专题02三角函数图像与性质（期末复习讲义，5重难题型+分层验收）高一数学下学期沪教版

专题02三角函数图像与性质（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01图像识别：给图像求解析式 题型02图像变换：平移、伸缩后解析式（易错：左加右减） 题型03性质综合：周期、奇偶、单调区间、对称中心 题型04最值问题：在区间上最值 题型05实际应用：简谐运动、三角函数建模 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 、、的图像与性质 掌握三类基本三角函数图像与核心性质； 必考，以选择/填空为主，偶见解答题小问 （参数意义、图像变换、五点法作图、性质）； 理解参数与变换 高频：周期性、单调性、最值、参数求值 由图像求解析式、图像变换； 性质综合应用 能求解析式、处理基础综合问题 难度基础-中档，侧重数形结合，常与恒等变换结合。 知识点01 基本三角函数（、、）的图像与性质 函数 定义域 值域 周期 奇偶性 核心性质 奇函数 增区间： ； 减区间： （）；对称轴：； 对称中心： 偶函数 增区间：；减区间： （）； 对称轴：； 对称中心： 奇函数 增区间：（）； 无对称轴；对称中心： ·示例：求的单调区间及对称中心，并判断是否为其对称轴。 ·易错点：1. 混淆与的单调区间、对称轴，如误将的增区间写为；2. 忽略的定义域限制，误将其单调区间写为上的递增；3. 记错的周期，误记为；4. 误将的对称中心写为。 知识点02 正弦型函数 （） 1. 参数意义：振幅（决定值域范围）；周期；初相；上下平移量（决定值域上下移动）； 2. 值域：；最值：最大值，最小值； 3. 图像变换：由到，遵循“左加右减、先平移后伸缩或先伸缩后平移”（平移量不同）； 4. 五点法作图：取，求出对应和，描点连线。 ·示例：已知函数，求其周期、值域、单调递增区间，并写出五点法作图的关键坐标。 ·易错点：1. 记错周期公式，误将写为，忽略的绝对值；2. 图像平移时，误将平移量写为，未除以（如由到，平移量为，非）；3. 混淆振幅与值域，误将当作值域上限；4. 五点法作图时，未正确求解的值，导致描点错误。 知识点03 由三角函数图像求解析式 步骤：1. 由图像的最高点、最低点求和（，）； 2. 由图像的周期求（）； 3. 由图像的特殊点（如零点、最高点、最低点）求（代入解析式，结合的取值范围求解）。 ·示例：已知某正弦型函数图像的最高点为，最低点为，周期为，求该函数的解析式。 ·易错点：1. 计算时，误将“最大值-最小值”当作，未除以2；2. 求时，代入特殊点后，未 结合的取值范围（通常为）求解，导致取值错误；3. 混淆周期与的关系，计算时出 错。 知识点04 三角函数性质的综合应用（最值、零点、对称性） 1. 最值：结合定义域，利用三角函数的值域及单调性求最值； 2. 零点：令，解三角方程，结合定义域确定零点个数及坐标； 3. 对称性：利用基本三角函数的对称性，结合图像变换，判断正弦型函数的对称轴、对称中心。 ·示例：求函数在上的最值及零点个数。 ·易错点：1. 求最值时，忽略定义域限制，直接用三角函数的最值代替；2. 解三角方程时，遗漏，导致零点个数判断错误；3. 判断对称中心时，误将的对称中心纵坐标当作0，忽略的影响。 题型一 图像识别：给图像求解析式 解｜题｜技｜巧 核心三步法：定振幅→定周期求→定初相，优先用最高点、最低点、零点代入求解，确保符合取值范围。 易｜错｜点｜拨 1. 误将“最大值-最小值”当作，忽略需除以2（正确公式：）； 2. 求周期时，混淆“相邻最高点与最低点的距离”（半个周期）和“相邻两个最高点的距离”（完整周期）； 3. 代入特殊点求后，未结合取舍，导致取值错误。 【典例1】函数的部分图象如图所示，那么（    ） A． B． C． D． 【典例2】函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则______． 【变式2】函数的部分图像如图所示，则______． 题型二 图像变换：平移、伸缩后解析式（易错：左加右减） 答｜题｜模｜板 1. 明确变换方向（平移/伸缩）和顺序，分两步分析； 2. 平移变换：将向左平移个单位，得；向右平移个单位，得； 3. 伸缩变换：横坐标伸缩为原来的，将替换为，得； 4. 对比目标解析式，验证变换过程是否正确，排除错误选项。 【典例1】将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______． 【变式2】已知函数的图象上有一个最低点  ，将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将所得图象向左平移一个单位得到的图象，若方程的所有正根依次成为从小到大依次差3的一组数，求 的解析式． 题型三 性质综合：周期、奇偶、单调区间、对称中心 易｜错｜点｜拨 1. 求周期时，忽略的绝对值，误将当作通用公式； 2. 判断奇偶性时，未化简解析式直接代入，忽略的影响（如本题中，故非奇非偶）； 3. 求单调区间时，未将整体代入正弦函数的单调区间，或解不等式时计算错误； 4. 混淆对称中心与对称轴，误将对称中心纵坐标当作非0值。 【典例1】（多选）已知函数，，则（  ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 【典例2】（多选）下列选项中，正确的有（   ） A．函数是最小正周期为的周期函数 B．函数的图象关于点对称 C．设是第二象限角，则，且 D．函数的最小值为 【变式1】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图像关于对称 C．在区间上单调递增 D．由函数图像向右平移2个单位可得到函数的图像 【变式2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期是 B．的图象的一个对称中心是 C．在上单调递增 D．将图象上所有点向右平移个单位长度可得到一个奇函数的图象 题型四 最值问题：在区间上最值 答｜题｜模｜板 1. 确定的取值范围：由，计算的最大值和最小值，得到； 2. 分析的值域：结合正弦函数在上的单调性，确定其最大值和最小值； 3. 求函数最值：，； 4. 求对应值：令等于正弦函数取最值时的角度，求解（确保）； 5. 整理答案，规范书写最值及对应值。 【典例1】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【典例2】（24-25高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【变式1】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值. 【变式2】函数的部分图象如图所示． (1)写出的最小正周期及图中、的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 题型五 实际应用：简谐运动、三角函数建模 答｜题｜模｜板 1. 建立模型：设函数关系式为（）； 2. 求参数： ① 由最大值、最小值，得，； ② 由题目条件确定周期，得； ③ 代入特殊点（最大值、最小值对应的坐标），求解，验证并确定解析式； 3. 解决实际问题：根据题意列出不等式（如），化简为三角不等式，换元求解，结合实际范围确定答案； 4. 整理答案，规范书写解析式和实际问题的解（如时间范围、总时长）。 【典例1】简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 【典例2】（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【变式1】在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 【变式2】某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式； (3)当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数） 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·上海闵行·期末）若是方程的解，其中，则的取值集合是__________. 三、解答题 4．（24-25高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001） 4．函数的部分图像如图所示，则___________．    三、解答题 5．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则_________． 三、解答题 4．已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 5．已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02三角函数图像与性质（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01图像识别：给图像求解析式 题型02图像变换：平移、伸缩后解析式（易错：左加右减） 题型03性质综合：周期、奇偶、单调区间、对称中心 题型04最值问题：在区间上最值 题型05实际应用：简谐运动、三角函数建模 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 、、的图像与性质 掌握三类基本三角函数图像与核心性质； 必考，以选择/填空为主，偶见解答题小问 （参数意义、图像变换、五点法作图、性质）； 理解参数与变换 高频：周期性、单调性、最值、参数求值 由图像求解析式、图像变换； 性质综合应用 .能求解析式、处理基础综合问题 难度基础-中档，侧重数形结合，常与恒等变换结合。 知识点01 基本三角函数（、、）的图像与性质 函数 定义域 值域 周期 奇偶性 核心性质 奇函数 增区间： ； 减区间： （）；对称轴：； 对称中心： 偶函数 增区间：；减区间： （）； 对称轴：； 对称中心： 奇函数 增区间：（）； 无对称轴；对称中心： ·示例：求的单调区间及对称中心，并判断是否为其对称轴。 解析：由知识点可知，的定义域为； 单调递增区间为（），无单调递减区间； 对称中心为（）； 无对称轴，故不是其对称轴（且不在定义域内）。 ·易错点：1. 混淆与的单调区间、对称轴，如误将的增区间写为；2. 忽略的定义域限制，误将其单调区间写为上的递增；3. 记错的周期，误记为；4. 误将的对称中心写为。 知识点02 正弦型函数 （） 1. 参数意义：振幅（决定值域范围）；周期；初相；上下平移量（决定值域上下移动）； 2. 值域：；最值：最大值，最小值； 3. 图像变换：由到，遵循“左加右减、先平移后伸缩或先伸缩后平移”（平移量不同）； 4. 五点法作图：取，求出对应和，描点连线。 ·示例：已知函数，求其周期、值域、单调递增区间，并写出五点法作图的关键坐标。 解析：由参数可知，，，，； 周期； 值域：； 单调递增区间：令（），解得（）； 五点法关键坐标：令，得，对应，即。 ·易错点：1. 记错周期公式，误将写为，忽略的绝对值；2. 图像平移时，误将平移量写为，未除以（如由到，平移量为，非）；3. 混淆振幅与值域，误将当作值域上限；4. 五点法作图时，未正确求解的值，导致描点错误。 知识点03 由三角函数图像求解析式 步骤：1. 由图像的最高点、最低点求和（，）； 2. 由图像的周期求（）； 3. 由图像的特殊点（如零点、最高点、最低点）求（代入解析式，结合的取值范围求解）。 ·示例：已知某正弦型函数图像的最高点为，最低点为，周期为，求该函数的解析式。 解析：1. 求和：，； 2. 求：，故解析式可设为； 3. 求：将最高点代入，得，化简得； 令（），取，得； 综上，解析式为。 ·易错点：1. 计算时，误将“最大值-最小值”当作，未除以2；2. 求时，代入特殊点后，未 结合的取值范围（通常为）求解，导致取值错误；3. 混淆周期与的关系，计算时出 错。 知识点04 三角函数性质的综合应用（最值、零点、对称性） 1. 最值：结合定义域，利用三角函数的值域及单调性求最值； 2. 零点：令，解三角方程，结合定义域确定零点个数及坐标； 3. 对称性：利用基本三角函数的对称性，结合图像变换，判断正弦型函数的对称轴、对称中心。 ·示例：求函数在上的最值及零点个数。 解析：1. 求最值：，则； 当，即时，； 当，即时，； 2. 求零点：令，则（），解得； 结合，得（舍去），故零点个数为2个。 ·易错点：1. 求最值时，忽略定义域限制，直接用三角函数的最值代替；2. 解三角方程时，遗漏，导致零点个数判断错误；3. 判断对称中心时，误将的对称中心纵坐标当作0，忽略的影响。 题型一 图像识别：给图像求解析式 解｜题｜技｜巧 核心三步法：定振幅→定周期求→定初相，优先用最高点、最低点、零点代入求解，确保符合取值范围。 易｜错｜点｜拨 1. 误将“最大值-最小值”当作，忽略需除以2（正确公式：）； 2. 求周期时，混淆“相邻最高点与最低点的距离”（半个周期）和“相邻两个最高点的距离”（完整周期）； 3. 代入特殊点求后，未结合取舍，导致取值错误。 【典例1】函数的部分图象如图所示，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的最大值可得A，由图可知，从而可求，逆用五点作图法可得，进而可求解. 【详解】解：由图可知，所以A=1， ， ，解得， ， 逆用五点作图法可得，即， ， ， 故选：D. 【典例2】函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象，求得，得到，再由点在函数的图象上，求得，进而求得的解析式，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，所以， 则，所以， 又由点在函数的图象上，可得，即， 所以，因为，所以， 所以所求函数的解析式为. 故选：B. 【变式1】（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的部分图象如图所示，则______． 【答案】/ 【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得. 【详解】由已知可得，，所以，所以， 所以. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式2】函数的部分图像如图所示，则______． 【答案】 【分析】根据函数的最值、最小正周期、特殊点进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，所以， 由函数的图象可知函数的最小正周期为8，而，所以有， 又因为函数过原点，所以，而，所以， 所以， 故答案为： 题型二 图像变换：平移、伸缩后解析式（易错：左加右减） 答｜题｜模｜板 1. 明确变换方向（平移/伸缩）和顺序，分两步分析； 2. 平移变换：将向左平移个单位，得；向右平移个单位，得； 3. 伸缩变换：横坐标伸缩为原来的，将替换为，得； 4. 对比目标解析式，验证变换过程是否正确，排除错误选项。 【典例1】将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数图像平移规则即可求得平移后所得图象的函数解析式 【详解】将函数的图象向左平移个单位，得到 再将向上平移1个单位， 得到，即 故选：C 【典例2】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 【变式1】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为______． 【答案】 【分析】横坐标缩短到原来的，将变为即可. 【详解】将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得图像的解析式为. 故答案为：. 【变式2】已知函数的图象上有一个最低点  ，将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，然后将所得图象向左平移一个单位得到的图象，若方程的所有正根依次成为从小到大依次差3的一组数，求 的解析式． 【答案】 【分析】利用辅助角公式以及最低点可得1，从而可得，结合函数的周期为即可求解. 【详解】原函数可化为（其中为辅助角， 满足，）， 因为是它的最低点， 所以，解得 1， 所以 按题给变换后得， 方程的正根就是直线与的图象交点的横坐标， 它们成为从小到大依次差3的一组数，即与相邻交点间的距离都相等． 直线满足以上要求只能有三个位置： 一是过图象最高点且和x轴平行的直线， 二是过图象最低点且和x轴平行的直线， 三是和、平行且等距的直线，而图象最低点为，故不可能是． 假若直线在，交点间隔为一个周期，即正根的公差为，不合题意， 所以只能在位置，所以，， 此时由得，正根可组成从小到大依次差3的一组数，符合题意． 题型三 性质综合：周期、奇偶、单调区间、对称中心 易｜错｜点｜拨 1. 求周期时，忽略的绝对值，误将当作通用公式； 2. 判断奇偶性时，未化简解析式直接代入，忽略的影响（如本题中，故非奇非偶）； 3. 求单调区间时，未将整体代入正弦函数的单调区间，或解不等式时计算错误； 4. 混淆对称中心与对称轴，误将对称中心纵坐标当作非0值。 【典例1】（多选）已知函数，，则（  ） A．函数的最小正周期为 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 【答案】ABD 【分析】利用二倍角的正弦公式以及正弦型函数的周期公式可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；当时，化简函数的解析式，利用正弦型函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，，该函数的定义域为， 因为，故函数是偶函数，B对； 对于C选项，因为，且正弦函数在上为增函数， 故，故函数的值域为，C错； 对于D选项，， 当时，，则， 因为函数在上为增函数， 故函数在上是减函数，D对. 故选：ABD. 【典例2】（多选）下列选项中，正确的有（   ） A．函数是最小正周期为的周期函数 B．函数的图象关于点对称 C．设是第二象限角，则，且 D．函数的最小值为 【答案】BD 【分析】利用三角函数的性质，逐个命题分析正误即可. 【详解】对于A，根据图象画出图象， 结合函数的图象可知，该函数不是周期函数，故A错误. 对于B，根据正切函数的性质可知，函数的图象关于点对称，故B正确. 对于C，设是第二象限角，即，， 则，， 当为偶数时，，且成立； 当为奇数时，，且与选项矛盾，故C错误. 对于D，函数， 又，则当时，函数有最小值，故D正确. 故选：BD. 【变式1】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．的图像关于对称 C．在区间上单调递增 D．由函数图像向右平移2个单位可得到函数的图像 【答案】BCD 【分析】选项，由余弦类函数的最小正周期代入计算即可；选项B，由余弦函数的对称轴为直线，令，求出检验即可；选项C，由余弦函数的单调递增区间为，令，求出的取值范围，检验即可；选项D，检验平移之后的函数表达式,是否与相同，即可作出判断. 【详解】解：选项，的最小正周期，得，故A错误； 选项B，由余弦函数的对称轴为直线，令， 解得函数的对称轴为直线，， 当时，，故B正确； 选项C，令，解得， 所以函数的单调递增区间为，， 当时，递增区间为，而，故C正确； 选项D，函数图象向右平移2个单位，得， 即，故D正确. 【变式2】（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的最小正周期是 B．的图象的一个对称中心是 C．在上单调递增 D．将图象上所有点向右平移个单位长度可得到一个奇函数的图象 【答案】BC 【详解】余弦函数最小正周期，故A错误； 余弦函数的对称中心为，令， 解得， 当时，，此时， 则是函数的一个对称中心，故B正确； 余弦函数的单调递增区间为， 当时，，， 在上单调递增，即在上单调递增，故C正确； 把图象上所有点向右平移个单位长度得： ， ，是偶函数，故D错误． 题型四 最值问题：在区间上最值 答｜题｜模｜板 1. 确定的取值范围：由，计算的最大值和最小值，得到； 2. 分析的值域：结合正弦函数在上的单调性，确定其最大值和最小值； 3. 求函数最值：，； 4. 求对应值：令等于正弦函数取最值时的角度，求解（确保）； 5. 整理答案，规范书写最值及对应值。 【典例1】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数． (1)求的严格增区间； (2)求在闭区间上的最大值和最小值及此时x的值． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）根据三角恒等变换整理可得，以为整体，结合三角函数的单调性运算求解即可； （2）以为整体，结合三角函数的有界性运算求解即可. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得， 所以函数的严格增区间为. （2）由（1）知 因为，可得， 当时，即，函数取得最大值，最大值为； 当或时，即或，函数取得最小值，最小值为2. 【典例2】（24-25高一下·上海·期末）已知. (1)求函数的单调增区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值. (3)若函数在内有且只有一个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用二倍角公式，辅助角公式化简成正弦型函数，令函数，函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同，用五点法作图解题即可； （2）将在图像留下来，直接看图求出来即可； （3）将在图像留下来，转化为交点问题即可. 【详解】（1） ， 令，最小正周期为.可以运用五点法画出的图像. 五点分别为： 由图像，结合函数周期性，可知道的单调递增区间为： 函数可以看作向下平移个单位，则的单调增区间与相同， 故的单调递增区间为： （2）先求出在区间上的最大值与最小值，由图知. ， 函数可以看作向下平移个单位，则 （3）若函数在内有且只有一个零点, 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于在内有且只有一个根， 等价于与在内有且只有一个交点. 且，图像如下 则或者，解得或. 【变式1】已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的最小值和最大值及相应的取值. 【答案】(1)最小正周期为 (2)时，的最大值为；当时，的最小值为. 【分析】（1）化简函数为，结合最小正周期的公式，即可求解； （2）由，可得，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 所以函数的最小正周期为. （2）解：由，可得， 当，即时，函数单调递增； 当，即时，函数单调递减， 所以当时，的最大值为； 又由， 所以当时，的最小值为. 【变式2】函数的部分图象如图所示． (1)写出的最小正周期及图中、的值； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)周期为，， (2)最大值是3，最小值是 【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求； （2）首先求的范围，再求函数的最值. 【详解】（1）, 令，， 解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值； （2）当时，， 此时 所以函数的最大值是3，最小值是 题型五 实际应用：简谐运动、三角函数建模 答｜题｜模｜板 1. 建立模型：设函数关系式为（）； 2. 求参数： ① 由最大值、最小值，得，； ② 由题目条件确定周期，得； ③ 代入特殊点（最大值、最小值对应的坐标），求解，验证并确定解析式； 3. 解决实际问题：根据题意列出不等式（如），化简为三角不等式，换元求解，结合实际范围确定答案； 4. 整理答案，规范书写解析式和实际问题的解（如时间范围、总时长）。 【典例1】简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)振幅为2，周期为，初相为 (2)（i）递增区间为，递减区间为；（ii） 【分析】（1）由图像结合正弦函数的性质可得； （2）（i）结合图象伸缩性质利用正弦函数的单调性可得；（ii）由图象平移性质结合二倍角的正弦以及同角的三角函数关系可得. 【详解】（1）由图象可得，， 当时代入可得， 又时，，所以取，则. 综上，振幅为2，周期为，初相为. （2）（i）由题意可得， 令， 即时函数单调递增；时函数单调递减， 取，可得递增区间为，递减区间为. （ii）， 因为， 所以. 【典例2】（24-25高一下·上海·期末）如图，有一块矩形铁皮，其中米，米，其中，是一个大于等于的常数．阴影部分是一个半径为米的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好．工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点P在弧上．设，矩形的面积为S平方米．    (1)求S关于的函数表达式； (2)当时，求S的最值，并求出当S取得最值时，所对应的的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析． 【分析】（1）过作，垂足为，得，，应用矩形面积公式即可得关系式； （2）由题设，令，进而得到，结合二次函数的性质求最值，且可得值. 【详解】（1）过作，垂足为，由题意得：，， 故，，    所以矩形的面积，． （2）由（1）及题设知， 故， 令，，所以，且， ， 在区间上严格减，在区间上严格增，且， 当，即时，取得最小值， 此时，则，故， 当，即时，取得最大值， 此时，则，故或． 【变式1】在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽.设灯柱高，.    (1)求灯柱的高（用表示）； (2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式； (3)求出的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别在、中，应用正弦定理求、，即可得解析式； （2）根据正弦定理得到，即. （3）根据计算得到的最小值. 【详解】（1）由题知，，， 在中， 则， 在中， 则. 所以. （2）由题意，而， 则， 所以， 结合（1）知：. （3）由（2）知， 又， 所以，当，时，. 【变式2】某小区拟用一块半圆形地块（如图所示）建造一个居民活动区和绿化区．已知半圆形地块的直径千米，点O是半圆的圆心，在圆弧上取点C、D，使得，把四边形ABCD建为居民活动区，并且在居民活动区周围铺上一条由线段AB，BC，CD和DA组成的塑胶跑道，其它部分建为绿化区．设，且； (1)当时，求四边形ABCD的面积； (2)求塑胶跑道的总长l关于的函数关系式； (3)当为何值时，塑胶跑道的总长l最短，并求出l的最小值．（答案保留2位小数） 【答案】(1)（平方千米） (2) (3)时，塑胶跑道的总长l最短，最小值千米． 【分析】（1），，由三角形面积公式求得三个三角形面积后可得四边形面积； （2），，利用等腰三角形的性质求得底边长，从而得的表达式； （3）利用二倍角公式化简函数式为关于的二次函数，结合二次函数性质、正弦函数性质得最小值． 【详解】（1）连接，因为，又，则，所以， ，， 所以（平方千米）； （2）由（1）知，，， 所以（千米）． （3）， ，，所以，即时，． 时，， ， 时，， 所以时，取得最小值千米． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】B 【分析】结合三角函数图象变换以及三角函数单调区间等知识求得正确答案. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得， 若，则， 所以在区间上单调递增. 若，则， 所以在区间上不单调. 所以B选项正确，其它选项错误. 故选：B 2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的对称性，求出对称中心的表达式，结合题意验证值即可求解. 【详解】函数的对称中心为：， 即，因为为函数的对称中心， 令，解得， 当时，. 故选：D 二、填空题 3．（24-25高一下·上海闵行·期末）若是方程的解，其中，则的取值集合是__________. 【答案】 【分析】得到，结合，从而列出方程，求出答案. 【详解】由题意得， 因为，所以， 故或，解得或. 故答案为： 三、解答题 4．（24-25高一下·上海·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式与单调增区间； (2)若将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，写出图象的对称中心的坐标，并求当时，的最值. 【答案】(1)， (2)对称中心坐标为，， 【分析】（1）利用函数图象列出，解得，，结合函数的周期，求解，利用函数的最大值求解，然后得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解函数的单调增区间即可； （2）根据三角函数的变换规则求出解析式，根据正弦函数的性质求出对称中心坐标，通过的范围，求出的范围，结合正弦函数性质计算可得． 【详解】（1）由图象可知，解得， 又由于，可得，又，所以， 由图象知，，又因为，则， 所以，则，所以． 由，，解得，． 函数的单调递增区间是，． （2）将的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位得到： ， 令，解得， 所以的对称中心坐标为， 因为，所以， 所以当，即时； 当，即时. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海闵行·期末）对于函数，给出下列结论： ①函数的图象关于点对称； ②函数的对称轴是，； ③若函数是偶函数，则的最小值为； ④函数在的值域为， 其中正确的命题个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为 ， 因为，所以函数的图象关于点对称，故①正确； 令，解得， 所以函数的对称轴是，，故②正确； 因为为偶函数， 所以，解得， 所以的最小值为，故③正确； 当，则，当， 即时，故④错误. 故选：D 2．已知，下列结论错误的个数是（    ） ①若，且的最小值为，则；②存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于轴对称；③若在上恰有7个零点，则的取值范围是；④若在上单调递增，则的取值范围是. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由二倍角公式将三角函数化简，然后由三角函数的性质逐项判断即可. 【详解】， 周期， ①由条件知，周期为，故①错误； ②函数图象右移个单位长度后得到的函数为， 其图象关于轴对称，则， 故对任意整数，故②错误； ③由条件，得，故③错误； ④由条件，得，又，故④正确. 故选：C. 二、填空题 3．某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001） 【答案】1.172 【分析】以为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出最小值. 【详解】以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，连接， 令圆的半径为，则，解得，设， 因此， 当且仅当时取等号， 所以步行道、长度之和的最小值是. 故答案为： 4．函数的部分图像如图所示，则___________．    【答案】 【分析】由题可得，再求出，再结合，从而可求解. 【详解】由题中图象可得，周期，则， 又，则，所以，， 又因为，所以可得，则. 故答案为：. 三、解答题 5．如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为：．已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每12分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． (1)根据条件具体写出关于的函数表达式： (2)在摩天轮转动的一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】(1)； (2)4分钟． 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【详解】（1）中心点距地面40m，则，摩天轮的半径为30m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有4分钟的时间距离地面超过55m． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（24-25高一下·上海·期末）已知函数，现有四个命题：（1）函数的最小正周期为；（2）函数在区间上是增函数；（3）函数的图象关于直线对称；（4）函数是奇函数.其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用正弦函数周期性判断命题（1），利用正弦函数单调性求出函数的单调区间判断（2），利用正弦函数的对称性求出对称轴判断（3），利用函数平移法则结合函数的对称性判断（4）. 【详解】函数，的最小正周期，（1）正确. 当，时，即，，函数为增函数， ，函数在区间上是增函数，（2）正确. 当，，即，为函数的对称轴，时，， 函数的图象关于直线对称,（3）正确. 函数图象相当于函数的图象向右平移个单位， 图象关于轴对称，为偶函数,（4）错误. 真命题的个数是3个. 故选：C 2．设，若对任意的，都存在，使得成立，则可以是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的值域为，的值域为，求出，根据题意，再代入选项逐项分析即可. 【详解】设的值域为，的值域为， 则由题意得，因为，则， 则，则， 因为，所以， 对A，当时，，则， 则，不满足，故A错误； 对B，当时，， ， 则， 则，满足，故B正确； 对C，当时，， ， 则， 则，不满足，故C错误； 对D，当时，， 则， 则，不满足，故D错误； 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据题意将其转化为两函数值域之间的包含关系，再利用整体法求出相关三角函数的值域，代入选项逐个分析即可. 二、填空题 3．（24-25高一下·上海·期末）设，，．如图所示，函数的图象与坐标轴依次交于、、三点，直线交函数的图象于点．若，且坐标原点为的重心，则_________． 【答案】 【分析】由重心定义得为中点，且由重心性质求出，进而得，从而结合函数图像以及周期公式可求出的解析式，进而求出B点坐标，再利用B点坐标和余弦定理可求出，接着利用同角三角函数的基本关系即可得解. 【详解】由重心定义得为中点，且由重心坐标形式的性质得， 即，故， 所以函数周期满足，又，故， 所以，故， 所以由图以及正弦函数性质得即， 又，故， 所以，则，即， 所以， 故， 又，故， 又，所以， . 故答案为：. 三、解答题 4．已知函数，其中． (1)若，求的值； (2)若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有4个零点，求的最小值； (3)令，将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得； （2）由图象平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值； （3）根据，可得，当且仅当时取等号，进而可求出. 【详解】（1）函数， 若， 则与是相邻的最小值点和最大值点， 所以的最小正周期为， 由，解得； （2）， ， ，所以或， 解得或，又， 得， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有4个零点，要使最小，则恰好为的零点， 所以的最小值为； （3）由题意， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 又因为函数的最大值为10， 所以同时取得最大值， 所以，所以， 所以满足条件的的最小值为． 【点睛】关键点点睛：根据，可得，当且仅当时取等号，是解决第三问的关键. 5．已知函数（其中，，）的图象与x轴的交于A，B两点，A，B两点的最小距离为，且该函数的图象上的一个最高点的坐标为. （1）求函数的解析式； （2）求证：存在大于的正实数，使得不等式在区间有解.（其中e为自然对数的底数） 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题可得，周期为，则可求出，由可解得； （2）问题可化为在区间有解，再求解不等式即可. 【详解】解：（1）由题意可知，，，故函数的周期为，故， 故， ， 则，即， ，， ； （2）证明：因为，故当时，， 原不等式可化为， 又因为，则， 要使得在有解，只需在区间有解， 代入得：， 当解得，即，时， 此时与区间与区间的交集为空集， 当，即，时， 令得时，满足， 又因为，故只需，原不等式在区间有解. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数不等式有解问题，解题的关键是将问题转化为在区间有解，从而求解. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $