专题05 分式全章40大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 以“概念-性质-运算-应用”为逻辑主线，系统覆盖分式全考点，融合分离常数法、换元法等解题技巧，突出抽象能力与模型意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念性质|题型1-17（17题型）|分式定义判断、有意义条件分析、基本性质应用|从分式定义出发，通过性质推导（约分通分）构建基础认知| |运算化简|题型18-30（13题型）|分离常数法、混合运算步骤、最值求解策略|以运算能力为核心，由加减到乘除混合递进，结合化简求值| |方程应用|题型31-40（10题型）|换元法解分式方程、实际问题建模（行程/工程等）|从方程定义到求解，迁移至实际情境，培养模型意识与推理能力|

专题05 分式 题型01 分式的判断 题型21 分式加减混合运算 题型02 分式的规律性问题（难点） 题型22 分式加减的实际应用 题型03 按要求构造分式 题型23 分式乘法（重点） 题型04 分式无意义的条件（重点） 题型24 分式除法（重点） 题型05 分式有意义的条件（重点） 题型25 分式乘除混合运算（常考点）（难点） 题型06 分式为零的条件 题型26 分式乘方（重点） 题型07 分式的求值 题型27 含乘方的分数乘除混合运算（难点） 题型08 求分式值为正负时未知数的取值 题型28 分式加减乘除混合运算（常考点）（难点） 题型09 求分式值为整数时未知数的整数值 题型29 分式化简求值（常考点） 题型10 判断分式变形是否正确 题型30 分式最值（难点） 题型11 求使分式变形成立的条件 题型31 分式方程的定义（重点） 题型12 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型32 解分式方程（化为一元一次）（常考点） 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型33 根据分式方程解的情况求值（常考点） 题型14 约分（重点） 题型34 分式方程无解问题（常考点） 题型15 最简分式 题型35 列分式方程（常考点） 题型16 最简公分母（重点） 题型36 分式方程的行程问题（常考点） 题型17 通分（重点） 题型37 分式方程的工程问题（常考点） 题型18 同分母分式加减法 题型38 分式方程的经济问题（常考点） 题型19 异分母分式加减法 题型39 分式方程的和差倍分问题（常考点） 题型20 整式与分式相加减 题型40 分式方程的其他实际问题（常考点） 题型01 分式的判断 1．（25-26八年级下·江苏淮安·期中）下列各式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列各式：①，②，③，④中，是分式的有（    ） A．①③ B．③④ C．①② D．①③④ 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，属于分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 分式的规律性问题 1．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式将水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，…．第n次倒出的水量是升的，……，按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水（    ） A．升 B．升 C．0升 D．升 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）观察下列分式：按此规律第10个分式是____________． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， …… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式：______； (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； (3)运用规律计算：． 题型03 按要求构造分式 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）写一个含有x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则这个分式为______． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）把的盐溶在的水中，那么在这种盐水中的含盐量为________． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示______元／千克． 题型04 分式无意义的条件 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）若分式无意义，则__________． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）当取_____值时，分式没有意义 3．（24-25九年级下·江苏泰州·月考）分式（a，b是常数），当时，分式无意义，当时，分式的值为0，分式无意义，则______． 题型05 分式有意义的条件 1．（2026·江苏南通·一模）要使分式有意义，字母a，b需满足（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南京·一模）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）当x满足____条件时，分式有意义． 题型06 分式为零的条件 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若分式的值为0，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列分式的值可以为0的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 题型07 分式的求值 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若，则__________． 2．（2026·江苏徐州·一模）已知且，则_____． 3．（25-26九年级下·江苏淮安·期中）若，则的值为_________． 题型08 求分式值为正负时未知数的取值 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）若分式的值为正数，则x的取值范围是______． 2．（24-25九年级下·江苏南通·月考）若分式的值为负，则的范围是______． 3．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如果分式的值为负数，那么x满足______． 题型09 求分式值为整数时未知数的整数值 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）当正整数________时，分式的值也为整数． 3．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，且），若系数满足，则称这个方程为“幂系数”方程．例如：方程，其中，，满足，所以方程是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组．根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是_____（只填写序号）． ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组（m，n为常数，且）是“幂系数”方程组，求的值． (3)已知m，n，k为正整数，若关于x，y的方程组是“幂系数”方程组，求满足条件的k值． 题型10 判断分式变形是否正确 1．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏南通·月考）下列运算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）下面三个式子：，其中正确的有_____个． 题型11 求使分式变形成立的条件 1．（24-25八年级下·江苏南京·期末）若，则M为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏常州·月考）在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：（1）；（2）；括号内应填________；_________． 3．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）已知实数，若，则的最大值为________． 题型12 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如果分式中的的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的值（    ） A．保持不变 B．扩大到原来的9倍 C．扩大到原来的3倍 D．缩小到原来的 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如果把分式中的x、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值（   ） A．扩大到原来的2倍 B．缩小到原来的倍 C．不变 D．缩小到原来的倍 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值（    ） A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．扩大6倍 D．不变 题型13 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数为正：___________． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·阶段检测）已知某体育用品厂要生产个篮球，原计划每天生产个篮球(，且是的因数)．若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球___________个． 3．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）不改变分式的值，使的分子中不含分数，则该分式可化简为__________． 题型14 约分 1．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）将下列分式化简 (1) (2) 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像这样，的分式称为繁分式．利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如化简时，繁分式的分子分母同乘得到；若实数m，n满足，． (1)____________（用含t的式子表示）； (2)求证：不论t取何值，分式化简后都为一个定值，并求出该定值． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）约分、通分 (1)； (2)和． 题型15 最简分式 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列各式是最简分式的是（    ）． A． B． C． D． 题型16 最简公分母 1．（25-26八年级下·江苏南京·期中）分式，，的最简公分母是____________． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）分式，的最简公分母是______． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）分式与的最简公分母是__________． 题型17 通分 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分： (1)，； (2)，． 2．（23-24八年级下·江苏淮安·期中）通分 (1) (2) 3．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：； （2）通分：与． 题型18 同分母分式加减法 1．（2026·江苏常州·一模）计算：______． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是______． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形． 例如： 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法． (1)请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值； (2)若分式的值为整数，求满足条件的整数的值； (3)利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围． 题型19 异分母分式加减法 1．（2026·江苏南京·一模）已知，，当，时，、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若，（） (1)若，则_____（填“”“”或“”） (2)若，判断和的大小关系，并说明理由． 3．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和定分式”，常数称为“和定值”．例如：分式，，，则与互为“和定分式”，“和定值”． 素材2 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式． 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式． 问题解决： (1)已知分式，，判断与是否互为“和定分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出． (2)已知分式，，若与互为“和定分式”，且分式为真分式，求“和定值”的值，求代数式（用含的式子表示）． (3)已知分式，（，为常数），若与互为和定分式”，则________， ________． 题型20 整式与分式相加减 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，．假分式可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式），如：． 【解决问题】 (1)将假分式化为带分式； (2)若的值为整数，求整数的值； 【拓展延伸】 (3)若，且、为正整数，求的值． 3．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）综合与实践 素材1 为了研究分式与分母的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 素材2 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如：． 问题解决 任务1 ①当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； ②当时，随着的增大，的值______（增大或减小）； 任务2 ①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请写出这个数； ②当为整数时，请求出整数x的值； 任务3 若分式的值为，求的取值范围． 题型21 分式加减混合运算 1．（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读下面材料： 李明这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，李明发现像等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．于是他把这样的式子命名为交换对称式． 他还发现像等交换对称式都可以用，表示．例如：，于是李明把和称为基本交换对称式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)代数式①，②，③，④中，属于交换对称式的是______（填序号）； (2)已知． ①______（用含a，b的代数式表示）； ②若，则交换对称式______； ③若，求交换对称式的最小值． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． (1)下列式子中，属于真分式的是_（填序号）； ；；； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数_． 3．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知实数，，满足． (1)当，时，求的值； (2)当时，求的值； (3)若的最大值与最小值的差为6，求的值． 题型22 分式加减的实际应用 1．（25-26八年级下·江苏南京·月考）如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 2．（2026·江苏扬州·一模）谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同． (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg，第二次大米的价格为5元/kg．两次购买大米总体看谁更划算？ (2)如果第一次购买大米的价格为元/kg，第二次购买大米的价格为元/kg，且，则两次购买大米总算下来谁更划算呢？ 3．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 题型23 分式乘法 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 2．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（22-23八年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 题型24 分式除法 1．（25-26八年级上·山东德州·阶段检测）____． 2．（25-26八年级下·江苏常州·月考）计算：________ 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1) (2) 题型25 分式乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）分解因式与计算 (1) (2) (3) (4) 2．（25-26八年级下·江苏泰州·阶段检测）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级上·江苏南通·月考）计算： (1) (2) (3) (4) 题型26 分式乘方 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知，则的值是__________． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25九年级下·江苏常州·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 题型27 含乘方的分数乘除混合运算 1．（25-26八年级下·江苏常州·阶段检测）化简： (1) (2) 2．（2026八年级下·江苏泰州·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． 3．（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 题型28 分式加减乘除混合运算 1．（2026·江苏苏州·一模）化简，再求值：．其中． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（2026·江苏徐州·二模）计算： (1)； (2)． 题型29 分式化简求值 1．（2026·江苏连云港·三模）先化简，再求值：，其中． 2．（2026·江苏宿迁·一模）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）先化简，再求值：，其中． 题型30 分式最值 1．（25-26八年级上·江苏镇江·阶段检测）请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：．我们知道，假分数可化为带分数，例，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：． (1)将分式化为带分式； (2)当x取哪些整数值时，分式的值也是整数？ (3)当______时，分式的最大值是______． 2．（24-25八年级上·江苏南通·月考）阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：_（填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 题型31 分式方程的定义 1．（25-26八年级上·江苏南通·月考）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏南京·月考）下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024八年级下·江苏·专题练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：．解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘得：，解得：，经检验：都是方程的解，当时，，解得，当时，，解得：，经检验：或都是原分式方程的解，原分式方程的解为或．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (2)若在方程中，设，则原方程可化为：　　； (3)模仿上述换元法解方程：． 题型32 解分式方程（化为一元一次） 1．（2026·江苏宿迁·一模）解分式方程，则___． 2．（2026·江苏宿迁·一模）关于的分式方程解为正数，则的取值范围为_____． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）解下列方程： (1)； (2)． 题型33 根据分式方程解的情况求值 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若关于x的不等式组有解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的负整数a的值之和为______． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是_____． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）若关于x的方程有增根，则a的值是______． 题型34 分式方程无解问题 1．（2026八年级上·江苏泰州·专题练习）关于x的方程无解，则m的值是______． 2．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）若分式方程无解，则k的值是 _______． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程会产生增根； (2)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 题型35 列分式方程 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动．已知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的倍．若用木材制作榫的数量比用木材制作卯的数量少个．设制作个卯需要木材，符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·一模）甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则下列方程符合题意的为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为众多运动爱好者的选择．在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，已知乙的平均配速为2．6米/秒．如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为米/秒，则所列分式方程是___． 题型36 分式方程的行程问题 1．（2026·江苏南通·一模）2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛．已知赛程总长约为42km，其中甲选手的平均速度是乙选手的1．2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙选手的平均速度是，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期末）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，______，求提速前列车的平均速度．设列车提速前的平均速度是，则可得方程为，根据此情境，题中“____”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（    ） A．提速后比提速前多行驶 B．提速后比提速前少行驶 C．提速后比提速前多行驶 D．提速后比提速前少行驶 3．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展．铁路建成后，盐城与泰州铁路运行里程由现在的缩短至，预计平均时速要比现行的平均时速快，运行时间是现行时间的． (1)设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地的运行时间是_____小时（用含x的式子表示）： (2)根据（1）中的设未知数x，结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间． 题型37 分式方程的工程问题 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）江苏省城市足球联赛的吉祥物“苏嘟嘟”深受球迷喜爱．为了满足球迷需求，苏嘟嘟的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”．工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效率不同． (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天．甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的．请你求出乙、丙两条生产线单独完成各需要多少天？ (2)在（1）的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶．厂长制定了以下方案：先让甲、乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成．请你计算，这样安排能否在12天内完成任务？ 2．（2023·江苏徐州·模拟预测）为缓解城市交通压力，某市启动地铁工程．在一号线地铁工程开工期间，某工程队负责修建一条长的隧道．工程队计划采用新的施工方式，工效可以提升，预计提前40天完成任务．这个工程队原计划每天修建隧道多少米？ 3．（25-26八年级下·江苏南京·月考）某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这些货物只多用小时．求一台机器人每小时可分拣多少件货物． 题型38 分式方程的经济问题 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）阅读下列素材，完成任务． 问题背景 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设． 素材一 已知一个B款机车模型比一个款机车模型价格贵10元． 素材二 学校用2500元购进款机车模型的数量是用1500元购进款机车模型数量的2倍． 任务1 甲同学：设①__________的单价为元，由题意得方程：； 乙同学：设购买款机车模型辆，由题意得方程：②__________． 任务2 求A、B两款机车模型的单价． (1)任务1中横线①处应填__________，横线②处应填__________； (2)请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售．已知每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵万元，设每台乙型机器人的进价为万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为__________万元（用含的式子表示）； (2)若用万元购进甲型机器人的数量与用万元购进乙型机器人的数量相同．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？ 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 题型39 分式方程的和差倍分问题 1．（2026·江苏徐州·二模）某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 2．（2025·江苏扬州·三模）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）一个长方体容器的容积为，开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用，求两根水管各自的注水速度． 题型40 分式方程的其他实际问题 1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务． 探索实践：探索奶茶甜度 素材一 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度糖的质量/奶茶总质量，已知一杯质量为a克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为，其他常见甜度对应含糖量如下： 七分糖：含糖克；五分糖：含糖克； 三分糖：含糖克． 素材二 小明点了一杯a克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了克糖． 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖． 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为_； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 2．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次． 问题解决 (1)求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的k倍． ①若k为整数，求整数x的值． ②k的取值范围_______． 3．（25-26九年级下·江苏南京·月考）为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲、乙两车间生产11040个龙年福字．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字． (1)从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为，且改进工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？ / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05分式 题型归纳·内容导航 题型01分式的判断 题型21分式加减混合运算 题型02分式的规律性问题（难点） 题型22分式加减的实际应用 题型03按要求构造分式 题型23分式乘法（重点） 题型04分式无意义的条件（重点） 题型24分式除法（重点） 题型05分式有意义的条件（重点) 题型25分式乘除混合运算（常考点)（难点） 题型06分式为零的条件 题型26分式乘方（重点） 题型07分式的求值 题型27含乘方的分数乘除混合运算（难点） 题型08求分式值为正负时未知数的取值 题型28分式加减乘除混合运算（常考点）（难点） 题型O9求分式值为整数时未知数的整数值 题型29分式化简求值（常考点） 题型10判断分式变形是否正确 题型30分式最值（难点） 题型11求使分式变形成立的条件 题型31分式方程的定义（重点） 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型32解分式方程（化为一元一次）（常考点） 题型3将分式的分子分母各项系数化为整数 题型33根据分式方程解的情况求值（常考点） 题型14约分（重点） 题型34分式方程无解问题（常考点） 题型15最简分式 题型35列分式方程（常考点） 题型16最简公分母（重点） 题型36分式方程的行程问题（常考点） 题型17通分（重点） 题型37分式方程的工程问题（常考点） 题型18同分母分式加减法 题型38分式方程的经济问题（常考点） 题型19异分母分式加减法 题型39分式方程的和差倍分问题（常考点） 题型20整式与分式相加减 题型40分式方程的其他实际问题（常考点) 题型通关·靶向提分 题型01分式的判断 1. (25-26八年级下·江苏淮安期中)下列各式是分式的是() B. C. D.x+3 【答案】C 【分析】根据分式的定义逐一判断选项，分式的定义：若A,B是整式，B≠0，且B中含有字母，则 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4是分式 【详解】解：选项A. 的分母是3。不含学母，属于整式 选项B. 的分母是3，不含字母，属于整式： 3 选项C. 3的分母是x,含有字母，符合分式定义： 选项D.x+3是整式，不是分式 2.(25-26八年级下江苏宿迁期中)下列各式：①2， ②+y ，③ 1 2- 。,④”中，是分式的有() A.①③ B.③④ C.①② D.①③④ 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，根据分式定义逐一判断即可，需注意π是常数不是字母 【详解】解：：①2的分母x是字母，符合分式定义： ②+上的分母5是常数，不符合分式定义： 5 ③，1的分母2-a含字母a,符合分式定义： 2-a ④”中元是常数，分母不含字母，不符合分式定义： 是分式的是①③ 156八年级下江苏无8在代数武2昌中，居于分式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【分析】若A,B是整式，B中含有字母且B≠0，则A是分式，据此可得答案， B 【样解1银：木代武学2，己 元中，属于分式有x,3 x+2'x-y”共2个. 题型02分式的规律性问题 1.(23-24八年级下江苏无锡期中)数学家们曾思考过这个问题：一个容器装有1升水，按照下面的方式 将水倒出：第1次倒出；升水，第2次倒出的水量是；升的子第3次倒出的水量是升的}，·第 n次倒出的水量是1升的 n+1 ,,按照这种倒水的方式，第n次倒出水后，还剩下水() 1 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 升 A. B. 升 C.0升 D.”升 n n+1 【答案】A 【分析】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题日，解答此题的关键是根据题目中的已知条件 找出规律，按照此规律再进行计算即可。注意.1=1-1 nn+l nn+1' 根据题目中第1次倒出，升水，第2 次倒出水量是升的子第3次倒出水量是专升的子第4次倒出水量是升的兮：第π次倒出的水 1 3 量是升的 1 可知按照这种倒水的方法，第n次倒出水后，还剩下水升水. 【详解】解：：1-xx1-1x111 22x有3×44*5nn+ 一一X一一…一一X =1--+1+11+111 22+33+445m+n+ n+1 故按此按照这种倒水的方法，这1升水经n次后还有】升水。 n+1 故选：A 2.(23-24七年级上江苏扬州期末)观察下列分式： 25101726 xx2’x3x4’x5 …,按此规律第10个分式是 【音关】 【分析】本题考查了分式的变化规律。根据题所给的前儿个分式，总结出一般规律-”邮 可解答 【详解】解：根据题意可得： 第1个分式：2=(-2+1， 第2个分式：-5 (-1)222+1 x2, 第3个分式：10- (1432+1 r3, (154+1 第4个分式：-17 第5个分式： -. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第n个分式：(-1n+l x" 第10个分式为-110+'=-10 0, 故答案为：-101 x0· 3.(23-24八年级下·江苏宿迁期末)观察下列等式： 第1个流品 第2个等式：名 2-11 第3个等式： 211 6-57' … 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第4个等式： (2)试用含有正整数n的式子表示这个规律，并加以证明； 1 1 1 1 (运用规律计算：2一十4一十6-十+ 20242-1 211 【答案】(0g一79 2 11 (22nP-12n-12+1:证明见解析 3)1012 2025 【分析】本题考查数字规律型，观察已知的式子总结规律是解题的关键， (1)观察题中的式子求解即可： (2)根据题中的等式进行归纳总结即可求解； (3)利用(2)中的规律，再裂项进行计算即可. 【详解】(1)解：第1个等式：2一方 2_11 第个流品 第3个等式：6-57 211 211 第4个等式：g2-79 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：第1个等式：2与了 211 第2个式 第3个等式：2=11， 62-157' 2 11 第n个等式：(2mP-2n-12n+1 2 左边=4m-1' 2n+1 2n-1 右边2n-2n+12n-川2n+ 2n+1-2n+1 (2n-1)(2n+1 2 4n2-1’ “左边=右边： (3)解： 1,11 1 2-1+4-1+6-++2024- 1 1 1 =1x3+3x5+5×7 2023×2025 1 1 十·十 20232025 1 1 =1 2025 1012 2025 题型03按要求构造分式 1.(24-25八年级下·江苏南京期末)写一个含有x的分式，当x=1时，分式无意义；当x=2时，分式的 值为0，则这个分式为 【指】 ,(答案不唯一) 【分析】本题考查分式无意义的条件，分式值为零的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件为分母 等于零，分式的值为零，分子为零.根据分式无意义的条件和分式的值为零的条件进行解答即可. 【详解】解：由题意得，满足题意的分式可以为-2 x-1 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：-2 (答案不唯一)， x-1 3 (24-25八年级下·江苏南京·期中)把akg的盐溶在bkg的水中，那么在mkg这种盐水中的含盐量为 kg 【答案】 ma a+b 【分析】本题主要考查列代数式，先表示出盐在盐水所占的比例，从而可求解. 【详解】解：在mkg这种盐水中的含盐量为：m。=ma(kg), a+b a+b 故答案为： ma a+b 3.(24-25八年级下·江苏泰州期中)x千克橘子糖、y千克椰子糖、z千克奶糖混合成“什锦糖”.已知这 3种糖的单价分别为28元/千克、32元/千克、48元/千克，则这种“什锦糖”的单价用含x、y、z的 代数式表示 元/千克 【答案】28x+32y+482 x+y+z 【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案。 28x+32y+48z 【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为 元/千克， x+y+z 故答案为： 28x+32y+48z x+y+z 题型04分式无意义的条件 1. (25.26八年级下江苏盐城期中)若分式2026无意义，则m= m-2 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得m-2=0, 解得m=2. 2。(25-26八年级上江苏苏州期中)当x取值时，分式-2没有意义 2x-3 【答案】月 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键 分式无意义的条件是分母为零，据此解答即可. 【详解】解：当分母2x-3=0时，分式号没有老义： 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即2x-3=0, 3 解得x=2' 3 故答案为： 3.(24-25九年级下江苏泰州月考)分式2-(a,b是常数)，当r=3时，分式无意义，当x=1时， x+b 分式的值为0，分式无意义，则a= 【答案1号0125 【分析】本题主要考查分式，负整指数幂，根据当x=3时，分式无意义，即分母为O,求出b值；当 x=1时，分式的值为0，求出α值，掌握分式无意义的条件与分式的值为0的条件，是解题的关键. 【详解】解：由题意知：当x=3时，分式无意义， .3+b=0, b=-3, 当x=1时，分式的值为0， .2x1-a=0, 解得：a=2, a=23= 8, 故答案为：8 题型05分式有意义的条件 1.2026江苏南通一核)要使分式会名有意义，字母a,乃需满足（) A.a≥b B.a≥-b C.a≠b D.a≠-b 【答案】D 【分析】根据分式有意义时分母不为O,列出关系式即可求解： 【详解】解：：分式有意义的条件是分母不等于0， 本题中分式0-b的分母为a+b,， a+b .a+b≠0， 移项得a≠-b. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 （2026江苏南京一模)若式子2 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 +2 【答案】x≠-2 【详解】解：“ 2 。在实数范围内有意义， x+ .x+2≠0 解得：x≠-2 3. (25-26八年级下·江苏盐城期中)当x满足 条件时，分式-2 2x-2 有意义. 【答案】x≠1 【分析】分式有意义的条件为分母不等于零，据此列不等式求解即可。 【详解】解：由分式有意义的条件得： 2x-2≠0， 解得x≠1. 题型06分式为零的条件 1. (25.26八年级下江苏无锡期中)若分式-2的值为0，则x的值是（） x+2 A.x=-2 B.x=2 C.x=0 D.x≠-2 【答案】B 【分析】分式值为0时需同时满足分子为0、分母不为0，据此计算即可得到结果. 【详解】解：：分式-=2的值为0， x+2 .x-2=0,且x+2≠0， x=2. 2.(25-26八年级下，江苏泰州期中)下列分式的值可以为0的是() A.2 4 2 C. D. 2x-1 x B.x(x-2) x2+3x+4 x2+2 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为0的条件，根据分式值为0需满足分子为0且分母不为0，逐项分析各选 项即可 【详解】解：分式值为0的条件为：分子等于0，且分母不等于0， :选项A,B,C的分子分别为2,4,2，均恒不为0， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :这三个选项的分式的值不可能为0， 对选项D:令分子2x1=0,解得x= 2 2 当x=时，分母x2+2 2 2 90 +2= :当x时，该分式的值为0，满足条作， 故选：D 3.(25-26八年级下·江苏盐城期中)根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是() X -1 0 无意义 米 0 A. x-1 B. x+1 C. x-1 D.t+2 x+1 x-1 x+2 x-1 【答案】A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为 0时分式值为0)，结合表格信息判断选项即可. 【详解】根据表格信息可得两个条件： ①当x=-1时，y无意义，可知x=-1时，分式分母为0： ②当x=1时，y=0,可知x=1时，分式分子为0且分母不为0： A:y=- x+1 :x=-1时，分母x+1=-1+1=0, ·y无意义，符合条件①； :x=1时，分子x-1=1-1=0,分母x+1=1+1=2≠0， y=0,符合条件②，故该选项符合题意； B:y=x+1 x-11 :x=-1时，分母x-1=-1-1=-2≠0， ·y有意义，不符合条件①，不符合题意： C:y=-1 x+2’ :x=-1时，分母x+2=-1+2=1≠0， “y有意义，不符合条件①，不符合题意： 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D:y=*+2 x-1 x=-1时，分母x-1=-1-1=-2≠0， “y有意义，不符合条件①，不符合题意。 题型07分式的求值 1. (25-26八年级下江苏无锡期中)若b=5a，则b-== 5a 【答案】04 【分析】将已知条件b=5a整体代入所求分式，约分后即可得到计算结果， 【详解】解：：b=5a, .b-3a_5a-30_2a-2 5a5a5a 5 1+2xy 2.(2026江苏徐州一模)已知x2+y2=1且x+y≠0，则 x+y)2 【答案】1 【分析】利用完全平方公式展开分母，再将已知x2+y2=1代入分式化简，即可得到结果， 【详解】解：x2+y2=1, 1+2xy (x+y)2 1+2xy x2+2y+y2 1+2xy x2+y2）+2xy 1+2xy Γ1+2xy =1, (②526九年级下江苏准安期)若子，则二二的值为 y 【答案】 7 7 【分析】根据题意可得x=4,再把x=4代入所求式子中计算求解即可。 41 x 7 【详解】解：：)4' 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 7 , .X= 7 3 .Y-y y-y 4 4 3 4 题型08求分式值为正负时未知数的取值 1. (25-26八年级上江苏苏州月考)若分式3x+1的值为正数，则x的取值花围是 【答案】 3 【分析】本题考查分式的值，分式的值为正数，由于分子恒为正，因此分母必须为正，解不等式即可。 【详解】分式，1 的分子为1，是正数，因此分式值为正数时，分母3x+1必须大于0，即3x+1>0 3x+1 郭得：八 故答案为：x> 31 (2425九年级下江苏南通月考)若分式2的值为负，则的范围是 【答案】x<)且x≠0 【分析】本题考查了分式的值为负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得2x-1<0,且x≠0，解不 等式即可 【详解】解：由题意得：2x-1<0,且x≠0， 解得：x<分且r+0, 散答案为：x<)且x0 3. (2425八年级下江苏泰州月考)如果分式3x,的值为负数，那么x满足 x2+1 【答案】x<0 【分析】本题主要考查了根据分式的值的情况求参数，解一元一次不等式，根据题意可得3x<0,解不 等式即可得到答案 详解)解：+1>0，分式十的值为负数 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3x<0, 解得：x<0, 故答案为：x<0 题型09求分式值为整数时未知数的整数值 1.(25-26八年级下江苏泰州期中)已知分式a+2a-1的值为整数，若a是非负整数，则a的值是 a2+1 【答案】0或1 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和a是非负整数，求得的 取值。 【详解】解：a+22-1 a2+1 (a2+12-2 a2+1 (a2+12 a2+1a2+1 =(a2+-a+1 2 :分式的值为整数， .a2+1=1或a2+1=2, a=0或a=±1， a是非负整数， a=0或a=1. 2.(25-26八年级下，江苏泰州月考)当正整数m= 时，分式细 的值也为整数， 【答案】1 【分析】本题考查分式的值为整数的参数求解，核心方法为分离常数法，将分式拆分为整式和分子为常 数的最简分式，解题的关键是利用”除数为被除数的约数”确定参数的可能取值，再结合参数的取值范围 筛选出符合题意的解.先对分式进行恒等变形，化为整式与最简分式的和，根据分式的值为整数，得到 2m-1是2的正约数，结合m为正整数的条件求解。 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：对分式6m-!变形： 2m-1 6m-1_3(2m-+2-3+,2 2m-1 2m-1 2m-1 :分式的值为整数，m为正整数， 2m-一为整数，即2m-1是2的正约数。 2 2的正约数为1,2， 当2m-1=1时，解得m=1,符合正整数题意： 当2m-1=2时，解得m=1.5,不是正整数，舍去. 故答案为：1. 3.(25-26七年级下·江苏宿迁期中)关于x,y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数，且abc≠0)， 若系数满足a=c,则称这个方程为“幂系数”方程.例如：方程2x+3y=8,其中a=2,b=3,c=8满 足α=c,所以方程2x+3y=8是“幂系数”方程；由两个“幂系数”方程组成的方程组称作“幂系数”方程组. 根据上述规定，回答下列问题： (1)下列方程是“幂系数”方程的是（只填写序号)· ①3x+2y=9;②2x-y=2;③5x+2y=25. 「mx+2y=4 (2)若关于x,y的方程组 4+2y= 2为常数，且mn≠0)是“幂系数”方程组，求x 值. 5x+2y=-5m+10n (3)己知m,n,k为正整数，若关于x,y的方程组 是“幂系数”方程组，求满足条件 7x+y=m+kn 的k值。 【答案】(1)①③ (2)2或6 (3)1或2 【分析】(1)根据“幂系数”方程的定义解答即可： m2=4 (2)根据“幂系数”方程的定义，可得 1 2m+5 42 ,求出m,n的值，即可； 24-5 -5m+10n=52 m= (3)根据“幂系数”方程的定义，可得 ,可得到 m+k=7 3·再由m,n,k为正整数。 N= k+2 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即可求解 【详解】(1)解：①3x+2y=9,其中a=3,b=2,c=9,满足a°=c, 所以方程3x+2y=9是“幂系数”方程； ②2x-y=2, 其中a=2,b=-1,c=2,不满足a=c, 所以方程2x-y=2不是“幂系数”方程； ③5x+2y=25,其中a=5,b=2,c=25,满足a=c, 所以方程5x+2y=25是“幂系数”方程： mx+2y=4 (2)解：：关于x,y的方程组 1 (m,n为常数，且mn≠0)是“幂系数”方程组， 4x+2y=-m+5n 2 m2=4 m=2 m=-2 ，解得： (ns3或 17, n= "5 :原方程组为 2x+2y=4「-2x+2y=4 4x+2y=16或14x+2y=16 [2x+2y=4 由 4x+2y=16 得：x+y=2, 「-2x+2y=4 x=2 由 4x+2y=16得： y=4' x+y=6, 综上所述，x+y的值为2或6； 5x+2y=-5m+10n (3)解：：关于x,y的方程组 是“幂系数”方程组， 7x+y=m+kn -5m+10n=52 m+kn=7 24 m= -5 解得： k+2 12 1n= k+2 m,n,k为正整数， k+2是12的正因数， .k+2取3或4或6或12， 当k+2=1时，k=-1,不符合题意； k+2=3时，k=1,m=3,n=4,符合题意： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当k+2=4时，k=2,m=1,n=3,符合题意； 当k+2=6时，k=4,m=-1,n=2,不符合题意； 当k+2=12时，k=10,m=-3,n=1,不符合题意； :满足条件的k的值为1或2。 题型10判断分式变形是否正确 1.(25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测)下列分式从左到右变形正确的是() A.a=atc B.a-2、1 C. D. -1-b1-b bb+c a2-4a-2 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答. 【详解】解：A.+0+C,故变形错误，不符合题意； bb+c a-2 a-21 1 B.-4a+2a-2a+2*。-2,故变形错误，不符合题意： 心名尝故变形正确，符合愿感， D.1b-1+b+-1b,放变形错误，不符合题意 a a a 2.(25-26九年级下·江苏南通·月考)下列运算结果正确的是() A.m'n-2mn2=-mn2 B.(2a）°=32a20 C.a6÷a3=a2 D. m+l_m(m≠川 n+l n 【答案】B 【分析】根据同类项合并法则，积的乘方法则，同底数幂除法法则，分式的基本性质逐一判断选项即可. 【详解】解：A、m2n与-2m2不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意； B、(2a=2ta)=32a5=32a20，故B正确，符合题意， C、a6÷a3=a-3=a3≠a2,故C错误，不符合题意； D、分式的基本性质为分子分母同乘（除以）同一个不为O的整式，分式的值不变，不是同时加同一个 数。举%：当0=1=2时出子分故D错误、不行合题意 3。(25-26八年级上江苏南通阶段检测)下面三个式子：-a-b=-a-b,-a+b三-a-b,-a+b_-a+b c’cc’c 其中正确的有个. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】1 【分析】此题考查了利用分式的基本性质进行符号的变形，通过分式的化简和比较，判断每个等式的正 确性， 【详解】解：对于第一个等式，-a-b-口+D。-a+b+-a-b,故不正确 对于第二个等式，左边-a+b。a-b1.-a-b,等于右边，故正确： 对于第三个等式，-a+b。-a=b#-+b(除非b=0,但一般情况不成立)，故不正确。 因此正确的有1个. 故答案为：1. 题型11求使分式变形成立的条生 1:2425八年级下江苏京期)若“。-兰，别M为() A.a2-2 B.2a-1 C.2a-2 D.a2-2a 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的基本性质，根据分式的分母的变化确定分子分母都乘以α，从而可得答案 【详解】解：a2=a2=2，而女2以、 a a2 aa, M=a2-2a, 故选：D 2.(24-25八年级下江苏常州月考)在括号内填上适当地整式，使下列等式成立：(1)a+b-】 ab a'bi (2) x2+xy】 ；括号内应填 x2-y2 x-y 【答案】 a"+ab 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质. (1)根据分式的基本性质进行变形即可： (2)根据分式的基本性质进行变形即可. 【详解】解：(1)a+b_a+b)_a2+ab ab abla a'b 故答案为：a2+ab. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x2+xy x(x+y) x (2) x2-y2 (x+y)(x-y)x-y 故答案为：x 3. 324八年级下江苏中实数4，若W兰。则w的最大值为 【答案】3 【分析】本题考查了分式的性质，将原式变形为m=2+3=2+1 1 a2+1 2+a41,结合a ，≤1，即可得出答案。 【详解】解：w=2a+32a2+)+1。 a2+1a2+1 21 a2+1 a2+1≥1， .W≤3， 故答案为：3. 题型12利用分式的基本性质判断分式值的变化 1,(25-26八年级下江苏扬州期中)如果分式+少中的、y的值同时扩大到原来的3倍，那么分式的 x-Y 值() A.保持不变 B.扩大到原来的9倍 C.扩大到原来的3倍 D.缩小到原来的3 【答案】C 【分析】将x,y同时扩大3倍后代入原分式化简，再和原分式比较即可得到结果. 【详解】解：将3x和3y分别替换原分式中的x和y, .(3x+3y2_9x2+9y29(x2+y2）3(x2+y） 3x-3y 3(x-y)3(x-y) x-y .新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大到原来的3倍。 2.（2526八年级下江苏无锡期中)如果把分式亡中的、y同时扩大到原来的2倍，那么分式的值() x+y A.扩大到原来的2倍 B.缩小到原来的倍 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.不变 D.缩小到原来的，倍 【答案】A 【分析】把原分式中的x、y分别用2x,2y替换，求出新分式的结果即可得到答案. 【详解】解：把分式工中的x、y同时扩大到原来的2倍后得到的分式为2x-,4x-2 x+v 2x+2y 2x+2y x+y ‘.新分式的值是原分式的值的2倍，即分式的值扩大到原来的2倍 3.(25-26八年级下江苏宿迁期中)如果把分式2 一中的x和y都扩大3倍，那么分式的值() + A.扩大3倍 B.缩小3倍 C.扩大6倍 D.不变 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，将扩大3倍后的xy代入原式，化简后与原分式比较即可得到结果 2×3x6x2x 【详解】解：：把x和y都扩大3倍后，得到新分式为3x+3)y3x+)x+少 :新分式与原分式相等，分式的值不变 题型13将分式的分子分母各项系数化为整数 1.(25-26八年级上江苏连云港阶段检测)不改变分式的值，使分子、分母各项系数为整数，且首项系数 为正： -0.03x+0.1 -0.04x-0.03 【答案】3x-10 4x+3 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握基本性质是解题关键.直接利用分式的基本性质将 分子与分母分别乘以-100，进而得出答案 -0.03x+0.1-100(-0.03x+0.1)-3x-10 【详解】解：0.04r-0.03-100(-0.04x-0.03)4x+3 3x-10 故答案为： 4x+3 2.(24-25八年级下·江苏徐州阶段检测)己知某体育用品厂要生产☑个篮球，原计划每天生产b个篮球 (a>b,且b是a的因数).若实际提前1天完成任务，则该体育用品厂实际每天生产篮球 个 【答案】ab a-b 【分析】本题考查的是分式的应用，先计算原计划的时间为号天，可得实际的时间为分-天，进一步 可得答案 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：由题意可得， a sab 实际每天生产篮球为：a-1a-b, 6 ab 故答案为： a-b 1 3. (2425八年级下江苏连云港期中)不改变分式的值，使2加+”的分子中不含分数，则该分式可化 m-n 简为 【答案】m2+2n2 2m-2n 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子和分母同时乘以2并化简即可得到答案， 71 【详解】解；2m+n 2m2+n 2× m2+2n2, m-n 2m-n) 2m-2n 故答案为： m2+2n2 2m-2n 题型14约分 1.(25-26八年级下江苏宿迁·期中)将下列分式化简 (1)36abc 6abe? (202-2a+1 1-a2 【答案】（①）6 2-a 1+a 【分析】(1)约去分子，分母的最大公因式即可； (2)先分解因式，然后约分计算即可： 【详解】(1)解： 36ab3c6abc×6b26b2 6abc2 ； 6abc×c c (2)解： a2-2a+1_(a-12 (1-a)_1-a 1-a2(1-a)1+a(1-a1+a1+a 2.(25-26八年级下·江苏南京·期中)定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a m+n+p 像这样b, 2m的分式称为繁分式.利用分式的基本性质可以把繁分式化简为最简分式，例如 c+d n+p 11 化简号是时，繁分式的分子分母同乘b得到？8若实数m:n满足阳+n=2, 2+2’mns 3 bta t2+2 一十 a b (①m+n (用含t的式子表示)； mn ,612 2t+ (2)求证：不论t取何值，分式”？化简后都为一个定值，并求出该定值. 63 -t+ n m 【答案】()3 (2)证明见解析，定值为2 【分析】(1)直接把m+n=- 2+2’mn=- 代入所求式子中约分即可得到答案： 2+2 ,612 3 2t+ (2)根据题意可证明mnt= ,味于。%2竖配md代 .631 -t+ -mnt+6m-3n n m 入化简即可证明结论 3 【详解】(1)解：：m+n=- 2+2’mn=- 21 2+2’ 21 m+n=2+2=2 mn 3 3 t2+2 (2)证明：：mn=- 3 2+2’m+ns 2t 2+2 3t3(2t）3 ∴.mnt=- +222+22m+ 612 2t+ .n m 63 -t+ n m =2mt+6m-12n -mnt+6m-3n 3m+n)+6m-12n = m+n+6m-3办 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =3m+3n+6m-12n n+6m-3n 2 9m-9n 99 22” 。m- 9(m-n 2(m-n) =2, 21+612 21+612 :不论1取何值，分式—八及化简后都为一个定值，且—八四=2； 63 63 一t+-- -t+- n m n m 3.(25-26八年级下·江苏盐城期中)约分、通分 (1)4abic 12a'b'c 1 1 (2)-2xX-4 一和 【答案】()3ab x+2 ②通分后分别为xx-2x+2和xx-2x+2 【详解】(1)解： 4ab'c 4ab'c 1 12a'b'c 4ab'c.3ab 3ab (2)解：最简公分母为x(x-2)川x+2), x+2 通分后分别为xx-2x+2和 x-2)x+2】 题型15最简分式 1.（25-26八年级下·江苏无锡期中)下列各式中，是最简分式的是（) A.月 B. 3x C.x-1 xy D.2 x2-4 【答案】C 【分析】最简分式是分子与分母没有公因式的分式： 【详解】解：：选项A中，是整式，不是分式， 选项B中， 3江的分子分母含有公因式x,可约分为，不是最简分式， 1 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 选项C中， 一的分子x-1和分母x没有公因式，是最简分式， X 选项D中， x-21 2-4+2’ 原分式的分子分母含有公因式x-2,不是最简分式， 2.(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)下列分式中，属于最简分式的是() 4 x+1 C. 1 a A. B. 2x x2-1 x+1 D. a2+3a 【答案】C 【分析】根据最简分式的分子和分母没有公因式，无法继续约分的分式，只需对各选项分子分母因式分 解后，判断是否存在公因式即可 【详解】解：A:4-2,分子分母有公因式2，可约分，不是最简分式 2x x B: x+1x+11 2-1(x+1(x-可x-1'分子分母有公因式x+1,可约分，不是最简分式： 的分予1和分母x+1没有公因式，不能约分，是最简分式 a a 1 D:a+30aa+3a十3，分子分母有公因式a,可约分，不是最简分式， 3.(25-26八年级上江苏苏州期中)下列各式是最简分式的是(). A.+1 B. y-x C.4y+2x D. x2-1 x-1 x-y 4x x+1 【答案】A 【分析】本题主要考查最简分式的概念，掌握最简分式是指分子和分母没有公因式的分式是解题的关键， 通过逐项检查各选项的分子和分母是否能约分即可判断， 【详解】选项A:分子x2+1在实数范围内不能因式分解，与分母x-1无公因式，因此是最简分式： 选项B:y==x-》-,可约分，不是最简分式 x-yx-y 选项C:分子4y+2x=2(2y+x),分母4x=2,2x,有公因子2，可约分，不是最简分式： 选项D:分子x2-1=(x-1(x+1),分母x+1,有公因式x+1,可约分，不是最简分式： 故选：A. 题型16最简公分母 1 工Q5-26八年致下江苏南京期中分式十，3：)r立刷最简公分是 【答案】 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3(x+y)(x-y 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此 求解即可。 【详解】解：各分式的分母分别为x+y,3x-y),x2-y2=(x+y)(x-y),则最简公分母为 3(x+y(x-y). 2. (25-26八年级下江苏宿迁期中)分式， 20y’42 ，的最简公分母是 【答案】4πx2y 【分析】根据最简公分母的定义，分别确定系数部分与各字母因式的最高次幂，计算得到结果即可 【详解】解：确定最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积作为公分母 两个分式的分母分别为2y和4πx2,系数部分的最小公倍数为4π，x的最高次幂为2，y的最高次幂为 1,因此最简公分母为4πx2y· 3.(25-26八年级下江苏盐城期中)分式2026与202的最简公分母是 d 2ab 【答案】2a2b 【分析】确定最简公分母的方法为，取各分母系数的最小公倍数，凡单独出现的字母连同它的指数作为 最简公分母的一个因式，同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母，据此求解即可. 解】解：分式2026与202的分母分别是d，2ab，系数的最小公倍数是2，a的最高次幂 2ab 单独出现的字母b连同它的指数作为最简公分母的因式，因此最简公分母是2ab, 题型17通分 1.（23-24八年级下.江苏宿迁·期中)通分： 2 (1) 1 ab ab2: 1 1 2)-y’x+wy 【答案1①0662”2 2a 1 1 x-y (2②)-y=xx+yx-)'x+yxr+yx-） 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)先求出最简公分母是ab2,然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； (2)先求出最简公分母是x(x+y)(x-y),然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答 11×bb 【详解】(1)解：6ob8' 2 2a 2a ab2.aab: 1 1…x (2)解：x-产+Xx-刀x+x-)x+x-刀' 1 1 1·(x-y) x-y x2+xy x(x+y)x(x+y)(x-y)x(x+y)(x-y)' 2.(23-24八年级下江苏淮安期中)通分 0)1 b 1 1 (2)x-y-2w+y 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了通分.解答此题的关键是熟知找公分母的方法：系数取各系数的最小公倍数；凡出 现的因式都要取；相同因式的次数取最高次幂， (1)最简公分母是ab,利用分式的性质变形即可； (2)中分式的分母分别为(x+y)(x-y),(x-y)2,确定最简公分母是(x-y)(x+y),然后利用分式的 基本性质变形即可. 【详解】(1)解：：最简公分母为ab, aab’bab (2)解：：最简公分母为(x-y)(x+y), 1 1 x-y x2-y(x+y)(x-y)(x+y)(x-y' 1 1 x+y x2-2y+y2(x-y)2(x-y)2(x+y) 3. (23-24八年级下·江苏盐城期中)(1)约分： x2-y2 x2+xy 1 (2)通分： 【答案】（1)-之；2)=0一1 3a 3a2b12a262’4ab212a26 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】本题主要考查约分和通分： (1)原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可： (2)找出分母的最简公分母求解即可： 【详解】解：(1) x2-y2 x2+xy （x+yx-y以 x(x+y) =x-y ； 1 4b 4b (2) 3a'b3a'b.4b12a'b2 1 3a 3a 4ab= 4ab2.3a 12a'b2 题型18同分母分式加减法 3a 2a+1 1. (2026江苏常州一模)计算： a-1a-1 【答案】1 【分析】根据同分母分式加减法法则，先计算分子的整式减法，再约分即可得到结果。 【详解】解：原式=3a-(2a+ a-1 =3a-2a-1 a-1 a-1 (25-26八年级下江苏无锡期中)计算4m-8的结果是 m-2m-2 【答案】4 【详解】解：4m8=4m-84m-2=4. m-2m-2m-2m-2 3. (25-26八年级下·江苏扬州期中)数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形. 例如： 2x+3_2x-0+5_2x-1+5=2+ 5 x-1x-1x-1x-12x-1 我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为 常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”.“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法. (①请利用分离常数法"将分式3一变形为m+”(其中m,n为常数)，求m,n的值； x+1 x+1 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2若分式4-一3的值为整数，求满足条件的整数x的值， x-1 (③)利用分离常数法，请直接写出分式2-3r的取值范围。 x2+1 【答案】(1)m=3,n=-4 (2)x=0或2 (3)-3<2-3r2 2 x2+1 【分析】(1)利用分离常数法，即可得到结论； 2》利用分腐常数法可将原式变形为4+一·即可得到结论。 (3》利用分离常数法。可将原式变形为-3+由分每r+1≥1，甲可得到结论。 【详解】1解：3=1-3x+)-4-3-4 x+1x+1 x+1 ∴.m=3,n=-4; (2)解：4r-3-4x-)+1=4+ x-1 x-1 x-1' :分式4-3的值为整数，且x为整数， x-1 x-1=±1， x=0或2： (3)解：2-3x2=-3x2-3+5-3x2+1)+5 x2+1x2+1 x2+1 =-3+5 x2+1 :x2+1≥1， 0<5 ≤5， x2+1 2+1s2, 5 -3<-3+ -3<2-3r x2+1 ≤2. 题型19异分母分式加减法 1.(2026江苏南京一模)已知M=y, r7N=,2少，当x>0,y>0时，M、N的大小关系是() A.M>N B.M=N C.M<N D.无法确定 【答案】C 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】用差值法比较大小，计算M-N=y-2y +12x+7' 先通分作差，再根据x>0,y>0判断结果正 负，即可得解. 【详解】解：M-N=y-2y x+12x+1 =,2x+1 2y(x+1) （x+1(2x+1)（x+1)(2.x+1 2xy+y 2xy+2y （x+1(2x+1)（x+1(2x+ 2x+y-2xy-2y (x+1(2x+1 -y (x+1(2x+1' :x>0,y>0, ,x+1>0,2x+1>0,-y<0, -y (x+(2r+D<0, :M<N 2.(25.-26八年级下江苏泰州期中)若4=b,B=b+C（a>b>0) a+c (1)若c=1,则AB（填“>“<”或“=”) (2)若c>0,判断A和B的大小关系，并说明理由. 【答案】(1)< (2)A<B,理由见解析 【分析】(1)用作差法求得A-B<0,即可求解； (2)同(1)的方法即可求解。 【详解】(1)解：当c=1时，B=b+c=b+L, a+c a+1' :a>b>0 .b-a<0 :A-B=B_b+1=ba+1)-a(b+1)_b-a aa+l a(a+l) a(a+<0, 即A<B; (2)A<B,理由如下 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a>b>0 ∴.b-a<0 又：c>0, :.1-B=b_b+e-bla+c)-alb+c)_clb-a) a(a+c) <0, aa+c a(a+c) 即A<B. 3. (25-26八年级下江苏盐城期中)根据以下素材，探索完成任务. 定义：如果两个分式P与Q的和为常数k,则称P与0互为“和定分式”，常数k称为“和定值”.例 素材1 如：分式P=Q=2m,P+0=+2m-2,则P与0互为和定分式，和定值2 m mm 分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真 素材2 分式，例如：分式1,2x是真分式 x+1'x2+1 素材3 如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如，分式 2x2 x+1, 是假分式. x+1 问题解决： ()已知分式A=-5, r十2，分2十，判断A与是香互为和定分式？若不是，请说明理由：若是， 求出。 x+4,D=M (2)已知分式C=2x-1 =二6'若C与D互为和定分式，且分式为真分式，求“和定值k的值， 求代数式M(用含x的式子表示)· ③已知分式E三x-4,F=x+b一(a,b为常数），若E与F互为和定分式”，则a x2-2x+1 b= 【答案】（①）A与B互为“和定分式”，“和定值”k=3 (2)k=2,M=-36+9x (3)a=3,b=-1 【分析】(1)求出A+B,看和是否为定值，即可判断： (2)求出C+D=2r-9x+4+M,由C与D互为和定分式且分式为真分式，得到2r2-9x+4+M是 x2-16 x2-16的2倍，可得k=2,-9x+4+M=-16×2,即可求解； 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)求出E+F=ar+-a-3到x+4+b,根据题意可得分子ur:+-a-3到x+4+b是分母产-2x+1的a x2-2x+1 倍，即k=a,推出ax2+(-a-3)x+4+b=ax2-2x+1,即可求解. 【详解@D解：A=+分=2红+ x+21 4+B==;+2x+1-3x+6-3到x+2-3, x+2x+2x+2x+2 :A与B互为和定分式”，“和定值”k=3; x+4 D=-M (2)解：：C=2x-1 x2-16 .C+D =2x-1M x+4x2-16 =2x-(x-4)M x2-16x2-16 2x2-9x+4+M x2-16 :C与D互为“和定分式”，且分式为真分式， :2x2-9x+4+M是x2-16的倍数， 又：2x2-9x+4+M中，x2的系数为2，x2-16中x2的系数为1， :k=2,-9x+4+M=-16×2, M=-36+9x; 3)解：E三4P=一x+6 x2-2x+1' ·E+F =ax-4.x+b + x-1x2-2x+1 -ax-4(x-1,x+b (x-1) (x-1) =ax2-ax-4x+4+x+b (x-1)2 ax2+(-a-3)x+4+b x2-2x+1 :E与F互为“和定分式”，分子ax2+(-a-3)x+4+b中，x2的系数为a,x2-2x+1中x2的系数为1， ：分子ax2+(-a-3)x+4+b是分母x2-2x+1的a倍，即k=a, 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :ax2+(-a-3)x+4+b=ax2-2x+1 ax2+(-a-3)x+4+b=ax2-2ax+a, [-a-3=-2a 4+b=a 解得a=3,b=-1. 题型20整式与分式相加减 1.(24-25八年级下·江苏扬州期末)规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数， 那么称这个点为正整点”，函数y=3x-2图像上“正整点”的坐标为 x-1 【答案】(2,4) 【分析】本题主要考查了分式的值、分式的加减法、新定义等知识点，掌握新定义成为解题的关键， 由圈意可待x=12,345,y=3x-2-3到x-)+1=3+1为正整数，然后分x=小、=2、x>2三 x-1x-1 x-1 种情况分别代入计算即可解答. 【详解】解：：函数y=3x-2图像上“正整点， x-1 l2a45y-子引为E数， x-1x-1 当r=1时，y=3+1无意义，不符合题意： x-1 当x=2时，y=3+1=3+ x一千，，4，即“正整点”的坐标为(24 当>2斯：为小灯1的正分数，y=+,不可能为整数，不符合题意， 综上，函数y=3-2图像上“正整点的坐标为2,4). x-1 故答案为：（2,4). 2.(25-26八年级下·江苏泰州期中)【阅读材料】定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子 的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式，如：+2，士。.假分式可以化为带分式（即： x-1’x+2 整式与真分式和的形式)，如：+2_x-刂+3 x-1x-1 1*3 x-1 【解决问题】 0①将假分式2x+3化为带分式， x+1 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2若-4+5的值为整数，求整数x的值， x-2 【拓展延伸】 (3)若x+2xy-2y=20,且x、y为正整数，求y-x的值. 【答案】（①）2+ x+1 (2)x=3或1 (3)7 【分析】(1)仿照例题计算即可求解； (2)先化为带分式，根据分式的值为整数，得出1。为整式，进而求得x的值： x-2 (3)法1：用含y的式子表示出x;法2：用含x的式子表示出y;进而同(2)的方法求解即可. 【详解】()解：2+3.2+2+1=2+ x+1x+1 x+1 （2解：2-4r+5--4r+4+1-x-2+ x-2 x-2 x-2 1是整数，即x-2=1或x-2=-1, x- x=3或1； 20+2y=1+ 19 (3)解：法1：x 1+2y 1+2y' :x、y为正整数， 19 1+2y 是正整数， :1+2y=19,解得：y=9,则x=2: 或1+2y=1,解得：y=0(舍去)， y-x=7: 法029月 :x、y为正整数， 19须为大于1的奇数， x-1 又：x为正整数， x-1是19的正约数， .x-1=1,解得：x=2,则y=9, 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 或x-1=19,解得：x=20,则y=0(舍去)， y-x=7. 3. (25-26八年级上·江苏泰州期末)综合与实践 为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： -4 3 -2 -1 0 2 3 1 素材1 -0.25 0.3 -0.5 -1 无意义 0.5 0.3 0.25 从表格数据观察，当x>0时， 随着x的增大， 的值随之减小，并无限接近0：当x<0时，随 着x的增大，的值也随之减小、 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做 真分式.当分子的次数不低于分母的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有时候，需要把一个 素材2 假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式.如： 2x+1_2x-8+8+1_2x-8+8+1=2+ 9 x-4 x-4 x-4x-4 x-4 问题解决 ①当x>0时，随着x的增大，1+1的值 (增大或减小)； 任务1 ②当x<0时，随着x的增大， x+2的值 (增大或减小)； ①当x>1时，随着x的增大， 2x+2 x-1 的值无限接近一个数，请写出这个数； 任务2 ②当2r+2 为整数时，请求出整数x的值； x-1 任务3 若分式22+5 的值为m,求m的取值范围. x2+1 【答案】任务1：①减小；②减小；任务2：①2；②-3、-1、0、2、3、5；任务3：2<m≤5 【分析】仁务1：由上、菌：的变化情视，判1+上、中之的变化情况即可： 1 任务2：①油2x+2=2+4 x-1 '即可求解， 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②由2x+2=2+4推出4为整数，即可求解， x-1 x-1 X-11 任务3：可求出2r+5 2高·根据题合球出的政监表国即可得到斧案 x2+1 【详解】解：任务1：：当x>0时， 上随着x的增大而减小， 随着x的增大，1+一的值减小： 当x<0时，2=2随若的增大面减小，且+2=兰+2=1+3 xxx x :随着x的塔大，+2的值减小， 任%0子2+ x-1 x-1' 4 >1时，随着x的增大，一=，一把x看成一个轻体)的值随之减小，并无限接 :当x>1时，随着x的增大，2+4的值无限接近2： x-1 ②：2x+2-2+ x-1 4为整数，x的值为整数， x- 4为整数， X-1 x-1=±4或x-1=±2或x-1=±1， 解得x=5或x=-3或x=3或x=-1或x=2或x=0 x的值可为-3、-1、0、2、3、5； 任务3：2x+52+2+32+刊+3=2+3 x2+1x2+1x2+1x2+12x2+1 :x2≥0， .x2+1≥1， 3 ,十3十把2+1看成个整体)随者+1的增大而减小，并无限接近0 0<3 x2+1分=3， 2<2+355,即2<m55. x2+1 题型21分式加减混合运算 1.(2425八年级上江苏南通·月考)阅读下面材料： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 李明这学期学习了轴对称的知识，知道了像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形.类比 这一特性，李明发现像x+y,z,√x2+y2等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变.于 是他把这样的式子命名为交换对称式 他还发现像x2+y2,(x-1)(y-1等交换对称式都可以用x+y,表示.例如：x2+y2=(x+y)-2xy, (x-1)(y-1=xy-(x+y)+1于是李明把x+y和y称为基本交换对称式. 请根据以上材料解决下列问题： 数式0，②x=y,⑧上，④心+z+2x中，属于交换对称五 (填序号)； (2)已知(x-a)(x-b)=x2-pxr+g. ①9= (用含a,b的代数式表示)； ②若p=2,9=-1,则交换对称式b+= a b ③若q=2,求交换对称式+2+方+2的最小值。 a b 【答案】(1)①④： 20ab:②-6，③1 4 【分析】此题考查了代数式求值，多项式乘多项式，弄清题中交换对称式的定义是解本题的关键 (1)根据交换对称式定义判断即可； (2)①已知等式左边化简后，利用多项式相等的条件表示出9即可； ②表示p与q的值代入己知等式，化简后求出a+b与b的值，原式变形后代入计算即可求出值； ③根据题意得出a、b与p、q关系，进而进行求解即可. 【详解】①)解：①可女@--，@≠，国时+元+=r++r, xy :交换对称式的是①④， 故答案为：①④： (2)解：已知等式整理得：x2-(a+b)x+ab=x2-px+g, 所以p=a+b,q=ab: ①g=ab(用含a,b的代数式表示)； 故答案为：ab; ②因为p=a+b=2,9=ab=-1, 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以原式=。+.a+b9-2b.4+2-6, ab % -1 故答案为：-6； ③若9=-2， (x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab=x2-px-2, :a+b=p,ab=-2, :a3+2+6+2 a b =a2+b+2+2 =(a+b}2-2ab+2a+) ab =p2+4-p 4-4 故最小值为号 2.(24-25八年级下·江苏南京·期中)阅读下列材料 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式.例 如，分式L，2是真分式。如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式.例如， x+2’x3-5x 分式+，二是假分式。一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和.例如， x-1’x-1 x-1x-1 C1+2 x+1_（x-1)+2 x-1 (1)下列式子中，属于真分式的是（填序号）； 2:③4r+2 ①上，②+， 2+1；@+2 x2 (2)将假分式2x-1 +化为一个整式与一个真分式的和， 6)已知整数X使分式2x+5x-20的值为整数，则满足条件的整数x= x-3 【答案】(1)①③： 22x=l.2x+1-3-2-3 x+1 x+1 +1 (3)2或4或-10或16. 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据真分式的定义即可求解； (2)根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可； (2)根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的 值. 【详解】1D解：根据真分式的定义可知：①是真分式：②是整式；®4+2真分式：④+2 2 x2+1 是假分式： 故选：①③； (2)解：2x-1_2x+-37 x+1x+1 2、、3 x+: (3)解： 2x2+5x-20 x-3 =2x2-6x+11x-33+13 x-3 -2xx-3)+11(x-3)+13 x-3 =2x+11+13 -3' ~2x+5x-20的值为整数，x为整数， x-3 .x-3=±1或x-3=士13， 解得：x=2或x=4或x=-10或x=16, 故答案为：2或4或-10或16。 3.(24-25八年级上江苏南通·期末)已知实数a,b,k满足a2-ab+b2=k. (1)当k=4,ab=3时，求(a+b)的值； (2)当k=2ab(ab≠0)时，求9-的值： b a (3)若b的最大值与最小值的差为6，求k的值. 【答案】(1)13 (2)±5 号 【分析】本题考查了实数的性质、完全平方公式的应用、分式的加减、不等式的性质，熟练掌握相关知 识点是解题的关键。 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)代入k=4,ab=3得到a2+b2=7,再利用完全平方公式计算即可； a)代入=2，+-0则胎号名3，再利用8合-g-4案g的 b a 值，再根据平方根的定义即可求解： (3)将a2-ab+b2变形为(a-b)2+ab和(a+b)2-3ab,利用完全平方的非负性分别求出ab的最大值和 最小值，结合b的最大值与最小值的差为6，解方程求出k的值即可解答 【详解】(1)解：当k=4,ab=3时，a2-3+b2=4, .a2+b2=7, ∴.(a+b)=a2+2ab+b2=7+2×3=13. (2)解：当k=2ab(ab≠0)时，a2-ab+b2=2ab, .a2+b2=3ab, :0+ba2+62 =3, b a ab a-b=t5, 'b a :”的值为士5. b a (3)解：k=a2-ab+b2=(a-b)+ab2ab, ab≤k, .k=a2-ab+b2=(a+b)'-3ab2-3ab, b2号 6的最大值为太，最小值为夸 又：ab的最大值与最小值的差为6， 解得：k=2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的值为 题型22分式加减的实际应用 1.(25-26八年级下·江苏南京·月考)如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边 长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（α-1）米的正方形，若两 块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产 量多 丰收1号 丰收2号 a米 (a-1)米 1米 2m 【答案】(a-a+ m m 【详解】解：a-(a+川a-可 m(a+1)-m(a-1) (a+1)(a-1)2 2m （a-1'(a+1) 2.(2026江苏扬州一模)谁的购买方式更划算：刘奶奶和张奶奶喜欢结伴去社区超市购买同一品种的大 米，每次购买的价格有波动，她们各自的购物习惯也有不同. 我每次买20元 我每次买2kg 的大米 大米 刘奶奶张奶奶 (1)刘奶奶和张奶奶两次购买大米：第一次大米的价格为6元/kg,第二次大米的价格为5元/kg·两次购 买大米总体看谁更划算？ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如果第一次购买大米的价格为m元/kg,第二次购买大米的价格为元kg,且m≠n,则两次购买大米 总算下来谁更划算呢？ 【答案】(1)总体看刘奶奶更划算 (2)总体看刘奶奶更划算 【分析】对于(1)，因为已知两次大米的具体单价，所以分别根据刘奶奶和张奶奶的购买习惯，计算 两人两次购买的总花费和总质量，再利用平均单价公式平均单价=总花费算出各自的平均单价，最后 总质量 比较大小 对于(2)，因为单价是字母m和n,所以同样按照(1)的思路，用含m、的代数式表示出两人的总 花费、总质量，进而得到平均单价的代数式，再通过作差法比较两个代数式的大小，判断谁的平均单价 更低。 【详解】(1)解：刘奶奶两次购买大米的均价为(20+20)÷ 2020\-60元kg 6511 张奶奶两次购买大米的均价为2×6+2×5)÷(2+2)=5.5元kg, :.60 c55, ：总体看刘奶奶更划算 (2)解：刘奶奶两次购买大米的均价为20+20)÷20,20） 2mn m n m+n 元/kg 聚奶奶两次购买大米的均价为2×m+2×川2+2三，”元kg, min 2mn (m-n)2 2m+n2(m+n) 又：购买大米的价格都在波动，即(m-n>0,2(m+n)>0, (m-m >0, 2(m+n m+n、2n ，> 2 m+n ·总体看刘奶奶更划算 3.(25-26八年级下·江苏无锡月考)请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜. b 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有b克糖a>b>0),则糖水的浓度为 ①如果加入m克水，糖水的浓度变为，因为糖水变淡，可以得到不等式； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为，因为糖水变甜，可以得到不等式 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变. 在两个杯子中分别盛有4，克，4，克糖水，分别含糖6克，么，克.它们浓度相同，则2-=k,将两杯 aa, 糖水混合后，浓度可以表示为，（用含有a,a2,b,b的式子表示）请你用数学知识说明混合 后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同， (1)任务1：直接写出现象1中“”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若A-B>0,则A>B) (3)任务3：直接写出现象2中“”处的内容，并用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的 浓度相同”的道理； (4任务4：请运用现象1的结论证明：若a,b,c是ABC三边的长，则1<，。+b b+ea+c+a+6<2. 【答案】)0，<,②+n,+nb a+m’a+ma a+n a+n a (2)见解析 ③+b ；说明见解析 a1+a2 (4)见解析 【分析】(1)根据题意写出新的分式和不等式即可； (2)利用作差法即可证明； (3)根据题意写出新的分式，再由久=么=k,得6=a,么，=如，代入混合后的浓度化简即可； a az (4)由现象1得0 a 2a①， bb<2b_②， a+b+c b+c a+b+c a+b+c a+c a+b+c a+b+c a+b a+b+c 2c一③，利用不等式的性质进行证明即可。 【详解】(1)解：①由题意得，加入m克水，则糖水为m+a克， b :糖水的浓度为 m+a :糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 bb m+aa ②由题意得，加入n克糖，则糖为(b+n)克，糖水为(a+n)克， “糖水的浓度变为+口 a+n :糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， b+n、b a+n a 故答案为：①本n,,b<:②+”，h+nb a+m’a+ma a+n a+n a (2)证明： b+n b a(b+n)-b(a+n)ab+an-ab-bn_n(a-b) a+n a aa+n) a(a+n) aa+n :a>b>0,n>0,则a-b>0,a+n>0, n(a-b >0,即b+nb ->0, ala+n a+n a binb a+n a (3)解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为b,+b2克，糖水为(a+a2)克， “浓度可以表示为 b+b2 a1+a2 故答案为： b+b2 a1+a2 说明：： 么=b2=k, a az .b=ka,b2=kaz, b+b=ka+kdz=k, a1+a2a1+a2 即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同. (4)证明：由三角形三边关系得b+c>a,a+c>b,a+b>c, 由现象1的①，假设原来的糖水总质量是b+c克，其中含有a克糖， 加入a克水，同①可得不等式。一< a a+b+c b+c 加入a克糖，同②可得不等式，a< 2a b+c a+b+c 则 0_<a<2a0, a+b+c b+c a+b+c 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同理可得6 5-b <2b@, a+b+c a+c a+b+c <2c_3, a+b+c a+b a+b+c 则①+②+③得9+h+c<,a+b+c2a+2b+2c a+b+c b+c a+c a+b a+b+c 即1<a -t-c <2 b+c a+c a+b 题型23分式乘法 1.(25-26八年级下·江苏扬州期中)计算： 02.a a26 (2) a2 a ÷ a2-6a+9a-3 【答案10号 (2)a a-3 【详解】①)解：2g=9: a263 (2)解： ÷ a2-6a+9a-3 a2a-3 (a-32a a 4-3 2.(25-26九年级下·江苏徐州期中)计算： (1)V16-3+(π-3.14)°-(-12026： 21 x xx2-2x+1 【答案】(1)1 @ 【详解】(1)解：原式=4-3+1-1 =1 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：原式= (x+1)(x- (r-l02 x+1 x-1 3.(22-23八年级下江苏徐州期中)计算： ()b4e 6c2 a'b2 .a+1 a 【答案】3 2 (20+1 a 【分析】(1)直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式： (2)先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式. 【详解】(1)解： ab24c 6c2 a'b2 ab2.4c 6c2.a2b2 2 ； 3ac (2)解： 1+ 2a+1.a+1 a =g+2a+1a a+1 -a+1.a a2a+1 a+1 题型24分式除法 1. (25-26八年级上·山东德州阶段检测 【分析】先分别计算两个分式的乘方，然后将除法转换为乘法，最后进行约分即可. 【详解】解：原式=·÷ y 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 s y4x6 1 x'y' 2. (25-26八年级下江苏常州月考)计算： x2-1x-1 【答案】 【分析】根据分式除法运算法则，将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分即可得到结果. x2 x 【详解】解：文x-1 x2x-1 (x+1)(x-1）x 3.(25-26八年级下江苏泰州期中)计算： (①11 m+2'm-2 (2) .6m m+3m2-9 2m 【答案】(0)m+2(m-2) (②m-3 6 【详解】(1)解：1+1 m+2m-2 m-2 m+2 （m+2)(m-2)'（m+2)(m-2） =m-2+m+2 （m+2)(m-2 2m （m+2(m-2) (2)解m÷6m m+3m2-9 s、h 6m m+3(m+3(m-3 =m×m+3(m-3 m+3 6m m-3 6 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型25分式乘除混合运算 1.(25-26八年级下江苏泰州月考)分解因式与计算 (1)4x2-36 (2)x4-8x2y2+16y 赔（到 w2 【答案】(1)4(x+3)x-3列 (2x+2y)2(x-2y)2 g (4)-2 【分析】本题考查了因式分解，分式的乘除混合运算，同分母分式减法，正确掌握相关性质内容是解题 的关键。 (1)先提公因式，再运用公式法进行因式分解，即可作答， (2)先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答. (3)先运算乘方，把除法化为乘法，再化简，即可作答 (4)结合同分母分式减法法则计算，即可作答. 【详解】(1)解：4x2-36 =4(x2-9列 =4x+3)(x-3: (2)解：x4-8x2y2+16y4 =(x2)）°-8x2y2+4y2）月 =(x2-4y2）月 =[x+2yx-2y] =(x+2y)2(x-2y)2: 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)解： 2y 3x气y =2y.9x2xy2 3x y2 x3 22a (4)解： a-1a-1 =2-2a a-1 2(1-a a-1 =-2 2.(25-26八年级下江苏泰州阶段检测)计算： (1)9x4y2÷ 3y6 y 、2x 3: (2)02-1. a+2a2-4a+4 a2-4a2-2a+1 a+1 【答案】0- 2x 2a2 a-1 【分析】(1)先除法变乘法，再约分即可求出答案。 (2)先因式分解，再约分化简即可求出答案。 【】1)解：系武=9（片 =-6r.y y43 s、2r5 b3O (2)解：原式= (a+1(a-a+2(a-2)2 (a+2)(a-2)(a-1)2a+1 -a2 a-1 3.(25-26八年级上江苏南通月考)计算： (1024 +a+2 a+2 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 e (3)2y2xy÷-2x2yj ④2÷2a-4+1 a-1a2-12-a 【答案】(1)2a 21 x+2 兰 (4 a-2 【分析】本题考查分式的化简运算，因式分解，幂的运算，掌握因式分解法是解题关键。 (1)先对分式的分子进行因式分解并约分得到a-2,再与a+2合并同类项即可得出结果： (2)先将分母因式分解，把两个分式通分后，分子相减，再约分即可得出结果： (3)先将负整数指数幂转化为分式形式，再依次进行乘方、乘除运算即可得出结果； (4)先将多项式因式分解，然后将除法转化为乘法后约分，再统一分母合并分式，化简即可得出结果 【详解】(1)解：原式-a+2a-2 +a+2 a+2 =a-2+a+2 =2a. 2x 1 (2)解：原式x+2(x-2x-2 2x (x+2) (x+2(x-2)（x-2)(x+2 =2x-x-2 (x+2)(x-2) x-2 =(x+2x-2) 1 x+2 4x2 y2 .2 -2y 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 s-4r5 2y3 、2r5 少2 (4)解：原式=2÷2a-4+1 a-1a2-12-a =2÷2(a-2)+1 a-1'(a+1)(a-1'2-a =2xa+l(a-1 a-12(a-2）2-a =0+1+1 a-22-a =a+11 a-2a-2 =a+1-1 a-2 a a-2 题型26分式乘方 1. (252ǒ八年缓上江苏南酒月考)已知a+日-5，则+宁的值是 a 【答案】3 【分析】本题考查了完全平方公式，实数的运算，以及分式的混合运算. 利用完全平方公式将a+日=6化为a2+2+=5,进而计算即可。 【详解】解：：a+1=5, a +1)2 .a+- =5, 、a 即a+2+5, 1 解得：a+。-3, 故答案为：3. 2.(25-26八年级上江苏苏州期中)计算： 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a (2)42+23 a+11+a 【答案】(1)b (2)a-1 【分析】本题主要考查分式的运算，平方差公式，掌握乘法公式，分式的性质，分式的加减混合运算是 解题的关键。 (1)先乘方，再根据分式乘法计算即可； (2)根据分式的加减运算法则及平方差公式即可求解. 【详解】(1)原式=a2=2, a2 (2)原式=02+2-3 a+1 a+1 =a-(a+1) a+1 =a-1. 3.(24-25九年级下江苏常州期中)计算： ①(2} 4b ac (2)q2 6a a+3a2-9 X 1 (3)-42x+4 (41-0-2a2-4 a a2ta 【答案1a5 (2)a2-3a 6 1 3)2x-4 (4)1 a+2 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键； (1)先计算分式的乘方，再计算乘法即可； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)先把除法转化为乘法，同时分解因式，然后计算乘法即可； (3)根据异分母分式的运算法则计算即可； (4)先计算分式的除法，再计算分式的减法即可 【样】解密（改 a'c 4b =4b a'c 63 (2)解： 6a a+3a2-9 =a'x(a+3)(a-3) a+3 6a =a2-3a 6 (3)解： x2-42x+4 1 (x+2)x-2)2(x+2) 2x-（x-2) 2x+2(x-2) x+2 2(x+2(x-2 1 2x-49 (4)解：1-a-2.a2-4 a a-+a =1-a-2.a(a+1 a(a+2)a-2) -10+1 a+2 1 = a+2 题型27含乘方的分数乘除混合运算 1.(25-26八年级下·江苏常州阶段检测)化简： ((》 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 2x+4 【倍】W 3 x-1 【分析】(1)先计算乘方，再计算乘除法即可得到答案： (2)先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案， 【详解】(1)解： （((】 =_8a3.4h246 b5aa 8a3 b6: (2)解：1-3）2-2x+1 x+22x+4 =x+2-3x2-2x+1 x+22x+4 =x-1.2(x+2) x+2(x-1明 x-1 2. (2026八年级下·江苏泰州专题练习)化简： : x2-6x+9 x2-4 2x+2 【答案】(1)- 8a3 bo (2)x+2 ⑧ 【分析】(1)根据分式的乘方进行计算，同时将除法转化为乘法进行计算，即可求解； (2)先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解： (3)先计算括号内，同时将除法转化为乘法，再约分，即可求解. 【详解】(1)解：原式-8a.46÷46 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-8a.463a2 bs a2 4b2 s、8a3 b6: (2)原式=2-6x+9x2-6x+9 x-2 x2-4 -(x-3,(x+2(x-2) x-2(x-32 =x+2; (3)原式=x+1_3x-1).(x-)2 x+1x+12(x+1 =x+1-3x+12x+1) x+1 (x-12 =-2x+2.2(x+1 x+1(x-1 =-2(x-1,2(x+) x+1（x-12 4 1-x 3.(2025八年级上·江苏泰州专题练习)计算： ( 6 x-1 x+2 小 2-6x+9 x2-4 2x+2 【答案】（①）-8 (2)*1 x+2 (3)x+2 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 法是解题的关键 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可. 8a3 () = 8a3 b6: (2)解：原武=x-4+-4x-x+山 (x-1)2 x-1 x+2 -(x-4xx-1x(x-1)(x+l) (x-1*(x-4xx+2 x+1 +2 (3)解：原式= 1+(x-4)(x-2) x-3)2 x-2 (x+2)(x-2) x+2(x-2) （x-32 =x-32×(x+2(x-2 x-2(x-32 =x+2; (4)解：原式 x+1-3x-1）.(x-12 x+1 2x+1) =2-2xx2(x+1 x+1(x-1)2 21-yx2(x+1 x+1（x-12 4 1-x 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型28分式加减乘除混合运算 1.(2026江苏苏州一模)化简，再求值： x2-2x 其中x=-4 【答案】x +2,2 x(x-2),x+2-4 【详解】解：= （x+2)2x+2 =x-2x+2 (x+22x-2 r+2 把x=-4代入，得， -4 x+24+22. 2.(25-26八年级下江苏泰州期中)计算： (0①2a-3a-2 a+1a+13 【答案】（①）- +1 21 m 【详解】(1)解： 2a-3_a-2 a+1a+1 2a-3-(a-2 a+1 =m-2÷m-2 =m-2.m m2m-2 1 m 3.(2026江苏徐州二模)计算： 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①2026+20-3） +V5: 21+4m2-1 、m°2m 【答案】(1)2028 ”m-1 【分所】0根据-202020e52-[9》 =2,√5=3求解即可； (2)根据分式的除法混合运算计算即可； 【详解】(1)解：原式=2026+1-2+3 =2028: (2)原式=踣器 =m+1 2m m（m+1)(m-1) 2 m-1 题型29分式化简求值 1.(2026江苏连云港·三模)先化简，再求值： 1-1÷ a-1 2-4a+4,其中a=-2 a2-a 【答案】- 1 a-2'2 【详解】解：原式= 1a-1 a2-a \a-Ia-ia-4a+4 2-a、aa-l a-1(a-22 a a-2 把a=-2代入，得原式=-2。-1 -2-22 2.(2026江苏宿迁一模)先化简，再求值： 2x-1 -x+1 x-2 x+1 2+2x+'其中r=3. 【答案】化简结果为-x2-x,值为-12 【详解】解： 2x-1-x+1÷ x-2 x+1 x2+2x+1 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x-1x2+x,x+1 x-2 x+1x+1x+1厂 x+102, =-x2+2x（x+12 x+1 x-2 -x(x-2)(x+1)2 x+1x-2 =-xx+1, =-x2-x, 当x=3时，原式=-32-3=-12. 3.(25-26八年级下江苏南京期中)先化简，再求值： 其中a=3. 【答案】1,1 a+2'5 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代入求值即可. =0-2a2-1-3 a-1a-1 =a-2a2-4 a-1a-1 =0-2 a-1 a-1(a+2(a-2 1 = a+2 当3时，限式3号 题型30分式最值 1.(25-26八年级上江苏镇江阶段检测)请仔细阅读下面材料，然后解决问题： 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， 例如：x2 x+1'x+1 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，例如：上， x+12+1·我们知 。.1 眉，假分数可化为带分数，例52+3十43类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与重 44 分式和的形式)，例如：-+12=1-2 x+1x+1x+1 Q)将分式3x化为带分式： x-1 / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②当x取哪些整数值时，分式3江的值也是整数？ x-1 (3)当x= 分威芹经大值足 【答案】(0)3+3 x-1 (2)x=-2,0,2,4 (3)当x=0时，分式3r+5的最大值是5 x2+1 【分析】本题考查了分式的运算与变形，分式的值等知识. (1)根据材料提供方法变形即可求解： (2)由(1)得3x=3+3， x-1 x-1 根据分式，的值是整数、得到，己为整数，甲可得到当x取整数时， x-1 x-1是3的整数因数，得到x-1=±1或x-1=3,即可求出x=-2,0,2,4； +即可得到当+1取最小值时，分式3+5有最大值。根据r之0，得到 (3)3+5变形为3t2 x2+1 x2+1 x+1≥1，求出当x=0时，3x+5=5,间题得解。 x2+1 【详解】(1)解：3x-3x-3+3_3x-+3 x-1x-1x-1 3+3 x-1 (2)解：：由(1)得 :分式3x的值是整数， x-1 六3为整数， x-1 :当x取整数时，x-1是3的整数因数， .x-1=士1或x-1=±3， .x=-2,0,2,4: (3)解：3x2+53x2+1)+2 =3+2， x2+1x2+1 x2+1 当+1取最小恤时，分式芹有最大数。 x2≥0， .x2+1≥1， :当X+1=1即x=0时，3+5=3+2=3+2=5， x2+1x2+1 / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故当x=0时，分式3x+5的最大值是5. x2+1 2.(24-25八年级上江苏南通·月考)阅读下面材料，并解答问题， 材料：将分式+3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式。 -x2+1 解：由分母为-x2+1,可设-x-x2+3=（-x2+1x2+a+b 则-x4-x2+3=（-x2+1(x2+a+b=-x-ax2+x2+a+b=-x4-(a-lx2+(a+b) a-1=1 :对应任意x上述等式均成立，六+b3”a=2,b=1. :-+3.+e+21_r+1r+2t1=r+2+1 -x2+1 -x2+1 -x2+1 -x2+1 -x2+1 这情，分武=餐折分成了一个整式+习小与一个分式的和 -x2+1 解答： （1)将分式=-6r+8拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式： -x2+1 (2)如果2x-1 x+1 的值为整数，求x的整数值： (3)当-1<x<1时，试求--6x+8的最小值. -x2+1 【答案】0分式8流乔分成了一个整式+列与一个分式的和 -x2+1 (2)x=-2,0,-4,2 (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式 的运算法则是解题关键。 (1)参照例题材料，设--x-6x2+8=（-x2+1x2++b,然后求出a、b的值，从而即可得出答案： 2X结合它为整数得到为整数，因此+1=◆1,3，求解即可： 2)由2x-1=2-3 x+1 x+1 （3》由-1<x<1得到0≤2<1，进而7≤+7<8，+产 1 1，即可解答. 【详解】(1)解：由分母为-x2+1,可设-x-6x2+8=（-x2+1(x2+a+b 则-x4-6x2+8=-x2+1x2+a+b=-x4-ax2+x2+a+b=-x4-(a-1)x2+(a+b) :对应任意x,上述等式均成立， 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a-1=6 a+b=8' .a=7,b=1. 6a.52+ -x2+1 -x2+1 -x2+1 这，分式68发拆分废了一个整式父+列与一个分式的和 -x2+1 (2)解： 2x--2x+2-3.2x+1-3-2-3, x+1x+1x+1 x+1 2x-1 的值为整数， x+1 为整数， x+1 :x为整数， x+1=91,3, .x=-2,0,-4,2 (3)解：由1)得=-6r+8=x+7+1 -x2+1 -x2+1 当-1<x<1时，0≤x2<1, 7≤x2+7<8, 121 -x2+1 x2+7+1 ≥7+1=8， -x2+1 即=-6r+8≥8， -x2+1 六-6+8的最小值为8， -x2+1 3.(24-25八年级下·江苏扬州期中)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的 形式，则称这个分式为“和谐分式”. 2-名1品23o21名则和都 a-1a-1 a-1x-1 a-1 是“和谐分式”. (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：一（填序号）； 0+1@2+x⑧x+2④y+x 2x+1 y2 2将和谐分式3x+7和+5r-5化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：3北+7=， x+1 x-1 x+1 x2+5x-5=. x-1 / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6)和谐分式5r+3的最大值为。 x2+1 (④如果和谐分式3+4的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值。 x-1 【答案】(1)①③ (2)3 x+1+6+1 x-1 (3)3 (42或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算，解决本题的关键是弄清楚“和 谐分式”的定义。 (1)根据“和谐分式”的定义可判定求解； (2)根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； (3)先对-5r+3变形，配凑出5+8 x2+1 +,依摇≥0得+1花围，进碗定3范围，求出最大 值. (4)把3x+ 变形为3+7 ,因值为整数，故x-1是7的因数，据此找正整数x. x-1 x-1 【详解】1)解：①+1-+1+，是和谐分式. 1 xxxx ②2+x=1+,不是“和谐分式”（分子不是常数）· 2 2 ③+2=+1+1+1+1=1+1，是和谐分式. x+1x+1x+1x+1 x+1 矿父上不是和分式分于不无带数) 故答案为①③， (2)解：3x+7_3x+)+4_3+D+4=3+4 x+1x+1x+1x+1 +1 2+5x-5-2-x+6x-6+1_x0x-0+6x-l0+1=x+6+ x-1 x-1 x-1 x-1 (3)解：5x+3_5x+-2-5-2 x2+1x2+1 x2+1 因为x2≥0， 则x2+1≥1,0<2 x2+11 所以5-2≤3， x2+1 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 最大值为3 (4)解： 3x+43(x-1)+7 x-1 x-1 347 x-1 因为值为整数， 所以x-1是7的因数， x-1=1或x-1=7(x正整数)， 解得x=2或8 题型31分式方程的定义 1.(25-26八年级上江苏南通·月考)下列方程不是分式方程的是() A.1+x=1 c.21 =2 D.57 1+x1+x x x-7 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，掌握分式方程的定义是关键；分式方程是指含有分式的方程，一般 指分母中含有未知数的方程.选项B的分母均为常数，因此不是分式方程. 【详解】：分式方程需满足分母中含有未知数， A、分母为x,含未知数，是分式方程： B、分母为3、4、5，均为常数，不含未知数，不是分式方程； C、分母为1+x,含未知数，是分式方程； D、分母为x和x-7,含未知数，是分式方程 .不是分式方程的是B. 故选B 2.(23-24八年级下江苏南京月考)下列关于x的方程0,1=5，②}4，③3=x-1,④ 3 x x-1 3 上三1中，是分式方程的有(）个， a b-1 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证 即可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键. 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：①气-5，®3，-x-1,④=是整式方程；②上-4 3 3 是分式方程； a b-1 x x-1 故选：A. 3. Q4八年级下江苏专题统》民误下面材科，解答后面的阿题，解方程：行卡0，解：设 y= 1,则原方程化为：y-4=0,方程两边同时乘y得：y广-4=0，解得：y=2,经检验： y=2都是方程y-4=0的解，：当y=2时，-一1=2，解得x=-1,当-2时，-1=-2，解得： 有，经检验：=-1成x一写都是原分式方程的解，：原分式方程的解为=-1或x=分上述这种解 分式方程的方法称为换元法. 问题： )若在方程-x,=0中，设y=二1，则原方程可化为： 4xx-1 2若在方程中14+4=0，设y= x+1x-1 x+,则原方程可化为：一 (3)模仿上述换元法解方程：1-3，-x+2=0. x+2x-1 【路案10片-0 (2)y-4=0 y 6)x=2 【分析】本题考查了分式方程的解法，关键是如何换元，题目比较好，有一定的难度， (1)和(2)将所设的y代入原方程即可； (3)利用换元法解分式方程，设y=X-1 2,将原方程化为)}=0，求出y的值并检验是杏为原方程 y 的解，然后求解x的值即可. y_1=0: 【详解】①)解：将y=一代入原方程，则原方程化为4 故答案为：)-1=0： (2)将y=-代入方程，则原方程可化为y-40: x+1 故答案为：y-4=0: (3)原方程化为：-】x+2=0, x+2x-1 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 牛2，则原方程化为：y-=0, 设y=x-1 1 y 方程两边同时乘y得：y2-1=0, 解得：y=±1， 经检验：y=士1都是方程y-1=0的解。 当y=1时， -1 =1,该方程无解； x+2 当y=-1时， -1 x+2 -1,解得：x= 2 经检验：x=-】是原分式方程的解， “原分式方程的解为x=- 2 题型32解分式方程（化为一元一次） 1.（2026江苏宿迁一模)解分式方程1=2，则x= x-1 x 【答案】2 【分析】先将分式方程化为整式方程，解得x=2,再验根，即可得到结果. 【详解】解：“1=2， x-= :方程两边同时乘以最简公分母x(x-1,得x=2(x-1), 解得x=2, 检验：当x=2时，xx-1=2×2-1=2≠0， 因此x=2是原分式方程的解 2.(2026江苏宿迁一模)关于的分式方程1，+-1=1解为正数，则a的取值范围为 x-22-x 【答案】a<4,且a≠2 【分析】先解分式方程，由分式方程解为正数得到分母不为零且x=4-α>0，解不等式即可得到答案. 【详解】解：1，+-1-1， x-22-x 去分母得1-(a-1)=x-2, 解得x=4-a, 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :关于x的分式方程1。+a-一=1解为正数， x-2'2-x 4-a>0,且4-a≠2， 解得a<4,且a≠2. 3.(25-26八年级下，江苏无锡期中)解下列方程： (012 xx+39 @+1 x-1 【答案】(1)x=3 (2)无解 【分析】(1)(2)先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可. 【详解】()解：=2 xx+3' x+3=2x, x-2x=-3, -x=-3, x=3; 检验，当x=3时，x(x+3)=3×6=18≠0， 所以x=3是原分式方程的解. 2)解：4+1=+1 x2-1x-1 4 x+1 +1= (x+1(x-1x-1’ 4+x2-1=(x+12, 4+x2-1=x2+2x+1, 2x=2, x=1; 检验，当x=1时，（x+1(x-1)=(1+1)(1-1=0, 所以x=1是增根，原分式方程无解 题型33根据分式方程解的情况求值 / 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3(x-1) 1. (25-26八年级下·江苏无锡期中)若关于x的不等式组{ 2 <1+有解，且关于y的分式方程 x-2a≥1 ,-a+y+6=2的解为非负整数，则所有满足条件的负整数α的值之和为 1-yy-1 【答案】-14 【分析】根据不等式组有解，求出的范围，再根据分式方程的解为非负整数，求出所有满足条件的负 整数a,求和即可. 3(x-1 x<5 【详解】解：解 2 ∠1+x, 得 x≥2a+1' x-2a≥1 3(x- :关于x的不等式组2 ∠1+x有解， x-2a≥1 ∴.2a+1≤x<5, .2a+1<5, a<2, y-a.y+6 2, 1-yy-1 解得)=分+4 :关打)的分式方程号+行=2的解为非骏整数。 ÷分+4≥0且号41，a能微2整， a2-8且a≠-6， .-8≤a<2且a≠-6， 又：a能被2整除， ∴.满足条件的负整数a=-8,-4,-2, -8-4-2=-14 2。(25-26八年级下江苏泰州期中)如果关于X的分式方程2m,+-3=1的解是正数，那么实数m的取 x-22-x 值范围是 5 【答案】m>号且m≠2 2 【分析】先通过去分母将分式方程化为整式方程，求出用m表示的解；再根据解为正数和分母不为零（分 式方程有意义)两个条件，列不等式求解的取值范围， 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解： 2m2x-3=1, x-22-x 2m2x-3 =1, x-2x-2 2m-2x-3=x-2, 2m-2x+3=x-2, -3x=-2m-5, x=2m+5 3， :方程的解是正数， 2m+5>0. 3 解得m>一2 5 :分式方程分母不为0， :x-2+0即2m+5-2≠0 3 解得m≠2 数的取值范围是m>直 3.(25-26八年级下江苏泰州期中)若关于x的方程C2=42+1有增根，则a的值是 ”x-2x-2 【答案】4 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根x的值，再代入整式方程计算即可求出 a的值. 【详解】解：将方程 x22x2+1两边同乘以(x-2)得：a=4+-2. 4 :分式方程有增根 :最简公分母x-2=0, 解得x=2, 将x=2代入a=4+x-2得：a=4+2-2=4. 题型34分式方程无解问题 1.(2026八年级上江苏泰州专题练习)关于x的方程心=3无解，则m的值是 x-3x-31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】1或0 【分析】本题考查分式方程无解的条件是去分母后所得的整式方程无解或整式方程的解使原方程的分母 为零 【详解】解：原方程为己3·两边同乘-3（需：3），符整式方程3： 当m=0时，整式方程为0=3，不成立，整式方程无解，原方程无解： 当m≠0时，解整式方程得x=3,若x=3,即3=3，解得m=1,此时x=3使分母X-3=0,原方程 m 无解： 综上，当m=0或m=1时，原方程无解： 故答案为：1或0 2.(2025八年级上江苏苏州专题练习》)若分式方程气-1二无解，则k的值是 【答案】1或2 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键.先把： 看作已知，解分式方程得出x与k的关系，再根据分式方程无解，进一步即可求出k的值， 【详解】解：原方程两边同乘x-1(需x≠1)，得kx-x-1)=2, 化简得(k-1)x+1=2,即(k-x=1, 当k-1=0即k=1时，方程变为0·x=1,无解； 当k1时，解为x=, k-11 若此解为增根x=1,则， 1, 解得k=2, 故k=1或k=2时方程无解， 故答案为：1或2. 3.(25-26七年级上江苏苏州月考)已知关于x的方程2x+m。=3. x-2x-2 (1)当m取何值时，此方程会产生增根； (②)当此方程的解是正数时，求m的取值范围. 【答案】(1)m=-4 (2)m>-6且m≠-4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【分析】本题考查解分式方程以及分式方程的增根问题，掌握如何解分式方程是解题的关键， (1)根据增根的定义，得出其增根为x=2,代入化简后方程求解即可： (2)按照分式方程解法，解出x=m+6，,根据题意解为正数，故m+6>0,解该不等式即可，同时需考 虑增根的情况，得出最后m的取值范围。 【详解】(1)解：该方程的增根为x=2, 对方程去分母， 得2x+m=3(x-2), 将x=2代入上式，即4+m=0, 解得m=-4. (2)解：对方程去分母，得2x+m=3x-2), 解得x=m+6, 若方程的根为正数，则x=m+6>0, 解得m>-6, 结合(1)中当m=-4时，方程为增根， 故m的取值范围为m>-6且m≠-4. 题型35列分式方程 1.(25-26八年级下·江苏无锡期中)古代建筑中，榫卯结构至关重要，它使得建筑物连接牢固且难以松动. 己知在一组榫卯中，一个榫需要的木材是一个卯需要的木材的1.5倍.若用90kg木材制作榫的数量比用 128kg木材制作卯的数量少4个.设制作1个卯需要木材xg,符合题意的是() 榫构件 卯构件 A. 90+4=128 B. 90_128 +4 1.5x x x1.5x 90-4=128 C.15x D 90_128-4 x1.5x 【答案】A 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：设制作1个卯需要木材xkg,则制作一个榫需要木材1.5xg, 90 根据题意可得 2+4=128 .5 x 故选：A 2.(2026江苏南通一模)甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种 机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做x个零件，则下列方程符合题意的为() A. 480360 B. 360480 x140-x x140-x C. 360,360 =140 D. 360-140=480 x140-x 【答案】B 【分析】根据甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，再结合总日产量表示出乙的日产量 根据时间公式列方程即可 【详解】解：：设甲机器人每天做x个零件，两种机器人每天共做140个零件， ,:乙机器人每天做140-x)个零件， :时间=总零件数÷每天做的零件数，且题目给出甲做360个零件与乙做480个零件所用时间相同， :甲做360个零件的时间为360，乙做480个零件的时间为 480 140-x 根据等量关系可得360.480 x140-x 3.（25-26八年级下·江苏泰州·期中)随着人民生活质量的提高，全民健身运动深入人心，马拉松运动成为 众多运动爱好者的选择.在一次马拉松比赛中，某时刻，甲落后乙40米，己知乙的平均配速为2.6米 /秒.如果甲想再跑300米刚好追上乙，则甲接下来的平均速度为多少米/秒？设甲接下来的平均速度为x 米/秒，则所列分式方程是· 【答案】300=300-40 2.6 【分析】抓住追上时甲乙运动时间相等的等量关系，结合路程速度时间的关系列出方程求解即可. 【详解】解：设甲接下来的平均速度为x米/秒 由题意可知，甲想再跑300米刚好追上乙，此时甲落后乙40米，因此乙跑的路程为(300-40)米，甲乙 运动时间相等. 根据公式时间= 变，可得乙运动时间为)。型，甲运动耐间为300小 路程 速度 由时间相等可得方程： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 300-40300 2.6 题型36分式方程的行程问题 1.(2026江苏南通一模)2025年11月9日南通海门成功举办了马拉松比赛.已知赛程总长约为42km, 其中甲选手的平均速度是乙选手的1.2倍，最终甲选手到达终点的时间比乙选手提前40分钟，若设乙 选手的平均速度是xkm/h,则可列方程为() 品经号组品号 42-42=40D.42-42=40 x1.2x3 1.2xx x1.2x 【答案】B 【分析】利用公式“时间=路程速度”分别表示甲、乙的全程用时，统一时间单位后，根据甲比乙提前到 达的时间关系列出方程即可 【详解】解：：设乙选手的平均速度为xkm/h, .甲选手的平均速度为1.2xkm/h 路程 :总路程为42km,时间= 速度’ 跑完全程的时间为h,甲跑完全程的时间为片 :甲比乙提前40分钟到达，统一单位得40分钟=40h=h,且乙的用时大于甲的用时， 60 3 ∴可列方程42.42.2 x1.2x3 2.(25-26八年级上江苏南通期末)某次列车平均提速vkm/h,用相同的时间，列车提速前行驶skm, 求提速前列车的平均速度.设列车提速前的平均速度是xkm/h,则可得方程为二-+50 根据此情境， xx+v 题中“”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是() A.提速后比提速前多行驶50km B.提速后比提速前少行驶50km C.提速后比提速前多行驶(s+50)kmD.提速后比提速前少行驶(s+50)km 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设提速前平均速度为xkmh,则提速后速度为x+v)km/h, 根据时间等于路程除以速度，结合方程两边的式子可得答案。 【详解】解：设提速前平均速度为xkmh,则提速后速度为(x+v)km/h, 方程左边表示提速前行驶skm所用的时间，方程右边+50 表示提速后行驶(s+50)km所用的时间， x+V 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :方程表示两者时间相同 :.说明相同时间内，提速后比提速前多行驶50km “补充条件为选项A, 故选：A. 3.(24-25八年级下江苏盐城阶段检测)中国国家铁路集团有限公司宣布，2024年12月27日，盐城至 宜兴高铁（以下简称盐宜高铁）开工建设，这将大大加快盐城城市群建设与发展.铁路建成后，盐城与 泰州铁路运行里程由现在的140km缩短至120km,预计平均时速要比现行的平均时速快110km,运行时 间是现行时间的二， ()设该铁路建成前在盐城与泰州两地运行的现行时间是x小时，则该城际铁路建成后在盐城与泰州两地 的运行时间是 小时（用含x的式子表示）： (2)根据(1)中的设未知数x,结合题意，列方程，求出该城际铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行 时间 【答案】①亏 2 a装小时 【分析】本题考查了用含未知数的式子表示数量关系，行程问题中的数量关系及分式方程的求解， (1)根据现行时间与建成后时间的关系，直接用含x的式子表示建成后的运行时间： (2)先根据“建成后的速度-现行速度=110km”列出方程，求解x后，再计算建成后的运行时间. 【详解】(1)解：：该铁路建成后，运行时间是现行时间的，且该铁路建成前在盐城和泰州两地运行 的现行时间是x小时， 2 :该铁路建成后在盐城和泰州两地的运行时间是三x小时. 120140 2=110 (2)解：根据题意得：2 16 解得x= 11 经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意， 11 2×16_-32(小时)， 5*55 答：该铁路建成后在盐城与泰州两地之间的运行时间为设小时. 55 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型37分式方程的工程问题 1.（25-26八年级下·江苏无锡·期中)江苏省城市足球联赛的吉祥物苏哪嘟”深受球迷喜爱.为了满足球迷 需求，苏嘟哪的纪念品工厂需要生产一批“苏嘟嘟玩偶”.工厂有甲、乙、丙三条生产线，它们的工作效 率不同。 (1)已知：甲生产线单独完成这批玩偶需要20天，乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天.甲、 乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的 0·请你求出乙、丙两条生产线单组完成各需要多少天？ (②)在(1)的条件下，工厂接到紧急订单，需要在12天内完成这批玩偶.厂长制定了以下方案：先让甲、 乙两条生产线合作4天，然后丙生产线加入，三条生产线一起合作直到完成.请你计算，这样安排能否 在12天内完成任务？ 【答案】(1)乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天 (2)能在12天内完成任务 【分析】(1)设乙生产线单独完成需要x天，根据甲、乙两条生产线合作，6天可以完成这批玩偶的 0,列出方程进行求解，再根据乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天，进行求解即可， 9 (2)根据方案求出12天的工作量，进行判断即可. 【详解】(1)解：设乙生产线单独完成需要x天，由题意，得： 20*6+x6e 9 20 解得x=40, 经检验，x=40是原方程的解且符合题意， :乙生产线单独完成需要40天， :乙生产线单独完成需要的时间比丙生产线少5天， :.丙生产线单独完成需要45天： 答：乙生产线单独完成需要40天，丙生产线单独完成需要45天： @银：0×2+012+512-4-贸>1 故这样安排能在12天内完成任务。 2.(2023江苏徐州模拟预测)为缓解城市交通压力，某市启动地铁工程.在一号线地铁工程开工期间， 某工程队负责修建一条长1200m的隧道.工程队计划采用新的施工方式，工效可以提升50%，预计提前 40天完成任务.这个工程队原计划每天修建隧道多少米？ 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】10米 【分析】设这个工程队原计划每天修建隧道x米，依题意列出分式方程，求出x的值，再检验是否符合 题意即可 【详解】解：设这个工程队原计划每天修建隧道x米，由题意得 12001200 =40 x(1+50%)x 解得：x=10 经检验x=I0是原方程的解且符合实际意义， 答：这个工程队原计划每天修建隧道10米。 3.(25-26八年级下·江苏南京·月考)某快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人每小时的工作效率 相当于一名工人每小时工作效率的20倍，若用一台机器人分拣6000件货物，比原先30名工人分拣这 些货物只多用)小时.求一台机器人每小时可分拣多少件货物. 【答案】4000 【分析】设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物，根据题意建立分 式方程，解方程并进行检验即可， 【详解】解：设一名工人每小时可分拣x件货物，则一台机器人每小时可分拣20x件货物， 由题意得： 600060001 20x30x=21 解得x=200, 经检验，x=200是所列分式方程的解， 则20x=20×200=4000, 答：一台机器人每小时可分拣4000件货物. 题型38分式方程的经济问题 1. (25-26九年级下·江苏盐城期中)阅读下列素材，完成任务 2026年3月，成立仅两年的张雪机车在WSBK葡萄牙站连胜两场夺冠，打破了欧美品牌长达37 问题背景 年的垄断，我校以张雪机车精神为核心，开展“逐梦少年·致敬榜样”主题活动，为让榜样精神可 视化，学校计划采购A、B两款张雪专属机车模型，用于校园励志文化建设， 素材一 已知一个B款机车模型比一个A款机车模型价格贵10元， 素材二 学校用2500元购进A款机车模型的数量是用1500元购进B款机车模型数量的2倍. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 甲同学：设① 任务1 的单价为x元，由题意得方程：2500-2×1500 x+10 乙同学：设购买B款机车模型y辆，由题意得方程：② 任务2 求A、B两款机车模型的单价， (1)任务1中横线①处应填 横线②处应填 (2)请选择任务1中的一位同学的方法，求A、B两款机车模型的单价. 【答案】(1)0A款机车模型，②1500_2500-10 y 2y (2)A款机车模型的单价为50元，B款机车模型的单价为60元 【分析】(1)①根据“一个B款机车模型比一个A款机车模型价格贵10元”，结合方程即可得到①为A 款机车模型的单价为x元；②设购买B款机车模型y辆，根据“一个B款机车模型比一个A款机车模型价 格贵10元”建立方程即可； (2)根据所列方程，解分式方程，并且检验即可. 【详解】（1)解：甲同学：设A款机车模型的单价为x元，由题意得方程：2500=2×1500 x+10 乙同学：设购买B款机车模型y辆，由题意得方程： 1500_2500=10. v 2v (2)解：甲同学：设A款机车模型的单价为x元， 由题意得方程：2500=2×1500 x+10 解得x=50, 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为50+10=60（元）； 乙同学：设购买B款机车模型y辆， 由题意得方程：1500_250-10 解得y=25, 经检验，y=25是原方程的解，且符合题意， 则B款机车模型的单价为1500=60（元），A款机车模型的单价为250=50（元） 25 2×25 答：A款机车模型的单价为50元，B款机车模型的单价为60元： 2.(25-26八年级下·江苏无锡期中)2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引 发了“机器人消费热”.某科技公司计划购进“春晚同款”的两种机器人进行销售.己知每台甲型机器人的 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 进价比每台乙型机器人的进价贵0.25万元，设每台乙型机器人的进价为x万元，解答下列问题： (1)每台甲型机器人的进价为 万元（用含x的式子表示)： (2)若用10万元购进甲型机器人的数量与用8万元购进乙型机器人的数量相同.求甲、乙两种型号机器人 的进价各是多少万元？ 【答案】(1)x+0.25 (2)每台甲型机器人的进价为1.25万元，每台乙型机器人的进价为1万元 【分析】(1)根据“甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价贵0.25万元”，即可求解； (2)根据“10万元购进甲型机器人的数量与用8万元购进乙型机器人的数量相同”列方程即可求解 【详解】(1)解：·每台乙型机器人的进价为x万元，每台甲型机器人的进价比每台乙型机器人的进价 贵0.25万元， :每台甲型机器人的进价为(x+0.25)万元； (2)根据题意得10=8 x+0.25x 解得x=1, 经检验，x=1是原方程的解， :x+0.25=1+0.25=1.25, 答：每台甲型机器人的进价为1.25万元，每台乙型机器人的进价为1万元 3.(25-26八年级下·江苏无锡期中)某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本， 并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了 20%,用15000元购买该书比第一次多了100本. (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二 次共盈利100m元(n、m为正整数)，求相应的n、m的值， 【答案】(1)第一次购书的进价是5元一本 (2)当n=4时，m=4；当n=6时，m=11；当n=8时，m=18 【分析】(1)设第一次购书的单价为x元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书 的批发价已比第一次提高了20%，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出x的 值即可得出答案； (2)根据(1)先求出第二次购书数目，再根据卖书数目×（实际售价一当次进价）等于二次赚的钱数 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 列出方程探讨得出答案。 【详解】(1)解：设第一次购书的单价为x元一本，根据题意得： 12000 15000 -+100= (1+20%)x 解得：x=5, 经检验，x=5是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本； (2)解：第二次购书进价为1+20%)×5=6（元）， 数量为120+100=2500（本）， 5 根据题意，得200×47-61+(250-200×7×0-6小-100m 整理得m=3.5n-10, :m、n为正整数，且n≤9， :当n=4,m=4; 当n=6时，m=11: 当n=8时，m=18. 题型39分式方程的和差倍分问题 1.(2026江苏徐州·二模)某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可 兑换公交优惠券等权益.已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦 每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步： 方式二：步行4200步. 己知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个. 求每获得1个碳积分需要步行多少步 【答案】每获得1个碳积分需要步行60步 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获 得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可. 【详解】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 根据题意，得420-(9+10)=50” 解得x=60, 经检验，x=60是原方程的解，且符合题意. 答：每获得1个碳积分需要步行60步. 2.(2025江苏扬州·三模)某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品.甲、 乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）·若小华在甲商店 购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同.求甲商店硬面笔记本 的单价 【答案】16元 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列方程是解题关键.设甲商店硬面笔记本的单价为 x元，则甲商店软面笔记本的单价为x-3)元，根据“用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记 本的数量相同”，即可列方程求解 【详解】解：设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为(x-3)元， 根据题意得： 240-195 xx-3 解得：x=16, 经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意. 答：甲商店硬面笔记本的单价为16元 3.(24-25八年级下.江苏南京·期中)一个长方体容器的容积为30m3,开始用一根细水管向容器内注水， 水面高度到达容器高度一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水 全过程共用60min,求两根水管各自的注水速度 【答案】第一根细水管进水速度为m'/min,则第二根水管进水速度为mmim 【分析】本题考查分式方程的应用，设第一根细水管进水速度为xm3mim,则第二根水管进水速度为 2 xm/min,一个长方体容器的容积为30m3,开始用一根细水管向容器内注水，水面高度到达容器高度 一半后，改用一根注水速度为细水管注水速度2倍的水管注水，向容器中注满水全过程共用60mn可列 方程求解. 【详解】解：设第一根细水管进水速度为xm3/min,则第二根水管进水速度为2xm3min,根据题意得 15+15=60, x 2x 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=8 3 3 经检验x=。是原方程的解 P 答：第一根细水管进水速度为mmin,则第二根水管进水速度为mmin. 3 8 题型40分式方程的其他实际问题 (25-26九年级下·江苏盐城期中)请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务 探索实践：探索奶茶甜度 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度=糖的质量/奶茶总质量×100%，已知一杯质量 b 素材一 为α克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为二×100%，其他常见甜度对应含糖量如下： a 七分糖：含糖0.7b克；五分糖：含糖0.5b克；三分糖：含糖0.3b克. 素材二 小明点了一杯α克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了0.2b克糖， 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为_； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 【答案】(1)5% (2)奶茶最终甜度比七分糖甜度小，理由见解析 (3)加入5克的糖 【分析】(1)根据素材一的公式计算即可： (2)先计算加糖后奶茶甜度，然后利用作差法比较七分糖奶茶的甜度和加糖后的奶茶甜度的大小，即 可解答： (3)设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖，则奶茶质量(250+x)克，含糖量 (7.5+x)克，根据五分糖的甜度列方程解答即可. 【详解】(1)解： 20 ×100%=5%; 400 0.7 (2)解：七分糖奶茶甜度： 2x100%, a 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 奶茶最终甜度为： 0.5b+0.2b ×100%=0.7b ×100%, a+0.2b a+0.2b ÷0.7b0.76 0.14b2 a a+0.2ba(a+0.2b,且a>b>0, .0.14b2>0,a(a+0.2b)>0, 0.1462 >0, a(a+0.2b) 0.7b0.7b >0, a a+0.2b 即0.7b、0.76 aa+0.2b’ 故奶茶最终甜度比七分糖甜度小； (3)解：设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖， 原来奶茶质量500克，含糖量50×0.3=15克， 喝掉一半后奶茶质量250克，含糖量7.5克， 加入x克糖后，奶茶质量(250+x)克，含糖量(7.5+x)克， 得75+x-50x0.5 250+x500 解得x=100 19, 经检验，x=100 19是方程的解，且符合实际， 00 5克， 19 答：需要再向剩下的奶茶中加入5克的糖，才能将其调制成五分糖 2.(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成 任务一、任务二、任务三. 合理规划校园文创市集场地 我校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为3x-2)m,宽为 素材一 xm(其中x>2),去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组少用20分钟 今年从该区域中划出一个边长为m的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为 素材三 “手工体验区”（如图）.“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接 待240人次. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3x-2)m xm 盲盒抽取区 手工体验区 xm 问题解决 (1)求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由。 (3)现计划将该区域扩建，长增加10m,宽增加xm,若扩建后的面积是原来面积的k倍. ①若k为整数，求整数x的值. ②k的取值范围 【答案】(1)甲组每分钟售卖4.8件产品，乙组每分钟售卖4件产品： (②)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3)①x=4;②2<k<7 【分析】(1)设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖1.2x件产品，根据甲组单独售完所有产 品比乙组少用20分钟建立方程求解即可； (2)分别求出两个区域的平均单位面积人流量，再利用作差法比较大小即可， (3)①求出扩建前后该区域的面积，则可用含x的式子表示出k,再根据k和x都为整数求解即可；② 根据(3)①所求，结合x的取值范围求解即可 【详解】(1)解：设乙组每分钟售卖x件产品，则甲组每分钟售卖1.2x件产品， 由题意得，480480=20， x1.2x 解得x=4, 经检验，x=4是原方程的解，且符合题意， 1.2x=4.8, 答：甲组每分钟售卖4.8件产品，乙组每分钟售卖4件产品： (2)解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由如下： “盲盒抽取区”的面积为m,则盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为360 2, 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “手工体骏区”的面积为x(3x-2)-x2=3x2-2x-x2=(2x2-2x)m2,则手工体验区的平均单位面积人流 240120 量为 2x2-2xx2-x 360120 x2 x2-x 360(x-1120x x2(x-1)x2(x-1 =360x-360-120x x2(x-1 240x-360 x2(x-1 120(2x-3 x2(x-1 .x>2, .2x-3>0,x2>0,x-1>0, 360120_120(2x-3到>0， x2x2-xx2(x-1) 360120 >- 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； (3)解：①由题意得，原来的面积为x(3x-2)=3x2-2xm2, 扩建后的面积为(x+x)(3x-2+10)=2x(3x+8=(6x2+16x)m2, :扩建后的面积是原来面积的k倍， “k=6r2+16x 3x2-2x (6x2-4x)+20x 3x2-2x 20x =2+ 3x2-2x 20 =2+ 3x-2' :x>2, .3x-2>0, 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :k为整数， .3x-2=1或3x-2=2或3x-2=4或3x-2=5或3x-2=10或3x-2=20, 解得=1（舍去）或x号〔舍去)或x=2(舍去)或x子〔舍去)或x=4或x-程 3 (舍去)： ②由(3)①得k=2+ 20 3x-2’ x>2, .3x-2>4, 11 0< 3x-24' 0< 20 <5, 3x-2 1 2<2+ <7, 3x-2 2<k<7. 3.(25-26九年级下·江苏南京·月考)为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲、乙两车间生产 11040个龙年福字.根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后， 工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字. (①)从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩 下的生产任务平均分给了甲、乙两车间.改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为3：7，且改进 工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？ 【答案】(1)16天 (2)360个 【分析】(1)设从开始加工到完成这批福字一共需要x天，等量关系式：甲x天完成的福字数+乙 (x-4)天完成的福字数=11040，据此列方程求解即可； (2)设改进工艺后甲车间每天生产3a个福字，乙车间每天生产7a个福字，列分式方程求解即可. 【详解】(1)解：设从开始加工到完成这批福字一共需要x天， 由题意得240x+600(x-4=11040, 解得x=16; 答：从开始加工到完成这批福字一共需要16天. (2)解：设改进工艺后甲车间每天生产3个福字，乙车间每天生产7a个福字， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4天后，甲、乙还各需加工：(11040-240×4)÷2=5040（个）； 银据题意得5040_50408 解得a=120; 经检验：a=120是所列方程的解，且符合题意， 3x120=360(个)： 答：改进工艺后甲车间每天生产360个福字.