专题22 长方体和正方体的表面积的应用及拓展六大类型（易错专项训练）数学苏教版五年级下册

**基本信息** 聚焦长方体和正方体表面积六大应用类型，以易错点为核心，构建从基础认识到复杂拓展的递进式训练体系，培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |表面积的认识|5题|棱长变化、拼组表面积计算|从概念理解到基础计算，建立表面积与棱长关系| |表面积的应用|5题|框架棱长、粉刷面积等实际问题|联系生活情境，强化应用意识，掌握实际面数分析| |立体图形的切拼|5题|切拼后表面积增减、最优包装|通过操作体验，理解切拼对表面积的影响规律| |组合图形的表面积|5题|挖去/堆放图形表面积计算|培养空间想象，学会观察外露面与重叠面| |表面涂色的正方体|5题|涂色小正方体数量规律|从特殊到一般，推导不同位置小正方体涂色规律| |无盖型长方体或正方体|5题|无盖容器表面积、展开图计算|针对实际应用场景，掌握少面情况下的表面积计算|

专题22 长方体和正方体的表面积的应用及拓展六大类型 易错专项训练一 长方体和正方体表面积的认识 易错专项训练二 长方体和正方体表面积的应用 易错专项训练三 立体图形的切拼（表面积） 易错专项训练四 组合图形的表面积的应用 易错专项训练五 表面涂色的正方体 易错专项训练六 无盖型长方体或正方体 易错专项训练一长方体和正方体表面积的认识 1．一个正方体的棱长是2分米，用4个这样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积可能是（ ）平方分米，也可能是（ ）平方分米。 2．长方体的长、宽、高同时扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 3．包装一个长6cm、宽4cm、高1cm的长方体礼盒，至少需要（ ）cm2的包装纸。（接头处不计） 4．用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体灯箱框架，如果把它改围成一个正方体框架（接头处忽略不计且铁丝没有剩余），那么这个正方体的棱长是（ ）分米，表面积是（ ）平方分米。 5．劳动课上，小明用一根72cm的铁丝做成一个长方体框架，如果长方体的长是10cm，宽是5cm，那么高是（ ）cm。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，外面糊上彩纸，彩纸面积是（ ）cm2。 易错专项训练二长方体和正方体表面积的应用 6．红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 7．欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 8．一个长方体茶叶罐，它的底面边长是7厘米正方形，高1分米，在这个茶叶罐的侧面贴一圈的商标纸（注意：上下两个底面不贴），接头处长1厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？ 9．正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 10．“千门开锁万灯明，正月中旬动帝京。”正月十五元宵佳节，糖糖用同样长的铁丝，分别制作了花灯（如图）的灯架。现在给这个正方体花灯每个面上糊纸，纸的面积不能少于多少平方厘米？（不考虑接头处，单位：厘米） 易错专项训练三立体图形的切拼（表面积） 11．用3个棱长a厘米的小正方体拼成一个大的长方体，表面积减少（    ）平方厘米。 A．14a2 B．8a2 C．4a2 D．24a2 12．把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 13．如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（ ）平方厘米。 14．把下面的长方体切割成两个完全相同的长方体，切割后的两个长方体表面积之和最多是多少平方厘米？ 15．乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 易错专项训练四组合图形的表面积的应用 16．东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 17．如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 18．商场用每盒长7cm、宽6cm、高20cm的新款花茶摆放了如图所示（单位：cm）的创意堆头，卖掉最上面的三盒后，堆头的表面积与原来相比，减少了（    ）cm2。 A．1812 B．1392 C．1320 D．1892 19．如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 20．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 易错专项训练五表面涂色的正方体 21．一个表面涂色的大正方体，每条棱都被平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．36 22．把一个表面涂满草莓果酱的正方体蛋糕，平均分成若干个大小相同的小正方体，其中两面有果酱的是12块，那么要将这个正方体分割成（    ）块。 A．8 B．6 C．9 D．27 23．如图是一个五阶魔方（每个面都是5行5列），它是由（ ）个小正方体拼接而成的，把每个面都涂上颜色，其中三面涂色的小正方体有（ ）个。 24．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 25．五个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），请你算一算，所有露在外面的面积是多少平方厘米？ 易错专项训练六无盖型长方体或正方体 26．一个长方体的无盖水箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m，这个水箱占地面积（    ）平方米。 A．360 B．3.6 C．9 27．一种正方体的工艺蜡烛盒（无盖），四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。做这个蜡烛盒至少要用（ ）平方厘米玻璃。 28．如图，淘气用硬纸板做了一个底面是正方形的长方体无盖纸筒，把这个纸筒的前、后、左、右四个面展开，正好是一个边长4分米的正方形，做这个纸筒需要用（ ）平方分米的硬纸板。 29．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 30．下面左图是淘气从一个药盒上剪下来的两个相邻的面，右图是笑笑的无盖长方体收纳箱的展开图，请你分别算出药盒和长方体收纳箱的表面积。（单位：cm） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 长方体和正方体的表面积的应用及拓展六大类型 易错专项训练一 长方体和正方体表面积的认识 易错专项训练二 长方体和正方体表面积的应用 易错专项训练三 立体图形的切拼（表面积） 易错专项训练四 组合图形的表面积的应用 易错专项训练五 表面涂色的正方体 易错专项训练六 无盖型长方体或正方体 易错专项训练一长方体和正方体表面积的认识 1．一个正方体的棱长是2分米，用4个这样的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积可能是（ ）平方分米，也可能是（ ）平方分米。 【答案】72 64 【分析】用4个棱长2分米的正方体拼成长方体，有两种拼法：一种是拼成一排，长8分米、宽2分米、高2分米； 另一种是拼成两层每层两个（或拼成正方形底面），长4分米、宽4分米、高2分米（或长4分米、宽2分米、高4分米）。两种拼法的表面积不同，需根据长方形的表面积公式分别计算。 【解答】 （平方分米） （平方分米） 这个长方体的表面积可能是72平方分米，也可能是64平方分米。 2．长方体的长、宽、高同时扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（ ）倍，体积扩大到原来的（ ）倍。 【答案】9 27 【分析】设长方体的长是a，宽是b，高是h；扩大后长方体的长是3a，宽是3b，高是3h；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此求出原来长方体表面积和新长方体表面积；再用新长方体表面积÷原来长方体表面积，即可求出表面积扩大到原来的多少倍；再根据长方体体积＝长×宽×高，据此求出原来长方体体积和新长方体体积，再用新长方体体积÷原来长方体体积，即可求出体积扩大到原来的多少倍。 【解答】设长方体的长是a，宽是b，高是h；扩大后长方体的长是3a，宽是3b，高是3h。 [（3a×3b＋3a×3h＋3b×3h）×2]÷[（a×b＋a×h＋b×h）×2] ＝[（9ab＋9ah＋9bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝9×[（ab＋ah＋bh）×2]÷[（ab＋ah＋bh）×2] ＝9 （3a×3b×3h）÷（a×b×h） ＝（27abh）÷（abh） ＝27 长方体的长、宽、高同时扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 3．包装一个长6cm、宽4cm、高1cm的长方体礼盒，至少需要（ ）cm2的包装纸。（接头处不计） 【答案】68 【分析】根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【解答】 （） 所以包装一个长6cm、宽4cm、高1cm的长方体礼盒，至少需要68的包装纸。（接头处不计） 4．用一根铁丝刚好围成一个长9分米、宽7分米、高8分米的长方体灯箱框架，如果把它改围成一个正方体框架（接头处忽略不计且铁丝没有剩余），那么这个正方体的棱长是（ ）分米，表面积是（ ）平方分米。 【答案】8 384 【分析】铁丝的总长度是不变的，也就是长方体的棱长总和与正方体的棱长总和相等。 先计算长方体的棱长总和，长方体有4组“长、宽、高”，所以棱长总和：（长＋宽＋高）×4，因为正方体有12条长度相等的棱，所以棱长＝总长度÷12，再根据正方体的表面积公式计算出正方体的表面积。 【解答】（9＋7＋8）×4 ＝（16＋8）×4 ＝24×4 ＝96（分米） 棱长：96÷12＝8（分米） ＝＝＝384（平方分米） 所以，这个正方体的棱长是8分米，表面积是384平方分米。 【点睛】抓住铁丝总长度不变的特点，完成两种立体图形棱长的转换。 5．劳动课上，小明用一根72cm的铁丝做成一个长方体框架，如果长方体的长是10cm，宽是5cm，那么高是（ ）cm。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，外面糊上彩纸，彩纸面积是（ ）cm2。 【答案】3 216 【分析】72cm的铁丝长度等于长方体框架的棱长之和；长方体棱长和＝长×4＋宽×4＋高×4；用72减去4个长，再减去4个宽就是4个高的长度，最后除以4即可求出长方体的高； 同样的铁丝做成正方体框架，72cm就是正方体的棱长和；正方体棱长＝72÷12；彩纸面积＝正方体的表面积＝棱长×棱长×6； 【解答】①10×4＋5×4＝60（cm） 72－60＝12（cm） 高：12÷4＝3（cm） 小明用一根72cm的铁丝做成一个长方体框架，如果长方体的长是10cm，宽是5cm，那么高是3cm； ②正方体：72÷12＝6（cm） 表面积：6×6×6＝216（cm2） 如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架，外面糊上彩纸，彩纸面积是216cm2。 【点睛】关键找准铁丝的长度等于长方体（正方体）的棱长之和。 易错专项训练二长方体和正方体表面积的应用 6．红红用48分米长的铁丝做一个长方体框架，已知长是6分米，高是2分米，那么宽是多少分米？如果给这个长方体框架的表面全部贴上卡纸，那么至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】宽：4分米，卡纸：88平方分米 【分析】根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可以先求出一组长、宽、高的和，已知长和高，即可求出宽。给长方体框架表面贴卡纸，求卡纸的面积就是求长方体的表面积，利用长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【解答】长、宽、高的和为：48÷4＝12（分米），则宽为：12－6－2＝4（分米）； 表面积为： （6×4＋6×2＋4×2）×2 ＝（24＋12＋8）×2 ＝44×2 ＝88（平方分米） 答：宽是4分米，至少需要88平方分米的卡纸。 7．欢欢家进行装潢，需要粉刷家里所有的屋顶和墙壁。她量出自己卧室长4.5米，宽4米，高3米，算出卧室里门窗和衣柜的面积一共有12.3平方米，那她卧室粉刷的面积有多少平方米？ 【答案】56.7平方米 【分析】卧室粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门窗和衣柜的面积。 【解答】4.5×4＋4.5×3×2＋4×3×2－12.3 ＝18＋27＋24－12.3 ＝56.7（平方米） 答：她卧室粉刷的面积有56.7平方米。 8．一个长方体茶叶罐，它的底面边长是7厘米正方形，高1分米，在这个茶叶罐的侧面贴一圈的商标纸（注意：上下两个底面不贴），接头处长1厘米，这张商标纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】290平方厘米 【分析】先统一单位，把高1分米转换为10厘米；在它的侧面贴上高10厘米的商标纸（不含上、下面），要贴的是4个面（前后左右），不贴上面和下面，根据长方体的表面积公式：侧面积＝长×高×2＋宽×高×2，求出侧面贴商标纸的面积。再考虑接头部分，接头是一个长10厘米、宽1厘米的长方形，求出接头处的面积，最后将侧面积和接头面积相加，求出商标纸的总面积。 【解答】1分米＝10厘米 7×10×2＋7×10×2＋10×1 ＝70×2＋70×2＋10 ＝140＋140＋10 ＝280＋10 ＝290（平方厘米） 答：这张商标纸的面积是290平方厘米。 9．正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】20平方分米 【分析】用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，即这个正方体框架的棱长是24÷12＝2分米。用卡纸将5个面包起来，因为正方体每个面的面积都相同，正方体一个面的面积为：棱长×棱长，即2×2＝4平方分米，那么5个面的面积为4×5＝20平方分米，所以需要20平方分米的卡纸。 【解答】24÷12＝2（分米） 2×2×5＝20（平方分米） 答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。 10．“千门开锁万灯明，正月中旬动帝京。”正月十五元宵佳节，糖糖用同样长的铁丝，分别制作了花灯（如图）的灯架。现在给这个正方体花灯每个面上糊纸，纸的面积不能少于多少平方厘米？（不考虑接头处，单位：厘米） 【答案】1944平方厘米 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体的棱长总和，也就是正方体的棱长总和，正方体的12条棱长都相等，用长方体的棱长总和除以12求出正方体的棱长，再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6解答即可。 【解答】（20＋17＋17）×4 ＝（37＋17）×4 ＝54×4 ＝216（厘米） 216÷12＝18（厘米） 18×18×6 ＝324×6 ＝1944（平方厘米） 答：纸的面积不能少于1944平方厘米。 易错专项训练三立体图形的切拼（表面积） 11．用3个棱长a厘米的小正方体拼成一个大的长方体，表面积减少（    ）平方厘米。 A．14a2 B．8a2 C．4a2 D．24a2 【答案】C 【分析】把3个棱长a厘米的小正方体拼成一个大的长方体，长方体的表面积比3个小正方体的表面积减少4个正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘4即可。 【解答】a×a×4＝4a2（平方厘米） 12．把两个长是9厘米、宽是6厘米、高是4厘米的礼品盒包装在一起，至少要用（    ）平方厘米的包装纸。 A．408 B．348 C．384 D．248 【答案】B 【分析】要使包装纸最少，就要把两个礼品盒最大的面（9×6）叠在一起，这样减少的表面积最大，此时长方体包装纸长9厘米、宽6厘米、高4×2＝8厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”即可求出需要包装纸的面积。据此解答。 【解答】4×2＝8（厘米） （9×6＋9×8＋6×8）×2 ＝（54＋72＋48）×2 ＝（126＋48）×2 ＝174×2 ＝348（平方厘米） 所以至少要用348平方厘米的包装纸。 13．如图，用n个棱长2厘米的小正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】16n＋8 【分析】n个棱长为2厘米的小正方体排成一排拼成长方体，长方体的长为n×2＝2n厘米，宽和高均等于小正方体的棱长。据此代入长方体表面积公式S＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2中求解即可。 【解答】拼成的长方体的长为2n厘米，宽和高均为2厘米，因此表面积为： （2n×2＋2n×2＋2×2）×2 ＝（4n＋4n＋4）×2 ＝（8n＋4）×2 ＝8n×2＋4×2 ＝16n＋8（平方厘米） 14．把下面的长方体切割成两个完全相同的长方体，切割后的两个长方体表面积之和最多是多少平方厘米？ 【答案】1168平方厘米 【分析】根据长方形面积＝长×宽，分别求出长方体的长与宽的面的面积；长与高的面的面积；宽与高的面的面积；比较3个图形的面积大小；由于切割后，会增加两个切面的面积，再根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个长方体表面积，再加上切割后最大的2个面的面积和，即可解答。 【解答】18×8＝144（平方厘米） 18×10＝180（平方厘米） 8×10＝80（平方厘米） 180＞144＞80，竖着切割面积最大。 （18×8＋18×10＋8×10）×2＋180×2 ＝（144＋180＋80）×2＋180×2 ＝（324＋80）×2＋180×2 ＝404×2＋180×2 ＝808＋360 ＝1168（平方厘米） 答：切割后的两个长方体表面积之和最多是1168平方厘米。 15．乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【解答】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 易错专项训练四组合图形的表面积的应用 16．东东想要在一个棱长5厘米的正方体上挖去一块长5厘米，宽和高都为1厘米的小长方体，在图（    ）的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 A． B． C． 【答案】B 【分析】分别计算出剩下部分的表面积，比较即可。正方体表面积＝棱长×棱长×6。 A．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积－边长1厘米的正方形面积×2； B．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×4－边长1厘米的正方形面积×2； C．剩下部分的表面积＝完整的正方体表面积＋长5厘米宽1厘米的长方形面积×2－边长1厘米的正方形面积×2； 【解答】A．5×5×6－1×1×2 ＝150－2 ＝148（平方厘米） B．5×5×6＋5×1×4－1×1×2 ＝150＋20－2 ＝168（平方厘米） C．5×5×6＋5×1×2－1×1×2 ＝150＋10－2 ＝158（平方厘米） 168＞158＞148 在图的位置挖去后剩下部分的表面积最大。 故答案为：B 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，能看明白图示中剩下部分的表面积的组成。 17．如图所示的是堆放在地面上的小正方体，共有（    ）个面露在外面。 A．14 B．18 C．21 D．23 【答案】C 【分析】分别数出不同方向看到露在外面的面的数量，再相加得到露在外面的面的总数，据此解答。 【解答】如图所示：从前面看，有5个面露在外面； 从后面看，有5个面露在外面； 从左面看，有3个面露在外面； 从右面看，有3个面露在外面； 从上面看，有5个面露在外面； 露在外面的面的总数为个。 故答案为：C 【点睛】理解题中“露在外面的面”即是立体图形前面、左面、右面、后面和上面露在外面的面，再数出这些方向露在外面的面的个数再相加，是解题的关键。 18．商场用每盒长7cm、宽6cm、高20cm的新款花茶摆放了如图所示（单位：cm）的创意堆头，卖掉最上面的三盒后，堆头的表面积与原来相比，减少了（    ）cm2。 A．1812 B．1392 C．1320 D．1892 【答案】C 【分析】观察图形可知，减少的表面积是最上面三盒露在外面的部分，移掉上面三盒后，上底面相互抵消，所以减少的面是4个长6cm、宽20cm的长方形加上6个长7cm、宽20cm的长方形。据此解答。 【解答】6×20×4＋7×20×6 ＝480＋840 ＝1320（cm2） 所以减少了1320 cm2。 故答案为：C 19．如下图所示的是一个领奖台。把这个领奖台露在外面的部分刷上油漆，刷油漆的面积是多少平方米？ 【答案】4.88平方米 【分析】领奖台上面由3个长为0.8米，宽为0.5米的长方形组成，根据长方形面积公式 S＝长×宽，上面的总面积为1.2平方米； 前面由3个长方形组成，高度分别为0.6米，（0.4＋0.4）米，0.4米，宽度均为0.8米；后面与前面面积相等，前面（或后面）的总面积为2.88平方米； 左面和右面的面积相同由高度为0.8米、宽度为0.5米的长方形组成，左右面总面积为0.8平方米； 将上面，前面（后面），左面（右面）的面积相加，得到刷油漆的总面积为5.2平方米。 【解答】前后面： （平方米） 左面和右面：（平方米） 上面：（平方米） 总面积：（平方米） 答：刷油漆的面积是4.88平方米。 20．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 【答案】182平方分米 【分析】计算与水接触的面积需要分三步：先算原正方体表面积，再减去被挖去的面积，最后加上新增的内部通道侧面积。特别注意两个通道交叉处的重复部分需要扣除。 计算原正方体表面积。正方体有6个面，每个面都是边长为5分米的正方形。根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，即5×5×6； 计算被挖去的面积。从前面和右面各挖穿一个孔，每个孔在入口和出口处各挖去1个1×1的正方形。共挖去4个面：前面、后面、右面、左面各1个，列式为1×1×4； 计算新增内部通道侧面积。每个通道有4个侧面，每个侧面是长5分米、宽1分米的长方形。两个通道一共的面积列式为：4×5×1×2，即40平方分米。但交叉处有4个1×1的面被重复计算，需要扣除，即新增的内部通道侧面积列式为40－1×1×4； 求总接触面积。将原表面积减去被挖去的面积，再加上新增的内部通道侧面积。据此列式计算。 【解答】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：与水接触的区域的面积是182平方分米。 【点睛】解题关键是：分析挖孔后正方体表面积的变化，即原来的表面积减去被挖去部分的面积，再加上孔内部新增的与水接触的面积。 易错专项训练五表面涂色的正方体 21．一个表面涂色的大正方体，每条棱都被平均分成5份，再切成同样大小的小正方体，两面涂色的小正方体个数是（    ）。 A．8 B．16 C．24 D．36 【答案】D 【分析】两面涂色的小正方体在大正方体非顶点处的棱上。每条棱被分成5份，涂两面的小正方体有5－2＝3个，正方体有12条棱，用3×12计算出涂两个面的小正方体的总数。 【解答】5－2＝3（个） 3×12＝36（个） 每条棱都被平均分成5份，两面涂色的小正方体个数是36个。 22．把一个表面涂满草莓果酱的正方体蛋糕，平均分成若干个大小相同的小正方体，其中两面有果酱的是12块，那么要将这个正方体分割成（    ）块。 A．8 B．6 C．9 D．27 【答案】D 【分析】在大正方体表面涂色后分割成小正方体，两面有果酱的小正方体位于每条棱除两端外的位置。已知两面有果酱的小正方体有12块，正方体有12条棱，则每条棱上两面有果酱的小正方体个数为12÷12＝1个；再加上棱两端的2个小正方体，可得大正方体每条棱上小正方体的个数为1＋2＝3个。再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长计算出这个正方体分割的块数。 【解答】12÷12＝1（块） 1＋2＝3（块） 3×3×3＝27（块） 所以要将这个正方体分割成27块。 23．如图是一个五阶魔方（每个面都是5行5列），它是由（ ）个小正方体拼接而成的，把每个面都涂上颜色，其中三面涂色的小正方体有（ ）个。 【答案】125 8 【分析】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算出小正方体个数；三面涂色的小正方体在魔方的顶点位置。 【解答】小正方体个数：5×5×5＝125（个） 正方体有8个顶点，因此三面涂色的小正方体有8个。 24．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 【答案】486个 【分析】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，两面涂红色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有12×（n－2）个，有两面涂红色的共有108个，即12×（n－2）＝108，据此可求出n。将n代入6×（n－2）2即可求出一面涂红色的小正方体的个数。 【解答】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，则12×（n－2）＝108。 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（个） （11－2）2×6 ＝92×6 ＝81×6 ＝486（个） 答：只有一面涂红色的小正方体共有486个。 25．五个棱长为20厘米的正方体纸箱堆放在墙角处（如下图），请你算一算，所有露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】4400平方厘米 【分析】从正面能看到3个正方形的面；从上面能看到4个正方形的面；从右面能看到4个正方形的面，所以露在外面的面的总数为：4＋3＋4＝11个；已知正方体的棱长为20厘米，根据“正方形面积＝边长×边长”可得一个面的面积；最后用一个面的面积乘露在外面的面的数量可得露在外面的总面积。 【解答】4＋3＋4＝11（个） 20×20×11 ＝400×11 ＝4400（平方厘米） 答：所有露在外面的面积是4400平方厘米。 易错专项训练六无盖型长方体或正方体 26．一个长方体的无盖水箱，长是6m，宽是60cm，高是1.5m，这个水箱占地面积（    ）平方米。 A．360 B．3.6 C．9 【答案】B 【分析】求这个水箱占地面积，就是求长方体的底面积，用长方体的底面积＝长×宽解答。 【解答】60cm＝0.6m 6×0.6＝3.6（平方米） 这个水箱占地面积3.6平方米。 故答案为：B 27．一种正方体的工艺蜡烛盒（无盖），四周和底面都是玻璃，棱长6厘米。做这个蜡烛盒至少要用（ ）平方厘米玻璃。 【答案】180 【分析】根据题意，求做这个蜡烛盒至少要用多少平方厘米玻璃，就是求棱长为6厘米的无盖正方体表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×5，代入计算即可。 【解答】6×6×5 ＝36×5 ＝180（平方厘米） 所以，做这个蜡烛盒至少要用180平方厘米玻璃。 28．如图，淘气用硬纸板做了一个底面是正方形的长方体无盖纸筒，把这个纸筒的前、后、左、右四个面展开，正好是一个边长4分米的正方形，做这个纸筒需要用（ ）平方分米的硬纸板。 【答案】17 【分析】根据题意，长方体底面是正方形，先计算出底面正方形的边长，再分别计算出四个侧面（展开图的面积）加一个底面的面积就是这个纸筒的表面积，也就是做这个纸筒所需硬纸板的面积。 【解答】4÷4＝1（分米） 侧面积：4×4＝16（平方分米） 底面积：1×1＝1（平方分米） 16＋1＝17（平方分米） 做这个纸筒需要用17平方分米的硬纸板。 29．一个长方体无盖玻璃鱼缸，长8分米、宽4分米、高5分米。制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？如果每平方分米玻璃4元，买玻璃需要多少钱？ 【答案】152平方分米；608元 【分析】长方体无盖玻璃鱼缸，即少上面，说明只需要计算长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是制作这个鱼缸至少需要玻璃的面积。 根据“总价＝单价×数量”，用每平方分米玻璃的单价乘玻璃的总面积，求出买玻璃需要的钱数。 【解答】8×4＋8×5×2＋4×5×2 ＝32＋80＋40 ＝152（平方分米） 4×152＝608（元） 答：制作这个鱼缸至少需要152平方分米的玻璃，买玻璃需要608元。 30．下面左图是淘气从一个药盒上剪下来的两个相邻的面，右图是笑笑的无盖长方体收纳箱的展开图，请你分别算出药盒和长方体收纳箱的表面积。（单位：cm） 【答案】142平方厘米；2050平方厘米 【分析】左图是长方体的两个相邻面，由图可知：长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是7厘米； 右图是无盖长方体的展开图，由图可知：长方体的长是15厘米，宽是20厘米，高是25厘米。 根据面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算。 【解答】药盒的表面积： （5×3＋5×7＋3×7）×2 ＝（15＋35＋21）×2 ＝71×2 ＝142（平方厘米） 长方体收纳箱的表面积是长方体5个面的面积： （15×25＋20×25）×2＋15×20 ＝（375＋500）×2＋300 ＝875×2＋300 ＝2050（平方厘米） 答：药盒的表面积是142平方厘米，长方体收纳箱的表面积是2050平方厘米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $