第三节 第2课时 平面向量数量积的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量数量积的应用”专题，依据高考评价体系梳理了几何应用、物理应用、最值问题三大核心考点，通过近三年真题分析明确几何应用占比45%、最值问题占35%的高频分布，归纳出面积计算、向量点积、最值求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养提升”策略，如以2023全国乙卷切线问题为例，用坐标法结合三角函数求数量积最值，培养学生数学思维与模型观念。特设“易错警示”和“技巧模板”，帮助学生掌握基向量法、坐标法等突破方法，教师可据此精准指导，助力学生高效冲刺高考。

第2课时　平面向量数量积的应用 第三节 【例1】　(1)在四边形ABCD中,=,=(1,-1),=(1,1),则四边形ABCD的面积为(　　) A.2 B.4 C.4 D.6 考点一 平面向量在平面几何中的应用 因为在四边形ABCD中,=,所以AB∥DC且AB=DC,则四边形为梯形,又=(1,-1),=(1,1),所以=1×1+(-1)×1=0,则AB⊥AD,且AB=||==,AD==,则DC=3,所以四边形ABCD的面积为S=(AB+CD)×AD=(+3) ×=4.故选B. 解析 (2)如图所示在△ABC中,AB=2,BC=1,∠ABC=,D, E,F为边AC的四等分点,则=(　　) A. B. C. D. 由题意得,=+=+=+(-)=+,= +=-=-(-)=+,所以==++,因为AB=2,BC=1, ∠ABC=,所以=||2=4,=||2=1,=||||cos∠ABC =2×1×=-1,所以=×4+×1+×(-1)=.故选A. 解析 向量研究平面几何问题的解法 (1)基向量法:适当选取一个基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解. (2)坐标法:若把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决. 【训练1】　(2026·厦门模拟)已知O为△ABC的外心,AB=4,AC=6, =+,则△ABC的面积为(　　) A.12 B.12 C.6 D.6 设AC的中点为D,由O为△ABC的外心可得,OD⊥AC, =(+)·==3×6=18.又 ==+= +16,所以=12.又=||||·cos∠BAC=4×6×cos∠BAC =12,可得cos∠BAC=,故sin∠BAC=,则△ABC的面积为·||·|| ·sin∠BAC=×4×6×=6. 解析 (2025·全国一卷)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等,方向相反.如表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表风速的大小,单位m/s),则该时刻的真风为(　　) 考点二 平面向量在物理中的应用 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 真风风速对应的向量=视风风速对应的向量-船行风风速对应的向量=视风风速对应的向量+船速对应的向量=,如图, ||=2∈(1.6,3.3),故选A. 解析 用向量方法解决物理问题的步骤 【训练2】　(1)(2026·广州模拟)如图所示,支座A受F1,F2两个力的作用,已知|F1|=18 N,与水平线成θ角,|F2|=8 N,沿水平方向,两个力的合力F的大小|F|=20 N,则cos θ=(　　) A. B. C. D. 依题意,F=F1+F2,则F2=++2F1·F2=++2|F1||F2|cos θ,即202=182+82+2×18×8cos θ,所以cos θ=.故选D. 解析 (2)(多选题)长江某处的南北两岸平行,江面宽度为2 km,一艘船从江南岸边的A处出发到江北岸.已知如图,船在静水中的速度v1的大小为|v1|=10 km/h,水流方向自西向东,且速度v2的大小为|v2|=6 km/h.设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),北岸的点A'在A的正北方向,则(　　) A.当船的航行距离最短时,cos θ=- B.当船的航行时间最短时,θ= C.当θ=时,船航行到达北岸的位置在A'的左侧 D.当θ=时,船的航行距离为km. 对于A,当船的航行距离最短时,v1+v2的方向与河岸垂直,从而cos θ=-cos(π-θ)=-=-=-,故A错误;对于B,船的航行时间为t== (h),若要船的航行时间最短时,则sin θ最大,也就是说当且仅当θ=时,船的航行时间最短时,故B正确;对于C,当θ=时,游船水平方向的速度大小为|v1|cos-|v2|=-1(km/h),方向水平向右,故最终 解析 到达北岸时游船在点A'的右侧,故C错误;对于D,由题意设位移分量为s1=v1t,s2=v2t,位移为s,则s=s1+s2=(v1+v2)t,其中t===,所以|s|=|v1+v2|t=t=× =(km/h),故D正确.故选BD. 解析 【例3】　(1)(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为(　　) A. B. C.1+ D.2+ 考点三 平面向量的最值问题 如图所示,|OA|=1,|OP|=,则由题意可知:∠APO= 45°,由勾股定理可得PA==1.当点A, D位于直线PO异侧时,如图①所示,设∠OPC=α, 0≤α<,则=||·||cos=1× cos αcos=cos α=cos2α-sin αcos α= 解析 -sin 2α=-sin,0≤α<,则- ≤2α-<.当2α-=-时,有最大值1;当点 A,D位于直线PO同侧时,如图②所示,设∠OPC= α,0≤α<,则=||·||cos=1× cos αcos=cos α=cos2α+sin αcos α 解析 =+sin 2α=+sin,0≤α<,则≤2α+<.所以当2α+=时,.综上可得,.故选A. 解析 (2)(2025·北京高考)已知平面直角坐标系xOy中,||=||=,||=2,设C(3,4),则|2+|的取值范围是(　　) A.[6,14] B.[6,12] C.[8,14] D.[8,12] 因为||=||=,||=2,由=-平方可得,=0,所以<,>=.2+=2(-)+-=+-2,||==5,所以=++4-4(+)·=2+2+4×25-4(+)·=104-4(+)·,又|(+)·|≤|+|||=2×5=10,即-10≤(+)· ≤10,所以∈[64,144],即|2+|∈[8,12]. 解析 向量求最值(范围)的常用方法 1.利用基本不等式求最值(范围). 2.建立坐标系,设变量构造函数求最值(范围). 3.数形结合,应用图形的几何性质求最值. 【训练3】　(1)如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD, AB∥DC,AD=DC=2,AB=4,以四条边为直径向外作四个半圆,点M是这四个半圆弧上的一个动点,则的最大值是(　　) A.8 B.16 C.12+ D.12+4 要使最大,的夹角θ小于90°,当 点M在弧DC上时,=||·cos θ·||≤ 2×4=8,当点M在弧AB上时,=||·cos θ ·||≤||2=16,当点M在弧BC上时,取线段BC 中点为O,则=(+)·=+=||·|| ·cos<,>+||·||·cos<,>=3×4+×4×cos<, >,所以当同向时,cos<,>max=1,此时最大值为12+4,故选D. 解析 (2)(2026·上海春季高考)在△ABC中,D,E在边BC上,且==,||=1,与的夹角为,则的最大值为__________. 设||=x,||=y,在△ADE中,由余弦定理:||2=||2+||2-2||·||cos<,>,得y2=1+x2-2·x·=x2-x+1. 解析 - 解法一:=(+)·(+)=(-)·(+)=+·(-)-=-2=||·||cos<,> -2||2=x-2y2=-2x2+x-2,当x=时,有最大值-. 解析 解法二:记线段DE的中点为F,如图①,故 =-,=- =-=-2=1·x·-2y2,故=x-2y2=-2x2+x-2,故x=时,有最大值-. 解析 解法三:不妨设|BC|=3a,以D点为原点,DC方向 为x轴正方向建立平面直角坐标系,如图②,易 得,B(-a,0),D(0,0),E(a,0),C(2a,0),A(cos θ,sin θ), cos<,>===,整理得, a2=4a2cos2θ-6acos θ+3(*),于是,=(-a-cos θ,-sin θ)·(2a-cos θ, 解析 -sin θ)=-2a2-acos θ+1,将(*)式带入上式可得,=-8a2cos2θ+ 11acos θ-5,令t=acos θ,故=-8t2+11t-5,故t=时取最大值,最大值为-. 解析 $