专题03 一元二次方程的应用【期末复习重难点专题培优十一大题型】-2025-2026学年数学浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用的11类核心题型，通过分类讲练与真题实战，系统构建从实际问题抽象等量关系的建模能力，强化数学应用意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |传播问题|1精讲+2精练|病毒/信息传播模型|基于“初始量×(1+传播率)^轮次”建立方程| |增长率问题|1精讲+2精练|产量/销量增长情境|通过“基准量×(1+增长率)^时间=目标量”构建等量关系| |图形问题|1精讲+2精练|矩形/长方体面积与边长关系|结合几何图形性质转化为二次函数最值问题| |数字/图表/握手等问题|8类题型各含1精讲+2精练|日历数字、比赛场次等实际场景|均通过“审清题意→抽象数量关系→列一元二次方程→求解验证”逻辑链解决|

2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 一元二次方程的应用『期末复习重难点专题培优』 【11个重点题型+期末真题实战演练 共55题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 1 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 3 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 5 题型四 数字问题（一元二次方程的应用 10 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 12 题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 14 题型七 工程问题（一元二次方程的应用） 19 题型八 行程问题（一元二次方程的应用） 22 题型九 图表信息题（一元二次方程的应用） 25 题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 27 题型十一 其他问题（一元二次方程的应用） 30 优选真题 实战演练 34 【基础夯实 能力提升】 34 【拓展拔尖 冲刺满分】 38 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据病毒传播过程，初始感染台数加上每轮新增感染台数，两轮后总感染台数为147，列方程求解即可． 【规范解答】解：∵初始感染服务器数为3台， 第一轮传播中，每台感染x台，新增感染数为台，第一轮后总感染数为台， 第二轮传播中，有台服务器，每台感染x台，新增感染数为台， ∴两轮后总感染数为． 故选：A． 【精练1】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 【精练2】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 【答案】(1)12只 (2)2197只 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式． （1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可； （2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论． 【规范解答】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得： ， 解，得，，(不符合题意舍去)， 答：每只病鸡传染健康鸡12只； （2）解：， 答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只． 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术． (1)经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率． (2)在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？ 解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉． ①当时，总净利润为：元元，不满足题意， 当时，总净利润为：_____（列方程）； ②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉． 【答案】(1)30%； (2)①；②应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，涉及增长率和利润问题．解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）根据亩产量的两年增长关系，列一元二次方程解答即可． （2）当作业面积时，超过60亩的部分为亩，每亩净利润降低元，故每亩净利润为元．根据，列方程解答即可． 【规范解答】（1）解：依题意，得 ， 解得：（舍）， 因增长率为正，故舍去负根， ∴增长率为． 答：年平均增长率为30%； （2）解：①当时，总净利润为：； ②， 解得：， 因为合作社共拥有山核桃林100亩，所以，故不符合题意，应舍去， ∴． 答：应该安排70亩山核桃林进行无人机授粉． 【精练1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【答案】(1) (2)55元 【思路引导】（1）设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，根据10月份售出200个，12月份售出242个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的销售价定为y元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【规范解答】（1）解：设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为x，依题意得： 解这个方程得：，（不符合题意，舍去） 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的销售价定为y元． 解这个方程得，，． 因为要尽可能的让顾客得到实惠， 所以． 答：该品牌头盔的销售价应定为55元． 【精练2】（25-26八年级下·浙江·期中）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 【答案】(1)35元 (2) 【思路引导】（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可； （2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元， 这周的销售量为个， 由题意，得， 整理得，解得，． 因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元； 答：售价应定为35元． （2）解：设这两周销售量的平均增长率为． 由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个）， 则， 解得，（舍去）． 答：这两周销售量的平均增长率为． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【答案】(1)，的长为23米． (2)不能，见解析 【思路引导】（1）①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； （2）根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【规范解答】（1）解：①由题意得，，而， ∴ ∴米； ②由题意得，， 解得，． ， ∴， ∴不符合题意， 的长为23米． （2）解：养蜂场的面积不能达到230平方米，理由如下： 由题意得， ， ∵ ∴， ∴， 由题意得， 整理得， ， ∴该方程无实数根， ∴养蜂场的面积不能达到230平方米． 【精练1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【答案】(1)； (2)10 (3)不能 【思路引导】（1）根据题意可知，裁剪了，据此写出代数式即可； （2）利用（1）的代数式，结合面积公式列出方程解答即可； （3）根据图示得出该收纳盒的高为，然后表示出收纳盒底面的长和宽，结合面积公式列出方程求得收纳盒的高，进而得到收纳盒的长和宽，即可判断． 【规范解答】（1）解：根据题意无盖收纳盒的底面长；底面宽； （2）解：∵无盖收纳盒的底面长；底面宽；底面积为， ∴， 解得或， ∵底面宽，即， ∴舍去， ∴， 答：裁去小正方形的边长x的值为10． （3）解：根据题意可知，收纳盒的高为， 则盒子的底面的矩形中，， ∵收纳盒的底面积为， ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴收纳盒的高为，，， ∵书本为，宽为，厚度为， ∴书本的最大边长大于收纳盒的最大边长， ∴书本不能完全放入该收纳盒内． 【精练2】（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将正方形沿图中虚线剪成三块，用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形（图中的，，是相应线段的长度）． (1)若，求与的值； (2)求正方形与长方形的周长之比． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】（1）由题意易得长方形的长为，宽为，然后可得，则有，进而问题可求解； （2）正方形的周长为，长方形的周长为，然后根据（1）中可进行求解． 【规范解答】（1）解：根据题意，得长方形的长为，宽为， 长方形的长与宽之比为，且正方形的面积等于长方形的面积， ， ． ， （负值舍去）， ， ． （2）解：正方形的周长为， 长方形的周长为， 它们的周长之比． 由（1）知，， 可得，所以正方形与长方形的周长之比为． 题型四 数字问题（一元二次方程的应用 【精讲】（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 根据日历的特点列出方程即可． 【规范解答】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为16， 这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：． 故答案为：． 【精练1】（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【答案】(1) (2)最小的数为20 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键． （1）观察日历表即可推出； （2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理． 【规范解答】（1）解：观察图形可得， 故答案为：； （2）解：设最小的数为，则． 由题意可得，整理得， 解得（舍去）， 最小的数为20． 【精练2】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． (1)降价5元时，日销量增加了多少个？ (2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)降价5元时，日销量增加了个； (2)当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【思路引导】（1）根据玩偶售价每降价1元，日销量可增加5个列式计算即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，降价5元时，日销量增加了（个）， 答：降价5元时，日销量增加了个； （2）解：设降价元，则单个玩偶的利润为元，销量个， 由题意得 ， 解得（舍去），， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】(1)； (2)每顶头盔应降价10元 【思路引导】（1）根据利润售价进价，列出代数式即可得到每顶头盔的利润；再利用平均每周的销售量，即可得到销售量； （2）利用每周的销售利润每顶的销售利润每周的销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可求出的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于元，即可确定结论． 【规范解答】（1）解：∵进价为每顶50元，原售价为每顶78元， ∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元； ∵售价为每项78元，平均每周可售出200顶，每降价2元，平均每周可多售出40顶， ∴销售量顶； （2）解：由题意得     ，， 每顶售价不高于68元，且， 答：每顶头盔应降价10元． 【精练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 【答案】(1)184册 (2)元 (3)8元 【思路引导】（1）根据题意得到增加的费用，再用增加的费用得到未被借出的册数，最后，用总册数未被借出的册数=图书的借阅量即可； （2）根据每本书的月借阅费增加a元，得未被借出的图书数量为册，进而得到借出的图书数量为册，最后，运用每册月维护成本借出的图书数量未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量，即可得出月维护与管理成本的总和； （3）根据题意找出等量关系式：(每本书的月借阅费-每本书的维护成本)借出的图书数量-未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润，列出关于x的方程，然后，解方程即可． 【规范解答】（1）解：(元)，(册)， ∴借出的图书为（册）；                        （2）解：∵每本书的月借阅费增加a元， ∴未被借出的图书数量为册， 借出的图书数量为册，则月维护与管理成本的总和为：， 整理，得  ， ∴该图书室月维护与管理成本的总和为元； （3）解：设每本书的月借阅费为x元，则该月未被借出的图书册数为， 可列方程：， 解得， 由题意，月借阅费增加不超过5元，即，解得，故舍去， ∴若每月借阅利润为1144元，则每本书的月借阅费为8元． 题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【答案】(1)；； (2)或 (3)四边形的面积不能等于，理由见解析 (4)运动时间时，四边形APQC的面积最小 【思路引导】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可； （4）将四边形面积变形得，根据即可求解． 【规范解答】（1）解：∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． （3）解：由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∴四边形的面积不能等于； （4）解：②， ∵， ∴， ∴运动时间时，四边形APQC的面积最小． 【精练1】（24-25九年级上·广西来宾·月考）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系正确列方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据题意可得，，再根据三角形面积公式分两种情况求解即可． 【规范解答】解：设运动时间为秒，则，， ∵，， ∴， ∵线段将分成面积1：2的两部分， ∴或， ∴或， 解得，， ∴线段将分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4秒． 故选：C． 【精练2】（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【思路引导】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【规范解答】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【考点剖析】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 题型七 工程问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【精练1】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【思路引导】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【考点剖析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 【精练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【思路引导】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【规范解答】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【考点剖析】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 题型八 行程问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 【精练1】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【精练2】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 题型九 图表信息题（一元二次方程的应用） 【精讲】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【规范解答】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 【精练1】如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【思路引导】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【精练2】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 【答案】(1)x（90－x）元 (2)50度 【思路引导】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解； （2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵规定用电x度， ∴用电90度超过了规定度数（90－x）度， ∵超过部分按每度元交电费， ∴超过部分应交的电费为x（90－x）元． （2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得 x（80－x）＝25－10． 整理得x2－80x＋1500＝0． 解这个方程得x1＝30，x2＝50． 根据题意得：3月份用电45度只交电费10元， ∴电厂规定的x≥45， ∴x1＝30不合题意，舍去． ∴x＝50． 答：电厂规定的x度为50度． 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【规范解答】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 【精练1】“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，关键是理解双循环赛制的比赛场次计算逻辑，根据总比赛场数列写方程． 每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有支球队，比赛场次共有场，再根据共有30场比赛活动来列出方程，求解即可． 【规范解答】解：双循环赛制下，每两支球队间进行两场比赛，设参赛球队有支， 每支球队都要进行个主场比赛，总比赛场次为场． 又小组赛阶段共比赛30场， 可列方程． 故选：B． 【精练2】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用—比赛积分问题，先根据比赛规定，可知选手的总人数为人；则每位选手比赛的场次为场，而选手这次比赛共得分，即选手每场都获胜，即可得出结论．了解单循环赛的规则及积分规定，求出参加比赛选手的总人数是解题的关键． 【规范解答】解：∵全部选手总分为分， ∴比赛的场次为， 设选手人数为人， 依题意，得：， 解得：，（舍去）， ∴选手人数为人， ∵每局赢者得分，每位选手比赛的场次为场，每位选手最高可得（分），又∵选手这次比赛共得分， ∴选手一定能成为冠军． 故选：D． 题型十一 其他问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【答案】(1)750万元 (2)4万人 【思路引导】（1）根据题意，列出代数式，将数值直接代入即可． （2）先判断的取值范围，再根据范围列出票务收入的代数式，根据票务收入等于票务收入代数式列一元二次方程求解． 【规范解答】（1）解：∵4月30日为平日票， ∴门票为200元/张， ∴票务收入为： ， 将代入（万元）， （2）解：∵5月5日为假期， ∴门票价格为240元/张， 若每位游客都没有购买快速通道票，则（万人），与题意不符， 所以游客人数大于等于万人， 此时票务收入为：， 则，解得或， ∵游客上限是5万人， ∴， 即5月5日游客人数为4万人． 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 【答案】(1)6米 (2) (3)12500；250 【思路引导】（1）根据矩形的面积公式列出方程，解方程得到答案； （2）根据题意列出关系式即可； （3）利用素材3的思路即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：道路的宽是6米； （2）解：根据题意可得， （3）解：， ， ， ∴当时，的最大值是， 此时每个车位月租金为（元）． 【精练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计，某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元（）． 包装规格 含量（千克／袋） 2 1 成本（元／袋） 10 5 售价（元／袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【答案】(1)能，包装洗衣粉的售价为30或35元 (2)①，②达不到1450元，见解析 【思路引导】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，由此列方程求解即可； （2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，由此列式求解即可； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），由此列式求解即可． 【规范解答】（1）解：能，理由如下， 由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋， ∴， 解，得， ∴（元）或（元）， 包装洗衣粉的售价为30或35元； （2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克， ∴， 化简，得； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元）， ∴日总利润为 ， ∴， 此时， ∴达不到1450元． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【规范解答】解：设这两年客流量的年平均增长率为x， 由题意得：． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【规范解答】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米， 由题意，得：. 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）受国际油价影响，2026年我国汽油价格总体呈上升趋势，温州市95号汽油价格一月底是元/升，三月底涨至元/升．设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据一月底和三月底的油价，即可列出正确方程． 【规范解答】解：设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为， 由题意得，． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 【答案】 【规范解答】根据题意，原价为118元，降价百分率为x，可得第一次降价后的售价为． 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上下降x，因此第二次降价后的售价为76，所以可列方程为． 5．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为，可列方程为______________． 【答案】 【思路引导】根据平均增长率的等量关系，列出方程即可. 【规范解答】解：由题意，可列方程为. 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 【答案】 【思路引导】列一元二次方程解决实际问题． 【规范解答】解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得： ， 解得，（舍去）． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【思路引导】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 【规范解答】解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 8．（23-24八年级上·上海金山·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 【答案】鸡场的长和宽各为15米和10米． 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，一面靠墙的矩形面积求法以及判断方程是否有解问题，理清题意，正确列出方程并解方程是解题的关键． 设宽为米，然后用含有的式子表示出长，再根据矩形面积列出方程并解方程即可． 【规范解答】解：设垂直于墙面的一边长为米，则墙对面的一边长为米，即米， 根据题意得，， 整理得， 解得，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去． 答：鸡场的长和宽各为15米和10米． 9．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【思路引导】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热． 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆． 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆． 【答案】(1) 月增长率为 (2) 应将实际售价定为元/辆 【思路引导】（1）利用4月份的销售量=2月份的销售量，解方程取符合题意的解即可得出结论； （2）售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆，则涨价金额为元，对应销量减少辆，实际销量为：辆，然后构造等量关系即可求解． 【规范解答】（1）解：设遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为， ， 解得：，（舍去）， 答：遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率为， （2）解：设遥控积木赛车的实际售价定为元/辆， 解得： 则遥控积木赛车的实际售价定为元/辆． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先理清每轮传染后的患病人数变化，根据传染过程逐步推导总人数，即可列出对应方程． 【规范解答】解：设平均每轮每人传染了个人， ∵初始有1人患流感， 第一轮传染后，新增个患病人数，总患病人数为个， 第二轮传染中，现有个病人，每人传染人，因此新增患病人数为个， ∴两轮传染后总患病人数为，即． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮．已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度．若设道路宽为米，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【规范解答】解：由题意可得，． 3．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【规范解答】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4．用一段长的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的长方形菜园，则这个长方形菜园的最大面积是_______． 【答案】 【思路引导】设这个长方形菜园平行于墙的一边长为x米，则垂直于墙的一边长为米，由面积公式得函数关系式，根据二次函数图象性质求解； 【规范解答】解：设这个长方形菜园平行于墙的一边长为米，则垂直于墙的一边长为米， 面积， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，面积最大为． 5．（25-26八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 【答案】 【思路引导】根据题意可得正方形休闲广场的边长为，根据两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等建立方程可求出步道的宽；设区域丙的边长为，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，那么长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多的长度乘以区域丙的边长即为长方形区域甲的面积比长方形区域乙多的面积，据此建立方程求出区域丙的边长即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴步道的宽为； 设区域丙的边长为， 由题意得，长方形区域甲和长方形区域乙的宽相等，长方形区域甲的长比长方形区域乙的长多， ∵长方形区域甲的面积比长方形区域乙大， ∴， ∴， ∴塑胶跑道的总面积为． 6．（25-26九年级上·广东梅州·期中）数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为______． 【答案】 【思路引导】根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程求出m的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，理解图解法的含义是解答本题的关键． 【规范解答】解：根据题意，构造图形如图所示： 则，， ， ， 即m就是的一个正根， ， 解得：，不符合题意，舍去， 故答案为： 7．（25-26八年级下·浙江台州·期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 【答案】(1) (2)2万元 【思路引导】（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解； （2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可． 【规范解答】（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x， 由题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为； （2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴（万元）． 答：下调后每架无人机的售价为2万元． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中） 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)30元 (3)能；10元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x，根据正月初一的客运收入为5万元，正月初三的客运收入达到7.2万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份，根据使平均每天的销售利润达到1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份，根据平均每天能否获利1600元，列出一元二次方程，然后由根的判别式即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 即从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率为； （2）解：设降价m元，则下调后定价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 则， 即下调后每份套餐的售价是30元； （3）解：设每份套餐应降价y元，则下调后每份套餐的售价为元，销售量为份， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴原方程有两个相等的实数根， 解得， 则该店平均每天能获利1600元，每份套餐应降价10元． 9．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【思路引导】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 10．学校手工坊的成员们想利用一张长18分米，宽11分米的矩形铁皮，制作长方体铁盒，用于存放工具盒（工具盒尺寸为3分米分米分米，任意面均可作为底面）． 原始方案 AI   设计思路：将铁皮剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体铁盒 改进方案 AI   设计思路：将铁皮剪去四个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体无顶盖铁盒 (1)原始方案中，设小正方形的边长为分米，若该铁盒的底面积为30平方分米，求的值，并求出这个铁盒最多能容纳工具盒的个数． (2)为了增加长方体铁盒的容积，社团成员小伟提出，能否用该铁皮设计一款无顶盖的铁盒的改进方案，使其能容纳尽量多的工具盒【说明：铁片剪去的部分不再拼接使用，工具盒存放时不可高出铁盒】是否有可能放下32个工具盒？如果可以，请求出此时铁盒高度，并说明摆放方法（允许画草图说明）；如果不能，请写出你最多能放几个？ 【答案】(1)；15个 (2)能设计一个容纳32个工具盒的铁盒，此时铁盒的高度为，摆放方法见解析 【思路引导】（1）设小正方形的边长为分米，则这个铁盒的底面边长分别为：分米，分米，根据底面积为平方分米，列出方程，解方程，得出铁盒的长、宽、高，然后求出可以容纳工具盒的个数即可； （2）设小正方形的边长为y分米，则无盖的长方体铁盒的长为分米，宽为分米，高为y分米，分别求出，，，，时，铁盒可以容纳工具盒的个数，然后进行判断即可． 【规范解答】（1）解：设小正方形的边长为分米，则这个铁盒的底面边长分别为：分米，分米，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， ∴铁盒的底面边长分别为：（分米），（分米）， ∴铁盒的长、宽、高分别为6分米、5分米、3分米， ∵工具盒尺寸为3分米分米分米， 又∵，，， ∴这个铁盒最多能容纳工具盒的个数为（个）． （2）解：设小正方形的边长为y分米，则无盖的长方体铁盒的长为分米，宽为分米，高为y分米， 当时，长为16分米，宽为9分米，高为1分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为14分米，宽为7分米，高为2分米，先将工具盒以边长为和的面作为底，平放上两层，可以放个，再将工具盒以边长为和的面作为底，放上一层，可以放4个，如图所示： 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为12分米，宽为5分米，高为3分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为10分米，宽为3分米，高为4分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为8分米，宽为1分米，高为5分米，将工具盒以边长为和的面作为底，平放上一层，如图所示： 此时最多可以容纳工具盒个， 综上，可以设计一个容纳32个工具盒的铁盒，此时铁盒的长为14分米，宽为7分米，高为2分米，先将工具盒以边长为和的面作为底，平放上两层，这样放个，再将工具盒以边长为和的面作为底，放上一层，这样放4个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年浙教版新教材数学八年级下册期末复习重点难点专题培优练 专题03 一元二次方程的应用『期末复习重难点专题培优』 【11个重点题型+期末真题实战演练 共55题】 重点题型 分类讲练 1 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 1 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 2 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 3 题型四 数字问题（一元二次方程的应用 5 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 7 题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 8 题型七 工程问题（一元二次方程的应用） 9 题型八 行程问题（一元二次方程的应用） 11 题型九 图表信息题（一元二次方程的应用） 12 题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 13 题型十一 其他问题（一元二次方程的应用） 14 优选真题 实战演练 16 【基础夯实 能力提升】 16 【拓展拔尖 冲刺满分】 19 题型一 传播问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·重庆·期末）某网络平台遭遇黑客袭击导致服务器感染病毒，最初有3台服务器感染病毒，经过两轮传播后共有147台服务器被感染，设每轮传播中平均一台服务器感染x台服务器，则根据题意可列方程为（） A． B． C． D． 【精练1】（25-26九年级上·湖北孝感·阶段检测）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【精练2】鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同． (1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？ (2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？ 题型二 增长率问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知某山核桃种植合作社拥有山核桃林100亩．往年采用传统人工授粉，平均每亩的产量为100千克．今年，该合作社决定全面采用无人机辅助授粉新技术． (1)经过测算，若采用无人机授粉，核桃的亩产量将得到提升，假设亩产量的年平均增长率为，经过两年（即两次增长周期）的技术优化与推广，预计每亩产量将达到169千克．请根据题意，列出关于的一元二次方程，并求出年平均增长率． (2)在考虑成本与收益时，合作社发现：无人机授粉虽然提高了产量，但也增加了投入，已知当无人机授粉的作业面积不超过60亩时，作业面积的每亩净利润为3400元；若作业面积超过60亩，由于设备调度和花粉损耗增加，每增加1亩，所有作业面积的每亩净利润就会降低20元．若该合作社希望今年作业面积的总净利润为224000元．请问他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉？ 解：设他们应该安排亩山核桃林进行无人机授粉． ①当时，总净利润为：元元，不满足题意， 当时，总净利润为：_____（列方程）； ②求出他们应该安排多少亩山核桃林进行无人机授粉． 【精练1】（25-26八年级下·浙江宁波·期中）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的冬季销售量，其中10月份售出200个，12月份售出242个． (1)求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． (2)此种品牌头盔每个进货价为30元调查发现，当销售价为40元时，月均销售量为600个，而当销售价每上涨1元时，月均销售量将减少10个，为使月均销售利润达到11250元，而且尽可能让顾客得到实惠，该品牌头盔的销售价应定为多少元? 【精练2】（25-26八年级下·浙江·期中）2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个． (1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？ (2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率． 题型三 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）小澜家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙，小澜打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为48米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图1，当时， ①____米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为92平方米，求的长． (2)如图2，当时，养蜂场的面积是否可以达到230平方米？并说明理由． 【精练1】（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探究完成任务： 制作长方体收纳盒 背景 某校数学项目化学习小组准备了一些长为，宽为的长方形硬纸板，准备利用纸板做长方体收纳盒（接缝处忽略不计） 方案甲 如图1所示，甲活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个边长均为的小正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒，盒子的底面是矩形 方案乙 如图2所示，乙活动小组在长方形纸板的四个直角处裁掉四个长均为宽均为的小长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面是矩形 (1)任务一：请用含x的代数式表示：方案甲制作出的无盖收纳盒的底面长为 ，底面宽为 ． (2)任务二：若方案甲制作出的无盖收纳盒的底面积为，求裁去小正方形的边长x的值． (3)任务三：若方案乙制作出的有盖收纳盒的底面积为，请通过计算判断，图3中长为，宽为，厚度为的书本能否完全放入该收纳盒内． 【精练2】（25-26八年级下·浙江·期中）如图，将正方形沿图中虚线剪成三块，用这三块图形恰能拼成一个长与宽之比为的长方形（图中的，，是相应线段的长度）． (1)若，求与的值； (2)求正方形与长方形的周长之比． 题型四 数字问题（一元二次方程的应用 【精讲】（24-25九年级上·山西晋城·期中）如图是2024年10月的月历表，在这个月历表上可以用一个矩形框圈出9个数．若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为297，设最小数为，则可列方程为__________． 【精练1】（24-25九年级上·河南周口·阶段检测）如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题． (1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）． (2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数． 【精练2】（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 题型五 营销问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个． (1)降价5元时，日销量增加了多少个？ (2)当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元，平均每周的销售量为顶． (1)每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是________元，销售量为________顶（用含的代数式表示）． (2)若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【精练2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 题型六 动态几何问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（24-25八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边AB向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为xs． (1)用含x的式子表示：______cm，______，______； (2)当的面积为时，求运动时间； (3)四边形APQC的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． (4)①阅读材料：求代数式的最小值．解：．因为，所以，所以的最小值是2． ②解决问题：运动时间x为何值时，四边形APQC的面积最小？ 【精练1】（24-25九年级上·广西来宾·月考）如图所示，中，，，，点P从A点开始沿向B点以的速度移动，点Q从B点开始沿边向C点以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么多少秒后，线段将分成面积1：2的两部分（     ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 【精练2】（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 题型七 工程问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【精练1】甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【精练2】“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 题型八 行程问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【精练1】（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【精练2】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 题型九 图表信息题（一元二次方程的应用） 【精讲】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【精练1】如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【精练2】某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费． (1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示） (2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少． 月份 用电量/度 交电费总数/元 2月 80 25 3月 45 10 题型十 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【精练1】“村”是指乡村篮球赛，近年来，“村”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．某地经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛）．已知整个小组赛阶段共比赛30场，设参加比赛的球队有支，可得方程（    ） A． B． C． D． 【精练2】（2024八年级下·浙江温州·竞赛）瑞安市举行中学生象棋比赛实行的是循环赛，因此每个选手都必须与其他选手赛一场，既若有人参加，共赛一局；若有人参加，共赛局；若有人参加，共赛局……并且规定：每局赢者得分，输者得0分，如果平局，两个选手各得分．经统计，全部选手总分为分，试问如果选手这次比赛共得分，有无可能成为冠军？（    ） A．无可能 B．有可能 C．不能确定 D．一定能 题型十一 其他问题（一元二次方程的应用） 【精讲】（25-26八年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 课题：游乐园收益大揭秘 素材1 2026年五一长假即将来临，各游乐园将迎来客流高峰．某游乐园的游客上限为5万人，门票价格规定如下：平日票200元/张；假日票（比平日多玩1小时）240元/张；快速通道票：60元/张． 素材2 国家法定节假日售卖假日票，如5月1日-5月5日，其余日期售卖平日票．游客都需购买门票入园，玩项目时可以使用快速通道票，减少排队时间，一张快速通道票只能用于一个项目使用． 素材3 由以往数据统计得出：若设游客人数为万人，购买快速通道票的人数为万人，这万人平均每人购买张快速通道票，则当时，购买快速通道票的人可忽略不计；当时，有，且． 问题解决： (1)任务1：计算平日票务收入，预计4月30日游客人数有3万人，则当天该游乐园票务收入为多少万元？ (2)任务2：计算人数，若假期最后一天5月5日票务收入为1200万元，则游客人数有多少？ 【精练1】（25-26八年级下·浙江温州·期中）综合与实践 新能源汽车停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知，，阴影部分设计为停车位，面积为，车位总数为60个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式的最大值．方法如下：∵，由，得；∴代数式的最大值是7． (1)求道路的宽是多少米？ (2)设该停车场收到的月租金为y元，当每个车位的月租金上涨m（m是5的倍数）元时，试用含m的代数式表示停车场的月租金y． (3)请求出该停车场月租金收入最高为多少元，此时每个车位月租金为多少元？ 【精练2】（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计，某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元（）． 包装规格 含量（千克／袋） 2 1 成本（元／袋） 10 5 售价（元／袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某城市2024年轨道交通客流量为6000万人次，到2026年客流量增长至7260万人次．设这两年客流量的年平均增长率为x，则可列方程（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为20米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块96平方米的长方形菜地作为实践基地．如图所示，设长方形的一边长为米，根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）受国际油价影响，2026年我国汽油价格总体呈上升趋势，温州市95号汽油价格一月底是元/升，三月底涨至元/升．设温州市95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某服装店搞促销活动，将一款原价为118元的衬衣第一次降价后，销售量仍然不好，又进行第二次降价，两次降价的百分率相同，现售价为76元，设降价的百分率为，可列出方程__________． 5．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期中）袁隆平率领的科研团队在“中国超级稻育种计划”的第二期实现超级稻亩产量800千克的目标，第四期实现超级稻亩产量1000千克的目标．如果第三、四期亩产量的增长率相同，设每期亩产量的平均增长率为，可列方程为______________． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________． 7．（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 8．（23-24八年级上·上海金山·期中）如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 9．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 10．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）根据以下素材，探索完成以下任务： 任务背景 2026年春节档，《飞驰人生3》票房一骑绝尘．在此期间，咔搭CaDA联名推出遥控积木赛车，开售即火热． 数据信息 素材1：经销售部统计，该遥控积木赛车在2月份销售20000辆，4月份销售28800辆，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同． 素材2：根据市场部反馈，当每辆遥控积木赛车售价为200元时，且销售量为20000辆，在此基础上售价每涨1元，则月销售量将减少100辆． 问题解决 (1)根据素材1中的信息，请求出遥控积木赛车在2月份到4月份销售量的月增长率； (2)从生产部得知，该遥控积木赛车的生产成本为每件160元，为使月销售利润达到1440000元，则应将遥控积木赛车的实际售价定为多少元/辆． 【拓展拔尖 冲刺满分】 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有个人患了流感，设平均每轮每人传染个人，则下列等式成立的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）学校打算在一块长100米、宽80米的矩形空地上建造两条宽度相同且相互垂直的道路，其余地方用来种草皮．已知种草皮的面积要达到7644平方米，求道路的宽度．若设道路宽为米，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 3．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．用一段长的篱笆围成一个一边靠墙（墙长为）的长方形菜园，则这个长方形菜园的最大面积是_______． 5．（25-26八年级下·浙江温州·月考）阳光小区附近有一块长，宽的长方形空地，在空地上有两条相同宽度的步道（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲广场，两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积相等，如图1所示，设步道的宽为．则步道的宽为_____；方便市民进行跑步健身，现按如图2所示方案增建塑胶跑道．已知塑胶跑道的宽为，长方形区域甲的面积比长方形区域乙大，且区域丙为正方形，塑胶跑道的总面积为____． 6．（25-26九年级上·广东梅州·期中）数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．利用以上方法解关于x的一元二次方程时，若构造后的图形满足，则m的值为______． 7．（25-26八年级下·浙江台州·期中）随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备． (1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率． (2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中） 背景 2026年春日经济持续升温，赏花游、文旅体验类消费爆发，各大景区及周边商户抢抓商机，相关消费数据持续刷新纪录，成为春季经济的核心增长点． 素材1 某景区春日赏花专线正月初一的客运收入为5万元，随着花期进入盛期，游客量激增，正月初三的客运收入达到7.2万元． 素材2 为承接赏花游客流，景区旁的特色餐饮店推出“花田春味”套餐．已知该套餐的食材成本为20元/份，当定价为50元/份时，平均每天可售出40份；调研发现，售价每降低2元，平均每天就能多售出8份．若该店计划下调售价，使平均每天的销售利润达到1200元． 问题解决 (1)求从正月初一到正月初三该景区春日赏花专线客运收入的日平均增长率． (2)根据素材2，为尽可能多的售空“花田春味”套餐库存，求下调后每份套餐的售价． (3)根据素材2，该店平均每天能否获利1600元？若能，请求出每份套餐应降价多少元；若不能，请说明理由． 9．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 10．学校手工坊的成员们想利用一张长18分米，宽11分米的矩形铁皮，制作长方体铁盒，用于存放工具盒（工具盒尺寸为3分米分米分米，任意面均可作为底面）． 原始方案 AI   设计思路：将铁皮剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体铁盒 改进方案 AI   设计思路：将铁皮剪去四个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体无顶盖铁盒 (1)原始方案中，设小正方形的边长为分米，若该铁盒的底面积为30平方分米，求的值，并求出这个铁盒最多能容纳工具盒的个数． (2)为了增加长方体铁盒的容积，社团成员小伟提出，能否用该铁皮设计一款无顶盖的铁盒的改进方案，使其能容纳尽量多的工具盒【说明：铁片剪去的部分不再拼接使用，工具盒存放时不可高出铁盒】是否有可能放下32个工具盒？如果可以，请求出此时铁盒高度，并说明摆放方法（允许画草图说明）；如果不能，请写出你最多能放几个？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $