专题05 图形的旋转与中心对称【期末复习重难点专题培优十四大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 该专项以“8重点+6难点+真题演练”构建旋转与中心对称训练体系，通过精讲精练实现从性质应用到综合拓展的递进，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|8题型（含精讲精练）|旋转性质应用、坐标变换公式、中心对称作图|从旋转基本性质到坐标计算，形成概念→原理→应用链条| |能力提升拓展拔尖|6综合题型|综合问题转化策略、规律探究方法|从单一问题到多知识点融合，提升推理能力| |优选真题实战演练|2层次真题|真题解题模型、易错点分析|对接中考命题趋势，强化应用意识|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 图形的旋转与中心对称『期末复习重难点专题培优』 【8个重点题型+6个难点题型+期末真题实战演练 共62题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 根据旋转的性质求解 1 题型二 根据旋转的性质说明线段或角相等 3 题型三 旋转中的规律性问题 4 题型四 求绕原点旋转90度的点的坐标 5 题型五 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 7 题型六 画已知图形关于某点对称的图形 8 题型七 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 10 题型八 已知两点关于原点对称求参数 10 能力提升 拓展拔尖 11 题型一 坐标与旋转规律问题 11 题型二 线段问题（旋转综合题） 12 题型三 面积问题（旋转综合题） 14 题型四 角度问题（旋转综合题） 15 题型五 其他问题（旋转综合题） 16 题型六 中心对称图形规律问题 19 优选真题 实战演练 20 【基础夯实 能力提升】 20 【拓展拔尖 冲刺满分】 23 题型一 根据旋转的性质求解 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 【精练1】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的值是_____． 【精练2】如图所示，已知在和中，，，． (1)试说明：； (2)若图形经过平移和旋转后得到图，且有，，试求的度数； (3)将图形继续旋转后得到图，此时三点在同一条直线上，若，连接，已知的面积为，你能求出四边形的面积吗？若能，请求出来；若不能，请你说明理由． 题型二 根据旋转的性质说明线段或角相等 【精讲】在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．    (1)求点A的坐标； (2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标． 【精练1】如图，在矩形中，E是边上一点，连结，将绕点A逆时针旋转，点E，D重合，点B的对应点落在线段AE上，若，则的长为___________． 【精练2】如图1，已知直线l垂直线段AB于点B，点P是直线l上异于点B的一个动点，线段AP绕点P顺时针旋转得到线段CP，线段BP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连结AC，BD，CD，CD与直线l交于点E，． （1）如图2，过点C作直线l的垂线，垂足为F． ①求证：． ②求PE的长． （2）在点P的运动过程中，点P，E，B三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应CD的长．若不存在，说明相应理由． 题型三 旋转中的规律性问题 【精讲】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【精练1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【精练2】（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则与2024对应的点是______． 题型四 求绕原点旋转90度的点的坐标 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，则的坐标为________． 【精练1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A坐标，点B坐标，点C坐标 (1)把向上平移5个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)把绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出的坐标； (3)直接写出（2）中点到的运动路线长． 【精练2】（25-26八年级下·河南·期中）如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的： (2)在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为________． 题型五 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【精讲】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 【精练1】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． (1)在图中画出； (2)为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (3)队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 【精练2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）在2026年春晚舞台上，《武BOT》中呈现的人形机器人与武术演员同台表演形式．该表演将传统武术与智能科技结合，展示空翻、耍棍、醉拳及六合拳对练等高难度动作．在舞台台面上建立一个平面直角坐标系．如图，三个机器人、、构成，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． (1)在图中画出； (2)为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (3)队形继续变换，绕点顺时针旋转得到，则此时的坐标________． 题型六 画已知图形关于某点对称的图形 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【精练1】如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小，直接写出点的坐标． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向下平移个单位后的． (2)画出关于点的中心对称图形． (3)画出与的对称中心（黑点标记）． 题型七 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【精讲】如图，与关于点成中心对称，，则的长是______． 【精练1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【精练2】如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 题型八 已知两点关于原点对称求参数 【精讲】（23-24九年级上·四川南充·月考）已知点与点关于原点对称，则________． 【精练1】在平面直角坐标系中，直线(m为常数)与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【精练2】（25-26八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 题型一 坐标与旋转规律问题 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【精练2】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，平面直角坐标系中，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为__________． 题型二 线段问题（旋转综合题） 【精讲】如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    【精练1】在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【精练2】我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”． 特例感知： (1)在图2中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．如图2，当为等边三角形时，且时，的长为 　 　； 猜想论证： (2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑倍长或倍长，……） 拓展应用： (3)如图3，在四边形， ，，，以为边在四边形内部作等边，连接，，若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形中边的长． 题型三 面积问题（旋转综合题） 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是______． 【精练1】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 【精练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在网格中有一个四边形图案． (1)请你分别画出绕点顺时针旋转得到的、关于点成中心对称的以及绕点逆时针旋转得到的，并将它们涂黑； (2)若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点的对应点依次为，，，求四边形的面积； (3)这个美丽的图案能够说明一个著名的结论的正确性，请写出这个结论． 题型四 角度问题（旋转综合题） 【精讲】将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 【精练1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 【精练2】（25-26八年级上·山东威海·期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 题型五 其他问题（旋转综合题） 【精讲】综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【精练1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）在中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)如图，当时，连接、，并延长交于点，则___________； (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【精练2】（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 题型六 中心对称图形规律问题 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【精练1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【精练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 3．如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 4．（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转°到的位置，点E恰好落在边上，则的值___________． 5．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么_______． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，，，点M、N在边上，，，，则____________________ ． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)以点O为对称中心，请画出与成中心对称的；点的坐标为________． (2)以点O为旋转中心，请画出将按逆时针方向旋转后的． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）． (1)在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中画，使面积为5； (3)在图3中画，使其中一条对角线长等于3，并求出另一条对角线长． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 4．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，两块完全一样的含角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，，则此时两直角顶点、间的距离是___________． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在四边形中，．点P在边上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段．当时，的长为_______． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，将按顺时针方向绕点旋转得到（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出______和_____． (2)若，求的度数． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求画出格点图形（顶点在格点上）． (1)在图1中画出关于点成中心对称的； (2)在图2中画一个平行四边形，且有一个内角为． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题05 图形的旋转与中心对称『期末复习重难点专题培优』 【8个重点题型+6个难点题型+期末真题实战演练 共62题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 根据旋转的性质求解 1 题型二 根据旋转的性质说明线段或角相等 6 题型三 旋转中的规律性问题 12 题型四 求绕原点旋转90度的点的坐标 14 题型五 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 17 题型六 画已知图形关于某点对称的图形 21 题型七 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 26 题型八 已知两点关于原点对称求参数 27 能力提升 拓展拔尖 29 题型一 坐标与旋转规律问题 29 题型二 线段问题（旋转综合题） 32 题型三 面积问题（旋转综合题） 38 题型四 角度问题（旋转综合题） 42 题型五 其他问题（旋转综合题） 49 题型六 中心对称图形规律问题 59 优选真题 实战演练 62 【基础夯实 能力提升】 62 【拓展拔尖 冲刺满分】 71 题型一 根据旋转的性质求解 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)的面积最大值为 【思路引导】（1）根据题干的配方法求解即可． （2）根据题干的配方法求解即可． （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．由等腰三角形的性质进一步得出，设，则，由旋转的性质进一步得出，由全等三角形的性质得出，由三角形面积配方求解即可． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值是1． （2）解： ∵最小值为， ∴， 解得， ∴常数的值为或； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． 是等腰三角形，， ， 在中，， 设，则， ∵线段绕点P顺时针旋转得到， ， ， 又， 又 ， ， ， ∴当时，的面积有最大值为． 【精练1】如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的值是_____． 【答案】 【思路引导】先由勾股定理求出的长度，再根据旋转性质得到、、，证明是等边三角形；由、，证明垂直平分，最后在直角三角形中利用勾股定理计算的长度． 【规范解答】解：连接，令交于点， ∵在中，，， ∴． ∵绕点顺时针旋转得到，， ∴，，． ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴点、点都在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 在中， ． 在中， ． ∴． 【精练2】如图所示，已知在和中，，，． (1)试说明：； (2)若图形经过平移和旋转后得到图，且有，，试求的度数； (3)将图形继续旋转后得到图，此时三点在同一条直线上，若，连接，已知的面积为，你能求出四边形的面积吗？若能，请求出来；若不能，请你说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)能求出四边形的面积，面积为 【思路引导】（）由得，进而由“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （）由全等三角形的性质可得，进而由中点性质可得，再由即可求解． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：能求出四边形的面积，面积为，理由如下： ∵， ∴， ∵，即为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型二 根据旋转的性质说明线段或角相等 【精讲】在平面直角坐标系中，直线（k是常数，且）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．    (1)求点A的坐标； (2)将线段绕点A顺时针旋转到，作直线交x轴于点C，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，如果动点P在x轴上运动，当的面积是面积的一半时，求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【思路引导】（1）将点B的坐标代入解析式，解得，得到，当时，，即可得到点A的坐标； （2）过点D作轴于点E，证明，得到，则，得到，用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）由勾股定理得到，得到，求出和点C的坐标是，设点P的坐标为，得到，根据的面积是面积的一半得到，解得，或，即可得到点P的坐标． 【规范解答】（1）解：将点B的坐标代入解析式， 得， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴点A的坐标为； （2）过点D作轴于点E，，    由旋转可知，， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）在中，， ∵， ∴， ∴， 对于， 当时，， ∴， 则点C的坐标是， 设点P的坐标为，则， 则， ∵的面积是面积的一半， ∴， ∴，或， ∴点P的坐标为或． 【考点剖析】此题考查了一次函数与几何综合题，用到了待定系数法求一次函数解析式、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、一次函数与坐标轴的交点的等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 【精练1】如图，在矩形中，E是边上一点，连结，将绕点A逆时针旋转，点E，D重合，点B的对应点落在线段AE上，若，则的长为___________． 【答案】 【思路引导】由旋转可知，得到是等腰直角三角形，，问题可求． 【规范解答】在矩形中， ， 由旋转可知：， 是等腰直角三角形， ， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，由旋转得对应边等对应角等是解题的关键． 【精练2】如图1，已知直线l垂直线段AB于点B，点P是直线l上异于点B的一个动点，线段AP绕点P顺时针旋转得到线段CP，线段BP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连结AC，BD，CD，CD与直线l交于点E，． （1）如图2，过点C作直线l的垂线，垂足为F． ①求证：． ②求PE的长． （2）在点P的运动过程中，点P，E，B三点中，是否存在其中一点恰是另外两点为端点的线段的中点，若存在，求出相应CD的长．若不存在，说明相应理由． 【答案】（1）①证明见解析；②2；（2）存在，的长度为：或 【思路引导】（1）①由旋转的性质可得：再证明从而可得结论；②由可得 再证明 从而可得 （2）分两种情况讨论，如图，当为的中点时，结合（1）可得： 结合 再利用勾股定理可得答案；当为的中点时，如图，同理可得：可得两点重合，同理可得：再利用勾股定理可得答案. 【规范解答】解：（1）①由旋转的性质可得： ② （2）存在，理由如下： 如图，当为的中点时，结合（1）可得： 当为的中点时，如图， 同理可得： 同理可得： 两点重合， 综上：的长度为：或 【考点剖析】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握“旋转前后的对应边相等，对应角相等”是解题的关键. 题型三 旋转中的规律性问题 【精讲】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且…依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【思路引导】根据题意得出点坐标变化规律． 【规范解答】解：∵是等腰直角三角形，, ∴, ∴, 将绕原点O逆时针旋转得到等腰直角三角形，且, ∴, , 依此规律， ∴每4次循环一周，... 总结规律得：横纵坐标的绝对值是， ∵， ∴与在同一象限，即第三象限， ∴点． 【精练1】（25-26七年级上·江苏镇江·期末）正方体骰子的初始位置如图①所示，将骰子进行如下操作：如图②，将骰子先向右翻滚，再按逆时针方向旋转，这个操作过程视为完成一次变换．按上述规则连续完成次变换后，骰子朝上面的点数是（   ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查图形规律，理解题意是解决本题的关键． 按题意画出图，找到规律判断即可． 【规范解答】解：根据题意画图如下： 根据上图可知：第一次变换后，朝上的点数为5， 第二次变换后，朝上的点数为6， 第三次变换后，朝上的点数为3， 由此可知，连续3次变换是一个循环． ∴， ∴按上述规则连续完成2026次变换后，骰子朝上面的点数是5， 故选：C． 【精练2】（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）正方形在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续无滑动翻转，则与2024对应的点是______． 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组是解题的关键． 由图可知正方形边长为1，当正方形在转动一周的过程中，点落在，点落在，点落在0，点落在1，可知其四次一循环，由此可确定出2024所对应的点． 【规范解答】解：第1次翻转，点落在， 第2次翻转，点落在0， 第3次翻转，点落在1， 第4次翻转，点落在， 第5次翻转，点落在3， ...... 每4次翻转为一个循环组， ， 与2024对应的点是点． 故答案为：C． 题型四 求绕原点旋转90度的点的坐标 【精讲】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点O成中心对称，画出； (2)将绕点O顺时针旋转得到，画出，则的坐标为________． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【思路引导】（1）根据关于原点对称的点的坐标标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用网格和旋转的性质确定对应点的位置，再将对应点顺次连接即可；根据绕原点顺时针旋转的坐标变换规律：点旋转后为即可解答； 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， 绕原点顺时针旋转的坐标变换规律：点旋转后为， ∴点的对应顶点． 【精练1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A坐标，点B坐标，点C坐标 (1)把向上平移5个单位长度得到，画出，并写出的坐标； (2)把绕点O逆时针旋转得到，画出，并写出的坐标； (3)直接写出（2）中点到的运动路线长． 【答案】(1) ，见详解 (2) ，见详解 (3) 【思路引导】（1）向上平移5个单位，横坐标不变，纵坐标加5，据此画出 并写出 坐标； （2）绕原点 逆时针旋转 ，画出 并得出坐标即可； （3）点 到 的运动路线是以 为圆心、 为半径的圆弧，圆心角为 ，利用弧长公式 计算． 【规范解答】（1）解：如图， ，向上平移5个单位， ，即 ， 同理：，； （2）解：如图，绕原点 逆时针旋转 ， 旋转后； （3）解：点 ​ 到 的运动路线是以 为圆心、为半径的圆弧，圆心角为 ， ， 弧长 ， 点 到 的运动路线长为 ． 【精练2】（25-26八年级下·河南·期中）如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图： 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的： (2)在嘉嘉设计的图案中，若点为边上的任意一点，则该点在上对应点的坐标为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图方法即可解答． 【规范解答】（1）解：如图，，即为所求： （2）解：点以点为对称中心的对应点坐标为， 点以点为旋转中心，顺时针方向旋转的对应点坐标为， 则点在上对应点的坐标为． 题型五 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【精讲】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) ， (3)等腰直角三角形， 【思路引导】（1）根据旋转的性质画出图形，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标； （3）根据勾股定理及其逆定理证明等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据坐标系可得： ， （3）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·河南平顶山·期中）在春晚舞台上，来自杭州宇树科技的人形机器人，与真人舞蹈演员一同上演了“AI机器舞蹈”．这场大型全AI驱动的全自动集群人形机器人表演，背后是科技与传统文化的碰撞融合．它们的队形设计充满数学奥秘，表演中，舞台可近似为一个平面直角坐标系，如图，三个机器人、、构成，其初始位置坐标分别为，，，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． (1)在图中画出； (2)为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (3)队形继续进行变换，绕点顺时针旋转得到，请写出此时的坐标为________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，绕点顺时针旋转得到， 的坐标为． 【精练2】（25-26八年级下·福建漳州·期中）在2026年春晚舞台上，《武BOT》中呈现的人形机器人与武术演员同台表演形式．该表演将传统武术与智能科技结合，展示空翻、耍棍、醉拳及六合拳对练等高难度动作．在舞台台面上建立一个平面直角坐标系．如图，三个机器人、、构成，另外三个机器人、、的初始位置构成的与关于点成中心对称． (1)在图中画出； (2)为了完成队形变换，机器人、、同时向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，请画出； (3)队形继续变换，绕点顺时针旋转得到，则此时的坐标________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：画出如图所示， 的坐标为． 题型六 画已知图形关于某点对称的图形 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为． (1)画出关于原点O成中心对称的； (2)是关于某点中心对称得到的图形，则该对称点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）关于原点对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）成中心对称的两个图形的对应点的连线交于一点，据此连接，二者的交点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，该对称点的坐标是． 【精练1】如图，三个顶点坐标分别为． (1)请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； (2)在轴上找一点，使得的值最小，直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)画图见解析， 【思路引导】本题考查作图-旋转变换，轴对称的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型． （1）根据中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，点P即为所求． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， ，，． （2）解：作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，如图，则， P点坐标为． 【精练2】（24-25八年级下·江苏无锡·阶段检测）作图：在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向下平移个单位后的． (2)画出关于点的中心对称图形． (3)画出与的对称中心（黑点标记）． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【思路引导】本题考查作图—平移作图、画中心对称图形， （1）根据平移的性质确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （2）根据中心对称图形的定义确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （3）连接、，交于点即可； 掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作； （2）如图，即为所作； （3）如图，点即为所作． 题型七 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【精讲】如图，与关于点成中心对称，，则的长是______． 【答案】5 【思路引导】本题考查中心对称，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，利用与关于点C成中心对称，得出，，，再利用勾股定理求解． 【规范解答】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴在中，， 故答案为：5． 【精练1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，与关于点C成中心对称，，，，则的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，根据中心对称的性质，得出，求出，，，求出，根据勾股定理得出答案即可． 【规范解答】解：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【精练2】如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【思路引导】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【规范解答】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 题型八 已知两点关于原点对称求参数 【精讲】（23-24九年级上·四川南充·月考）已知点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【思路引导】本题考查了关于原点对称的点的坐标，求代数式的值，根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数得出，，代入计算即可得解． 【规范解答】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 【精练1】在平面直角坐标系中，直线(m为常数)与轴交于点，将该直线沿轴向下平移4个单位长度后，与轴交于点．若点与关于原点对称，则的值为（   ） A．2 B． C．4 D．-4 【答案】A 【思路引导】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征： 先求出，，根据点与关于原点对称，建立方程求解即可． 【规范解答】解：令， ∴， ∵将该直线沿轴向下平移4个单位长度后， ∴平移后解析式为：， 同理可求， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得：, 故选：A． 【精练2】（25-26八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 题型一 坐标与旋转规律问题 【精讲】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，风力发电机的三个相同叶片两两夹角为，以旋转轴为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系，恰好其中一个叶片尖点对应的坐标为，若叶片每秒绕点逆时针旋转，则第2026秒时叶片尖点的坐标为_______． 【答案】 【思路引导】根据旋转速度求出旋转一周所需的时间，利用带余除法确定第2026秒时叶片转过的圈数和剩余角度，结合初始坐标及旋转性质确定最终坐标． 【规范解答】解：由题意可知，叶片旋转一周所需时间为（秒） ， 第2026秒时叶片尖点的位置与第2秒时的位置相同， 此时叶片转过的角度为 初始点的坐标为， 点在第一象限角平分线上 逆时针旋转后，点在第二象限角平分线上，且到原点的距离不变 第2026秒时叶片尖点的坐标为 ． 【精练1】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】过点作轴，过第二个点作轴，找到规律即可得到答案． 【规范解答】解：过点作轴，过第二个点作轴， 则， ， ， ， ， ， ， 同理， 纵坐标每次旋转为一个周期，故，与第四次旋转后的纵坐标一致， 横坐标， 故正方形铁片连续旋转100次后，点P的坐标为． 【精练2】（25-26八年级下·北京东城·期中）如图，平面直角坐标系中，是等腰直角三角形且，把绕点顺时针旋转得到，把绕点顺时针旋转得到，以此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为__________． 【答案】 【思路引导】依次求出等腰直角三角形的顶点的坐标，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作轴交于点， 由题意知，， ∴， ， ∴； 同理可得，，，， 以此类推，点的横坐标为， 当为奇数时，点的纵坐标为； 当为偶数时，点的纵坐标为； 当时，， ∴． 题型二 线段问题（旋转综合题） 【精讲】如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______．    【答案】/ 【思路引导】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【规范解答】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示，    作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 【精练1】在中，，，根据题意完成下列问题： (1)如图①，点为内的点，连接，，，将绕着点按逆时针方向旋转后得．连接，，若，，，求证：． (2)如图②，若点是中斜边上的点（点不与点、重合），试求、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【思路引导】（1）根据勾股定理的逆定理得到，根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到； （2）根据旋转的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据勾股定理得到结论． 【规范解答】（1）证明：∵，，， ∴， ∴， ∵将绕着点按逆时针方向旋转后得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：将绕着点逆时针旋转得到，连接，， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 【精练2】我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转（）得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”． 特例感知： (1)在图2中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．如图2，当为等边三角形时，且时，的长为 　 　； 猜想论证： (2)在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑倍长或倍长，……） 拓展应用： (3)如图3，在四边形， ，，，以为边在四边形内部作等边，连接，，若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形中边的长． 【答案】(1)3 (2)，理由见解析 (3)， 【思路引导】（1）利用旋补三角形的定义可知是等腰三角形，利用等腰三角形的性质以及即可求出． （2）倍长，易证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可证明，即可得到． （3）由等边三角形和旋补三角形的性质结合含的直角三角形的三边关系先求出的长，再利用求出，利用勾股定理求出，利用旋补中线的性质求出旋补中线长，再利用也是的“旋补三角形”，通过求出的中线反求． 【规范解答】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3； （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）如图，过点作于，取的中点，连接． ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的“旋补三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴的“旋补中线”长：， ∵， ∴， ∵也是的“旋补三角形”， ∴． 【考点剖析】本题主要考查对新定义的概念的理解和应用，等边三角形和等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握等腰及等边三角形的性质和勾股定理是解决本题的关键． 题型三 面积问题（旋转综合题） 【精讲】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转得到，且点A的对应点恰好落在AB的延长线上，的面积是______． 【答案】 【思路引导】过作于，于，延长交于，由三角形面积公式求出，由旋转的性质得到，推出，，，，由等腰三角形的性质推出，，由等腰三角形的性质求得，由三角形的面积公式求出，的面积． 【规范解答】解：过作于，于，延长交于， ，，， ， 的面积， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积， ， 的面积． 【精练1】（24-25八年级上·上海·月考）如图，在四边形中，，，，，将绕点逆时针旋转得到点E，则的面积为______ 【答案】 【思路引导】过点作交延长线于点，过点作于点，则，利用平行线间的距离可得，进而得出，利用旋转的性质证明，得到，即可求出的面积． 【规范解答】解：如图，过点作交延长线于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【精练2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在网格中有一个四边形图案． (1)请你分别画出绕点顺时针旋转得到的、关于点成中心对称的以及绕点逆时针旋转得到的，并将它们涂黑； (2)若网格中每个小正方形的边长均为1，旋转后点的对应点依次为，，，求四边形的面积； (3)这个美丽的图案能够说明一个著名的结论的正确性，请写出这个结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【思路引导】（1）根据图形旋转的性质画出旋转后的三角形即可； （2）观察画出的图形，可发现依次代入求值； （3）这个图案就是我们几何中的著名的勾股定理． 【规范解答】（1）解：如答图所示． （2）如答图，． （3）设，所对的边分别为， 由图可知：， 整理得：， 即：， 这个图案说明勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 题型四 角度问题（旋转综合题） 【精讲】将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，如图2，，，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，则所有满足条件的的值为_____． 【答案】或 【思路引导】延长交于点，交于点，由题意可得，，，，分两种情况：当时，当时，根据平行线的性质得出角的关系，进而得到关于的方程，即可求解． 【规范解答】解：延长交于点，交于点， 由题意可得，，，， 当时， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得； 当时， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上，满足条件的的值为或． 【精练1】（25-26七年级上·浙江宁波·期末）角和线段的问题解决有着紧密联系，它们之间的解法可以互相迁移．请完成下列探索： 【情境探究】如图1，线段和线段的长度均为，且它们在同一条直线上． （1）若重叠部分线段的长度为，则线段的长度为 ； （2）若线段的长度是重叠部分线段的长度的3倍，则线段的长度为 ． 【类比猜想】如图2，小江将一副三角板以顶点重合放置，其中，含度角的三角板绕点转动，且始终在所在直线的上方，另一块三角板则保持不动．若的度数是度数的倍，求此时的度数． 【拓展迁移】如图3，小北将一副三角板以顶点重合放置，其中，边从射线出发，绕点顺时针旋转，同时边从射线出发，绕点逆时针旋转，速度分别为每秒和，运动时间为秒，当与射线首次重合时，、同时停止运动．若的度数是度数的倍（小于平角），此时的值为 ．（请直接写出答案） 【答案】情境探究：（1）；（2）；类比猜想：或；拓展迁移： 【思路引导】本题考查了线段的和差、角的和差倍分、角的旋转等，关键是线段长度的计算及角的关系的求解； 【情境探究】（1）根据线段之间的和差来计算长度即可；（2）根据线段之间的和差来计算长度即可； 【类比猜想】根据三角板的角度及角度之间的倍数关系，分情况讨论求解； 【拓展迁移】根据边的旋转速度和时间得到角的表达式，再结合角的倍分关系分情况讨论求解． 【规范解答】【情境探究】解：（1）∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：； 【类比猜想】解：①当两块三角板没有重合部分，即时， ∵，， ， ， ； ②当两块三角板有重合部分，即时， ，， ， ， ， 综上所述，或． 【拓展迁移】的值为． 解：如图1，∵，， ， ，   ， ∴ ， ∴ ； 如图2，∵， ∴，， ， ∴ ， ∴； 如图3，∵，， ∴， ， ， ∴  ， ∴  ； 当时，，所以舍去； 如图4，因为，， ， ， 因为， ， ； 综上所述，的值为，，． 【精练2】（25-26八年级上·山东威海·期末）在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转________度，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边、也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，当旋转________度时，所在直线与所在直线垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)或 【思路引导】本题考查了旋转的性质、角的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； （3）分类讨论当在点O的上方和下方时，根据垂直的定义计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在点O的上方时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在点O的下方时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． 故答案为：或． 题型五 其他问题（旋转综合题） 【精讲】综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探索活动．其中老师给同学们提供的学具有：等腰直角三角尺、若干四边形纸片． (1)【操作判断】将四边形纸片与等腰直角三角尺按如图放置，三角尺的边，分别与四边形的边，交于，两点，经测量得，．小明将绕点顺时针旋转，此时点与点重合，点的对应点为，通过推理小明得出了． 根据以上信息，请填空： ①； ②线段，，之间的数量关系为__________； (2)【迁移探究】小明将四边形纸片换成了图中的形状，若，，，，分别在，上，且，线段，，之间的数量关系是否仍成立，若成立，写出证明过程；若不成立，请举反例说明； (3)【拓展应用】如图3，已知，，，小明以点为旋转中心，逆时针转动等腰直角三角尺，其中射线，分别交射线于点，，当点恰好为线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；② (2)仍然成立，证明见解析 (3)或 【思路引导】（1）①根据旋转的性质得到，由等腰直角三角形的性质，继而得到，即可得解； ②根据旋转的性质得到，根据全等三角形的性质得到，然后根据线段的和差求解即可； （2）将绕点旋转顺时针得，与重合，根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况讨论：和，首先根据旋转的性质构造全等三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：①∵绕点顺时针旋转得到，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②绕点顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）仍然成立． 证明：∵， ∴如图所示，将绕点旋转顺时针得，与重合， ∴，，，， 又∵， ∴，即，，三点共线， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图所示，当时， ∵，， ∴，， ∴，， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴； 如图所示，当时， 将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，则， 由（1）得， ∴， ∴设，则， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，的长为或． 【考点剖析】本题是旋转变换综合题，考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理是解题的关键． 【精练1】（23-24八年级上·山东烟台·期末）在中，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，旋转角为，点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)如图，当时，连接、，并延长交于点，则___________； (2)当时，请画出图形并求出的长； (3)在旋转过程中，过点作垂直于直线，垂足为点，连接．当，且线段与线段无公共点时，请猜想四边形的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)图见解析， (3)菱形，见解析 【思路引导】本题主要考查了平行四边形和菱形的性质、图形的旋转、三角形全等等，综合性强，难度较大． （1）证明是等边三角形，得到点、在的垂直平分线上．进而求解； （2）依据题意画图如图1，证明，得到，，即可求解； （3）证明，，则四边形为平行四边形，而，则四边形为菱形． 【规范解答】（1）解：∵绕点A按顺时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴点B、E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∵点F在的延长线上， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，是等边三角形，， ∴，， ∴； （2）依据题意画图如图1，      过点作于点，过点作于点， ，， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 围绕点顺时针方向旋转得到， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 则； （3）如图2所示，   ，， ， 又， ， ， ， ， ，且， ， ， ，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形． 【精练2】（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见解析；（2），，证明见解析；（3） 【思路引导】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 【规范解答】（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 题型六 中心对称图形规律问题 【精讲】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，，，是等腰直角三角形，，作关于点成中心对称的图形，再作关于点成中心对称的图形，…．以此类推，点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解决该题型题目时，根据题意列出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键． 根据中心对称的性质找出部分的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，当为奇数时，；当为偶数时，依此规律即可得出结论． 【规范解答】解： ，，是等腰直角三角形，且， ． 与关于点成中心对称， ． 同理可得，，，…． 设为自然数．当为奇数时，；当为偶数时． 故点的坐标为． 故答案为：． 【精练1】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【规范解答】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【精练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，，，，……都是平行四边形的顶点，点，，……在轴正半轴上，，，，，，，……，平行四边形按照此规律依次排列，则第6个平行四边形的对称中心的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查的是点的坐标变化规律，中心对称和平行四边形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键．根据题意，先求出前几个点的坐标，即可找出规律：第个平行四边形的对称中心坐标为，即可求解． 【规范解答】解：如图所示，作轴于点， ，， ， ， ，重合， ， 则的中点即为第1个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：，，， 则的中点即为第2个平行四边形的对称中点，其坐标为； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心的坐标是； 同理可得：第个平行四边形的对称中心的坐标是； 第6个平行四边形的对称中心的坐标是，即，，， 故选：D． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，，．将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点．当时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】分情况讨论，当在的上方时，由三角形内角和定理得，由旋转的性质得，，进而根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形内角和定理即可求解，当在的下方时，同理可求得． 【规范解答】解：如图1，在中，，， ， ∵绕点按逆时针方向旋转后得， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图2， ∵， ， ， ， ， ， ， 综上所述，或． 2．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）两个全等的平行四边形，对角线的交点重合，若旋转其中一个，则两个四边形重叠部分的形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．六边形 D．八边形 【答案】A 【思路引导】两个全等平行四边形对称中心重合，重叠部分为中心对称图形，中心对称多边形的边数必为偶数，据此可判断出不可能的形状. 【规范解答】解：∵两个全等平行四边形对角线交点重合，即对称中心重合， ∴重叠部分关于该交点中心对称， ∵中心对称多边形的边数一定为偶数，三角形边数为奇数，不可能是中心对称图形， ∴重叠部分的形状不可能是三角形. 3．如图，的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了中心对称、平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标，熟记相关性质是解题关键．根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（横坐标与纵坐标互为相反数）确定m、n的值，最后求和即可． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形且对角线交于原点O， ∴点D与点B关于原点成中心对称， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25八年级下·浙江湖州·月考）如图，在中，，将绕着点A顺时针旋转°到的位置，点E恰好落在边上，则的值___________． 【答案】20 【思路引导】此题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 首先求出，根据旋转的性质得到，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，则，即可求出答案． 【规范解答】解：∵在中，， ∴ ∵将绕着点A顺时针旋转°到的位置， ∴，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，那么_______． 【答案】1 【思路引导】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【规范解答】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）如图，在中，，，点M、N在边上，，，，则____________________ ． 【答案】 【思路引导】将绕点B顺时针旋转，得，连接，证明为直角三角形，由勾股定理求出长，再证明，得到，即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴ ∴将绕点B顺时针旋转，得，连接，如图， 则，，，，， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，和关于点O成中心对称． (1)找出它们的对称中心O；（仅用尺规作图，并保留作图痕迹） (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接、交于点，点即为所作； （2）根据成中心对称的图形的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图：对称中心O即为所作， （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，的各顶点坐标分别为，，． (1)以点O为对称中心，请画出与成中心对称的；点的坐标为________． (2)以点O为旋转中心，请画出将按逆时针方向旋转后的． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 【思路引导】（1）根据题意可得和关于原点对称，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此确定点的坐标，描出点，并顺次连接点、O即可； （2）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，描出点，并顺次连接点、O即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：如图所示，即为所求． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【思路引导】（1）根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； （2）找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据所作图形写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：点和点的坐标分别为，． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，B两点均在小正方形的顶点上，请按下列要求，在图1，图2，图3中各画一个四边形（所画四边形的顶点均在小正方形的顶点上）． (1)在图1中画四边形，使其为中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图2中画，使面积为5； (3)在图3中画，使其中一条对角线长等于3，并求出另一条对角线长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析， 【思路引导】（1）根据要求作出图形即可（答案不唯一）． （2）画边长为的正方形即可． （3）根据要求作出图形，再利用勾股定理求出另一条对角线的长度即可．． 【规范解答】（1）解：如图1中，四边形即为所求作． （2）解：如图2中，四边形即为所求作． （3）解：如图3中，四边形即为所求作．对角线． 另一条对角线的长度为：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先根据等腰三角形的性质求得，继而根据旋转的性质即可求得答案 【规范解答】解：，， ， 是由旋转得到， 旋转角为． 2．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　) A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【思路引导】本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长． 先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长． 【规范解答】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵绕着点C旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，是斜边上两点，且，将绕点A顺时针旋转，得到，连接，下列结论：①；②；③；④其中正确的是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【思路引导】根据等腰直角三角形的性质，旋转的性质，证明，，后利用勾股定理解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质和定理是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵，将绕点A顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴；， ∴， ∴， ∴ 故①④正确；②③错误； 故选：B． 4．如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，使点的对应点在边上，点的对应点为，则________． 【答案】 【思路引导】根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可求解． 【规范解答】解：将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 点在边上， ， 在中，， ． 5．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，两块完全一样的含角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点，如图，，则此时两直角顶点、间的距离是___________． 【答案】5 【思路引导】本题考查等边三角形的判定与性质，等边对等角，旋转的性质；得到是等边三角形是解答此题的关键；连接，因为点M为的中点，也是的中点，由旋转的性质可知，，而，从而可证为等边三角形，即可求． 【规范解答】解：连接，如图， ∵点M为的中点， ∴点M为的中点， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形， ∴． 故答案为：5． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在四边形中，．点P在边上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段．当时，的长为_______． 【答案】 【思路引导】作，交的延长线于点F，由旋转的性质得，再根据“角角边”证明，可得，然后设，则，，进而得出，接下来根据勾股定理得，即，求出解即可． 【规范解答】解：过点E作，交的延长线于点F， 由旋转的性质得， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∴． 在中，， 即， 解得或（舍去）， 所以． 7．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，将按顺时针方向绕点旋转得到（点与点对应，点与点对应），连接． (1)直接写出______和_____． (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【规范解答】（1）解：∵将按顺时针方向绕点旋转得到， ∴，， ∴． （2）解：， ∴， ∵将按顺时针方向绕点旋转得到， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请在所给网格中按下列要求画出格点图形（顶点在格点上）． (1)在图1中画出关于点成中心对称的； (2)在图2中画一个平行四边形，且有一个内角为． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】（1）根据中心对称的性质找到对应点即可 （2）利用网格求得，，利用勾股定理的逆定理判定为等腰直角三角形，即，进一步利用网格的性质可知四边形为平行四边形． 【规范解答】（1）解：如图， （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 则， 根据网格的性质可知，四边形为平行四边形． 9．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知在中，，连接． (1)求的度数； (2)如图2，点E在内部，满足，求证：； (3)在（2）的条件下，连接CE，若，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)9 【思路引导】（1）设，则，利用等边对等角和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）证明得到，根据三角形内角和定理得到，再证明，即可证明结论； （3）将绕点C逆时针旋转90度得到，连接，证明是等腰直角三角形，推出，再证明是等腰直角三角形，得到，则，由勾股定理求出的长，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】（1）解：设，则， ∵， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点C逆时针旋转90度得到，连接， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴或（舍去）， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10．（25-26七年级上·上海·阶段检测）已知长方形，，，边长为（）的正方形的顶点与点重合，边、分别与、重合（如图所示）．将正方形沿着射线方向平移，设平移距离为． (1)当点恰好落在线段上时，直线、分别与长方形的边交于点、、（如图所示）．下列编号①-④中，两个图形能关于某点成中心对称的是___________，面积相等的是__________；（在横线上填入相应的编号） ①三角形与三角形；②三角形与三角形； ③三角形与三角形；④长方形与长方形． (2)在（1）的条件下，当时，求的值； (3)在平移过程中，当正方形的顶点落在线段上时，求的值． 【答案】(1)①②③；①②③④ (2) (3)或 【思路引导】（1）根据“中心对称图形”的定义，对选项依次判断；再利用“中心对称图形面积相等”以及“大图形面积相等，减去同样面积的部分，剩下的面积也相等”的逻辑，判断各组图形的面积是否相等； （2）由平移距离，用表示出长方形和的边长，结合（1）的“面积相等”关系列方程，求解得； （3）分“在上”“在上”两种情况进行讨论，根据面积相等列方程，用表示，再计算． 【规范解答】（1）解：长方形是中心对称图形，且对称中心在长方形的对角线上， ①三角形与三角形；②三角形与三角形；③三角形与三角形，都可以组成长方形， ∴①②③两个图形能关于某点成中心对称， ∴①②③中的两个三角形的面积相等； ①三角形与三角形；②三角形与三角形的面积相等， ∴四边形和四边形的面积相等， 又③三角形与三角形的面积相等， 则四边形和四边形的面积分别减去三角形与三角形的面积之后的图形面积相等， 即④长方形与长方形的面积相等， 答：①②③；①②③④． （2）解：依题意，，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：． 答：． （3）解：如图，当在上时， 依题意，，，，， ，，， 同理可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ； 当在上时，如图， ，，， 由（1）可得长方形与长方形的面积相等， ， 解得：， ． 综上所述，的值为或． 答：或． 【考点剖析】本题考查中心对称图形的判定，图形面积的等量关系，平移的性质，一元一次方程的应用，根据面积相等关系列方程求解未知量是解题关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $