2026届高考数学冲刺阶段解答题专训03（高考真题+3套考前预测）全国通用

**基本信息** 聚焦高考数学解答题核心模块，以真题与预测题结合，系统覆盖三角函数、立体几何、解析几何、数列、函数导数五大高频题型，强化知识逻辑与解题规范。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数|4题|解三角形综合（角、边、三角恒等变换）|正弦定理、余弦定理与三角公式的应用链条| |立体几何|4题|空间位置证明、空间角、体积/距离计算|空间向量法与几何法的转化逻辑| |解析几何|4题|椭圆/抛物线/双曲线方程及几何性质应用|坐标法与代数运算的结合推导| |数列|4题|等差等比综合、集合元素问题|递推关系与求和公式的应用逻辑| |函数导数|4题|切线、单调性、极值、零点证明|导数工具研究函数性质的推理链条|

2026届高考数学冲刺阶段解答题专训03 高考真题再现 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 17．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）法一、在正方形中， 由条件易知，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 18．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； （2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得，进而得到直线的方程与点的坐标，法一：利用向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证. 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . （2）由（1）可知，，， 易知直线的斜率存在，设其方程为，则，即， 联立，消去得，， 因为直线与椭圆有唯一交点，所以， 即，则，解得，则， 所以直线的方程为， 联立，解得，则， 以下分别用四种方法证明结论： 法一：则， 所以， ， 则，又， 所以，即平分. 法二：所以，，， 由两直线夹角公式，得，， 则，又， 所以，即平分. 法三：则，， 故， 又， 所以，即平分. 法四：则， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为， 又点到直线的距离也为， 所以平分. 19．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 20．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 考前预测A组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·天津红桥·二模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）先展开并整理已知等式，得到边的关系式，再代入余弦定理公式，直接求出的值。 （2）① 先由求出，再结合，用正弦定理求出； ②先由判断为锐角，求出，再用二倍角公式算出，，最后用两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由，整理得，                ， 所以； （2）①若，则， 因为，所以，             由，得， 所以； ②由，得，即，所以一定为锐角， 所以，则， 所以， 所以． 16．（2026·天津滨海新区·三模）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出直线对应的方向向量和平面的法向量，利用向量垂直关系证明线面平行； （2）先求出两个平面的法向量，再利用向量夹角公式计算两个法向量夹角的余弦值，结合二面角与法向量夹角的关系，得到平面与平面所成角的余弦值； （3）利用点到平面距离的向量公式求出点到平面的距离． 【详解】（1） 因为四边形为正方形，所以，， 又，所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，，，，，， ，显然是平面的一个法向量， 因为，所以， 又平面，所以平面； （2）由（1）得，，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， 所以 所以平面与平面所成角的余弦值为； （3）由（2）得平面的一个法向量，， 所以点到平面的距离． 17．（2026·河南商丘·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，. (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求； (3)已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)直线是的外角平分线，理由见解析 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线联立，用焦点弦公式求出，得到抛物线方程； （2）设直线，联立直线与抛物线方程得韦达定理结果，由对称求，结合在抛物线上求出，用弦长公式和点到直线距离求出面积； （3）求出直线的方程为，分别求出点到直线和的距离，利用角平分线逆定理证明. 【详解】（1）当直线的倾斜角为且，，三点共线时， 直线：， 联立则. 设，，故， 则，故抛物线的方程为. （2）设直线，联立，得， 则，，. 设，则解得，， 则，解得， 则， 则. （3）直线的斜率为， 直线的方程为， 代入并整理得， 令得，，则. 焦点的坐标为，直线的方程为， 整理得，则点到直线的距离 ， 同理，点到直线的距离， 由及直线与抛物线的位置关系， 可得直线是的外角平分线. 18．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)元素个数为9 (3)，最小正整数 【分析】（1）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合已知即可证明； （2）由等差数列，等比数列基本量的计算，结合得出，再根据的范围即可求解； （3）由分组求和，错位相减法求得，再根据单调性即可求解最小正整数． 【详解】（1）设的通项公式为，，的通项公式为 因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以． （2）由，得，，所以， 又因为，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，元素个数为9． （3）由已知得，，， 设， 设① ② ①-②得：， ， 所以， 因为，， 所以单调递增， 又，，，， 所以最小正整数． 19．（2026·广西桂林·模拟预测）设函数，函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)设函数的极小值点为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可. （2）对参数范围分类讨论，进而得到取值范围即可. （3）结合题意并利用导数得到，进而结合放缩法证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得，且， ，， 即曲线在点处的切线方程是. （2）由已知得， 当时，，可得函数在定义域是上的递减函数， 则，不合题意； 当时， 所以函数在定义域是上的递增函数， 所以，符合题设； 当时，可得， 因为函数是上的增函数， 所以存在，使得当时，， 所以函数在上是递减函数，所以，不合题意； 综上可得，的取值范围是. （3）由题意得 令，可得，令，可得， 在区间是减函数，在区间是增函数， 是的唯一的极小值点，， 由（2）得，当时，，所以， 令，得， . 考前预测B组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·天津·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理得，再结合余弦定理求边长即可； （2）解法一：利用正弦定理求；解法二：利用余弦定理求出，再根据同角三角函数关系得到； （3）利用倍角公式，结合三角和差公式求值即可． 【详解】（1）解法一：因为，根据正弦定理得，即， 根据余弦定理， 则，解得， ； 解法二：因为，根据正弦定理得， 根据余弦定理， 则，解得，， ； （2）解法一：根据正弦定理  得， 所以解得； 解法二：，  由余弦定理可得： ， 是的内角， ； （3），  由余弦定理可得：， ， ， ． 16．（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由见详解. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，计算两个平面法向量数量积为0即可证明. （2）利用向量法求出平面法向量，利用向量法表示出二面角的大小，建立方程求解分析即可. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，且平面， 所以以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，则， 又，在棱上，，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以，所以平面平面. （2）存在点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由如下： 设点在线段上，且，则， 当时，重合，得不到二面角不满足题意， 当时，重合，此时二面角即为， 因为平面，即平面，且平面， 所以平面平面，即二面角为直二面角，不满足题意，所以， 由， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则 ，即或， 当时，解得：，当时，无解，故， 即，所以存点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点. 17．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点为，点位于双曲线C两支之间，点P为双曲线右支上的动点.若△PAF的周长最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点A的直线与双曲线C交于B，C两点，且A恰为弦BC的中点？若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由； (3)设双曲线C的右顶点为H，若点M在x轴上，且满足，求所有满足条件的点M的坐标. 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）根据焦点坐标及双曲线定义即可求解的值，双曲线方程即可求出； （2）考查双曲线点差法的应用，利用点差法可求出直线斜率，即可求出直线方程； （3）将和转化为正切值，即可求出点M的坐标. 【详解】（1）设右焦点为，双曲线方程为 . 由左焦点得. 因P在右支上，故 ，即 . 所以△PAF的周长为. 又 其中 ， . 故周长最小值为 由题意得， 所以.又，故 因此C： （2）设直线与双曲线交于，两点，且为弦BC的中点， 则， 因B，C在双曲线上，所以，. 两式相减得. 代入，，得， 因此 故所求直线过，斜率为，方程为， 即 将该直线代入双曲线可得， 其判别式显然大于0，故该直线与双曲线有两个不同交点. 因此存在这样的直线. （3）由（1）知右顶点，且，. 设，因为，，所以. 由题意，得. 又， 故 设．当时，，由，得 当时，，由，得. 当时，为钝角，不符合条件. 因此，点M的坐标为或. 18．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析，. 【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式. （2）(i) 要使取最大值 ，需每一项 (因 ，正项和最大)，构造该和式，采用错位相减法消去等比项，化简计算后，得出集合 中的最大元素. (ii)先证明 时和为正，通过放缩与前 项和对比得出；再证 ) 时和必为负，进而得和为正的充要条件，接着证明正元素个数为 且互不相同,最后利用前 项正负抵消的性质，计算所有大于 0 的元素之和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由， 得：，即， 所以，解得：或（舍），， 从而，； （2）（i）当时，取最大值， 此时，①， ②， ①-②得： ， 故，即集合中的最大元素为； （ii）首先证明，当，即时，， 当时，， 由（i）可知， 所以，， 反之，若，则必有，否则若，则 ， 故当且仅当时，， 再证明集合中有个大于0的元素， 首先，当，即时，对于任意， 都有和两种可能，故有种不同形式， 下面证明这种不同形式的结果互不相同， 任取其中的两种不同形式，记为， ， 因为为两种不同形式，则必存在，使得， 将其中最大的记为，不妨设， 若，则显然， 若，则 ， 故，因此集合中有个大于0的元素， 将这个元素记为，其中给定， 满足的元素个数为个，满足的元素个数也为， 因此 ， 所以集合中所有大于0的元素之和为. 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，证明：在上单调递增； (3)证明：，，使得． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）当时，，求导得，直接利用导函数得到其单调性，进而得到最大值； （2）求导得．用三角恒等式裂项求和，得到，在内分子为正，故，最后利用导数判断单调性即可； （3）根据第（2）问的单调性结论，取 （当时，），此时 ，进行放缩即可求解. 【详解】（1）当时，， 求导得． 因为，所以令，得；令，得． 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为． （2）证明：函数， 求导得． 由，得， 所以 ． 当且时，，， 所以，，， 因此，所以当时，在上单调递增． （3）证明：令，，则，， ，令，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，， 同理可证，当时，． 当时，由（2）知在上单调递增，取． 当时，，，满足题意． 当时，当时，，则； 当时，，此时． 若n为奇数，令，由，得， ； 若n为偶数，令 ， 则 ． 综上，，，使得． 考前预测C组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·陕西商洛·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由利用两角和与差的公式化简得到求解； （2）结合，由的面积为，求得，再利用余弦定理求解. 【详解】（1）因为， 所以， 整理得． 又，所以． 又因为，所以． （2）由（1）知， 由的面积为，得， 解得． 由余弦定理，得， 解得， 所以的周长为． 16．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， ，理由见解析. 【分析】（1）建系求点坐标，计算直线方向向量与平面法向量夹角的正弦值； （2）分别求两平面法向量，再求它们夹角的余弦值； （3）设出点的坐标，由题意得平面的法向量. 【详解】（1）由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，，，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 （2）设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 （3）设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，， 则有，令，则， ，则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 17．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为E的上顶点，线段的延长线交E于点A，线段的延长线交E于点C，且满足． (1)求证：E的长轴长与短轴长之比为； (2)过点A作垂直于y轴，垂足为，过点C作垂直于y轴，垂足为． （i）若，求E的方程； （ii）试探究的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）直角三角形，理由见解析 【分析】（1）设，由题意可推出，进而可表示出相关线段长，结合解三角形可得到，即可求得答案； （2）（i）表示出直线的方程，联立椭圆方程，可表示出A点坐标，同理可得B点坐标，结合，即可求得参数的值，可求解答案；（ii）利用数量积的坐标表示，计算的值，即可求解. 【详解】（1）设，由题意知，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 所以． 连接，则为等腰三角形， 则， 在等腰三角形中，，， 则， 又， 所以，即， 所以， 即， 所以E的长轴长与短轴长之比为． （2）（i）由（1）得，又， 所以， 所以． 又直线的方程为， 联立消去y得，解得或， 即，则． 又，所以， 所以直线的方程为． 联立消去y可得． 则，得，所以， 所以，则， 所以，， 故E的方程为． （ii）由（i）知，，又，且， 所以 ， 则，所以， 故是直角三角形． 18．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 19．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数判断在上的单调性即可求解； （2）问题转化为在上恒成立，令，利用二阶导数求的最小值，对二阶导数的符号进行分类讨论，分，，三种情况进行讨论； （3）利用（2）的结论可得，进而利用放缩可得，然后利用裂项相消求和可证明不等式的左半部分，令，利用导数证明当时，，再利用放缩可得，最后利用裂项相消求和可证明不等式的右半部分. 【详解】（1）当时，，则， 令，则，即； 令，则，即. 所以在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以的值域为. （2）由，得， 设，则， ， 设，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以. ①当时，在上单调递减，则，不满足题意； ②当时，，使得， 当时，在上单调递减，则，不满足题意； ③当时，在上单调递增，则，满足题意. 综上可得，即实数的取值范围是. （3）由（2）得，当时，任意恒成立， 即， 所以， 所以 . 令，则， 存在，使得. 则当时，；当时，， 于是在上单调递增，在上单调递减，而， 所以，即当时，. 所以， 所以. 综上所述，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高考数学冲刺阶段解答题专训03 高考真题再现 四、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 17．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 18．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分. 19．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 20．（2025·天津·高考真题）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 考前预测A组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·天津红桥·二模）在中，内角所对的边分别是，已知． (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②求的值． 16．（2026·天津滨海新区·三模）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，，，，，． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 17．（2026·河南商丘·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，. (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求； (3)已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由. 18．（2026·天津河东·二模）数列为等差数列，数列为各项不为零的等比数列，公比为2，，． (1)证明：； (2)求集合中元素的个数； (3)当时，将数列的每相邻两项，之间插入一个数，构造新数列，即，，，，…，数列的前项和为，求及满足的最小正整数． 19．（2026·广西桂林·模拟预测）设函数，函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)设函数的极小值点为，证明：． 考前预测B组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·天津·二模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 17．（2026·湖南郴州·模拟预测）已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点为，点位于双曲线C两支之间，点P为双曲线右支上的动点.若△PAF的周长最小值为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在过点A的直线与双曲线C交于B，C两点，且A恰为弦BC的中点？若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由； (3)设双曲线C的右顶点为H，若点M在x轴上，且满足，求所有满足条件的点M的坐标. 18．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 19．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)当时，证明：在上单调递增； (3)证明：，，使得． 考前预测C组 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2026·陕西商洛·模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 16．（2026·天津河东·一模）如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. (1)求BE与平面所成角的正弦值； (2)求平面FBC与平面的夹角的余弦值； (3)边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 17．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，B为E的上顶点，线段的延长线交E于点A，线段的延长线交E于点C，且满足． (1)求证：E的长轴长与短轴长之比为； (2)过点A作垂直于y轴，垂足为，过点C作垂直于y轴，垂足为． （i）若，求E的方程； （ii）试探究的形状，并说明理由． 18．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 19．（2026·全国·模拟预测）已知函数. (1)当时，求函数在上的值域； (2)若对任意，都有，求实数的取值范围； (3)证明：. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $