河南百师联盟2026届高三下学期模拟预测数学试题

数学 时间120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A=(-2,一1,1,2)，B=(x|x(x一2)<0}，则A∩(CB)= A.(-2,-1) B.(-2,-1,2} C.(1) D.(-2,-1,1,2) 2.已知平面向量a,b均为单位向量，若(a十2b)⊥a,则|a十b|= A.1 B.2 C.4 D.8 3.若sin 4-a=1 3,则sn2a号 B号 c- 4.已知数列(am}满足对任意的i,j∈N·,都有a,一a1=3(一i).若a4=13,则a2十a,= A.18 B.22 C.24 D.29 5.风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级 2 与轮毂高度风速的关系满足方程：lgn= go十六（其中。为轮毂高度风速，单位：m/s, n为风力等级).我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毅高度瞬时风速达到32m/s, 则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：10.5≈1.12,10.2≈5.25，lg2≈0.3010） A.9级 B.11级 C.13级 D.15级 6.某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）.已知芯 片祓标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为号被标记为合格的芯片中有品实际 为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有。实际为合格芯片，在被AI质检过的芯片中随机 抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为 A号 B号 C.g D 7.已知抛物线T:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,点A在抛物线T上（点A在第一 象限)，直线AP的倾斜角为，过点A作ABL1于点B,直线BF交y轴于点C若 △ACF的外接圆周长为2(2一√2)π，则p= A.1 B.2 C.2-2 D.3-2√2 第1页（共4页）③A 8.在长方体ABCD一A1B1C1D,中，AB=AD=3,AA1=2.现以A为球心，以√13为半径作球O, 则球O的球面与该长方体的表面相交所得到的曲线的长为参考数据：sin 8≈13 A+ B.3③x7x C,3元5x 8 81 2 D.313元+5 2 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 3一，其中m∈R,且0<m≤6，设x在复平面内对应的点为P,则下列说法 m1 9.已知复数之 正确的有 A:的虚部为0 B.点P在第二象限 C.点P在直线y=一3x上 D.z|的最大值为2√3 10我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位： W)受太阳光照强度等因素影响.历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗X服 从正态分布N1(120,36),在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗Y服从正态分布 N2(126,16).则下列结论正确的有 (附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ一σ<Z<μ十σ)≈0.6827，P(μ一 2o<Z<μ+2a)≈0.9545，P(μ-3a<Z<μ+3a)≈0.9973) A.P(X>126)>0.5 B.E(2Y-1)=251 C.D(2Y-1)=64 D.P(X<138)>0.9 11.已知函数f(x)=x2一(2a十1)x十alnx,a∈R,则下列说法正确的有 A.当a=0时，曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为3x一y一4=0 B.对任意a∈R,f(x)在定义域内恒有两个极值点 C若fz)在x=1处取得极值，则f(x)的极大值为-号-h2 D.若f(x)在[1，e2]上的最小值为-2a,则a≤1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为 18.知双曲线C名-1口>0，b>0)的左，石焦点分别为PF,A为双曲线C有支 上一点，连接AF,交y轴于点B.若点B恰为AF,的中点，且|AF2|=|BF1|,则双曲线 C的离心率为 14.已知数列{an)的前n项和为Sn,Sn=nan一n(n一1)，且数列(Sn)的前10项和为550，则 a1= 参考公式：之：2-mn+1)(2m+1) 6 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ADC中，内角A,B,C的对边分别为abc,且4sA2C-4nAs血C=1 2 (1)求B; (2)若cosC=2 ,△ABC的面积为3十3，求c, 16.(15分)某农业科研团队为探究大棚蔬菜的光照时长对产量的影响，选取5组不同的光 照时长方案，在相同种植条件下开展试验，统计对应时长下的蔬菜合格采收量，得到如下 数据： 每日光照时长x/h 14 15 16 17 18 合格采收量y/kg 4 P 16 20 26 (1)求变量y与x的样本相关系数，判断是否适合线性回归模型拟合，如果适合，求y关 于x的经验回归方程； (2)当样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据，现从这5组数据中 任取3组做残差分析，求取到异常拟合数据的组数X的分布列和数学期望， 含(x,-2)(0-) 附：①样本相关系数r 三，当 √含(x,-含g,-)2√2x-na2- |r|∈[0.75,1]时，相关性较强，当|r|∈[0.3,0.75)时，相关性一般； ②经验回归方程y=x十ā中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为= 2(x,-)(,-)名x,-n -,a=y-bx; 含x,-2)2 含x-na ®2x1,=1240,2y7-52=316.8V2≈4.7. 第3页（共4页）③A 17.(15分)如图，在多面体ABCDEF中，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC,AB⊥ AD,BC=AE=2,AB=AD=CF=1,AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD. (1)求证：平面BDF⊥平面CDF; (2)求平面BDE和平面BDF夹角的余弦值， 8.(17分)已知椭圆C:+=1(Q>6>0)的左右焦点分别为F,(-1,0),F,(1,0),过 点F,的直线11与椭圆C相交于A,B两点，|AB|的最大值与最小值之和为7. (1)求椭圆C的标准方程， (2)设过点F1且与直线l1垂直的直线l2交椭圆C于D,E两点，点M,N分别是弦AB, DE的中点. ①若直线l1和直线l2均不与x轴重合，求证：直线MN过定点； ②在①的条件下，当两直线11和l2的斜率为何值时，△MNF,的面积取得最大值？ 19.(17分)已知函数f(x)=mx+xlnx+1,m∈R. (1)判断函数f(x)的单调性. (2)若方程f(x)=e2有两个根x1,x2(x1<x2). ①求实数m的取值范围； ②证明：z1十1nx,<m-吗 2 第4页（共4页）数学参考答案及评分意见 1.B【解析】B={x|x(x-2)<0}={x0<x<2},∴.CB=(-o∞，0]U[2,+o∞)，∴.A∩(CRB)={-2,-1, 2}.故选B. 2.A【解析】因为(a十2b)La,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=0.因为a是单位向量，所以a·b=-2, 1 所以a+b|=√/(a十b)=√a2+b2+2a·b=1.故选A. 3A【解折1kin2a=ca[-20-or(任j】-1-2im(任-a-1-2x(日付)”-故选A 4.D【解析】当i=2,j=4时，a4-a2=3×(4-2)=6.因为a4=13,所以13-a2=6,解得a2=7.当i=4,j=7时， a7-a4=3×(7-4)=9.因为a4=13,所以a7-13=9,解得a7=22.所以a2十a,=29.故选D. 5B【解析将。=32代入方程1区n=号v+易得1收0=号1k32+ 1 ≈1.05，所以n=10.05=10X10.o5≈ 11.2,即风力等级约为11级.故选B. 6.D【解析】设事件A表示“芯片为合格芯片”，事件A表示“芯片为瑕疵芯片”，事件B表示“芯片被标记为合格 品”，事件B表示“芯片被标记为瑕疵品”，则P(B)=3 P(B)-号PaB)=P(aB)-0所以PaB) 1-PCA)-所以P)=PAP)+PCaP)dX+0X号-放法n 7B【解析]如图，因为直线AF的领斜角为AB1,所以AB=AP,∠BAF=∠AP= 设准线1与x轴交于点E,则坐标原点O是线段EF的中点.因为BE∥OC,所以点C是线段BF的中点，所以 AC⊥BF,所以△ACF是直角三角形，AF为斜边，所以AF是Rt△ACF的外接圆的直径.由题意得AFπ= 2(2-√2)π，解得|AF|=2(2-√2).过点A作AD⊥x轴于点D,则|ED|=|AB|=AF. 在R△ADF作，∠AD-牙，所以IFD1=AF子-A5 所以D=EF1=ED+DF1=AF1+21AP1=2+21AF1=2士2X22-2)=2,即D=2,故选B, 2 2 2 8.A【解析】由题意，长方体ABCD-A1BC1D1的体对角线长为√3+3+2=√22>√13，所以球O与以C1为 顶点的三个面均有交线因为AB=3,所以在面BCCB,内的交线是以点B为圆心，2为半径，圆心角为)的弧， 弧长为×2=元同理，在面DCCD内的交线长为x,在面A,B,CD,内的交线是以点A,为圆心，3为半径，圆 心角为的弧派长为号×3-经因为AB,=AD,=3+?=下，所以球0与面ABB,A和面ADD,A无 交线.在面ABCD中，设以点A为圆心，√I3为半径的圆分别交CD,BC于M,N两点，则∠BAN=∠DAM, 数学第1页（共7页）③A 且cos∠BAN= 所以∠MAN=s(g-2/BAN=s2∠aAN=2a∠BAN-1=2X(高)广- 13 1-品断以/1V-晋房以/M1v所对的孤长为何综上，曲线的长为+中十要-图+子 故选A. 9.BC【解析】因为x= 后吉”=瓷所以：的壁落为铝放气错民 点P的坐标为 13m 10'10 因为0<m≤6所以一%<0,0>0，所以点P在第二象限，放B正确 3m 3m 因为10 =一3× 【0)所以点P在直线y=一3x上，放C正确 因为0<m≤6，所以|之|= m 10m,所以当m=6时.：的值最大，为3故D错误，故 √10 10 10 选BC. 10.BCD【解析】因为X~N,120,36),即A1=1200,=6,所以P(X>126)=P(X>41十1)1-0,6827≈ 2 0.16<0.5,故A错误.因为Y~N2(126,16),即u2=126,62=4,6=16,所以E(2Y-1)=2E(Y)-1=22- 1=251.D(2Y-1)=4D(Y)=4=64,故B.C正确.P(X<188)=P(X<41+301)0.5+0.9973≈ 2 0.99865>0.9,故D正确.故选BCD. 11.ACD【解析】当a=0时，f(x)=x2-x,x>0,则f(2)=2,f'(x)=2x-1,所以f'(2)=3,所以曲线y= f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y-2=3(x-2),即3x-y-4=0,故A正确.因为f(x)=x2-(2a十 Dz+alnt,>0,所以F'()=2x(2a+D+“=2x-1)x-a当a=)或a<0时，f'(x)=0在0 x 十∞)上仅有一根，此时函数f(x)不可能有两个极值点，故B错误.若f(x)在x=1处取得极值，则f'(1)=1一 4=0,解得a=1.则/)-2x-)-少，解f)>0,得0<1<号或>1.解f()<0得<<1，所 以函数x在0，)，1，十©)上均单闲递蜡，在（号上单调遍波，所以当x=2时，f)取到极大值，为 1) f但)--9+1n--n2放C正确当a≤1时，f≥0在[1e]上恒成立当且仪当a=1x-1 时，等号成立，所以函数f(x)在[1，e]上单调递增，所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(1)=-2a,符合题意 当1<a<e时，当x∈(1，a)时，f'(x)<0,所以函数f(x)在[1，a]上单调递减；当x∈(a,e2)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在[a,e]上单调递增.所以f(x)在[1，e]上的最小值为f(a)<f(1)=一2a,不符合题意.当 a≥e2时，f'(x)≤0在[1，e2]上恒成立，当且仅当a=e,x=e2时，等号成立，所以函数f(x)在[1，e]上单调递 减，所以f(x)在[1，e2]上的最小值为f(e2)<f(1)=-2a,不符合题意.综上，a≤1，故D正确.故选ACD. 号 【解析】由题意，得正四棱台的上底面面积S′=4=16，下底面面积S=62=36,高h=2,所以正四棱台的 体积V-号×2×16+V15X35+36)-1日2 13√3【解析】不妨设点A在第一象限，如图.因为点B为AF1的中点，AF2|=BF1,所以|AF:|=2AF2,所 以AF1|-|AF2|=|AF2|=2a.因为点B为AF,的中点，坐标原点O为FF2的中点，BO⊥FF2,所以 AF,LF,F,所以点A的坐标为，2a),因为点A在双自线C上，所以若=1，解得y-交所以经2a所 数学第2页（共7页）③A 以b2=2a2,所以c2=a2+b2=3a2,所以双曲线C的离心率e=C=3. 14.4【解析】因为Sn=nam-n(n-1),所以当n≥2时，Sm-1=(n-1)am-1-(n-1)(n-2), 则am=Sn-Sm-1=nam-n(n-1)-[(n-1)am-1-(n-1)(n-2)], 化简得(n一1)an一(n一1)am-1=2(n一1)，即am一am-1=2,所以数列{am}是公差d=2的等差数列， 所以S.=a1十n(m-1)=7a4十n2-n,所以空S.=之(a1+m2-m)=55a1+10X11X21-55=5a1十330. 1 0=1 6 由题意，得55a1十330=550，解得a1=4. 15.(1)4cosAC-4sin Asin C-2+2co(A-C)-4sin Asin C 2 =2+2(cos Acos C+sin Asin C)-4sin Asin C =2+2(cos Acos C-sin Asin C)=2+2cos(A十C).…3s分 因为A十B十C=π，所以cos(A十C)=-cosB, 所以2+2cos(A+C)=2-2cosB=1,解得cosB=2 1 …6分 因为0<B<π，所以B=T 3…c…7分 (2)由(1)得B= 3 因为cosC=2 0<C<n,所以C-子所以A-=云专-至- 4 …9分 由正弦定理，得b=esinB_csin3 =6 sin C 2c. ……10分 sin 4 …11分 4 1 所以△ABC的面积S= 2bcsin A= cxcx/6+/2_3t -2 12分 4 8 由题意，得33.2=3十3，解得c=22.产 ……………13分 16解：0由已知，得-号×14+15+16+17+18)-16. y=5×(4+8+16+20+26)=14.8. 1 所以2(x:-)2=(14-16)2+(15-16)2+(16-16)2十(17-16)2+(18-16)2=10，…3分 =】 数学第3页（共7页）③A Sxiy:-5xy 所以r 1240-5×16X14.8≈0.993.… …5分 √10×√316.8 因为r≈0.993∈[0.75,1]，说明y与x的线性相关性很强，所以适合线性回归模型拟合.…6分 因56手 1240-5×16×14.8=5.6, (x:-x) 10 =1 a=y-bx=14.8-5.6×16=-74.8, 所以y关于x的经验回归方程为y=5.6x一74.8.…8分 (2)由(1)知，y=5.6x-74.8. 因为样本数据的残差绝对值大于1时，称该组数据为异常拟合数据， 所以5组数据的残差绝对值及数据状态如下表所示.…10分 每日光照时长xh 14 15 16 17 18 合格采收量ykg 8 16 20 26 预测值y 3.6 9.2 14.8 20.4 26 残差的绝对值 0.4 1.2 1.2 0.4 0 是否为异常拟合数据 否 是 是 否 否 由表可知，异常拟合数据有2组，非异常拟合数据有3组， 所以从这5组数据中任取3组，异常拟合数据的组数X的所有可能取值为0,1,2.…11分 因为pX=0C0PXD5CC-9 C=5,P(X=2)= CC 3 C101 所以X的分布列为 X 0 1 2 1 3 3 …14分 P 10 5 10 所以X的数学期望E(X)=0 X1x号2 1 36 105 …………………………15分 17.(1)证明：如图，取BC的中点M,连接DM. D M 因为AD∥BC,AB⊥AD,BC=2,AB=AD=1, 所以BD=√2，BM=CM=1,所以四边形ABMD是正方形，所以DM⊥BC,DM=AB=1.…2分 在Rt△DMC中，CD2=DM2+CM2=2, 则在△BCD中，BC2=BD2十CD2,所以BD⊥CD.…3分 因为CF⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以CF⊥BD.…4分 因为CF∩CD=C,CF,CDC平面CDF,所以BD⊥平面CDF.…5分 因为BDC平面BDF,所以平面BDF⊥平面CDF…6分 (2)解：因为AE⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以AE⊥AB,AE⊥AD. 数学第4页（共7页）③A 又因为AB⊥AD,所以AB,AD,AE两两垂直.…………7分 以点A为坐标原点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,2),F(1,2,1), 所以BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),BF=(0,2,1).…10分 m·BD=0, x十y=0, 设平面BDE的法向量为m=(x,y,z),则 即 m·BE=0, -x+2=0. 令x=2,则y=2,之=1，所以m=(2,2,1).…12分 n·BD=0, 设平面BDF的法向量为n=(a,b,c),则 即厂a+b=0, n·BF=0,2b+c=0. 令a=1,则b=1,0=-2,所以n=(1,1,-2).…14分 m·n_2×1+2×1+1×(-2)_√6 因为cosm,n)=mn 3×6 9 所以平面BDE和平面BDF夹角的余弦值为 9 ………………………………………………15分 18.(1)解：由题意，当AB为椭圆C的通径时，AB的值最小； 当AB为椭圆C的长轴时，|AB的值最大，为2a.…1分 把x=代入椭圆C的方程，得（十1，结合a2=b+c,解得y=土 a 2b2 所以AB的最小值为 …………………………2分 a 2b2 +2a=7, 由题意，得{a a2=b2+1. a=4, 解得 C的标准方程为十字……………… 1b2=3. (2)①证明：由题意，设直线AB的方程为x=my一1(m≠0)，则直线DE的方程为x=一 ny-1.…6分 设A(x1y1),B(x2y2). x=my-1, 由x2y2,消去x,整理得(3m2+4)y2-6my一9=0. (4+3=1, 6m △=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,则y1+y:=3m+4 由题意，得yM=十y:=3m 23m2+4” 数学第5页（共7页）③A 4 4 所以xw=myw一1=一3m十4则M 3m 3m2+4'3m2+4 …8分 将点M坐标中的m用-1代换，得弦DE的中点N 4m2 3 …9分 17n 4m2+3’4m2+3 4 4m2 4 4 4 解一3m+44m+3得m=1,所以一3m+4 7,所以直线MN的方程为x=一7…10分 3m 3m 当m≠1时，直线MN的斜率kM= 3n2+44m2+3 7m 4 4n2 =4(m2-1)' 3m2+44m2+3 3m 7m 4 所以直线MN的方程为y一3m+44(m-1x+3m+4 ,整理得y= ”+) 7m 所以直线MN过点(0 …12分 综上，直缓MN过定点R(-号 …13分 ②解：由题意，得△MNFz的面积S= 2F,R1·yw-yx=2×1+7 3m +3m 3m2+44m2+3 33 m3+ml m+- 33 212m4+25m2+122 …14分 12m2+1） +25 n2 设m+1 =t,则≥2，S=3. t 33 212t2+12 ……15分 12t+ t 由对勾函数的性质，得函数y=12:+在[2，十∞)上单调递增。 所以当(=2，即m=士1时.S取得最大值，为治即△MNF:面积的经大值为 此时，两直线l1和l2的斜率分别为士1.…………17分 19.(1)解：因为f(x)=mx十xlnx+1,x>0,所以f'(x)=m十lnx十1.…1分 因为函数y=f'(x)在(0，十o)上单调递增，解f'(x)=0得x=em-1 所以当0<x<em-1时，f'(x)<0,当x>em-1时，f'(x)>0.…3分 所以函数f(x)在(0，em-1)上单调递减，在(em1,十o∞)上单调递增.…4分 (2)①解：方程f(x)=e,即mx+xlnx十1=e,x>0, 则m=e-lnx 1 …5分 设g)--1ax一>0，则方程fx)=e有两个根1即西数gr)的图象与直线y=m有两个不 同的交点。……6分 因为g'(x)=x-1e-1+1-x-1D(e-1 ,x>0, x2 x2 当>0时，0， 所以当0<x<1时，g'(x)<0,当x>1时，g'(x)>0. 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 数学第6页（共7页）③A 所以当x=1时，函数g(x)取得极小值，也是最小值.…8分 因为g(1)=e-1,当x→>0时，g(x)→十∞，当x→十∞时，g(x)→+∞， 所以m>e一1，即实数m的取值范围是(e一1，十o∞).…10分 ②证明：由①可知，m= 1 --In x1- 则证不等式lh:<m一号即十h, 2 -lh,-12 x12 转化为证ln(x1x2)<e x12· …12分 x-2x>0,则h'(x)=x-1)(e-x-1) 令)=g-x-1-2 令m(x)=e-x-1,则m'(x)=e-1. 因为m'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 所以m(x)在(0，十∞)上单调递增，所以m(x)>m(0)=0, 所以当x>0时，e-x-1>0. 所以当0<x<1时，h'(x)<0,当x>1时，h'(x)>0. 所以函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增. 所以A）≥h(目)=6-2-号>0.14分 由①知g(x)=e-1nx-1 x>0. 令n(x)=g(x) g}≥1.则au)-红-1c+》 x 令p(x)=e-xe十x-1,则p'(x)=e-e+1e+1. 因为≥1.所以p')=e-e+c+1≥c-e++1=+10, 所以p(x)在[1，十∞)上单调递增，所以p(x)≥p(1)=0, 所以当x>1时，n'(x)>0. 所以n(x)单调递增，所以n(x)≥n(1)=0. 所以当>1时u户() 由D及题意可知.0<1<，所以g)=,≥会) 因为0<<1且g(x)在(01D上单调递减，所以x1< 1 所以0<x1x2<1,所以ln(x1x2)<0. 16分 所以ln(xx)<0<e 12 所以x+lnxg<m一 ………17分 数学第7页（共7页）③A