专题04 因式分解全章13大题型（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材苏科版

**基本信息** 以“概念辨析-方法掌握-综合应用”为主线，系统覆盖因式分解全题型，突出从基础到进阶的逻辑递进，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础方法|题型01-07（7题型）|提公因式“三定”法（定系数、字母、指数），公式法特征识别（平方差/完全平方结构）|从因式分解定义出发，通过公因式识别过渡到基本分解方法，形成“定义-工具-应用”基础链| |综合进阶|题型08-12（5题型）|综合法“先提后套”步骤，十字相乘法“常数拆分”技巧，分组分解“分组后提公因式/套公式”策略|整合基础方法，通过多步骤分解训练推理能力，构建“单一方法-综合方法-特殊方法”提升路径| |实践应用|题型10、13（2题型）|简算中“整体代换”思想，实际问题“模型转化”方法|链接生活与数学情境，体现应用意识，实现“知识-能力-素养”落地|

专题04 因式分解 题型01 判断是否是因式分解 题型08 综合运用公式法分解因式（难点） 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型09 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型03 公因式 题型10 因式分解在有理数简算中的应用（难点） 题型04 提公因式法分解因式（重点） 题型11 十字相乘法（难点） 题型05 判断能否用公式法分解因式 题型12 分组分解法（难点） 题型06 平方差公式分解因式（重点） 题型13 因式分解的应用 题型07 完全平方公式分解因式（重点） 题型01 判断是否是因式分解 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型02 已知因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是_．（直接写答案） 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 题型03 公因式 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 题型04 提公因式法分解因式 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 3．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，． 题型05 判断能否用公式法分解因式 1．（21-22八年级上·江苏南通·阶段检测）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（21-22七年级下·江苏淮安·期中）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型06 平方差公式分解因式 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）填空：（_____）=，括号内应填入_________． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 题型07 完全平方公式分解因式 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·江苏连云港·一模）因式分解：______． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 题型08 综合运用公式法分解因式 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解： (1) (2) 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型09 综合提公因式和公式法分解因式 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 题型11 十字相乘法 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当_时，，可得_是多项式的一个因式．分解因式：_； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 题型12 分组分解法 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：_ ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ①_ ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）因式分解 (1)； (2) (3) (4) 题型13 因式分解的应用 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）已知，则______． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果：_；_； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）探索与研究 观察下列等式： … (1)按照以上4个等式的规律，请写出第5个等式________________． (2)探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． (3)利用（2）中的结论，说明：个位数字是1的整数的平方减去1后，一定可以被20整除． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 题型01 判断是否是因式分解 题型08 综合运用公式法分解因式（难点） 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型09 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型03 公因式 题型10 因式分解在有理数简算中的应用（难点） 题型04 提公因式法分解因式（重点） 题型11 十字相乘法（难点） 题型05 判断能否用公式法分解因式 题型12 分组分解法（难点） 题型06 平方差公式分解因式（重点） 题型13 因式分解的应用 题型07 完全平方公式分解因式（重点） 题型01 判断是否是因式分解 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是因式分解； B、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； C、，结果是和的形式，不是整式乘积，不是因式分解； D、，将多项式化为两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义，是因式分解. 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵ 因式分解的结果必须是几个整式乘积的形式 ∴ A选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解； B选项，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义，属于因式分解； C选项 ，是整式乘法运算，是将乘积化为多项式，不属于因式分解； D选项 结果为，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解． 题型02 已知因式分解的结果求参数 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）若多项式可分解为，则的值为（   ） A． B．1 C．7 D． 【答案】B 【分析】将分解后的因式展开，对比原多项式对应项的系数，即可求出的值． 【详解】解： ∵ 多项式可分解为 ∴将展开结果与对比，对应项系数相等，可得． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是_．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 3．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 题型03 公因式 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）多项式各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，二者相乘得到公因式即可解题． 【详解】解：多项式各项的公因式是． 2．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 3．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 题型04 提公因式法分解因式 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知，求的值为________． 【答案】2027 【分析】根据已知等式变形得到的值，再对所求多项式进行降次变形，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 2．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列等式 ①； ②； ③； …… (1)请按以上规律写出第4个等式：_____． (2)猜想写出第个等式：_____，并证明猜想的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题意可得答案； （2）观察可知连续的两个偶数的平方差（大数减小数）等于这两个数的平均数的4倍，据此写出第n个等式，再利用平方差公式证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式为； （2）解：①； ②； ③； ……， 以此类推，可知第个等式为， 证明如下： ， ∴第个等式为． 3．（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，原式 题型05 判断能否用公式法分解因式 1．（21-22八年级上·江苏南通·阶段检测）下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用完全平方公式判断即可． 【详解】解：①，能用完全平方公式分解，不符合题意； ②，不能用完全平方公式分解，符合题意； ③，不能用完全平方公式分解，符合题意； ④，不能用完全平方公式分解，符合题意； ⑤，不能用完全平方公式分解，符合题意． 综上，不能用完全平方公式分解的是②③④⑤，共4个 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（21-22七年级下·江苏淮安·期中）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【答案】C 【分析】根据平方差公式判断即可； 【详解】A．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C．能运用平方差公式分解，故此选项正确； D．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选： C． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键． 3．（22-23七年级下·江苏扬州·期中）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】A．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 题型06 平方差公式分解因式 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）填空：（_____）=，括号内应填入_________． 【答案】/ 【分析】将等式右边的多项式用平方差公式分解因式，即可得到所求的式子． 【详解】解：对等式右边的多项式分解因式：，所以括号内处应填入． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 【答案】 21 【分析】利用平方差公式将所求代数式进行因式分解，再代入已知条件计算即可得到结果. 【详解】解： . 3．（25-26七年级下·江苏南京·期中）如图，数轴上点，分别表示数，． (1)______0，______0（用“”、“”和“”填空）； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题； （2）根据题意，利用作差法进行计算即可． 【详解】（1）解：由所给数轴可知，且， 则，． （2）解：，理由如下： ． 因为，， 所以， 所以． 题型07 完全平方公式分解因式 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）一块梯形木板，，，，，，按如图方式设计一个矩形桌面（点在边上）．当桌面面积最大时，为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】作于点H，先根据已知数据证明和是等腰直角三角形，再设，则，列出矩形桌面面积关于x的函数关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图，作于点H， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 矩形中，， 是等腰直角三角形， 设，则， 矩形桌面的面积， 当时，S取最大值25， 即当时，矩形桌面面积最大． 2．（2026·江苏连云港·一模）因式分解：______． 【答案】 【分析】观察多项式符合完全平方公式的结构特征，可直接套用完全平方公式分解因式. 【详解】解： . 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）利用因式分解简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)200 (2)10000 【分析】（1）利用平方差公式分解后计算即可； （2）先变形为完全平方公式的形式，分解后计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型08 综合运用公式法分解因式 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解因式即可； （4）用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型09 综合提公因式和公式法分解因式 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【分析】先对多项式用提公因式法和平方差公式分解因式，再代入，的值计算各因式的取值得到因式码，最后将因式码从小到大排列得到密码，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， 得到三个因式码为13，21，31， 按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型10 因式分解在有理数简算中的应用 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)41200 (2)3200 【详解】（1）解：原式     ； （2）解：原式 ． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）把下列各式因式分解或简便计算： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)简便计算：； (4)简便计算：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （）先变形提取公因式，再用平方差公式因式分解； （）利用平方差公式变形后进行简便计算； （）将原式变形后，利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）因式分解及简便运算 (1)分解因式：； (2)简便计算：． 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）将原式提取公因式后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）将原式利用平方差公式因式分解并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型11 十字相乘法 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【分析】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【详解】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当_时，，可得_是多项式的一个因式．分解因式：_； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【分析】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 题型12 分组分解法 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】15 【分析】先把所要求值的代数式用分组分解法分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式． 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：_ ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ①_ ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·阶段检测）因式分解 (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】（1）观察发现多项式是平方差形式，直接用平方差公式分解； （2）先提取公因式，剩余部分为完全平方式，再用完全平方公式分解； （3）将两个整体平方项看作平方差的形式，先利用平方差公式分解，合并同类项后再提取公因式； （4）采用分组分解法，将多项式分组后分别提取公因式，再提取整体的公因式完成分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型13 因式分解的应用 1．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）已知，则______． 【答案】 9 【分析】利用平方差公式对原式分解变形，再代入已知条件化简整理，即可得到结果． 【详解】解： ， 将代入得， ∴原式． 2．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是，且积有一定的规律”． (1)根据上述的运算规律，直接写出结果：_；_； (2)设其中一个数的十位数字为，个位数字为． ①请用含，的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明； ②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为，①中的运算结果为，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值． 【答案】(1)，； (2)①运算规律：，证明见解析； ②这个两位数的最大值为． 【分析】（1）根据题中的运算规律计算即可得解； （2）①根据题意得这两个两位数分别为，，从而得到运算规律为，分别计算等式两边即可证明； ②由①得，可得新的两位数为，，进而得到，然后计算出，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ； （2）解：①其中一个数的十位数字为，个位数字为， 另一个数的十位数字为，个位数字为， 根据题意得，这个运算规律为， 证明如下：左边, , 右边， 左边右边； ②由①得， 分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘， ， ， ， ， , , ， ， 依题意得，为小于的正整数， 为整数， 能被整除， 即这个两位数的最大值为． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）探索与研究 观察下列等式： … (1)按照以上4个等式的规律，请写出第5个等式________________． (2)探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． (3)利用（2）中的结论，说明：个位数字是1的整数的平方减去1后，一定可以被20整除． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据前几个式子的规律，写出第5个等式，即可求解； （2）根据规律得出第个等式，通过展开等式两边进行证明即可； （3）利用（2）中结论求出，然后根据、为正整数进行说明即可． 【详解】（1）解：第1个等式为： 第2个等式为： 第3个等式为： 第4个等式为： 第5个等式为：； （2）解：根据（1）中式子的规律，第个等式为： 左边 右边， 左边右边， ∴成立． （3）证明：设任意个位数字是1的整数为（为整数）， 则 ， 当为整数时，、为整数， ∴个位数字是1的整数的平方减去1后，一定可以被20整除． / 学科网（北京）股份有限公司 $