精品解析：山东淄博市桓台县2025--2026学年下学期七年级 期中测试 数学试卷

2025--2026学年下学期桓台县七年级 期中测试数学 本试卷共7页．满分150分．考试时长120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定会中奖 2. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 若，则 4. 用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ） A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 5. 现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从红莲湖公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，甲、乙两人相距时，乙出发时间为（ ） A. 或 B. C. D. 或或 二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分． 11. 若方程是关于，的二元一次方程，则的值为___． 12. 把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 14. 写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件___． 15. 已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___． 三、解答题：本大题共8个小题．共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 本市中考体育项目，排球已经列入考核范围，为了应对广大考生的需求，桓台某文体店打算从某厂采购一批排球．为保证商品质量，该文体店对该厂排球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的排球数 优等品数 抽到优等品的频率 （1）上表中的______，______； （2）根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是______；（精确到） （3）该文体店共需采购大约多少个排球，才能使本次采购中有个优等品？ 18. 如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 19. 如图，已知， （1）求证： （2）若平分，于点，，求的度数 20. 某一次函数图象表格如下： （1）试求出这个一次函数的解析式； （2）函数的图象与的图像交于点，且分别交轴，轴于、两点，，求方程组的解． 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 22. 【问题情境】 某数学小组在某套中考模拟题中发现一道涉及平行的题目，如下： 如图，四边形中，．若，，，分别是，，，上的点，且．求证：． 【探究感悟】 小组成员对该题进行了一题多解的探究，请在以下同学的思路基础上完成辅助线的绘制并证明． （1）子皓同学做法如下：连接． （2）馨予同学做法如下：延长并与的延长线交于点． 【深入探究】 正宇同学认为，以上两位同学采用的解题方法本质上相同，即构造一条与两条平行直线相交的直线．他在这个发现的基础上，对以下常见题目进行一题多解的尝试： （3）如图，，，分别是，上的点，证明：．(使用两种构造辅助线的方法) 23. 【发现与提出问题】 在学习方程和一次函数之后，某数学小组认识到，一次函数是将二元一次方程与直线建立联系的“桥梁”，“数”与“形”产生了美妙联系．在此基础上，小组成员对用点的坐标表示两点间距离产生了兴趣．具体探究过程如下： （1）①若，，则两点间距离_______； ②若，，则两点间距离_______； 【分析与解决问题】 小组成员发现，对于平面内任意两点，当不与坐标轴平行时，两点间的距离无法用横坐标或纵坐标的差来表示．为解决此问题，小组又做了以下探究： （2）①若，，则两点间距离______； ②通过（3）的探究，小组发现，可以用构建直角三角形的方法解决任意两点间距离的问题．若平面直角坐标系内任意两点，则两点间的距离______； 【公式应用】 （3）利用以上公式计算：已知点，且，求的值； （4）简单阐述代数式的几何意义，并求其最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025--2026学年下学期桓台县七年级 期中测试数学 本试卷共7页．满分150分．考试时长120分钟． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放《开学第一课》 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 买一张彩票，一定会中奖 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、打开电视机，正在播放《开学第一课》，是随机事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； D、买一张彩票，会中奖，是随机事件，不一定中奖，不符合题意； 故选：C． 2. 下列图形中，由，能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 3. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两直线平行，同旁内角相等 C. 实数与数轴上的点一一对应 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的定义、平行线的性质、实数与数轴的关系、及等式的性质，关键是熟练掌握知识点并进行判断；根据知识点进行判断即可． 【详解】解：∵ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角）， ∴A命题是假命题； ∵ 两直线平行时同旁内角互补， ∴ B命题是假命题； ∵ 实数与数轴上的点一一对应， ∴ C命题是真命题； ∵时， 或 ， ∴ D命题是假命题； 故答案选：C． 4. 用代入法解方程组，使得代入后化简比较容易的变形是（ ） A. 由①得 B. 由①得 C. 由②得 D. 由②得 【答案】D 【解析】 【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易． 【详解】解：观察可知，由②得代入后化简比较容易，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法． 5. 现有一张长方形彩带，将其沿折叠成如图所示图形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质．根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到即可． 【详解】解：如图， ∵长方形彩带， ∴， ∴， ∵折叠， ∴． 6. 端午节是我国四大传统节日之一，吃粽子是端午节的传统习俗，端午节这天小颖的妈妈买了只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：只红豆粽和只红枣粽，这些粽子除了内部馅料不同外其他均相同．小颖从中随意选一个，她选到红豆粽的概率是 故选：B． 【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 7. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两．牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．因为每头牛值金两，每头羊值金两，根据“牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 如图，一个游戏转盘被分成红、黄、蓝三个扇形，其中红、黄扇形的圆心角度数分别为210°，90°，转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出蓝色部分所占整体的几分之几即可． 【详解】解：蓝色部分所在的圆心角的度数为360°-210°-90°=60°， 因此蓝色部分所占整体的=，即转动转盘，停止后指针落在蓝色区域的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率，求出相应部分所占整体的几分之几是解决问题的关键． 9. 某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 10. 甲骑电动车，乙骑自行车从红莲湖公园门口出发沿同一路线匀速游玩，设乙行驶的时间为，甲、乙两人距出发点的路程、关于的函数图象如图1所示，甲、乙两人之间的路程差关于的函数图象如图2所示，甲、乙两人相距时，乙出发时间为（ ） A. 或 B. C. D. 或或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据可以求得甲乙的速度；结合图象可知甲乙相距有两种情况，然后分别计算两种情况下乙出发的时间即可解答本题． 【详解】解：由图可得， 甲的速度为：，乙的速度为：， ∴前，乙行驶的路程为：， 则甲、乙两人路程差为是在甲乙相遇之后， 设乙出发时，甲、乙两人路程差为， ， 解得，， ，得； 即乙出发或时，甲、乙两人路程差为． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题4分，共20分． 11. 若方程是关于，的二元一次方程，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程需含有两个未知数、含未知数的项的次数为1、未知数的系数不为0的条件，列不等式与方程求解即可． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， 根据二元一次方程的定义可得：， 由，解得或， 由，解得， 综上，的值为0． 12. 把命题“等角的余角相等”改写成“如果......那么......”的形式___． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的余角相等 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成，将命题改写为“如果...那么...”的形式时，“如果”后接题设，“那么”后接结论，只需找出原命题的题设与结论即可进行改写. 【详解】解：命题“等角的余角相等”的题设是两个角相等，结论是这两个角的余角相等，因此改写为：如果两个角相等，那么这两个角的余角相等. 13. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据得到的摸到红球的概率建立方程，求解即可得到白球个数． 【详解】解：设口袋中白球的个数为个， ∵摸到红球的频率稳定在附近， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， 故估计口袋中白球有个． 14. 写出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件___． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】观察图象中的两直线交点坐标为，且，的解析式的一次项系数为一正，一负，即可得到满足图象中的条件的一个二元一次方程组． 【详解】解：图象中的两直线交点坐标为，即方程组的解为：，且，的解析式的一次项系数为一正，一负， ∴这一个二元一次方程组可以是 15. 已知关于，的二元一次方程．当时，的负整数值恰好有2个，则的取值范围为___． 【答案】或 【解析】 【分析】先将原方程整理为关于的一次函数，分和两种情况，结合一次函数增减性，根据负整数值恰好为个列不等式组求解即可. 【详解】解：∵， ∴①， 当时，随的增大而增大， 由得：， 解不等式得， 的负整数值恰好有个，可知负整数值为， ， 解得， ②当时，随的增大而减小， 由得， 解不等式得， 的负整数值恰好有个，可知负整数值为， ， 解得， 综上，的取值范围是或. 三、解答题：本大题共8个小题．共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）把原方程组变形为，然后利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解： ①，得③， ②③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为 【小问2详解】 解： 原方程组可化为：， ②，得③， ③①，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， 原方程组的解为：． 17. 本市中考体育项目，排球已经列入考核范围，为了应对广大考生的需求，桓台某文体店打算从某厂采购一批排球．为保证商品质量，该文体店对该厂排球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的排球数 优等品数 抽到优等品的频率 （1）上表中的______，______； （2）根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是______；（精确到） （3）该文体店共需采购大约多少个排球，才能使本次采购中有个优等品？ 【答案】（1）， （2） （3）个 【解析】 【分析】（1）根据频率=频数÷总数，计算即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）根据概率的意义求解即可． 【小问1详解】 解：表中的，； 【小问2详解】 根据上表，在这批排球中任取一个，它为优等品的概率大约是； 【小问3详解】 （个）， 答：该文体店共需采购大约个排球，才能使本次采购中有个优等品． 18. 如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 19. 如图，已知， （1）求证： （2）若平分，于点，，求的度数 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出，即可得出答案． 此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键． 【小问1详解】 证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， （角平分线定义）， （已证）， 又， （垂直定义）， （已证）， （两直线平行，同位角相等）， ． 20. 某一次函数图象表格如下： （1）试求出这个一次函数的解析式； （2）函数的图象与的图像交于点，且分别交轴，轴于、两点，，求方程组的解． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依据题意，结合表格数据可得，求出，后即可得解； （2）先求得，分两种情况讨论，①点在上，②点在的延长线上，分别根据三角形的面积公式求得点的纵坐标，再代入一次函数解析式，求得点的横坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【小问1详解】 解：由题意，根据表格数据可得， 解得： ∴ 【小问2详解】 当时，， ∴，则 当时，， 解得： ∴，则 ∴ 当在线段上时，作轴于，如图， ， ∴ 即 ∴ 当时， 解得： ∴方程组的解为． 当点在的延长线上时，如图 ， ∴ 即 ∴ 当时， 解得： ∴方程组的解为． 综上所述，方程组的解为或 21. 为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如下． （1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？ 【答案】（1）选用A种食品4包，B种食品2包 （2）选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴． 设总热量为，则． ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，w最小． ∴． 答：选用A种食品3包，B种食品4包． 22. 【问题情境】 某数学小组在某套中考模拟题中发现一道涉及平行的题目，如下： 如图，四边形中，．若，，，分别是，，，上的点，且．求证：． 【探究感悟】 小组成员对该题进行了一题多解的探究，请在以下同学的思路基础上完成辅助线的绘制并证明． （1）子皓同学做法如下：连接． （2）馨予同学做法如下：延长并与的延长线交于点． 【深入探究】 正宇同学认为，以上两位同学采用的解题方法本质上相同，即构造一条与两条平行直线相交的直线．他在这个发现的基础上，对以下常见题目进行一题多解的尝试： （3）如图，，，分别是，上的点，证明：．(使用两种构造辅助线的方法) 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）证，，再利用角的和差即可得证； （2）根据平行线的性质证明； （3）法一：延长交于点，得，再利用外角性质求证即可；法二：过作，利用平行线的性质可直接得解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 延长并与的延长线交于点． ， ， ， ， ； 【小问3详解】 方法一：如图，延长交于点， ， ， 是的外角， ， ． 方法二：如图，过作， 则， ，， ， ． 23. 【发现与提出问题】 在学习方程和一次函数之后，某数学小组认识到，一次函数是将二元一次方程与直线建立联系的“桥梁”，“数”与“形”产生了美妙联系．在此基础上，小组成员对用点的坐标表示两点间距离产生了兴趣．具体探究过程如下： （1）①若，，则两点间距离_______； ②若，，则两点间距离_______； 【分析与解决问题】 小组成员发现，对于平面内任意两点，当不与坐标轴平行时，两点间的距离无法用横坐标或纵坐标的差来表示．为解决此问题，小组又做了以下探究： （2）①若，，则两点间距离______； ②通过（3）的探究，小组发现，可以用构建直角三角形的方法解决任意两点间距离的问题．若平面直角坐标系内任意两点，则两点间的距离______； 【公式应用】 （3）利用以上公式计算：已知点，且，求的值； （4）简单阐述代数式的几何意义，并求其最小值． 【答案】（1）①6；②4 （2）①；② （3）或 （4）几何意义为平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和，最小值为 【解析】 【分析】（1）①②根据两点间的距离公式进行计算便可； （2）①②构造直角三角形利用勾股定理求解即可； （3）直接利用公式建立方程求解即可； （4）把看作是平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和，再结合图形求解最小值即可． 【小问1详解】 解：①，，则两点间距离， ②，，则两点间距离. 【小问2详解】 解：①∵，，如图， ∴. ②如图， ∴，， ∴. 【小问3详解】 解：∵点，且， ∴， ∴， ∴或， 解得：或. 【小问4详解】 解：代数式的几何意义为： 平面直角坐标系中动点到定点、的距离之和， 如图， 当在线段上时，，此时最小， 最小值为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $