专题02 一元二次方程的解法【期末复习重难点专题培优九大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，通过4类基础解法+5类进阶应用+真题实战的三层架构，系统构建“解法-应用-迁移”能力体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型分类讲练|4题型（含浙江期中真题精讲）|因式分解/直接开平方法等4种基本解法步骤|从具体解法操作到技巧选择，夯实基础运算能力| |能力提升拓展拔尖|5题型（含配方法应用等拓展）|判别式/根与系数关系应用策略|从解法到根的性质探究，发展逻辑推理意识| |优选真题实战演练|2模块（基础+拔尖，期末真题）|解法选择与综合应用技巧|从单一方法到综合问题解决，强化模型应用意识|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 一元二次方程的解法『期末复习重难点专题培优』 【4个重点题型+5个难点题型+期末真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 因式分解法解一元二次方程 1 题型二 解一元二次方程—直接开平方法 3 题型三 解一元二次方程—配方法 6 题型四 换元法解一元二次方程 7 能力提升 拓展拔尖 10 题型一 配方法的应用 10 题型二 公式法解一元二次方程 12 题型三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 16 题型四 根据一元二次方程根的情况求参数 18 题型五 一元二次方程的根与系数的关系 22 优选真题 实战演练 24 【基础夯实 能力提升】 24 【拓展拔尖 冲刺满分】 28 题型一 因式分解法解一元二次方程 【精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算、解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解： 或 解得：； （3）解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【规范解答】（1） 解： 所以，或 所以，； （2） 解： 所以 所以，． 【精练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 ． 【思路引导】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 题型二 解一元二次方程—直接开平方法 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)， 【思路引导】（1）用因式分解法解方程即可； （2）通过公式法求解一元二次方程，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ，，， ， ， ，． 【精练1】（24-25八年级下·浙江金华·月考）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式恒为正数； (2)若代数式的最大值为，求的值； (3)已知是一个关于的完全平方式，求常数的值． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)， 【思路引导】（1）整理多项式可得：原式，根据平方的非负性可知，所以恒为正数 ；   （2）整理多项式可得：原式，根据平方的非负性可知，解方程即可求出的值； （3）整理多项式可得：原式，根据是一个完全平方式，可知，解方程即可求出的值． 【规范解答】（1）解：整理可得：，    ， ， 则恒为正数 ；       （2）解： ， ， ， ， 整理得：， 解得：，；   （3）解： ， 是一个完全平方式， ， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，． 【精练2】（24-25八年级下·浙江金华·月考）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 【答案】C 【思路引导】根据新运算定义，分和两种情况列一元二次方程，求解后舍去不符合前提的解，即可得到的值，选出正确选项． 【规范解答】解：当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，， ∵ ∴， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述，x的值为或． 题型三 解一元二次方程—配方法 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）方程去括号，整理后运用配方法解答即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， ， ， ∴，． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用配方法解一元二次方程． 【规范解答】（1）解：， 提公因式可得：， 可得：或， 解得：，； （2）解：， 移项得， 方程两边同时加上得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：，． 【精练2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】移项，配方，即可得出选项． 【规范解答】解：， ， ， ． 题型四 换元法解一元二次方程 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， ， ， 则或， ∴． （2）解：， ∵， ∴， 则， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【规范解答】（1）解： ∴ ∴ 解得：， （2）解： ∵， ∴ 解得：， 【精练2】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法 ①若，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 其中正确的（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】根据一元二次方程解的意义，根的判别式以及求根公式逐项判断即可． 【规范解答】解：对于①：若，则方程有一个根为， ∴，故①正确； 对于②：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 当时，不一定等于，故②错误； 对于③：∵是一元二次方程的根， ∴。 ∵， 方程两边同乘，得 ，配方得， 即。故③正确 对于④：∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 对于方程， ， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的结论为①③④． 题型一 配方法的应用 【精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【思路引导】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【规范解答】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 【精练1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【思路引导】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得，然后根据配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案． 【规范解答】解：∵， ， ， ， ∴， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故正确； ②∵， ∴， 解得：， ∴；故错误； ③由题意可知：当时，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴；故错误； ④当，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，所以c的值不可能是，说法正确； 综上所述：正确的结论有①④； 【精练2】（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 【答案】2026 【思路引导】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的m和n值，通过比较系数求出a和b的值，再将代数式配方即可得到最小值． 【规范解答】解：由“同族二次方程”定义，方程可写为， 展开得，与比较系数， 得，解得，。 ， ， 最小值为2026． 故答案为：2026． 题型二 公式法解一元二次方程 【精讲】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)小慧同学的观点正确，理由见详解 【思路引导】（1）把代入方程，然后根据因式分解法求解方程即可； （2）把代入方程得，然后求解即可； （3）根据题意可分为当和两种情况进行分类求解． 【规范解答】（1）解：把代入方程得：， 或， 解得：，； （2）解：把代入方程得， 化简得：， 解得：； （3）解：由题意可分为：当时，则方程变为，此时方程有解； 当时， ∵， ∴， ∴方程恒有实数解； 综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解； 即小慧同学的观点正确． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的是（    ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式的应用，解题的关键是熟练运用一元二次方程的相关概念，对每个说法逐一进行验证． 将代入方程验证①；利用的判别式推导的判别式，验证②；将代入方程，分析的特殊情况，验证③；将代入判别式，判断符号，验证④． 【规范解答】解：①当时，， ， ， 即方程有一根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实数根，则， 对于方程，， ，， ， 故方程必有两个不相等的实数根，②正确． ③当是方程的根时，， 即， 若，则不一定成立，故③错误． ④， ， ∵，且． 若，则必有且，可得，与题设矛盾， ∴恒成立． 故方程有两个不相等的实数根，④正确． 综上，①②④正确， 故选：． 【精练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数． 其中，正确的有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】对于①，观察可得，方程有根，符合要求；对于②，当时，不一定等于，不符合；对于③，将原方程变形为，因此和满足方程，符合要求；对于④，根据判别式的符号即可判断；对于⑤，先确定、异号，且，进而求出，符合要求． 【规范解答】解：对于①，当时，方程左边，等式成立， ∴是方程的解，故①正确； 对于②，∵是方程的一个根， ∴， ∴， 当时，不一定等于，故②错误； 对于③，， ∵， ∴方程两边同除以，得， ∴和满足方程，故③正确； 对于④，∵， ∴， 判别式， ∵，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故④正确； 对于⑤，∵， ∴， ∴或， ∵， ∴、异号， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴两根互为相反数，故⑤正确； 综上，正确的结论有4个． 题型三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【精讲】（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据新定义可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据新定义可得方程，根据该方程无实数根，利用判别式和一元二次方程的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于c的不等式求解即可得到c的取值范围； （2）根据方程根的定义，得到a、b满足的关系式，代入y的表达式化简，再结合c的取值范围即可求出y的取值范围． 【规范解答】（1）解∶∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 整理得， 解得． （2）解：∵关于的方程有两个实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的取值范围为． 【精练2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）关于x的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则下列成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【思路引导】先根据根的判别式推出，则，进而可得原方程为，解得，求出，再根据的符号与的符号关系进行求解即可． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴原方程为， 解得， ∴， 若，则，即，则， 若，则，即，则，故A错误，不符合题意； 若，则，即，则，故C正确，符合题意； 若，则，即，故B、D错误，不符合题意. 题型四 根据一元二次方程根的情况求参数 【精讲】．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【答案】或 【思路引导】把一元二次方程变形为，将看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， ， ∵一元二次方程的两个根分别为， ∴关于的方程两个根分别为，， 解得：，． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【思路引导】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【规范解答】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 【精练2】阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【思路引导】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 题型五 一元二次方程的根与系数的关系 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意可得 ，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件得到 ，解之即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， ∴； （2）解：根据题意，得，， ∵， ， ∴． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【思路引导】（1）根据方程的系数结合，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于k的方程，解之经检验后即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， ， ； （2）解：由根与系数的关系可得出，，， ， ， 解得或， 由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件， 故存在实数． 【精练2】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【答案】① ③ 【思路引导】根据倒方程的定义，结合一元二次方程的相关知识逐一判断各结论即可. 【规范解答】解：①根据倒方程的定义，方程的倒方程为. 将代入，得 解得，故①正确. ②设是和它的倒方程的相同根，则 两式相减得， 整理得. 因为，所以，解得，即相同根为或，故②错误. ③若一元二次方程无解，则其根的判别式. 该方程的倒方程为，其根的判别式，因此倒方程也无解，故③正确. ④和它的倒方程的根的判别式都为. 当时，若，则，此时两个方程都没有实数根，例如，满足，但，无实数根，故④错误. 综上，正确结论为①③. 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【思路引导】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【规范解答】解：班长：， 甲：两边同除以3，得，正确， 乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误， ∴开始出现错误的是对应选项为B． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【规范解答】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0，根据性质列出不等式求解即可. 【规范解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，即，化简得， 解得. 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________． 【答案】， 【思路引导】利用整体换元的思想，将看作整体，对应已知方程中的值，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【规范解答】解：∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得：，． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的方程 有两个相等的实数根，则______． 【答案】/0.25 【思路引导】根据一元二次方程根的判别式及定义解答即可求解． 【规范解答】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴ 且， 解得． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 【答案】 【思路引导】将配方后的方程展开整理为一元二次方程的一般形式，与原方程对比系数得到m和n的值，代入计算即可． 【规范解答】解：， ∴， 即， ∵方程通过配方可变形为， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程 的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【思路引导】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【规范解答】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 8．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】（1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）直接运用因式分解法求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ∴或 ∴． （2）解：， ， ∴或， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 ． 【思路引导】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【思路引导】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【规范解答】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【思路引导】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【规范解答】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程的实数根，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据一元二次方程有实数根得判别式，结合根与系数的关系和已知条件列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【规范解答】解：由题意知原方程为一元二次方程，有两个实数根，因此原方程为. 一元二次方程有实数根时，，且满足，. 这里， ，，且. 将和代入得： ， 得到不等式组： 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 因此的取值范围是． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】2026 【思路引导】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，即可求出代数式的值． 【规范解答】解：根据题意，得，， ， ． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 【答案】，，， 【思路引导】用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论求解． 【规范解答】解：当时，原方程为，解得，符合题意； 当时，原方程为，解得，符合题意； 当且时，原方程化为，解得，． 为整数，且，均为整数根， ，，，，得，，，，，，， 且，，，得，，，，． 综上所述，当的值为，，，时，原方程的根都为整数． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【答案】或 【思路引导】把一元二次方程变形为，将看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，即可求解． 【规范解答】解：， ， ， ， ∵一元二次方程的两个根分别为， ∴关于的方程两个根分别为，， 解得：，． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：， ， ， 则或， ∴． （2）解：， ∵， ∴， 则， ∴． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式并求解即可； （2）根据根与系数的关系可得，，代入得到关于的一元二次方程，求解并结合进行取舍即可． 【规范解答】（1）解：， ∵方程有两个实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据一元二次方程根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得， 由（1）可知，， ∴． 9．（25-26八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 【答案】(1)①，；②1 (2)； (3) 【思路引导】（1）①解方程，得或，因此两根为和； ②根据方程的特征数对为，得出 ，， 根据韦达定理得出，，则，求解即可． （2）根据方程的根为，由韦达定理得，，根据方程的根为，由韦达定理得：，即，代入得，整理得．两根积：，得． （3）解方程，得出，得出方程B的特征数对，．对方程A：，由韦达定理得，，则，，根据“关联全整根方程”定义得出，结合，得，求出，根据方程A是“全整根方程”，得出是非负完全平方数，即可解答． 【规范解答】（1）解：①， ∴， 解得：或， 因此两根为和； ②∵其特征数对为， ∴ ，， ∵，， ∴， 由第二个方程得， 代入第一个方程验证：时，，符合要求； 时，舍去，因此． （2）解：∵方程的根为， 由韦达定理得，， ∵方程的根为， 由韦达定理得：，即， 代入得， 整理得． 两根积：，展开得， 代入，得， 因此． （3）解：， ∴，解得：， ∴方程B的特征数对：，． 对方程A：， 由韦达定理得，， ∴（），， ∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程A：是“全整根方程”， ∴是非负完全平方数， ∴时，，符合，此时； 时，，符合，此时； 其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9． 10．（23-24八年级上·上海金山·月考）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 【答案】(1)或 (2) (3) 【思路引导】本题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，因式分解法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先模仿题干过程，得出，再整理得，然后运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）由得出，因为关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，故，代入求出，最后把代入，解得； （3）依题意，，令，原方程化为，此时，无实数根，整理得，又因为，当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根，故，解得，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， 即， 令，原方程化为， ∴， 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， ∴原方程的解为或 （2）解：∵， ∴， ∵关于的双二次方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根， ∴， 解得， ∴ ∴ 解得， 依题意，把代入， 得， ∴， 解得； （3）解：依题意，， 令，原方程化为，此时， 即，无实数根， ∴ ， 又∵， 当时，则有最小值，且要大于0，才能满足，无实数根， ∴， 则， ∴， 解得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题02 一元二次方程的解法『期末复习重难点专题培优』 【4个重点题型+5个难点题型+期末真题实战演练 共47题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 因式分解法解一元二次方程 1 题型二 解一元二次方程—直接开平方法 3 题型三 解一元二次方程—配方法 6 题型四 换元法解一元二次方程 7 能力提升 拓展拔尖 10 题型一 配方法的应用 10 题型二 公式法解一元二次方程 12 题型三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 16 题型四 根据一元二次方程根的情况求参数 18 题型五 一元二次方程的根与系数的关系 22 优选真题 实战演练 24 【基础夯实 能力提升】 24 【拓展拔尖 冲刺满分】 28 题型一 因式分解法解一元二次方程 【精讲】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）计算、解方程： (1)； (2)； (3) 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【精练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 题型二 解一元二次方程—直接开平方法 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1) (2) 【精练1】（24-25八年级下·浙江金华·月考）阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式的最小值． ，且， 当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)求证：无论取何值，代数式恒为正数； (2)若代数式的最大值为，求的值； (3)已知是一个关于的完全平方式，求常数的值． 【精练2】（24-25八年级下·浙江金华·月考）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．1 B． C．或 D．1或 题型三 解一元二次方程—配方法 【精讲】（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1) (2) 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1) (2) 【精练2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）方程左边配成完全平方后所得的方程为（    ） A． B． C． D． 题型四 换元法解一元二次方程 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1) ； (2)． 【精练1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【精练2】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）对于关于的一元二次方程，有同学提出下列说法 ①若，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若是一元二次方程的根，则； ④若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根． 其中正确的（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 题型一 配方法的应用 【精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【精练1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式（其中，均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示： 二次多项式 对二次多项式进行因式分解 对二次多项式使用配方法 （说明：均为常数） 有学生探究得到以下四个结论：①若，则；②，则；③若有且只有一个的值，使代数式的值为0，则；④若，则的值不可能是．其中所有正确结论的序号是_____． 【精练2】（25-26八年级上·上海·期末）定义：关于的一元二次方程：（，是常数，与（是常数，称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是___________． 题型二 公式法解一元二次方程 【精讲】（25-26八年级下·浙江丽水·期中）已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法中正确的是（    ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【精练2】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则方程一定有解； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若方程两根为，，且满足，则方程，必有实数根，． ④若，则方程必有两个不相等的实数根； ⑤若，且，则方程的两实数一定互为相反数． 其中，正确的有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型三 根据判别式判断一元二次方程根的情况 【精讲】（25-26八年级下·浙江·期中）对于任意实数a，b，c有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算．例如，． (1)求关于x的一元二次方程的解； (2)若关于x的一元二次方程无实数根，求k的取值范围． 【精练1】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 【精练2】（25-26八年级下·浙江台州·期中）关于x的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则下列成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型四 根据一元二次方程根的情况求参数 【精讲】．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【精练2】阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 题型五 一元二次方程的根与系数的关系 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知一元二次方程有两个实数根为． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【精练2】（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）若定义：方程是方程的“倒方程”．则下列四个结论： ①如果是的倒方程的一个解，则． ②一元二次方程与它的倒方程有相同的根，那么这个根是． ③若一元二次方程无解，则它的倒方程也无解． ④若，则与它的倒方程都有两个实数根． 上述结论正确的是___________． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知方程的解是，则方程的解是___________． 5．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的方程 有两个相等的实数根，则______． 6．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程通过配方可变形为，则的值为_____． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程 的根为，，则一元二次方程的根为______． 8．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解下列方程： (1) (2) 9．（25-26八年级下·浙江·期中）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 10．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 3．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于的一元二次方程的实数根，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程的解都是整数，求整数的值为_____． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 9．（25-26八年级下·浙江·期中）我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 举例说明：方程①：（，），特征数对； 方程②：（，），特征数对； 验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 解答下列问题： (1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”． ①则该方程的两根分别为 ， ； ②若其特征数对为，求k的值． (2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q． (3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值． 10．（23-24八年级上·上海金山·月考）阅读材料，回答问题 双二次方程又称“准二次方程”，是移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程，其一般形式为：．下面我们来看解双二次方程：． 解：令，原方程化为 得：， 解得： 当时，无实数根，舍去；当时，， 所以，原方程的解为， 已知关于的双二次方程． (1)当时，求方程的根； (2)如果该方程和关于的一元二次方程有一个共同的实数根，求的值； (3)填空：如果该方程无实数根，则的取值范围是________________． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $