专题02数列（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高二数学下学期沪教版

专题02数列（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 数列基本量知三求二基础题 题型02 累加法、累乘法、构造法求递推通项 题型03 等差乘等比型错位相减 题型04 分式型、根式型裂项求和 题型05 求数列最大项、最小项 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数列概念与通项 会观察法求，理解递推公式 低频，填空/选择，基础易题 等差数列（核心） 掌握定义、通项，会求基本量 高频，多题型，中易难度，侧重基本量计算 等比数列（核心 掌握定义、通项，注意 高频，多题型，中易难度，偶考与等差综合 数列求和（核心） 熟记求和公式，掌握分组、裂项相消技巧 高频大题，中档题，重点考等差/等比求和 实际应用 识别等差/等比模型，运用公式解决问题 中频大题，难度适中，侧重模型识别 知识点01 数列的概念与通项公式 1. 定义：按一定顺序排列的一列数，记为，为第项； 2. 通项公式：，表示第项与序号的关系； 3. 递推公式：由前几项或相邻项关系推导后续项（如）。 ·示例：已知数列前5项：2，4，6，8，10，求通项公式。 知识点02 等差数列 1. 定义：（为常数，公差）； 2. 通项公式：（为首项）； 3. 性质：若，则； 4. 等差中项：（）。 ·示例：已知等差数列中，，，求及。 知识点03 等比数列 1. 定义：（，常数，公比）； 2. 通项公式：； 3. 性质：若，则； 4. 等比中项：（）。 ·示例：已知等比数列中，，，求及。 知识点04 数列求和 1. 等差数列求和：； 2. 等比数列求和：； 3. 常用技巧：分组求和、裂项相消（如）。 ·示例：求等差数列（，）前10项和。 ·易错点：1. 等比数列求和时，未判断，直接套用的公式； 2. 裂项相消时，漏写系数（如误裂为，正确需乘）； 3. 求和时，序号取值错误（如求前5项和，误代入）。 知识点05 数列实际应用 1. 增长率问题：用等比数列模型（，为增长率）； 2. 匀速增长问题：用等差数列模型（，为增长量）。 ·示例：某工厂2025年产量为100吨，年增长率为5%，求2027年产量。 ·易错点：1. 混淆等差、等比模型，增长率问题误用等差数列； 2. 计算增长率时，误将写为增长率（如增长率5%，误取，正确为）； 3. 忽略实际意义，计算结果为负数或不合理数值（如产量、人数不能为负）。 题型一 数列基本量知三求二基础题 解｜题｜技｜巧 1. 核心前提：明确等差/等比数列的基本量（等差：；等比：），牢记通项公式、求和公式； 2. 关键方法：“知三求二”，即已知3个基本量，代入公式求解剩余2个，优先用通项公式（计算量小）； 3. 简化技巧：等差可利用性质，等比可利用，减少计算步骤。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆等差、等比公式，如将等差数列通项误写为； 2. 代入公式时，漏算“”（如等差通项，漏掉“-1”）； 3. 等比数列中，忽略，或计算时符号出错。 【典例1】在等比数列中，若，则公比__________；__________时，的前项积最大. 【典例2】在等差数列中，，则______，______. 【变式1】在等差数列中，已知，求首项与公差=________，首项=__________ 【变式2】数列是公比为的等比数列，其前项和为，若 则 ______ ______ 题型二 累加法、累乘法、构造法求递推通项 解｜题｜技｜巧 1. 题型判定：核心特征为递推式是相邻两项的差，且差式（如一次函数、分式裂项、等比数列）可通过公式法、裂项法等求和； 2. 核心思路：通过拆分递推式，将转化为与前项和的形式，消去中间项简化计算； 3. 简化技巧：若为等差数列或等比数列，直接套用对应求和公式；若为分式型，先裂项再累加，减少计算量。 【典例1】在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【典例2】在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列满足，，则__________. 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 题型三 等差乘等比型错位相减 答｜题｜模｜板 1. 确定（等差）、（等比）的通项公式，写出； 2. 写出的表达式（逐项列出，保留前3项和最后1项）； 3. 两边同乘等比数列公比，得到，与错位对齐； 4. 两式相减，整理中间的等比数列，代入等比求和公式； 5. 化简得到，规范书写最终结果（分式需化简，符号统一）。 【典例1】已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前n项和. 【典例2】（25-26高二下·上海·期末）已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【变式1】已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【变式2】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 题型四 分式型、根式型裂项求和 解｜题｜技｜巧 裂项公式：，拆分后左右两边消去中间项，剩余首尾项化简求和。 易｜错｜点｜拨 1. 裂项时，漏写系数（如误裂为）； 2. 消项时，误消首尾项，或剩余项化简错误。 【典例1】已知数列满足，则______； 【典例2】已知数列满足，记的前项和为，则满足的的最小值为______． 【变式1】若数列满足，且对于都有，则_____. 【变式2】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，则求数列的前2025项和为______ 题型五 求数列最大项、最小项 答｜题｜模｜板 1. 设数列第项为最大（小）项（）； 2. 列出不等式组（最大项：，；最小项同理）； 3. 代入通项公式，化简不等式组，求解的取值范围； 4. 根据，确定的值，代入通项求最大（小）项； 5. 验证（或最后一项），确保结果无误，规范书写答案。 【典例1】在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________ 【典例2】已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是________ 【变式1】已知数列的通项公式为，则当__________时，数列的前项和最小. 【变式2】已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 2．公差不为零的等差数列的前项和为是的等比中项，且，则_______，公差________． 三、解答题 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 4．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 5．已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． (1)求； (2)求． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 2．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（　　） A．310 B．212 C．180 D．121 二、填空题 3．（24-25高二下·上海·期末）已知数列满足，且，则________. 4．若数列满足，且（其中，），则的通项公式是________． 三、解答题 5．（24-25高二下·上海奉贤期末）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知数列满足，，则的最大值为_______． 三、解答题 3．已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 4．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 5．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02数列（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 数列基本量知三求二基础题 题型02 累加法、累乘法、构造法求递推通项 题型03 等差乘等比型错位相减 题型04 分式型、根式型裂项求和 题型05 求数列最大项、最小项 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 数列概念与通项 会观察法求，理解递推公式 低频，填空/选择，基础易题 等差数列（核心） 掌握定义、通项，会求基本量 高频，多题型，中易难度，侧重基本量计算 等比数列（核心 掌握定义、通项，注意 高频，多题型，中易难度，偶考与等差综合 数列求和（核心） 熟记求和公式，掌握分组、裂项相消技巧 高频大题，中档题，重点考等差/等比求和 实际应用 识别等差/等比模型，运用公式解决问题 中频大题，难度适中，侧重模型识别 知识点01 数列的概念与通项公式 1. 定义：按一定顺序排列的一列数，记为，为第项； 2. 通项公式：，表示第项与序号的关系； 3. 递推公式：由前几项或相邻项关系推导后续项（如）。 ·示例：已知数列前5项：2，4，6，8，10，求通项公式。 解：观察可得，每一项比前一项大2，为等差数列，通项为。 知识点02 等差数列 1. 定义：（为常数，公差）； 2. 通项公式：（为首项）； 3. 性质：若，则； 4. 等差中项：（）。 ·示例：已知等差数列中，，，求及。 解：由通项公式，，。 知识点03 等比数列 1. 定义：（，常数，公比）； 2. 通项公式：； 3. 性质：若，则； 4. 等比中项：（）。 ·示例：已知等比数列中，，，求及。 解：由通项公式，，。 知识点04 数列求和 1. 等差数列求和：； 2. 等比数列求和：； 3. 常用技巧：分组求和、裂项相消（如）。 ·示例：求等差数列（，）前10项和。 解：。 ·易错点：1. 等比数列求和时，未判断，直接套用的公式； 2. 裂项相消时，漏写系数（如误裂为，正确需乘）； 3. 求和时，序号取值错误（如求前5项和，误代入）。 知识点05 数列实际应用 1. 增长率问题：用等比数列模型（，为增长率）； 2. 匀速增长问题：用等差数列模型（，为增长量）。 ·示例：某工厂2025年产量为100吨，年增长率为5%，求2027年产量。 解：模型为等比数列，，，2027年为第3项，吨。 ·易错点：1. 混淆等差、等比模型，增长率问题误用等差数列； 2. 计算增长率时，误将写为增长率（如增长率5%，误取，正确为）； 3. 忽略实际意义，计算结果为负数或不合理数值（如产量、人数不能为负）。 题型一 数列基本量知三求二基础题 解｜题｜技｜巧 1. 核心前提：明确等差/等比数列的基本量（等差：；等比：），牢记通项公式、求和公式； 2. 关键方法：“知三求二”，即已知3个基本量，代入公式求解剩余2个，优先用通项公式（计算量小）； 3. 简化技巧：等差可利用性质，等比可利用，减少计算步骤。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆等差、等比公式，如将等差数列通项误写为； 2. 代入公式时，漏算“”（如等差通项，漏掉“-1”）； 3. 等比数列中，忽略，或计算时符号出错。 【典例1】在等比数列中，若，则公比__________；__________时，的前项积最大. 【答案】 【分析】由已知条件结合等比数列的通项公式可求出公比，则可求出通项公式，从而可求出的前项积，可判断当取最大值时，必为偶数，令，解得，令，解得，然后讨论可求出的前项积的最大值. 【详解】在等比数列中,由,得 ， ∴ ； ∴， 此等比数列各项均为负数，设它的前项积为， 当为奇数时，为负，当为偶数时，为正， 所以当取最大值时，必为偶数， 若，则，即， 同理，若，则， 因为， 令，解得，令，解得， 因为， 所以当为偶数且时，，， 当为偶数且时，，， 即， 所以当时,的前项积最大. 故答案为：，4. 【典例2】在等差数列中，，则______，______. 【答案】 3 【分析】先根据等差数列的通项公式求得公差，再根据通项公式列方程求得. 【详解】设公差为，则. 又，即，解得. 【变式1】在等差数列中，已知，求首项与公差=________，首项=__________ 【答案】 【分析】由通项公式列出等式求解即可. 【详解】， ， 两方程联立可得：， 故答案为：， 【变式2】数列是公比为的等比数列，其前项和为，若 则 ______ ______ 【答案】 ； 【详解】数列是公比为的等比数列，，所以，所以，. 题型二 累加法、累乘法、构造法求递推通项 解｜题｜技｜巧 1. 题型判定：核心特征为递推式是相邻两项的差，且差式（如一次函数、分式裂项、等比数列）可通过公式法、裂项法等求和； 2. 核心思路：通过拆分递推式，将转化为与前项和的形式，消去中间项简化计算； 3. 简化技巧：若为等差数列或等比数列，直接套用对应求和公式；若为分式型，先裂项再累加，减少计算量 【典例1】在数列中，，则的值为（    ） A．2+ln99 B．2+ln100 C．2+ln101 D． 【答案】B 【详解】由可得， 则 . 【典例2】在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知得到，利用累乘法求出即可得解. 【详解】，， . 故答案为：B 【变式1】已知数列满足，，则__________. 【答案】 【分析】两边取以为底的对数，得到构造数列得到数列是首项为、公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式得到，从而求出，即可得到 【详解】令则 由两边取以为底的对数， 得 所以数列满足 令 则 且 因此数列是首项为、公比为的等比数列，所以 于是从而即 【变式2】（25-26高二上·上海·期末）已知数列的前项和为，数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式，并求的值． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）利用数列前项和与第项的关系求出通项公式. （2）利用累加法求出通项公式，再利用等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时，，而满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）数列中，，由，得， 当时， ，满足上式， 所以数列的通项公式为， ，所以. 题型三 等差乘等比型错位相减 答｜题｜模｜板 1. 确定（等差）、（等比）的通项公式，写出； 2. 写出的表达式（逐项列出，保留前3项和最后1项）； 3. 两边同乘等比数列公比，得到，与错位对齐； 4. 两式相减，整理中间的等比数列，代入等比求和公式； 5. 化简得到，规范书写最终结果（分式需化简，符号统一）。 【典例1】已知等差数列的公差为，且关于的不等式的解集为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列前n项和. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用公式法求出的通项公式；（2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得，方程的两个根分别为－1和3， 则，解得. 故数列的通项公式为，. （2）由（1）得，故①， ②， 两式相减得， 整理得，. 【典例2】（25-26高二下·上海·期末）已知数列的首项为1，前项和为，且满足 (1)写出，的值； (2)令，求数列 的前项和； (3)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）使用数列的定义求解； （2）使用错位相减法求解； （3）使用分组求和法计算，再分离参数转化为最值求解. 【详解】（1），， （2）由可得①，②， ②①得，因为，所以，已知，， 所以数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 因为，所以， 则③，两边同时乘以2得 ④，③④得 ， 所以. （3）由（2）知数列的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 数列的偶数项是以2为首项，1为公差的等差数列， 则， 若对于任意，恒成立，则恒成立，令， ， 当时，，即； 当时，，即， 所以，则的最大值为，所以， 即的取值范围是. 【变式1】已知数列各项均为正数，且满足，. (1)求证：数列为等比数列； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知式子化简得出，即可根据等比数列的定义证明； （2）根据小问一证明结果得出，即可得出，即可根据错位相减法得出答案. 【详解】（1）因为，则， 又，所以，即， 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）得，则， ， ， 两式相减得 即. 【变式2】已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)记，是否存在正整数，使得？若存在，求出所有符合条件的正整数；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，或 (2)时，；时， (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由已知条件结合等差等比数列的性质，求出首项和公差公比，可得数列通项； （2）利用错位相减法求和； （3）利用放缩求的取值范围，判断结论是否成立. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，得，则， 由，得，解得，则， 所以或， 综上，数列的通项公式为，数列的通项公式为或. （2）时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此； 时，， 所以， 于是， 两式相减得： ， 因此. （3）时，，所以无意义，固只能， ， 所以，而，所以， 所以对于任意的正整数，有，所以， 因此不存在正整数，使得. 题型四 分式型、根式型裂项求和 解｜题｜技｜巧 裂项公式：，拆分后左右两边消去中间项，剩余首尾项化简求和。 易｜错｜点｜拨 1. 裂项时，漏写系数（如误裂为）； 2. 消项时，误消首尾项，或剩余项化简错误。 【典例1】已知数列满足，则______； 【答案】 【分析】根据累加法可得数列的通项公式，再根据裂项相消求和即可得答案. 【详解】由题意令，得 ， ， 累加可得 ， 则， ， 故. 【典例2】已知数列满足，记的前项和为，则满足的的最小值为______． 【答案】 【详解】因为 ， 所以的前项和， 随的增大而增大，，， 所以满足条件的的最小值为． 【变式1】若数列满足，且对于都有，则_____. 【答案】 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以， 则， 所以 . 【变式2】如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……设第层有个球，则求数列的前2025项和为______ 【答案】 【分析】根据已知条件找出数列的通项公式，再得出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的前2025项和. 【详解】已知“三角垛”最上层有个球，即；第二层有个球，即；第三层有个球，即. 通过观察可得（），那么有： 将以上个式子相加可得： 因为，所以. 根据等差数列求和公式可得（）. 得. 可得： 故答案为：. 题型五 求数列最大项、最小项 答｜题｜模｜板 1. 设数列第项为最大（小）项（）； 2. 列出不等式组（最大项：，；最小项同理）； 3. 代入通项公式，化简不等式组，求解的取值范围； 4. 根据，确定的值，代入通项求最大（小）项； 5. 验证（或最后一项），确保结果无误，规范书写答案。 【典例1】在等差数列中，且，是数列前项的和，若取得最大值，则________ 【答案】 【解析】求出公差，与通项公式，由可得使取得最大值时的值． 【详解】设公差为，则得，解得， ， 由，，即， ∴取得最大值时，． 故答案为：9． 【点睛】本题考查等差数列的前项，考查前项和的最值问题． 是等差数列的前项和，时，求其最大值的两种方法： （1）若，，则最大； （2）可利用二次函数的性质求得最大值 【典例2】已知等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是________ 【答案】4 【分析】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，公差，从而表示出，根据其增减性，求得最小值. 【详解】若等差数列的各项均为正整数，则数列单增，则公差， 故为正整数，关于d单减， ，则当时，故取得最小值为4， 故答案为：4 【变式1】已知数列的通项公式为，则当__________时，数列的前项和最小. 【答案】3 【分析】根据时，，时，求解即可. 【详解】令，得， 所以当时，，当时，， 所以数列的前项和最小当且仅当. 故答案为：3 【变式2】已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【答案】3 【分析】由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 【详解】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，得到，且，求得，进而得到前6项均为正数，从第7项起为负数，数列的最大项为，是数列中的最小项，得到最大的项为，即可求解. 【详解】由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 二、填空题 2．公差不为零的等差数列的前项和为是的等比中项，且，则_______，公差________． 【答案】 【分析】根据等差数列定义，利用等差数列前项和公式和等比中项性质构造方程组可得结果. 【详解】设数列是公差为的等差数列，且， 由，可得，即 又是、的等比中项，可得，即， 化为 由可得， 故答案为：； 三、解答题 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【分析】（1）利用构造法结合等比数列定义可证数列为等比数列，从而求得的通项公式； （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 4．（25-26高二上·上海奉贤·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，若，求正整数的最小值； (3)记，其中且.若是严格增数列，求的取值范围. 【答案】(1) (2)17 (3) 【分析】（1）利用的关系式，进一步可得到通项. （2）写出数列的通项公式，利用裂项相消法求得的前项和，依题解不等式即得正整数的最小值即可. （3）由数列的单调性进行求解. 【详解】（1）∵，∴当时，， 又满足上式，所以. （2）∵， ∴， ∴，解得，∴， 即正整数的最小值为17. （3）因为是严格增数列，所以对任意正整数，有恒成立， 即恒成立， 其中且，所以， 化简得到恒成立， 在，时严格减， 所以，当时，取到最大值为3， 所以. 5．已知等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1，设，的前n项和为． (1)求； (2)求． 【答案】(1)， (2)+2 【分析】（1）根据题意，求得数列、的通项公式再求即可； （2）结合错位相减法求和，即可得到答案. 【详解】（1）等比数列的首项为2，公比为2，等差数列的首项为1，公差为1， 所以数列的通项公式为， 所以数列的通项公式为，故， （2）设数列的前项和为， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在等差数列中，，.记，则数列（） A．有最大项，无最小项 B．无最大项，有最小项 C．有最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】A 【分析】根据题意求出等差数列通项公式，将数列前几项写出来，通过分析判定即可. 【详解】由得公差: 首项，故。 由得， 因此：当时，；当时，， ,，， ，，， 可见在时取到最大正值， 当时，，随着增大单调递增，无最小项. 故选：A 2．设等差数列满足，，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是（　　） A．310 B．212 C．180 D．121 【答案】D 【分析】设数列的公差为，得到，，然后利用数列为等差数列，得到，解得，即可得到，根据数列的增减性即可得到. 【详解】解：∵等差数列满足，，设公差为，则， 其前项和为， ∴，，，， ∵数列也为等差数列， ∴， ∴， 解得． ∴，， ∴， 由于为单调递减数列， ∴， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25高二下·上海·期末）已知数列满足，且，则________. 【答案】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 4．若数列满足，且（其中，），则的通项公式是________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用累加法求出数列的通项. 【详解】在数列中，，当时，， 则 ，满足上式， 所以的通项公式是. 故答案为： 三、解答题 5．（24-25高二下·上海奉贤期末）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累加法结合等差数列的求和公式可得； （2）分和两种情况利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 二、填空题 2．已知数列满足，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用累加法结合等比数列前项和公式求出，再根据数列的单调性求最值即可． 【详解】解：由数列满足， 当时， ，而满足上式， 所以，设，, 当时，当时，， 则最大，则． 三、解答题 3．已知数列，若为等比数列，则称具有性质P. (1)若数列具有性质P，且，，求的值； (2)若，求证：数列具有性质P； (3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围. 【答案】(1) (2)见解析 (3)且 【分析】（1）由题意建立等比数列，根据等比中项的性质，可得答案； （2）由题意结合等比数列的定义，可得答案； （3）根据求和公式求得数列的通项公式，结合等比数列的定义，可得数列的递推公式，利用辅助数法，可得其通项公式，可得答案. 【详解】（1）由题意可知成等比数列. 则 即，，解得. （2）证明：； . ，， 数列是以6为首项，以2为公比的等比数列故数列具有性质. （3）设数列的前项和为，则 当时，； 当时，； 经检验，. 由，解得， 则 由数列具有性质，则为等比数列， ，故数列为以2为首项以2为公比的等比数列， 则，于是， 即,由. 则数列是以为首项，以为公比的等比数列， 故，则. ，化简可得. ①若为偶数，则，即； ②若为奇数，则，即； 综上可得，的取值范围是且. 4．（24-25高二上·上海宝山·期末）已知数列满足（为正整数）． (1)设是公差为2的等差数列．当时，求的值； (2)设．求正整数，使得对一切正整数，均有； (3)设．当时，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】（1）根据公差化简计算得出,再代入求值即可； （2）代入求出，再分类得出数列的单调性即可得出； （3）分和两种情况分别应用累加法及分组求和法求出通项公式. 【详解】（1），是公差为2的等差数列， 所以，所以，又因为， 所以，即， ，即． （2）因为，所以， 所以，当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 所以数列的最小值为，所以，使得对一切正整数，均有； （3）因为，所以， 所以化简得， 当时，， 求和得， 所以； 当时，， 则. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题第3问关键是得到，进而分情况利用累加法及分组求和法进行求解. 5．（25-26高二上·上海·期末）设数列的前项积为，满足. (1)设，求证：数列是等比数列； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由，取，结合可求，结合关系当时，可得，变形为，结合，即可得出，结合等比数列证明结论； （2）由（1）可得，结合关系可得，所以，利用裂项相消法求数列的前项和； 【详解】（1）因为数列的前项之积为，满足， 所以当时，，解得． 当时，，化为， 变形为， 又，所以，又， 所以当，且时，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知， 所以，所以， 所以， 故， 所以 ， 所以数列的前项和为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $