专题24 长方体和正方体的体积的应用及拓展七大类型（易错专项训练）数学苏教版五年级下册

**基本信息** 聚焦长方体和正方体体积七大应用类型，从基础认识到拓展变形，构建递进式训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |长方体体积的认识|5题|结合表面积变化、实际材料应用|从体积公式推导到与表面积综合应用| |正方体体积的认识|5题|棱长变化、容器转换计算|正方体特性与体积公式的直接应用| |长方体和正方体的容积|5题|侧面展开、实际容器设计|体积与容积概念辨析及生活应用| |立体图形的切拼（体积）|5题|切割增表面积、黏合减表面积|通过切拼理解体积守恒与表面积变化| |组合体的体积的应用|5题|多正方体组合、挖去部分计算|复杂图形分解为基本体的体积叠加| |测量不规则物体的体积|5题|排水法、溢水法操作题|转化思想解决非标准体体积测量| |体积的等积变形|5题|橡皮泥重塑、容器横竖放置|体积不变原理在形态转换中的应用|

专题24 长方体和正方体的体积的应用及拓展七大类型 易错专项训练一 长方体体积的认识 易错专项训练二 正方体体积的认识 易错专项训练三 长方体和正方体的容积 易错专项训练四 立体图形的切拼（体积） 易错专项训练五 组合体的体积的应用 易错专项训练六 测量不规则物体的体积 易错专项训练七 体积的等积变形 易错专项训练一长方体体积的认识 1．一个长方体，如果宽增加2厘米就成了正方体，表面积就增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】414 567 【分析】根据题意，一个长方体的宽增加2厘米就成了正方体，说明原来长方体的长和高相等。所以增加的面积是4个完全相同的长方形面积之和。用增加的面积除以4算出一个长方形的面积，再除以2即可算出原来长方体的长或高。用长减去2可以算出原来长方体的宽。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高计算即可。 【解答】72÷4÷2＝9（厘米） 9－2＝7（厘米） 表面积：（9×7＋9×9＋7×9）×2 ＝（63＋81＋63）×2 ＝207×2 ＝414（平方厘米） 体积：9×7×9＝567（立方厘米） 2．一根长方体木料长4米，将它沿着垂直于长的方向锯成5段后，表面积增加了40平方分米。原来这根木料的体积是（ ）立方分米。 【答案】200 【分析】根据题意，将它沿着垂直于长的方向锯成5段，需要4次，每次会增加两个面。40平方分米相当于8个横截面的面积，算出一个横截面的面积，再根据长方体体积＝底面积×高解决。1米＝10分米。 【解答】4米＝40分米 （5－1）×2 ＝4×2 ＝8（个） 40÷8＝5（平方分米） 5×40＝200（立方分米） 3．我国科学家成功研发出毫米级超薄手撕钢，这种材料在航空航天、电子、新能源以及医疗器械等多个高科技领域中，都发挥着不可或缺的重要作用。将一张长40厘米、宽8厘米的长方形超薄手撕钢对折再对折后展开，围成一个高是8厘米的长方体，这个长方体的底面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】100 800 【分析】题目中指出围成的长方体高是8厘米，这与长方形钢板的宽（8厘米）相等。因此，长方形钢板的长（40厘米）围成了长方体的底面周长。 “对折再对折”意味着将长方形的长平均分成4份。展开后围成长方体，这4份分别成为底面的4条边。 因为长被平均分成4份，所以底面的4条边长度相等，底面是一个正方形。先根据总长求出底面边长，再计算底面积，最后利用“体积＝底面积×高”计算体积。 【解答】40÷4＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 100×8＝800（立方厘米） 这个长方体的底面积是100平方厘米；体积是800立方厘米。 4．一个长方体的底面是边长5厘米的正方形，它的表面积是290平方厘米，求它的体积。 【答案】300立方厘米 【分析】一个长方体的底面是边长5厘米的正方形，说明该长方体是有两个面是正方形的特殊长方体，其余4个面是完全一样的长方形，宽为底面正方形的边长5厘米，长为长方体的高。 根据“正方形面积＝边长×边长”求出该长方体的底面积为5×5＝25平方厘米，上面和底面完全相同，所以两个面的面积和为25×2＝50平方厘米；用长方体的表面积减去上下两个面的面积和求出其余4个完全相同长方形面的面积，再除以4求出一个长方形面的面积。 用长方形面的面积除以宽求出长，即为长方体的高，最后根据“长方体体积＝长×宽×高”即可求出该长方体的体积。据此解答。 【解答】5×5＝25（平方厘米） 25×2＝50（平方厘米） 290－50＝240（平方厘米） 240÷4＝60（平方厘米） 60÷5＝12（厘米） 5×5×12 ＝25×12 ＝300（立方厘米） 答：它的体积是300立方厘米。 5．一个花坛（如图），底面是边长1.5米的正方形，四周用木条围成，高0.8米。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 【答案】（1）2.25平方米 （2）1.8立方米 【分析】（1）花坛的占地面积就是它底面正方形的面积。已知底面是边长为1.5米的正方形，根据正方形面积公式“面积＝边长×边长”，直接计算即可。 （2）因为木条厚度忽略不计，泥土的体积就等于这个长方体花坛的容积。根据长方体体积公式“体积＝底面积×高”，用第一步算出的底面积乘花坛的高度0.8米，就能得到需要的泥土体积。 【解答】（1）1.5×1.5＝2.25（平方米） 答：这个花坛占地2.25平方米。 （2）2.25×0.8＝1.8（立方米） 答：大约需要1.8立方米的泥土。 易错专项训练二正方体体积的认识 6．一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 【答案】5 125 【分析】当正方体的长增加3分米时，增加的表面积是4个完全相同的长方形的面积和，每个长方形的宽为3分米，长为原正方体的棱长。 增加的表面积÷4＝长方形的面积 长方形的面积÷宽＝长（正方体的棱长） 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 【解答】正方体的棱长：60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 正方体的体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 7．一个长方体水箱，从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，装满水后倒入一个棱长为6分米的正方体水箱中，水深是（ ）分米。 【答案】 【分析】根据长方体体积公式求出水的体积，再将长方体水箱里的水全部倒入一个正方体水箱，由于水的体积不变，求水深即水的高度，水的高度＝长方体体积÷棱长÷棱长，根据公式解答即可。 【解答】（立方分米） （分米） 因此，水深是分米。 8．用铁丝焊接成如图这个长方体框架（焊接处忽略不计），至少需要（ ）厘米铁丝；如果用这些铁丝焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】120 600 1000 【分析】铁丝长度相当于长方体棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝长度，即正方体棱长总和。再根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【解答】（15＋10＋5）×4 ＝30×4 ＝120（厘米） 120÷12＝10（厘米） 10×10×6＝600（平方厘米） 10×10×10＝1000（立方厘米） 用铁丝焊接成如图这个长方体框架（焊接处忽略不计），至少需要120厘米铁丝；如果用这些铁丝焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是600平方厘米，体积是1000立方厘米。 9．长城，我国现存规模最大的文化遗产。小强用积木搭的“长城”如下图，它的体积是多少立方厘米？（图中单位：厘米） 【答案】459立方厘米 【分析】观察图形可知，图形的下半部分可看作是一个长方体，长为21厘米，被平均分成7份，那么每份是21÷7＝3厘米。所以上半部分是3个棱长为3厘米的正方体。 长方体的长21厘米、宽3厘米、高6厘米。根据长方体体积公式V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把数据代入计算出长方体体积。 正方体的棱长是3厘米，有3个正方体，根据正方体体积公式V＝a×a×a（a为棱长），所以3个正方体的体积为：a×a×a×3，把数据代入计算出3个正方体的体积，然后再与长方体体积相加即可。 【解答】21÷7＝3（厘米） 21×3×6＝378（立方厘米） 3×3×3×3＝81（立方厘米） 378＋81＝459（立方厘米） 答：体积是459立方厘米。 10．纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长为40厘米，做一个纸盒要多少平方厘米的纸板？它占空间多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】9600平方厘米；64000立方厘米，合64立方分米 【分析】已知正方体纸盒棱长是40厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出该正方体纸盒的表面积，即为所需纸板的面积。 根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该正方体的体积，即为所占空间的大小。 最后根据1立方分米＝1000立方厘米，将立方厘米换算为立方分米。 【解答】40×40×6 ＝1600×6 ＝9600（平方厘米） 答：做一个纸盒要9600平方厘米纸板。 40×40×40 ＝1600×40 ＝64000（立方厘米） 64000立方厘米＝64立方分米 答：它占空间64000立方厘米，合64立方分米。 易错专项训练三长方体和正方体的容积 11．一个底面是正方形的长方体，高20厘米，侧面展开是正方形，这个长方体的容积是（ ）立方厘米。 【答案】500 【分析】因为长方体的侧面展开是正方形，所以底面正方形的周长和高相等，都是20厘米。用20除以4算出底面正方形的边长。再根据长×宽×高，代入计算出它的容积。 【解答】20÷4＝5（厘米） 5×5×20 ＝25×20 ＝500（立方厘米） 12．有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是（ ）平方分米，能盛水（ ）升。 【答案】36 72 【分析】先统一单位，将1米换算成10分米。用正方形铁皮的边长减去2个2分米求出长方体水槽的长和宽，长和宽相等。高为2分米。长宽所在的面的面积就是长方体的占地面积，用长乘宽计算。长方体的容积＝长×宽×高。 【解答】1米＝10分米 （分米） （平方分米） 这个水槽的占地面积是36平方分米。 （立方分米） 立方分米升 这个水槽能盛水72升。 13．用1立方厘米的小正方体填充下面的长方体。从图中可知长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。这个长方体的容积是（ ）立方厘米。 【答案】5 4 3 60 【分析】体积为1立方厘米的小正方体的棱长为1厘米，用小正方体的数量乘小正方体的棱长求出长方体的长、宽、高，最后根据“长方体的容积（体积）＝长×宽×高”求出这个长方体的容积。 【解答】1立方厘米的小正方体的棱长为1厘米。 长：5×1＝5（厘米） 宽：4×1＝4（厘米） 高：3×1＝3（厘米） 容积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 14．计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 【答案】不合理 【分析】先根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，求出包装盒的外部体积，再将体积单位换算为容积单位，最后与标注的净含量进行比较。根据常识，对于同一个容器，由于包装材料有厚度，其外部体积一定大于内部容积，而净含量应小于或等于容积。若计算出的外部体积小于标注的净含量，则说明标注不合理。 【解答】长方体包装盒的体积：6×4×10＝240（立方厘米） 240立方厘米＝240毫升 240＜250，即包装盒的体积小于标注的净含量。 又因为包装盒有一定的厚度，包装盒的体积应大于容积，容积应大于或等于净含量。 答：这个标注不合理。 15．张晓伟家有一个长方体玻璃鱼缸，长1.2米，宽5分米，高8分米、搬家的时候不小心打碎了右面的玻璃，需要配一块。 （1）需要配的玻璃面积是多少平方分米？ （2）玻璃配好后，晓伟爸爸往鱼缸注入了450升水，鱼缸内水的高度是多少分米？ 【答案】（1）40平方分米 （2）7.5分米 【分析】（1）鱼缸右面是一个长方形，面积用宽×高计算。 （2）先把水的体积单位转换为立方分米，再用水的体积除以鱼缸的底面积（长×宽）得到水的高度。 【解答】（1）5×8＝40（平方分米） 答：需要配的玻璃面积是40平方分米。 （2）450升＝450立方分米 1.2米＝12分米 450÷（12×5） ＝450÷60 ＝7.5（分米） 答：鱼缸内水的高度是7.5分米。 易错专项训练四立体图形的切拼（体积） 16．用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要（ ）个棱长是1厘米的小正方体。 【答案】91 【分析】先根据正方体体积公式V＝a×a×a，求出棱长6厘米的大正方体体积，再除以棱长1厘米的小正方体体积，求出拼成棱长6厘米大正方体需要的小正方体总个数，最后用总个数减去已有的125个，即可求出还需要的数量。 【解答】（6×6×6）÷（1×1×1） ＝216÷1 ＝216（个） 216－125＝91（个） 17．如图，把3个棱长是5cm的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）cm3，这时表面积比原来减少（ ）cm2。 【答案】375 100 【分析】3个正方体粘合成一个长方体，总体积不变，等于3个正方体的体积之和。已知正方体的棱长是5cm，根据正方体体积公式：正方体体积＝棱长×棱长×棱长，先求出单个正方体的体积，再用单个正方体体积乘3，求出长方体的体积。 每两个正方体拼接一次，会有2个面重合。3个正方体拼接需要拼接2次，所以总共减少的面的数量是2×2＝4个。根据正方形面积公式＝正方形面积＝边长×边长，求出单个正方形的面积，再用单个面的面积乘减少的面的数量，求出减少的表面积。 【解答】5×5×5×3 ＝25×5×3 ＝125×3 ＝375（cm3） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 所以把3个棱长是5cm的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是375cm3，这时表面积比原来减少100cm2。 18．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是（ ）立方分米。 【答案】10 【分析】把长方体木料沿横截面方向锯成4段，需要锯4－1＝3次，每锯1次会增加2个横截面，因此锯3次共增加2×3＝6个横截面。表面积总共增加了300平方厘米，且增加的是6个横截面的面积，因此单个横截面的面积为：300÷6＝50（平方厘米），木料长2米，1米＝100厘米，2米为2×100＝200厘米，根据V＝Sh，把数据代入计算即可得出木料的体积。 【解答】4－1＝3（次） 2×3＝6（个） 300÷6＝50（平方厘米） 2米＝200厘米 50×200＝10000（立方厘米） 10000立方厘米＝10立方分米 这根长方体木料的体积是10立方分米。 19．一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 【答案】144立方厘米 【分析】根据“高减少5厘米变成正方体”，可知原长方体的长和宽相等，减少的80立方厘米是一个长、宽与原长方体一致、高为5厘米的小长方体体积；用80除以5求出小长方体的底面积（即正方体一个面的面积）为16平方厘米，进而推出正方体棱长为4厘米，即原长方体的长和宽均为4厘米；再算出原长方体的高为4＋5＝9厘米，最后根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，求出原长方体体积。 【解答】80÷5＝16（平方厘米） 4＋5＝9（厘米） 4×4×9 ＝16×9 ＝144（立方厘米） 答：这个长方体木块原来的体积是144立方厘米。 【点睛】本题关键在于由“高减少5厘米变成正方体”推出原长方体长、宽相等，将减少的体积转化为以原长、宽为底面、高5厘米的小长方体体积，进而求出正方体棱长，推导原长方体的高来计算体积。 20．下图是由四个形状、大小完全相同的长方体柜子组成的电视柜，表面积比原来四个长方体柜子表面积的总和少了0.72平方米。这个电视柜的体积是多少立方米？ 【答案】0.288立方米 【分析】由图可知，电视柜的表面积比原来四个长方体柜子表面积的总和减少了6个拼接面的面积，根据减少的表面积先求出1个拼接面的面积，再利用“长方体的体积＝底面积×高”求出这个电视柜的体积，据此解答。 【解答】240厘米＝2.4米 减少拼接面的数量：2×（4－1） ＝2×3 ＝6（个） 电视柜的体积：0.72÷6×2.4 ＝0.12×2.4 ＝0.288（立方米） 答：这个电视柜的体积是0.288立方米。 易错专项训练五组合体的体积的应用 21．如图，物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，它的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米，至少添上（ ）个这样的小正方体就能拼成一个大正方体。 【答案】13 40 14 【分析】根据题意，物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，那么一个正方体的体积是1立方厘米，数出物体的正方体总个数是多少，就是多少立方厘米；表面积是物体露出面的大小，数出面的数量即可；先确定这个大正方体的棱长为最高的3厘米，总个数为3×3×3个，减去已有的就是需要添上的个数。 【解答】1×1×1＝1（立方厘米） 体积等于每层的个数相加：1＋5＋7＝13（立方厘米） 物体朝上面和下面露出正方形个数为：7＋7＝14（个）； 物体朝左面和右面露出正方形个数为：6＋6＝12（个）； 物体朝前面和后面露出正方形个数为：7＋7＝14（个）； 1×1×（14＋12＋14） ＝1×40 ＝40（平方厘米） 3×3×3－13 ＝27－13 ＝14（个） 所以，这个物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，它的体积是13立方厘米，表面积是40平方厘米，至少添上14个这样的小正方体就能拼成一个大正方体。 22．如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】464 584 【分析】根据图可知，模型的表面积＝棱长是8厘米正方体表面积＋棱长是4厘米正方体的侧面积＋棱长是2厘米的正方体的侧面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出表面积； 模型的体积＝棱长是8厘米正方体体积＋棱长是4厘米正方体的体积＋棱长是2厘米的正方体的体积，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【解答】8×8×6＋4×4×4＋4×2×4 ＝64×6＋16×4＋4×4 ＝384＋64＋16 ＝448＋16 ＝464（平方厘米） 8×8×8＋4×4×4＋2×2×2 ＝64×8＋16×4＋4×2 ＝512＋64＋8 ＝576＋8 ＝584（立方厘米） 这个模型的表面积是464平方厘米，体积是584立方厘米。 23．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 【答案】表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【解答】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 24．妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 【答案】选第一种才能吃到更多的奶酪。 【分析】第一种奶酪是长方体，把图中数据代入长方体的公式，即可求出第一种奶酪的体积；第二种奶酪是由一个大长方体减去一个小长方体组成，分别计算出两部分的体积再相减，即可算出第二种奶酪的体积，比较两种奶酪的体积，即可解答。 【解答】（立方厘米） （立方厘米） 答：选第一种才能吃到更多的奶酪。 25．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 【答案】162000立方厘米 【分析】展示柜所占空间可以看作长宽高是120厘米、30厘米、（30－15）厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、60厘米、15厘米的长方体体积之和。也可以看作长宽高是120厘米、60厘米、30厘米的长方体体积与长宽高是120厘米、（60－30）厘米、（30－15）厘米的长方体体积之差。任选一种，根据V＝abh计算解答。 【解答】120×60×30－120×（60－30）×（30－15） ＝7200×30－120×30×15 ＝216000－54000 ＝162000（立方厘米） 答：这款商品展示柜所占空间是162000立方厘米。 易错专项训练六测量不规则物体的体积 26．一个正方体容器，从里面量，棱长为4分米。先放入一个不规则铁块，再把28升水倒入容器内，正好浸没铁块，这时测得水深2.5分米，这个铁块的体积是（ ）立方分米。 【答案】12 【分析】用“排水法”来求不规则铁块的体积。先算出放入铁块和水后容器内的总体积为4×4×2.5＝40立方分米，已知倒入的水是28升，换算为28立方分米，用总体积减去水的体积，就能得到铁块的体积为40－28＝12立方分米。 【解答】28升＝28立方分米 4×4×2.5－28 ＝16×2.5－28 ＝40－28 ＝12（立方分米） 所以，这个铁块的体积是12立方分米。 【点睛】利用排水法，通过计算容器内水和铁块的总体积，减去水的体积得到不规则铁块的体积。 27．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，小玻璃球的体积是（ ）立方厘米。 【答案】320 【分析】根据题意，先将玻璃缸装满水，再将大玻璃球放入缸中。那么溢出水的体积等于大玻璃球的体积。先求出溢出的这些水原本在缸内的高度，再求出将大玻璃球取出后水的高度，也就是玻璃缸里只有水时的水面高度。放入小玻璃球的体积等于水上升的体积，先求出放入小玻璃球后水上升的高度，结合长方体的体积公式V＝abh，求出小玻璃球的体积，解答即可。 【解答】480÷10÷8 ＝48÷8 ＝6（厘米） 15－6＝9（厘米） 13－9＝4（厘米） 10×8×4 ＝80×4 ＝320（立方厘米） 所以小玻璃球的体积是320立方厘米。 28．一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是（ ）cm3。 【答案】360 【分析】观察图形可知，长方体容器的长为15cm，宽为8cm，原来的水位为7cm，放入马铃薯后水满了且没有溢出，则水位上升了10－7＝3cm，再根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【解答】15×8×（10－7） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（cm3） 则这个马铃薯的体积是360cm3。 29．科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 【答案】300毫升 【分析】容器注满水，溢出水的体积等于铁棒浸没在水中的体积。正方体容器棱长25厘米，即水深25厘米。铁棒长50厘米，大于水深，所以浸没部分的高度为25厘米。根据长方体体积公式：体积＝底面积×高求出浸没体积，再将立方厘米换算为毫升。 【解答】12×25＝300（立方厘米） 300立方厘米＝300毫升 答：会溢出300毫升水。 30．如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】2立方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高，10颗弹珠放入后排开的水可看作长方体，长宽均为10厘米，高为5.2－5＝0.2（厘米）。代入数据先求得10颗弹珠的体积，再除以10即可得解。 【解答】10×10×（5.2－5）÷10 ＝100×0.2÷10 ＝2（立方厘米） 答：平均每颗玻璃弹珠的体积大约是2立方厘米。 易错专项训练七体积的等积变形 31．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。 【答案】216 【分析】首先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长，再分别计算每个小正方体的体积（正方体体积＝棱长×棱长×棱长），再将它们相加得到大正方体的体积，最后根据大正方体的体积求出大正方体的棱长并计算表面积。 【解答】第一个：54÷6＝9，因为9＝3×3，所以棱长为3厘米； 第二个：96÷6＝16，因为16＝4×4，所以棱长为4厘米； 第三个：150÷6＝25，因为25＝5×5，所以棱长为5厘米。 第一个体积：3×3×3＝27（立方厘米）； 第二个体积：4×4×4＝64（立方厘米）； 第三个体积：5×5×5＝125（立方厘米）； 大正方体的体积： 27＋64＋125 ＝91＋125 ＝216（立方厘米） 因为216＝6×6×6，所以大正方体的棱长为6厘米。 大正方体的表面积： （6×6）×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 因此，将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为216平方厘米。 【点睛】本题核心是通过小正方体的表面积求出棱长，再结合体积关系确定大正方体棱长，最终利用表面积公式求解。关键在于熟练运用正方体的表面积与体积公式，把握“体积不变”这一隐含条件。 32．有一个完全封闭的容器（如图），里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了8厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，这时水面高（ ）厘米。 【答案】16 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，水的体积为长20厘米，宽16厘米，高为8厘米的长方体体积； 用求出的水的体积除以把这个容器竖起来放的底面积即可求出水面高，此时的底面积为一个长为16厘米，宽为10厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽即可计算。 【解答】20×16×8÷（16×10） ＝20×16×8÷160 ＝320×8÷160 ＝2560÷160 ＝16（厘米） 即如果把这个容器竖起来放，这时水面高16厘米。 33．泥塑艺术是我国古老的、流传地域广泛的民间传统艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小轩爱好捏泥塑，他将一个棱长是6分米的正方体彩泥塑捏成一个长9分米、宽6分米的长方体，捏成的长方体的高是（ ）分米。 【答案】4 【分析】捏泥塑无论捏成什么形状体积不变，先求出棱长是6分米的正方体的体积，再除以9分米的长和6分米的宽就是长方体的高。 【解答】正方体体积：（立方分米） 长方体的高：（分米） 所以捏成的长方体的高是4分米。 34．如图，有长方体容器A和B，容器A是空的，容器B中有水，水深24厘米。若将容器B中的水倒一部分给A，使得两个容器内的水深相等；这时两个容器内的水深是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】水的体积始终不变，因此后来A、B两个容器中水的总体积等于原来B容器中水的体积，其底面积是两个容器的底面积之和，高度就是A、B两个容器中相同的水深，根据水的深度＝水的总体积÷A、B两个容器底面积之和，求出水深。 【解答】水的体积：30×20×24 ＝600×24 ＝14400（立方厘米） 底面积之和：40×30＋30×20 ＝1200＋600 ＝1800（平方厘米） 水深：14400÷1800＝8（厘米） 答：这时两个容器内的水深是8厘米。 35．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 （1）原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ （2）这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 【答案】（1）96平方厘米 （2）12.8厘米 【分析】解答这道题需明确：正方体表面积＝棱长×棱长×6；正方体体积＝棱长×棱长×棱长；长方体体积＝长×宽×高，则长方体的高＝体积÷长÷宽。 （1）题目中已知正方体的棱长为4厘米，根据正方体表面积公式计算即可。 （2）将正方体蜡块熔化后制作成一个长方体蜡块，体积不变。题目中已知长方体的长为2.5厘米，宽为2厘米，先根据正方体体积公式求出蜡块体积，再根据利用体积求长方体高的公式求出长方体的高。 【解答】（1） （平方厘米） 答：原先这块正方体蜡块的表面积是96平方厘米。 （2） （立方厘米） （厘米） 答：这支蜡烛的高是12.8厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题24 长方体和正方体的体积的应用及拓展七大类型 易错专项训练一 长方体体积的认识 易错专项训练二 正方体体积的认识 易错专项训练三 长方体和正方体的容积 易错专项训练四 立体图形的切拼（体积） 易错专项训练五 组合体的体积的应用 易错专项训练六 测量不规则物体的体积 易错专项训练七 体积的等积变形 易错专项训练一长方体体积的认识 1．一个长方体，如果宽增加2厘米就成了正方体，表面积就增加了72平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 2．一根长方体木料长4米，将它沿着垂直于长的方向锯成5段后，表面积增加了40平方分米。原来这根木料的体积是（ ）立方分米。 3．我国科学家成功研发出毫米级超薄手撕钢，这种材料在航空航天、电子、新能源以及医疗器械等多个高科技领域中，都发挥着不可或缺的重要作用。将一张长40厘米、宽8厘米的长方形超薄手撕钢对折再对折后展开，围成一个高是8厘米的长方体，这个长方体的底面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 4．一个长方体的底面是边长5厘米的正方形，它的表面积是290平方厘米，求它的体积。 5．一个花坛（如图），底面是边长1.5米的正方形，四周用木条围成，高0.8米。 （1）这个花坛占地多少平方米？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米的泥土？（木条的厚度忽略不计） 易错专项训练二正方体体积的认识 6．一个正方体的长增加3分米，表面积就比原来增加60平方分米，那么，原来正方体的棱长是（ ）分米，体积是（ ）立方分米。 7．一个长方体水箱，从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，装满水后倒入一个棱长为6分米的正方体水箱中，水深是（ ）分米。 8．用铁丝焊接成如图这个长方体框架（焊接处忽略不计），至少需要（ ）厘米铁丝；如果用这些铁丝焊接成一个正方体，这个正方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 9．长城，我国现存规模最大的文化遗产。小强用积木搭的“长城”如下图，它的体积是多少立方厘米？（图中单位：厘米） 10．纸盒厂生产一种正方体纸板箱，棱长为40厘米，做一个纸盒要多少平方厘米的纸板？它占空间多少立方厘米？合多少立方分米？ 易错专项训练三长方体和正方体的容积 11．一个底面是正方形的长方体，高20厘米，侧面展开是正方形，这个长方体的容积是（ ）立方厘米。 12．有一块边长1米的正方形铁皮，从四个角上各剪去一个边长2分米的小正方形，做成了一个无盖长方体水槽（如图）。这个水槽的占地面积是（ ）平方分米，能盛水（ ）升。 13．用1立方厘米的小正方体填充下面的长方体。从图中可知长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。这个长方体的容积是（ ）立方厘米。 14．计算说理：张明在超市发现一盒牛奶的长方体包装盒上标注“净含量250毫升”。他从外面量，长6厘米，宽4厘米，高10厘米。请用你学过的知识解释这个标注是否合理？ 15．张晓伟家有一个长方体玻璃鱼缸，长1.2米，宽5分米，高8分米、搬家的时候不小心打碎了右面的玻璃，需要配一块。 （1）需要配的玻璃面积是多少平方分米？ （2）玻璃配好后，晓伟爸爸往鱼缸注入了450升水，鱼缸内水的高度是多少分米？ 易错专项训练四立体图形的切拼（体积） 16．用125个棱长是1厘米的小正方体能拼成一个棱长是5厘米的大正方体，要使拼成的大正方体的棱长是6厘米，还需要（ ）个棱长是1厘米的小正方体。 17．如图，把3个棱长是5cm的正方体木块粘合成一个长方体，这个长方体的体积是（ ）cm3，这时表面积比原来减少（ ）cm2。 18．把一根长2米的长方体木料，沿横截面平均锯成4段，表面积增加了300平方厘米，这根木料的体积是（ ）立方分米。 19．一个长方体木块，若把高减少5厘米就成了一个正方体，体积也减少了80立方厘米，这个长方体木块原来的体积是多少立方厘米？ 20．下图是由四个形状、大小完全相同的长方体柜子组成的电视柜，表面积比原来四个长方体柜子表面积的总和少了0.72平方米。这个电视柜的体积是多少立方米？ 易错专项训练五组合体的体积的应用 21．如图，物体是由棱长1厘米的正方体摆放而成，它的体积是（ ）立方厘米，表面积是（ ）平方厘米，至少添上（ ）个这样的小正方体就能拼成一个大正方体。 22．如图是由三个正方体木块黏合而成的模型，它们的棱长分别是2厘米、4厘米、8厘米，这个模型的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 23．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 24．妈妈做了两种形状如下图所示的奶酪（单位：cm），园园选择哪一种才能吃到更多的奶酪呢？ 25．为了更好地展示商品，华阳商场设计了一款商品展示柜。（如图）请选择喜欢的方法计算这款商品展示柜所占空间的大小。 易错专项训练六测量不规则物体的体积 26．一个正方体容器，从里面量，棱长为4分米。先放入一个不规则铁块，再把28升水倒入容器内，正好浸没铁块，这时测得水深2.5分米，这个铁块的体积是（ ）立方分米。 27．一个长方体玻璃缸从里面量长是10厘米，宽是8厘米，高是15厘米。将玻璃缸装满水后，现将一个体积为480立方厘米的大玻璃球放入缸中，然后将其取出，再放入一个小玻璃球，此时水面的高度为13厘米，小玻璃球的体积是（ ）立方厘米。 28．一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是（ ）cm3。 29．科学实验室里有一个正方体的容器，棱长是25厘米，里面注满了水，有一根长50厘米、横截面是12平方厘米的长方体铁棒，现将铁棒垂直插入水中，会溢出多少毫升水？ 30．如图，一个从里面量棱长为10厘米的正方体容器内水深5厘米，奇思想要测量一颗玻璃弹珠的体积，他把10颗相同的玻璃弹珠放入水中，测得这时水深大约5.2厘米。平均每颗玻璃弹珠的体积大约是多少立方厘米？ 易错专项训练七体积的等积变形 31．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为（ ）平方厘米。 32．有一个完全封闭的容器（如图），里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了8厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，这时水面高（ ）厘米。 33．泥塑艺术是我国古老的、流传地域广泛的民间传统艺术，它以泥土为原料，以手工捏制成形。小轩爱好捏泥塑，他将一个棱长是6分米的正方体彩泥塑捏成一个长9分米、宽6分米的长方体，捏成的长方体的高是（ ）分米。 34．如图，有长方体容器A和B，容器A是空的，容器B中有水，水深24厘米。若将容器B中的水倒一部分给A，使得两个容器内的水深相等；这时两个容器内的水深是多少厘米？ 35．学习“蜡烛的变化”这课时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长4厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2.5厘米、宽2厘米的长方体模具，制成蜡烛。 （1）原先这块正方体蜡块的表面积是多少平方厘米？ （2）这支蜡烛的高是多少厘米？（损耗忽略不计） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $