专题20 长方体和正方体的认识三大类型（易错专项训练）数学苏教版五年级下册

**基本信息** 聚焦长方体和正方体的特征认识、棱长计算及展开图三大核心模块，通过易错专项训练构建从概念理解到空间应用的递进式复习体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |长方体和正方体的认识|8题（含实际尺寸判断、框架搭建等）|概念辨析与空间想象|从基本特征（长/宽/高、顶点）到立体图形辨识，建立空间表征| |棱长的应用|8题（含棱长总和计算、广告箱/蚊帐实际问题）|棱长计算与实际应用|基于棱长性质（12条棱），延伸至生活场景中的长度计算，强化模型意识| |展开图|8题（含平面图形围合、相对面判断等）|展开图判断与空间还原|通过平面与立体转化，深化对正方体/长方体面与棱位置关系的理解，发展空间观念|

专题20 长方体和正方体的认识三大类型 易错专项训练一 长方体和正方体的认识 易错专项训练二 长方体和正方体棱长的应用 易错专项训练三 长方体和正方体的展开图 易错专项训练一长方体和正方体的认识 1．某产品说明书上标注包装尺寸为970mm×763mm×1885mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高，根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品可能是（    ）。 A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 2．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 3．一个长方体包装盒的长是28厘米，宽是28厘米，高是15厘米，这个包装盒可能是（    ）。 A．墨水盒 B．空调外包装箱 C．蛋糕盒 D．冰箱外包装箱 4．在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是（    ）。 A．“林” B．“匹” C．“克” 5．将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．8 B．4 C．9 D．16 6．下图是正方体框架的一部分，由磁力棒和磁力珠连接而成。要搭成一个完整的正方体框架，还需要（ ）个磁力珠和（ ）个磁力棒。 7．下面正方体相对两个面上的数，和是7。小明看到的数是（ ），小丽看到的数是（ ）。 8．乐乐想要拼成如下图所示的长方体，需要（ ）块木板，分别是（ ）。（填序号） 易错专项训练二长方体和正方体棱长的应用 9．一个长方体的棱长总和是240厘米，相交于同一顶点的三条棱的长度之和是（    ）厘米。 A．40 B．60 C．80 D．120 10．红红有6根x厘米长的小棒和9根y厘米长的小棒，她用其中的12根小棒搭成一个长方体框架，这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．6x＋9y B．8x＋4y C．6（x＋y） D．4x＋8y 11．将一个正方体的棱长增加2cm，它的棱长总和就增加（    ）cm。 A．8 B．12 C．24 D．28 12．用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 13．用一根长144厘米的铁丝刚好围成一个正方体框架，它的棱长是（ ）厘米；如果用这根铁丝围成一个长方体框架（没有剩余），长是20厘米，宽是10厘米，那么高是（ ）厘米。 14．制作一个长方体广告箱框架，需要用铝合金条104分米。已知这个广告箱的长是8分米、高是12分米，这个长方体广告箱的宽是多少分米？ 15．笑笑家有一个长方体蚊帐（如图），长2米，宽1.5米，高1.8米。蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 16．图图妈妈的生日马上到了，图图特意给妈妈挑选了礼物（如图），给下面礼品盒捆丝带，打结处需35厘米，一共要多长丝带？ 易错专项训练三长方体和正方体的展开图 17．下面的平面图形中，不可以围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 18．下图是一个长方体的展开图，它围成的长方体是（    ）。（填选项） A． B． C． 19．“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（    ）。 A．义 B．礼 C．智 D．信 20．下面图形能通过折叠围成一个正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 21．下面是两个包装盒的平面展开图，它们分别是什么形状？         （ ）        （ ） 22．园园想用长方形纸条制作一个正方体和一个长方体（均只有侧面），你来帮她用虚线画出折痕吧！      折成正方体        折成长方体 23．如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 24．如下图：图1可以折叠成图2，要使图2中相对两个面上的数的和是10，则每个面上的数是多少？请将图1中空缺的数填写完整。（每个面上的数不同） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 长方体和正方体的认识三大类型 易错专项训练一 长方体和正方体的认识 易错专项训练二 长方体和正方体棱长的应用 易错专项训练三 长方体和正方体的展开图 易错专项训练一长方体和正方体的认识 1．某产品说明书上标注包装尺寸为970mm×763mm×1885mm，它们分别表示这个长方体包装盒的长、宽、高，根据这组数据，联系生活实际想象一下，这个产品可能是（    ）。 A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱 【答案】D 【分析】根据1cm＝10mm，将包装盒的长、宽、高用厘米表示出来；联系生活实际，进行判断。 【解答】970mm＝97cm       763mm＝76.3cm         1885mm＝188.5cm A．大尺寸电视机（如75英寸以上）加包装材料后，长度约150cm，宽度约23cm，高度约100cm，76.3cm的宽度、188.5cm的高度都远超实际，排除。 B．常见微波炉的长：50～60cm，宽：30～40cm，高：30～40cm，97cm的长度，76.3 cm的宽度，188.5cm的高度都远超实际，排除。 C．手机长度通常为15～20cm，宽度7～10cm，厚度小于1cm，远小于题目中长、宽、高的尺寸，排除。 D．冰箱的尺寸通常较大，为了满足家庭的存储需求，其长、宽、高可以达到题目中970mm×763mm×1885mm的规格，符合。 包装尺寸为970mm×763mm×1885mm的产品可能是一台冰箱。 2．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般情况下长方体六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。决定长方体形状和大小的是长、宽、高，三根学具棒能确定长、宽、高即可，据此分析。 【解答】A．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； B．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； C．三根学具棒分别是长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小； D．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除。 能决定这个长方体的形状与大小的是。 故答案为：C 3．一个长方体包装盒的长是28厘米，宽是28厘米，高是15厘米，这个包装盒可能是（    ）。 A．墨水盒 B．空调外包装箱 C．蛋糕盒 D．冰箱外包装箱 【答案】C 【分析】先明确长方体的尺寸：包装盒的长和宽都是28厘米，高是15厘米，整体尺寸属于比较小巧的类型。再结合生活常识排除明显过大或过小的选项，最后确定最符合尺寸的蛋糕盒。 【解答】A.墨水盒的尺寸通常很小，一般在几厘米级别，远小于题目中的28厘米，因此不符合。 B.空调外包装箱的尺寸远大于题目中的28厘米，因此不符合。 C.蛋糕盒的尺寸多样，长、宽约28厘米、高约15厘米的规格，很适合用来装一个小型的生日蛋糕或点心，与题目中的尺寸最为匹配。 D.冰箱外包装箱的尺寸远大于题目中的28厘米，因此不符合。 故答案为：C 4．在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是（    ）。 A．“林” B．“匹” C．“克” 【答案】C 【分析】观察第一个图形：从这个角度看，“林”字和“奥”字、“匹”字相邻。 观察第二个图形：从这个角度看，“奥”字和“学”字、“数”字相邻。 观察第三个图形：从这个角度看，“林”字和“数”字、“克”字相邻。“奥”字相邻的面有“林”“匹”“学”“数”，而正方体的六个面分别为“数、学、奥、林、匹、克”，所以“奥”字对面的字只能是“克”。据此解答。 【解答】在一个正方体的六个面上分别写着“数、学、奥、林、匹、克”六个字，有三个人从不同角度观察的结果如图所示。这个正方体上“奥”字对面的字是“克”。 故答案为：C 5．将若干个相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个这样的小正方体。 A．8 B．4 C．9 D．16 【答案】A 【分析】正方体的12条棱都相等，要使小正方体个数最少，那么大正方体的棱长由2个小正方体的棱长组成，根据个数＝行×列×层，由此求出小正方体的个数。 【解答】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 即至少需要8个这样的小正方体。 故答案为：A 6．下图是正方体框架的一部分，由磁力棒和磁力珠连接而成。要搭成一个完整的正方体框架，还需要（ ）个磁力珠和（ ）个磁力棒。 【答案】2 7 【分析】正方体有12条棱和8个顶点，所以需要12个磁力棒和8个磁力珠，图中已经有了5个磁力棒和6个磁力珠，用需要的磁力棒个数减去已有的个数等于还需要的磁力棒个数，用需要的磁力珠个数减去已有的个数等于还需要的磁力珠个数。 【解答】磁力珠：8－6＝2（个） 磁力棒：12－5＝7（个） 所以，还需要2个磁力珠和7个磁力棒。 7．下面正方体相对两个面上的数，和是7。小明看到的数是（ ），小丽看到的数是（ ）。 【答案】1 5 【分析】根据题意，正方体相对两个面上的数，和是7，小明看到的面和数字是6的面相对，用7－6即可求出小明看到的数字；小明看到的面和数字是2的面相对，用7－2即可求出小丽看到的数字。 【解答】7－6＝1 7－2＝5 小明看到的数是1，小丽看到的数是5。 8．乐乐想要拼成如下图所示的长方体，需要（ ）块木板，分别是（ ）。（填序号） 【答案】6 ①②④⑤⑥⑧ 【分析】长方体有6个面，所以需要6块木板，而且这6块木板是3组相同的长方形，观察题图中的8块木板可以发现①和⑥相同，②和⑧相同，④和⑤相同。据此解答。 【解答】根据分析得： 乐乐想要拼成如下图所示的长方体，需要6块木板，分别是①②④⑤⑥⑧。 易错专项训练二长方体和正方体棱长的应用 9．一个长方体的棱长总和是240厘米，相交于同一顶点的三条棱的长度之和是（    ）厘米。 A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】求相交于同一顶点的三条棱的长度之和，就是求长方体的长、宽、高之和。 根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可知，长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算求解。 【解答】240÷4＝60（厘米） 一个长方体的棱长总和是240厘米，相交于同一顶点的三条棱的长度之和是60厘米。 10．红红有6根x厘米长的小棒和9根y厘米长的小棒，她用其中的12根小棒搭成一个长方体框架，这个长方体框架的棱长总和是（    ）厘米。 A．6x＋9y B．8x＋4y C．6（x＋y） D．4x＋8y 【答案】D 【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。因为有6根x厘米长的小棒，只能用其中的4根，9根y厘米长的小棒，可以用其中的8根，x厘米长的小棒×相应根数＋y厘米长的小棒×相应根数＝这个长方体框架的棱长总和，据此用字母表示出这个长方体框架的棱长总和。 【解答】x×4＋y×8＝（4x＋8y）厘米 这个长方体框架的棱长总和是（4x＋8y）厘米。 故答案为：D 11．将一个正方体的棱长增加2cm，它的棱长总和就增加（    ）cm。 A．8 B．12 C．24 D．28 【答案】C 【分析】计算正方体棱长总和增加的部分，需要知道正方体有多少条棱，每条棱增加的长度是多少，然后将两者相乘。正方体共有12条棱，每条棱的长度都相等，题目中每条棱增加了2cm，因此需要计算所有棱增加的总长度。每条棱增加2cm，共有12条棱，总增加量为12条棱与每条增加长度的乘积：（cm）。 【解答】A.不符合所求； B.不符合所求； C.棱长总和增加24cm，符合所求； D.不符合所求。 故答案为：C 12．用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出铁丝的总长，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，再求出高。 【解答】10×12＝120（厘米） 120÷4－12－8 ＝30－12－8 ＝10（厘米） 13．用一根长144厘米的铁丝刚好围成一个正方体框架，它的棱长是（ ）厘米；如果用这根铁丝围成一个长方体框架（没有剩余），长是20厘米，宽是10厘米，那么高是（ ）厘米。 【答案】12 6 【分析】第①空：正方体有12条相等的棱，铁丝总长144厘米就是正方体的棱长总和，用总和除以12即可得到棱长； 第②空：长方体有4组长、宽、高，铁丝总长也是长方体的棱长总和，先求出一组长、宽、高的和，再减去已知的长和宽，就能得到高。 【解答】第①空：144÷12＝12（厘米） 第②空：144÷4＝36（厘米） 36－20－10 ＝16－10 ＝6（厘米） 所以，这个正方体的棱长是12厘米，围成长方体后高是6厘米。 14．制作一个长方体广告箱框架，需要用铝合金条104分米。已知这个广告箱的长是8分米、高是12分米，这个长方体广告箱的宽是多少分米？ 【答案】6分米 【分析】长方体有4条长、4条宽、4条高，根据长方体的棱长总和公式“长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”可知“长＋宽＋高＝长方体棱长总和÷4”，据此用104除以4计算出一组长、宽、高的和；然后求出长与高的和；再用一组长、宽、高的和减去长与高的和即可。 【解答】104÷4－（8＋12） ＝104÷4－20 ＝26－20 ＝6（分米） 答：这个长方体广告箱的宽是6分米。 15．笑笑家有一个长方体蚊帐（如图），长2米，宽1.5米，高1.8米。蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管）。固定这样一个蚊帐至少需要多长的钢管？ 【答案】14.2米 【分析】由题意知：蚊帐的顶和四周由钢管固定（地面的四周没有钢管），则钢管的长度等于4条高和2条长与2条宽的和，即需要的钢管长度＝2×长＋2×宽＋4×高，代入数据计算即可。 【解答】2×2＋1.5×2＋1.8×4 ＝4＋3＋7.2 ＝7＋7.2 ＝14.2（米） 答：固定这样一个蚊帐至少需要14.2米长的钢管。 16．图图妈妈的生日马上到了，图图特意给妈妈挑选了礼物（如图），给下面礼品盒捆丝带，打结处需35厘米，一共要多长丝带？ 【答案】215厘米 【分析】这道题需结合图中礼品盒上捆丝带的方法，数出长、宽、高各自的条数：长有2条，宽有2条，高有4条，结合长20厘米、宽20厘米、高25厘米，分别计算2条长、2条宽、4条高的长度后再求和，最后再加上打结处的长度即可，据此解答。 【解答】根据分析： 2条长：（厘米） 2条宽：（厘米） 4条高：（厘米） 丝带长： （厘米） 答：一共要215厘米长的丝带。 易错专项训练三长方体和正方体的展开图 17．下面的平面图形中，不可以围成长方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体展开图的特征（相对面是否形状相同）判断各选项能否围成长方体； 数面的数量：必须是6个面，少或多都不行； 看相对面：相对的面必须完全相同（大小、形状一致）； 避坑结构：出现“凹”字形或“田”字形的展开图，一定不能折叠成长方体； 匹配类型：符合“1-4-1型”“1-3-2型”“2-2-2型”“3-3型”这四种标准结构的，可以折叠成长方体； 据此判断即可。 【解答】A.该图形符合长方体展开图的“一四一”型（中间四个长方形，上下各一个长方形），能够围成长方体； B.该图形符合长方体展开图相对面面都是相同的形状，能围成长方体； C.该图形符合长方体展开图，所以可以围成； D.最左边和从最右边往左边数第二个的长方形是相对面，其形状不一样，所以不能围成长方体。 故答案为：D。 【点睛】看长方体的对立面是否相同判断。 18．下图是一个长方体的展开图，它围成的长方体是（    ）。（填选项） A． B． C． 【答案】B 【分析】观察长方体展开图的特征，通过分析各面的长度关系，判断折叠后对应的长方体形状，与选项B的形状匹配。 【解答】A.图形为正方体，不符合题意； B.前面与展开图相符合，符合； C.图形前面的长度与展开图不相符，所以不是。 故答案为：B。 19．“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，强强将他们分别写在一个正方体的六个面上，下图是正方体的展开图，和“仁”相对的字是（    ）。 A．义 B．礼 C．智 D．信 【答案】C 【分析】根据正方体展开图的特征：正方体展开图中，相对的面在折叠后不相邻，且在展开图中遵循“隔一相对”的规律，在同一行或同一列中，相隔一个正方形的两个面是相对面。异行“Z”字两端相对：不同行的面，呈“Z”字形两端的两个面，折叠后是相对面。 【解答】观察展开图，以“仁”为中心，先找它的相邻面，“仁”的右边是义（第一行相邻），仁的下方是礼（第二行相邻），因此义、礼都是相邻面，绝对不是相对面，直接排除A、B 选项。以“仁”为起点，沿展开图的结构画“Z”字：仁→义→礼→智，“仁”的Z字另一端，对应第二行的智，因此仁的相对面是智，对应选项为：C。 20．下面图形能通过折叠围成一个正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方体展开图的特点，“1—4—1”型、“2—3—1”型、“2—2—2”型、“3—3”型可以折成正方体；据此解答。 【解答】 A．，不属于正方体展开图中的任意一种，不能通过折叠围成一个正方体； B．，不属于正方体展开图中的任意一种，不能通过折叠围成一个正方体； C．，不属于正方体展开图中的任意一种，不能通过折叠围成一个正方体； D．，属于“2—3—1”型，是正方体的展开图，能通过折叠围成一个正方体。 21．下面是两个包装盒的平面展开图，它们分别是什么形状？          （ ）        （ ） 【答案】正方体 长方体 【分析】左边展开图中6个面都是正方形，一定是正方体，右边展开图中6个面都是长方形，一定是长方体；据此解答。 【解答】根据分析可知： 左边的正方体，右边是长方体。 22．园园想用长方形纸条制作一个正方体和一个长方体（均只有侧面），你来帮她用虚线画出折痕吧！      折成正方体        折成长方体 【答案】见详解 【分析】长方体的侧面：均为长方形（特殊长方体会有2个相对的侧面是正方形，另外2个是长方形）。4个侧面两两相对、面积相等，侧面相交形成的棱为长方体的高，所有侧面拼接起来，可展开为一个大的长方形（侧面展开图）；正方体的侧面：4个侧面是完全相同的正方形，面积、边长全部相等，侧面展开图是一个由4个正方形连成的大长方形。据此解答。 【解答】如下图： 正方体侧面： 长方体侧面：（答案不唯一） 23．如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 【答案】见详解 【分析】①确定各面的相对关系 左面 ↔ 右面 下面 ↔ 上面 前面 ↔ 后面 ②补全右面： 右面与左面完全相同，应画在“下面”的右侧，与左面位置对称。 ③补全上面： 上面与下面完全相同，应画在“右面”的右侧，与下面位置上下对应。 ④补全后面： 后面与前面完全相同，可画在“下面”的上方，保证展开图的连贯性。 答案不唯一 【解答】画图如下： 24．如下图：图1可以折叠成图2，要使图2中相对两个面上的数的和是10，则每个面上的数是多少？请将图1中空缺的数填写完整。（每个面上的数不同） 【答案】见详解 【分析】观察图1的长方体展开图，确定相对面：“2”的相对面是展开图最下层的面，“4”的相对面是它左侧的面，中间层还剩一组相对面。根据“相对面数字和为10”，先算出“2”的相对面是102＝8，“4”的相对面是104＝6；再给剩下的一组相对面选不同的数（比如1和9），就能把图1填好：左侧面填6，最下层填8，中间层下方填1（对应的相对面自然是9），这样折叠成图2后，每对相对面的和都是10。 【解答】根据分析如图： （2的上面和下面的答案不唯一） 【点睛】先通过长方体展开图的“间隔面为相对面”规律锁定相对面，再利用“相对面和为10”的条件，结合“数字不重复”的要求，先算已知数的相对面，再补全剩余组，就能快速确定所有面的数字。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $