， 由于为三角形内角，故； 同理求得， 故该四棱锥在处的离散曲率； ②由题意可知四棱锥的是个侧面三角形全等， 即得， 四棱锥在处的离散曲率，则， 设，则，而， 故，解得， 作于E，则E为AB中点，结合题意知为正三角形，故， 作于F，则，且， 则; 连接，由于底面，底面，故， 平面，故平面， 平面，故平面平面，平面平面， 作于G，则平面， 则即为直线与平面所成角， 则. / 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数的共轭复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知一组数，，，的平均数是3，方差为4，则数据，，，的平均数和方差分别是（ ） A．7，8 B．7，16 C．6，8 D．6，16 4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与所成的角和与所成的角相等 5．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（   ） A． B． C． D． 6．已知，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 8．某个封闭的圆锥形容器（容器壁厚度忽略不计）的轴截面是边长为6的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校举办“班班有歌声”爱国主义合唱比赛，7位评委给某班的评分分别为82，90，65，68，80，92，80，依据评分规则，需去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个评分为有效数据，则（   ） A．有效数据的极差是10 B．有效数据的平均数是80 C．有效数据的第80百分位数是86 D．有效数据的方差是50 10．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（     ） A．若，，，则符合条件的有且仅有两个 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若为锐角三角形，则 11．如图，在长方体中，，点为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．若为线段中点，则与垂直 D．平面截长方体的外接球所得截面面积是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量满足，，则在上的投影向量的坐标为_____. 13．已知，且满足，，则______． 14．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积，可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示.在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则面积的最大值是_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知m为实数，设复数． (1)当复数z为纯虚数时，求m的值； (2)设复数z在复平面内对应的点为，若满足，求m的取值范围． 16．（15分） 为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 17．（15分） 如图，在三棱锥中，平面ABC，于点M，于点N. (1)证明：为直角三角形； (2)当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值. 18．（17分） 已知，，分别为三个内角，，的对边，满足，. (1)求； (2)若为锐角三角形，且外接圆圆心为， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）求和面积之差的最大值. 19．（17分） 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. (1)求四棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，现已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点在底面的射影为的中点. ①若，求该四棱锥在处的离散曲率； ②若该四棱锥在处的离散曲率，求直线与平面所成角的正弦值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $