专题04 多边形的概念与内角和问题【期末复习重难点专题培优十一大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦多边形概念与内角和，通过4类重点题型打基础、7类难点题型提能力、真题实战强应用，构建“概念-性质-综合”三阶训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重点题型|4题型（含期中真题精讲）|概念辨析、公式直接应用（周长/对角线/内角和公式）|从多边形定义分类到基本性质（周长、对角线、内角和）逐步递进| |难点题型|7题型（含截角/复杂图形等）|分类讨论（截角边数变化）、转化思想（复杂图形内角和转化为三角形）|深化性质应用，解决截角、内外角综合等易错问题| |真题演练|2组（基础+拓展）|分层训练（夯实基础/冲刺满分）|对接期末考情，强化知识迁移与综合解题能力|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 多边形的概念与内角和问题『期末复习重难点专题培优』 【4个重点题型+7个难点题型+期末真题实战演练 共55题】 重点题型 分类讲练 1 题型一多边形的概念与分类 1 题型二 多边形的周长 4 题型三 多边形对角线的条数问题 7 题型四 多边形内角和问题 9 能力提升 拓展拔尖 14 题型一 多边形截角后的边数问题 14 题型二 对角线分成的三角形个数问题 16 题型三 多（少）算一个角问题 17 题型四 多边形截角后的内角和问题 19 题型五 复杂图形的内角和 21 题型六 多边形外角和的实际应用 24 题型七 多边形内角和与外角和综合 27 优选真题 实战演练 30 【基础夯实 能力提升】 30 【拓展拔尖 冲刺满分】 37 题型一多边形的概念与分类 【精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定及性质，割补法求面积；过点作交于，过点作交于，点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可证，，设，，由四个三角形面积和，即可求解；能熟练利用割补法求面积，构建三角形全等是解题的关键． 【规范解答】解：如图，过点作交于，过点作交于，点作交于， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， 同理可证：， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 【精练1】（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查多边形，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义在网格中找出符合条件的点的位置即可，理解“邻等四边形”的定义是正确解题的关键． 【规范解答】解：如图，根据“邻等四边形”以及网格特点的意义可得： ， 所有符合条件的点共有个，即图形中的、、， 故选：C． 【精练2】一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 【答案】(1)第四边的长为：cm. (2)不能，该图形是一条线段，理由见解析 【思路引导】（1）先列式表示第三边，第四边的长，再利用周长减去已知的三条边的长可得第四边的长度； （2）分别求解四条线段的长度，再计算前面三条线段的长，与第四条线段的长度比较，从而可得答案. 【规范解答】（1）解： 第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和， 第二边为cm，第三边为：cm， 第四边长为： 即第四边的长为：cm. （2）当时， 即前三条边的长的和等于第四条边的长， 所以当时，这4条线段首尾相连不能得到四边形，该图形是一条线段. 【考点剖析】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，多边形的含义，掌握“判断四条线段首尾顺次相连构成四边形的条件”是解本题的关键. 题型二 多边形的周长 【精讲】（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【答案】分钟 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的购进． 根据题意求出正五边形 的主题公园步道的边长米，设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米，列方程得，解方程再进一步即可得到答案． 【规范解答】解：正五边形 的主题公园步道的边长为米， 设从出发开始计时，经过分钟，小李比小张多走米， 根据题意得：， 解得：， 从出发开始计时，经过分钟，小李行进， 小张行进， ， ， 如图所示，小李位于点M处，小张位于点N处， 此时，点、分别是边、的中点， 小李从到用时 ， 小张从N到E用时， ， 小李先到达点D，此时两人首次处于同一段步道上， 小李和小张首次处于同一段步道上，用时， 故答案为：分钟． 【精练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【答案】96 【思路引导】本题考查了求周长，需合理分析图形，利用的是矩形的周长公式．题目中是一个多边形，求周长应把图中的多边形分成各个矩形求解或把多边形变为整体一个矩形求解即可． 【规范解答】解：如图： 矩形的长为， ， ， ∴主板的周长为， 故答案为：96． 【精练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 【答案】6 【思路引导】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案，熟知在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形是解题的关键． 【规范解答】解：∵正六边形的周长是， ∴这个多边形的边长为， 故答案为：6． 题型三 多边形对角线的条数问题 【精讲】如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线_____条． 【答案】 【思路引导】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，设该正多边形的边数为，根据多边形的内角和定理计算出多边形的边数，然后根据边形对角线的总条数为计算即可，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的关键． 【规范解答】解：设该正多边形的边数为，依题意得： ， 解得：， ∴这个正多边形共有对角线（条）， 故答案为：． 【精练1】已知一个多边形的内角和是外角和的2倍． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形的对角线条数． 【答案】(1)6 (2)9 【思路引导】（1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形的对角线公式求解即可得． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为6． （2）解：这个多边形对角线有：（条）， 答：这个多边形的对角线条数为9． 【考点剖析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、多边形的对角线等知识点，熟练掌握计算公式是解答本题的关键． 【精练2】探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 【答案】(1)1，2； (2)3，4； (3) (4)8 【思路引导】（1）根据对角线的定义，可得答案； （2）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （3）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答； （4）边形中过一个顶点的所有对角线有条，把这个多边形分成个三角形，根据这一点即可解答． 【规范解答】（1）解：如下图： 经过点可以做1条对角线，它把四边形分为2个三角形， 故答案为：1，2； （2）解：拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得： 图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形； 图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形； 故答案为：3，4； （3）解：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为个三角形， 故答案为：； （4）解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为个三角形， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了多边形的对角线，正确理解多边形的对角线的条数，与所分成的三角形的个数的关系，是解决本题的关键． 题型四 多边形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）中，E，F分别是中点，分别过E，F作垂线，交所在直线于G，H点，直线交于D点，． (1)如图1，若G，H重合，求m的值； (2)如图2，，求的大小； (3)如图3，E，F分别是中点， ，，，G点在线段上，H点在延长线上，试探究与m的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)90 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理： （1）连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再结合三角形内角和定理解答即可； （2）根据四边形内角和定理解答即可； （3）设，则，根据线段垂直平分线的性质可得，，从而得到，，，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，连接， ∵E，F分别是中点， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则，， ∵E，F分别是中点， ， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即． 【精练1】如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．    【答案】/40度 【思路引导】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题的关键是根据题意得到是五边形． 根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的角度和为，得到，结合内角和定理即可得到答案． 【规范解答】解：∵七边形中，，的延长线相交于点， ∴是五边形， ∵，，，的角度和为， ∴， ∵五边形的内角和为 ∴． 故答案为：． 【精练2】．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)①的度数为或；② 【思路引导】（1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； （2）①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点剖析】本题是四边形是综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，角平分线的性质，新定义“对角互补四边形”，正确地找出辅助线是解题的关键． 题型一 多边形截角后的边数问题 【精讲】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 【答案】六或七或八 【思路引导】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【规范解答】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【考点剖析】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 【精练1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【规范解答】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 【精练2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】C 【思路引导】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可． 【规范解答】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形； 当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形； 所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边． 题型二 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【答案】A 【思路引导】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值． 【规范解答】解：设这个多边形是n边形， 由题意得，， 解得：， 即这个多边形是六边形， 故选：A 【考点剖析】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n． 【精练1】（25-26七年级上·甘肃天水·期末）从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【思路引导】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键．从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得． 【规范解答】解：∵十边形的边数为10， ∴分成三角形的个数是（个）． 故选：C． 【精练2】如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2个三角形，图②中的四边形可分割出3个三角形，图③中的五边形可分割出4个三角形，……．以此类推，n边形可分割出________个三角形． 【答案】 【思路引导】通过观察三角形、四边形、五边形分割成三角形的个数，分析多边形的边数与分割出的三角形个数之间的数量关系，进而归纳出一般规律． 【规范解答】解：观察图形可知： 当多边形为三角形时，可分割出个三角形，此时； 当多边形为四边形时，可分割出个三角形，此时； 当多边形为五边形时，可分割出个三角形，此时； 以此类推，对于边形，分割出的三角形个数为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了图形的规律探索，解题关键是通过观察特殊多边形的分割结果，归纳出边形的一般规律． 题型三 多（少）算一个角问题 【精讲】（25-26八年级下·河南郑州·期中）先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 【答案】(1) (2)八边形 【思路引导】（1）设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，，根据题意，得，求解即可； （2）由（1）即可解答． 【规范解答】（1）解：设这个多边形是n边形，这个“少加的锐角”的度数是，其中n为整数且，， 根据题意，得， ∴， ∵x，n为正整数， ∴，， ∴这个多边形是八边形，这个“少加的锐角”的度数是． （2）解：由（1）可得，明明求的是八边形的内角和． 【精练1】（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【答案】(1)见解析 (2)十三边形 【思路引导】本题考查了多边形内角和公式的应用，掌握多边形内角和是的倍数这一性质，以及通过不等式求正整数边数的方法是解题的关键． （1）根据多边形内角和公式，判断是否满足这一特征． （2）根据内角和小于列不等式，求解正整数得到多边形的边数． 【规范解答】（1）解：边形的内角和是， ∴内角和一定是的倍数． ， ∴内角和不可能是． （2）解：依题意，得， 解得， ∴这个多边形的边数是，即小芳求的是十三边形的内角和． 【精练2】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和公式，利用多边形的内角和是的倍数是解题的关键． (1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解； (2)设这个多边形的边数是n，没有计算在内的内角的度数是，根据多边形的内角和公式可知，多边形的内角度数是的倍数，然后利用数的整除性进行求解． 【规范解答】（1）解：方法一：设少算的那个内角的度数为，则由条件， 得． 因为n为自然数，，且， 故取， 得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． （2）解：方法一：设多算的那个内角的度数为， 则由条件，得． 因为n为自然数，，且， 故取，得． 方法二：由条件，得， 且n为自然数， 故． 题型四 多边形截角后的内角和问题 【精讲】（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【答案】D 【思路引导】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【规范解答】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为11或12或13． 故选：D． 【精练1】（23-24八年级上·浙江杭州·月考）多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【答案】4或5或6 【思路引导】本题主要考查多边形的内角和问题，结合题意进行分类讨论是解题的关键． 设新多边形的边数为n，利用多边形内角和公式求得n的值，然后分三种情况分类讨论后即可解答． 【规范解答】解：设新多边形的边数为n 则，解得：， ①若截去的角的两边均为原多边形的两边的一部分时， 此时原多边形的边数为； ②若截去的角的两边为原多边形的一条边和另一条边的一部分时， 此时原多边形的边数为5； ③若截去的角的两边均为原多边形的两条边时， 此时原多边形的边数为； 综上，原多边形边数为4或5或6． 故答案为：4或5或6． 【精练2】（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形的内角和；先求出截去一个角后得到的是11边形，再根据不同的裁切方式求出原来多边形的边数即可． 【规范解答】解：设截去一个角后的多边形边数为n， 则有：， 解得：， 如图1，从角两边的线段中间部分切去一个角后，在原边数基础上增加了一条边，则原来多边形的边数是10； 如图2，从一边中间部分，与另一顶点处截取一个角，边数不增也不减，则原来多边形的边数是11； 如图3，从两个顶点处切去一个角，边数减少1，则原来多边形的边数是12； 综上，原来多边形的边数可能是10或11或12； 故选：D． 题型五 复杂图形的内角和 【精讲】如图，的度数为___________． 【答案】/360度 【思路引导】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解． 【规范解答】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴． 故答案为：． 【精练1】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【规范解答】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【考点剖析】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 【精练2】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【规范解答】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 题型六 多边形外角和的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【思路引导】根据多边形的外角和等于360度，，，可求得的度数． 【规范解答】解：由多边形的外角和等于， 可得， ∵，， ∴， ∴， 即． 【精练1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）______． 【答案】/160度 【思路引导】延长交于点F，求出，再利用五边形的外角和计算即可． 【规范解答】解：延长交于点F，如图，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 【精练2】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【规范解答】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知： ． 题型七 多边形内角和与外角和综合 【精讲】（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 【答案】（1）①，②（2）；（3），理由见解析 【思路引导】（1）①根据一个内角与它相邻的外角的和是进行计算即可；②四边形的内角和是进行计算即可； （2）根据多边形的内角和的计算方法进行计算即可； （3）表示出和它不相邻的个内角的和即可． 【规范解答】解：（1）①四边形的一个内角的度数是，则与它相邻的外角的度数； ②由于四边形的内角和是其中一个内角为，则其它三个内角的和为； （2）由题意得， ， 的正整数，， ， 即这个多边形为八边形； （3）设边形的一个外角为，它不相邻的个内角的和为， 则有， 即． 【精练1】（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数； （2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】（1）15；（2）15 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和，多边形的内角与外角关系、方程的思想． （1）根据多边形的内角和计算公式作答； （2）先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个外角．再根据外角和是固定的，从而可代入公式求解． 【规范解答】解：（1）设此多边形的边数为n，则 ， 解得，． 故此多边形的边数为15； （2）设多边形的一个外角为度，则一个内角为度，依题意得 ， 解得． ， ． 故n的值为15． 【精练2】（1）结合图1中的四边形，证明四边形的外角和是； （2）图2中在四边形中，平分，，为中点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【思路引导】（1）根据4个内角和+4个外角和=4个平角的和，而4个内角和=，因此4个外角和为. （2））过点作交于点，过点作交延长线于点，由，，得.由角平分线的性质得，根据AAS证明，则，根据等腰三角形三线合一得. 【规范解答】证明：（1），，，， ， 四边形的内角和是， ， 四边形的外角和是； （2）过点作交于点，过点作交延长线于点， ，， ， 平分， ， ， ， ， 为中点， ． 【考点剖析】本题主要考查了四边形内角等于，角平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识并作出正确的辅助线是解题的关键. 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】由多边形外角和定理得出的外角为：，进而可求出的度数． 【规范解答】解：∵， ∴的外角为：， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据等边三角形的每一个角都是求出，再根据四边形的内角和等于进行计算即可得解． 【规范解答】解：如图， ∵三角形是等边三角形， ， ． 3．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】B 【思路引导】本题利用多边形外角和为定值，结合多边形内角和公式列方程求解边数，将几何问题转化为方程问题解决． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为， 则， 解得 ， ∴这个多边形的边数为． 4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【思路引导】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【规范解答】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 【答案】1080 【思路引导】根据多边形的外角和为求出多边形的边数，再利用多边形内角和定理计算内角和即可． 【规范解答】解：∵任意多边形的外角和为，该多边形每个外角都等于， ∴多边形的边数为， ∴该多边形的内角和为． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在和中，，，，连接，，，三点在同一直线上，连接，．以下五个结论： ； ； ； ； ．其中正确的结论是______．（填序号）． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，多边形内角和，等腰三角形性质，证明，可判断；根据三角形三边关系可判断；由全等三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质可判断；由多边形内角和定理可判断；由角平分线定义可判断；掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论正确； 中，， ∴，故结论错误； 由可知: ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故结论正确； ∵，， ∴， ∴，故结论正确； ∵不一定是的平分线， ∵与不相等， ∴与不一定相等，故错误， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线和底座都与地面垂直，同时，与的夹角，与底座的夹角，求的度数． 【答案】． 【思路引导】本题考查了四边形内角和定理．作于点，利用四边形内角和定理求得，再利用四边形内角和定理即可求解． 【规范解答】解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)5 (2)或或 【思路引导】本题考查了多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算公式以及外角和为是解决问题的关键． （1）根据多边形的内角和公式、外角和是列方程求解即可； （2）由题意分情况讨论，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【规范解答】（1）解：设这个多边形的边数是， 由题意得：， 解得， 答：这个多边形的边数是； （2）解：截去一个角以后，多边形的边数可能减少了，也可能不变，或者增加了． 截完后所形成的新多边形的边数可能是或或， ①当多边形为四边形时，其内角和为； ②当多边形为五边形时，其内角和为； ③当多边形为六边形时，其内角和为； 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 9．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【思路引导】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，多边形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （2）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （3）理解题意，结合三角形内角和为180度，进行分析，即可作答； （4）理解题意，根据前面三小问，进行分析总结，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形， 则四边形的内角和是； （2）解：∵五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形， 则五边形的内角和是； （3）解：∵六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形， 则六边形的内角和是； （4）解：如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到个三角形，则n边形的内角和是 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，五边形中．平分交于点平分交于点G． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】（1）由多边形内角和定理得出，进而求出，再由角平分线的定义即可求出的度数． （2）由角平分线的定义得出，由直角三角形的两个锐角互余得出，由（1）得，进而得出，根据平行线的判定即可得出． 【规范解答】（1）解：， ， 平分， ． （2）证明：平分 ， 又， ， 平分，由（1）得， ， ． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了三角形内角和为以及四边形内角和为等知识内容，该题运用整体思想法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据三角形内角和为以及四边形内角和为，即可列式作答． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 2．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题. 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案． 【规范解答】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ ， ∵， ∴； 故选：A． 3．如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【规范解答】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 4．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【思路引导】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【规范解答】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 5．已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 【答案】十 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．先求出每一个外角的度数，再根据边数外角的度数计算即可． 【规范解答】解：， ， 这个多边形的边数是10． 故答案为：十． 6小明在计算一个多边形内角和是，经检验发现少算一个角，则少算的这个角度数数为________． 【答案】/100度 【思路引导】本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键． 边形的内角和是，少计算了一个内角，结果得．则内角和是与的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解不等式，多边形的边数一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角和，进而求出少计算的内角． 【规范解答】解：设多边形的边数是． 依题意有， 解得：， 则多边形的边数； 多边形的内角和是度； 则未计算的内角的大小为． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点和点，的垂直平分线分别交于点和点与的延长线相交于点． (1)若的长为，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形及多边形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，可得，，可得的周长为的长，据此即可求得； （2）首先由，可得，，再根据三角形的内角和定理，可求得，，再根据四边形的内角和定理，即可求得． 【规范解答】（1）解：∵、的垂直平分线分别交于E、G两点， ∴，， 的周长； （2）解：由（1）知，， ∴，， ，， ， ， ， ，， ， ． 8．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【思路引导】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【规范解答】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 9．已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得，结合，从而可得结论； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）设， ∴， ∴，，， ∴由（2）可得， ∵平分， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ 在四边形中，． 【考点剖析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的含义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 10．已知在四边形中，，（，）． (1)_______（用含、的代数式表示）． (2)如图①，若，平分，平分与相邻的外角，请写出与的位置关系，并说明理由． (3)如图②，为与、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①当时，若，试求、； ②小明在作图时，发现不一定存在，请指出、满足什么条件时，不存在． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)①，；②当且时，不存在． 【思路引导】（1）根据四边形内角和等于直接计算即可得到答案； （2）根据（1）与时，，结合得到，根据平分，平分，得到，根据，即可得到答案； （3）①连接并延长至点，根据得到，结合平分得到，同理得到，即可得到，即可得到答案；②过点作，由①得：，，结合得到，表示出，由（1）结论及表示出，即可得到答案； 【规范解答】（1）解：∵在四边形中， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由：如答图①，延长交于点， 由（1）知：， ∴当时，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， 又∵， ， ∵，， ∴， .∴， ∴； （3）解：①如答图②，连接并延长至点， ∵， ∴， ∵平分， ∴ 同理可证，. ∵，， ∴， ，； ②如答图③，过点作， 由①得：，， ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴当时，， ∴. ∴， ， ， ， 此时，与没有交点， ∴当且时，不存在； 【考点剖析】本题考查根据角平分线求解，四边形内角和定理，平行线性质与判定，解题的关键是作出辅助线及注意整体代换的思想． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题04 多边形的概念与内角和问题『期末复习重难点专题培优』 【4个重点题型+7个难点题型+期末真题实战演练 共55题】 重点题型 分类讲练 1 题型一多边形的概念与分类 1 题型二 多边形的周长 2 题型三 多边形对角线的条数问题 3 题型四 多边形内角和问题 4 能力提升 拓展拔尖 5 题型一 多边形截角后的边数问题 5 题型二 对角线分成的三角形个数问题 6 题型三 多（少）算一个角问题 6 题型四 多边形截角后的内角和问题 7 题型五 复杂图形的内角和 8 题型六 多边形外角和的实际应用 8 题型七 多边形内角和与外角和综合 10 优选真题 实战演练 11 【基础夯实 能力提升】 11 【拓展拔尖 冲刺满分】 13 题型一多边形的概念与分类 【精讲】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在凸五边形中，，，，，，则凸五边形的面积等于（   ） A．32 B．16 C．8 D．4 【精练1】（23-24八年级下·山东临沂·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，如图1，，∴四边形是邻等四边形，如图2，在的方格纸中，三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，点在图中的格点上，符合条件的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【精练2】一个四边形的周长为48cm，已知第一条边长acm，第二条边比第一条边的3倍长2cm，第三条边等于第一，第二两条边的和． (1)求出表示第四条边长的代数式； (2)当a＝cm时，这4条线段首尾相接，还能得到四边形吗?若能，请简要说明理由，若不能，说明它是什么图形． 题型二 多边形的周长 【精讲】（24-25八年级下·浙江·月考）在一个正五边形 的主题公园步道上，其总长度为 2000 米，小李和小张分别从 两点同时开启步行之旅，沿着步道的顺时针方向行进，小李的步行速度为每分钟 50 米，小张的步行速度为每分钟 46 米．请问，从出发开始计时，经过__________时间，小李和小张首次处于同一段步道上． 【精练1】如图是一块电脑主板，每一个转角处都是直角，数据如图所示，单位是，则该主板的周长为_____． 【精练2】（2024七年级上·全国·专题练习）已知正六边形的周长是，则这个多边形的边长等于___________． 题型三 多边形对角线的条数问题 【精讲】如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形共有对角线_____条． 【精练1】已知一个多边形的内角和是外角和的2倍． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形的对角线条数． 【精练2】探究归纳题： (1)试验分析： 如图1，经过一个顶点（如点）可以作___________条对角线，它把四边形分为___________个三角形； (2)拓展延伸： 运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为___________个三角形； (3)探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为___________个三角形．（用含的式子表示） (4)特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为___________个三角形． 题型四 多边形内角和问题 【精讲】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）中，E，F分别是中点，分别过E，F作垂线，交所在直线于G，H点，直线交于D点，． (1)如图1，若G，H重合，求m的值； (2)如图2，，求的大小； (3)如图3，E，F分别是中点， ，，，G点在线段上，H点在延长线上，试探究与m的数量关系，并说明理由． 【精练1】如图，在七边形中，的延长线相交于点．若图中，，，的角度和为，则的度数为______．    【精练2】．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）【问题背景】如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做为“对角互补四边形”． 【问题解决】 (1)若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； (2)如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长（用含m、n的代数式表示）． 题型一 多边形截角后的边数问题 【精讲】一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 【精练1】（24-25八年级上·广东惠州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【精练2】若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（　　） A．4或5 B．3或4 C．3或4或5 D．4或5或6 题型二 对角线分成的三角形个数问题 【精讲】过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（    ） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 【精练1】（25-26七年级上·甘肃天水·期末）从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【精练2】如图所示，按某种方法将多边形分割成若干个三角形．图①中的三角形可分割出2个三角形，图②中的四边形可分割出3个三角形，图③中的五边形可分割出4个三角形，……．以此类推，n边形可分割出________个三角形． 题型三 多（少）算一个角问题 【精讲】（25-26八年级下·河南郑州·期中）先阅读明明和芳芳的对话，再解答下列问题： (1)通过计算，明明发现自己少加了一个锐角，那么这个“少加的锐角”的度数是________． (2)明明求的是几边形的内角和 【精练1】（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题： (1)内角和是，小明为什么说不可能？ (2)小芳求的是几边形的内角和？ 【精练2】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角和时： (1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ (2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为，则n的值是多少？ 题型四 多边形截角后的内角和问题 【精讲】（24-25八年级上·四川德阳·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其外角和的5倍，则原来多边形的边数是（   ） A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13 【精练1】（23-24八年级上·浙江杭州·月考）多边形截去一个角，形成新多边形内角和是，则原多边形的边数是____________ ． 【精练2】（23-24八年级上·四川绵阳·期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是．则原来多边形的边数可能是（    ） A．10或11 B．11 C．11或12 D．10或11或12 题型五 复杂图形的内角和 【精讲】如图，的度数为___________． 【精练1】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【精练2】（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 题型六 多边形外角和的实际应用 【精讲】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．图①中的窗棂是冰裂纹窗，图②是这种窗棂中的部分图案．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【精练1】（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，若，且，求行程中小红身体转过的角度的和（图的值）______． 【精练2】（23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 题型七 多边形内角和与外角和综合 【精讲】（2024·浙江杭州·一模）问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α． ①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）． （2）若一个n边形，除了一个内角，其余内角的和为，求n的值． 深入探究： （3）探索n边形的一个外角与和它不相邻的个内角的和之间满足的等量关系，说明理由． 【精练1】（1）若多边形的内角和为，求此多边形的边数； （2）一个n边形的每个外角都相等，如果它的一个内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【精练2】（1）结合图1中的四边形，证明四边形的外角和是； （2）图2中在四边形中，平分，，为中点，求证：． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，是五边形的4个外角，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将一等边三角形剪去一个角后，等于（    ） A． B． C． D． 3．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．6 C．9 D．10 4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果一个多边形每个外角都等于，那么它的内角和是________． 6．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在和中，，，，连接，，，三点在同一直线上，连接，．以下五个结论： ； ； ； ； ．其中正确的结论是______．（填序号）． 7．（25-26八年级上·山西忻州·期中）如图，这是某校园小公园中的腾飞雕塑的平面示意图．已知雕塑的右边边线和底座都与地面垂直，同时，与的夹角，与底座的夹角，求的度数． 8．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知一个多边形的内角和比外角和的2倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 9．（25-26八年级上·广东江门·期中）综合与实践 阅读材料：与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边形．容易发现，三角形是最简单的多边形．小聪同学想，三角形的内角和是，那么四边形、五边形、n边形的内角和会是多少度呢？小聪同学再想一下，能不能把多边形转化为三角形，从而得到多边形的内角和呢？ (1)于是他从四边形开始．如图1，四边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到两个三角形，则四边形的内角和是 ． (2)如图2，五边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到三个三角形，则五边形的内角和是 ． (3)如图3，六边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到四个三角形，则六边形的内角和是 ． (4)如图4，如此类推，n边形从一个顶点出发，连接与它不相连的顶点就会得到 个三角形，则n边形的内角和是 ． 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，五边形中．平分交于点平分交于点G． (1)求的度数（用含的代数式表示）； (2)求证：． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．如图，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 5．已知多边形每个内角都等于，则这个多边形是___边形． 6小明在计算一个多边形内角和是，经检验发现少算一个角，则少算的这个角度数数为________． 7．（25-26八年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点和点，的垂直平分线分别交于点和点与的延长线相交于点． (1)若的长为，求的周长． (2)若，求的度数． 8．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 9．已知在中，是边上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，平分交于点F，交外角平分线于点P，过F作交于G，请猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点P作于点G，若，且，过点P作交的延长线于点H，求的度数． 10．已知在四边形中，，（，）． (1)_______（用含、的代数式表示）． (2)如图①，若，平分，平分与相邻的外角，请写出与的位置关系，并说明理由． (3)如图②，为与、相邻的外角平分线所在直线构成的锐角． ①当时，若，试求、； ②小明在作图时，发现不一定存在，请指出、满足什么条件时，不存在． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $