1.4　线段的垂直平分线 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“线段的垂直平分线”，涵盖性质定理、逆定理及三角形三边垂直平分线交点性质，从三角形证明基础导入，通过“课堂精要”梳理核心内容，构建从定理到应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是“课堂精练”分层设计与“课堂延伸”综合实践结合，如遮阳伞问题、筝形性质探究，培养数学眼光观察现实，通过推理证明发展数学思维，用规范步骤强化数学语言表达，助力学生提升能力，为教师提供系统教学资源。

第一章　三角形的证明及其应用 4 线段的垂直平分线 第一章　三角形的证明及其应用 线段的垂直平分线(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段 　 　　　的距离相等。  2．线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的　 　　　　上。  两个端点　 垂直平分线 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．如图，AC垂直平分BD，垂足为点E，连接AB，AD，BC，CD，下列结论不一定成立的是(　　)。　　　　 　　　　 　　　　 A．AB＝AD B．CA平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC C　 2．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E。如果∠A＝50°，那么∠BDC的度数是(　　)。 A．40° B．50° C．80° D．100° D　 3．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，OD垂直平分AB。若∠OBC＝∠OCB，OC＝4，则点A，O之间的距离为(　　)。 A．2 B．4 C．6 D．8 B　 4．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF。若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为　　　　。  48°　 5．如图，在△ABC中，D是BC上一点，△ACD的周长是12 cm，DE是 线段AB的垂直平分线，AE＝5 cm，则△ABC的周长是　　　　。  22 cm 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝36，分别以A，B为圆心，以大于AB长为半径作弧，过弧的交点作直线，分别交AB，AC于点D，E。若EC＝10，则△ABE的面积为　　　　。  　312 7．如图，在四边形ABDC中，∠A＝130°，点D 在AB，AC的垂直平分线上，则∠BDC等于　　　　。  100°　 强化提高 8．如图，在△ABC中，点D在BC上，且BD的垂直平分线与AB相交于点E，CD的垂直平分线与AC相交于点F，已知△ABC的三个内角都不相等，根据图中标示的角，下列叙述正确的是(　　)。 A．∠1＝∠3，∠2＝∠4 B．∠1＝∠3，∠2≠∠4 C．∠1≠∠3，∠2＝∠4 D．∠1≠∠3，∠2≠∠4 C　 9．我们称两组邻边分别相等的四边形为“筝形”。如图，在四边形 ABCD中，AB＝AD，BC＝CD，AC与BD相交于点O，给出下列结论： ①AC⊥BD；②AC，BD互相平分；③CA平分∠BCD；④∠ABC＝∠ADC＝90°；⑤“筝形”ABCD的面积为AC·BD。其中正确的有 　　　　　。(填序号)  ①③⑤ 10． 【数学应用】如图①所示的遮阳伞的伞柄垂直于地面，其示意图如图②。当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开。已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN。 (1)求证：PC垂直平分MN； 证明：∵PM＝PN， ∴点P在线段MN的垂直平分线上。 ∵CM＝CN， ∴点C在线段MN的垂直平分线上， ∴PC垂直平分MN。 (2)若CN＝PN＝60 cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值。 解：∵CN＝PN＝60 cm， 当伞收紧时，点P与点A重合， ∴AC＝CN＋PN＝120 cm。 当∠CPN＝60°时， ∵CN＝PN， ∴△CPN是等边三角形， ∴PC＝PN＝60 cm， ∴AP＝AC－PC＝60 cm。 解：(1)∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B。 同理可得，∠CAN＝∠C。 ∴∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN＝∠BAC－(∠B＋∠C)。 在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝180°－100°＝80°， ∴∠EAN＝∠BAC－(∠B＋∠C)＝100°－80°＝20°。 课堂延伸·提升素养 11． 【综合与实践】在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N，连接AE，AN。 (1)如图①，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度数； 图①　　 　　　　图② (2)如图②，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度数； 图①　　 　　　　图② (2)∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B。 同理可得，∠CAN＝∠C。 ∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝∠B＋∠C－∠BAC。 在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°， ∴∠EAN＝∠B＋∠C－∠BAC＝110°－70°＝40°。 (3)若∠BAC＝α(α≠90°)，请直接写出∠EAN的度数。(用含α的代数式表示) (3)当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°－2α； 当90°＜α＜180°时，∠EAN＝2α－180°。 第一章　三角形的证明及其应用 线段的垂直平分线(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到　　　　　的距离相等。  三个顶点 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　 A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边垂直平分线的交点 D　 2．如图，以C为圆心，以大于点C到AB的距离为半径作弧，交AB于点D，E，再以点D，E为圆心，以大于DE为半径作弧，两弧交于点F，作射线CF，则(　　)。 A．CF平分∠ACB B．CF⊥AB C．CF平分AB D．CF垂直平分AB B　 3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，要求用尺规作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形，下列作法错误的是 (　　)。 A B C D C　 4．如图，线段AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点P恰好在AC上，且AC＝12 cm，则点B到点P的距离为　　　　。    5．△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC。若∠BPC＝140°，则∠A的度数为　　 　　。  6 cm　 70°或110° 6．在△ABC中，∠A＝60°，请用尺规在边AB上找一点D，使得∠ACD＝30°。(不写作法，保留作图痕迹) 解：如图，点D为所求。 强化提高 7．如图，已知线段a，h，作等腰三角形ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h。张红的作法是：①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；③在直线MN上截取线段h；④连接AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形。上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是(　　)。 A．① B．② C．③ D．④ C　 8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC。分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF。以点A为圆心，以AF的长为半径画弧，交BC的延长线于点G，连接AG。若△AFG的周长为12，则BC的长为(　　)。 A．6 B． C．7 D． A 9． 【综合与实践】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在线段BC上找一点D(与B，C不重合)，使得△ABD和△ACD均为等腰三角形。 (1)一名同学的作法如下：如图①，以点B为圆心，以点BA的长为半径画弧，与BC交于点D，连接AD。请根据这种作法说明△ABD和△ACD均为等腰三角形。 解：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝108°， ∴∠B＝∠C＝36°。 由作图得AB＝BD， ∴∠BAD＝∠ADB＝72°， ∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝36°， ∴∠DAC＝∠C， ∴AD＝CD， ∴△ABD和△ACD均为等腰三角形。 (2)尺规作图：请在图②中用另外一种方法找出点D。(要求：保留作图痕迹，不写作法) (2)如图，点D为所求。 课堂延伸·提升素养 10． 【综合与实践】通过对下面数学模型的研究学习，解决问题。 【模型理解】 (1)如图①，△ABC，△ADE共顶点A，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE。可以通过推理得到△ABD≌△ACE，进而得到BD＝　　　，∠ABD＝　　　。  CE　 ∠ACE 【问题研究】 (2)小明在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题。 如图②，已知直线a，b及点P，a与b不平行。作等腰直角三角形PAB，使得点A，B分别在直线a，b上。 小明的作法简述如下：如图③，过点P作PD⊥a，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形PDE，过点E作EB⊥PE，交b于点B，在a上截取DA＝BE，连接AB，AP，BP。△PAB为所要求作的等腰直角三角形。 请证明小明的作法是正确的。 (2)证明：∵△PDE是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PE＝PD，∠DPE＝90°。 ∵EB⊥PE，PD⊥a， ∴∠PEB＝∠PDA＝90°。 在△PEB和△PDA中， ∴△PEB≌△PDA， ∴PB＝PA，∠BPE＝∠APD， ∴∠APB＝∠APE＋∠BPE＝∠APE＋∠APD＝∠DPE＝90°， ∴△PAB为所要求作的等腰直角三角形。 【深入研究】 小明经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边三角形PAB，使得点A，B分别在直线a，b上。 (3)请你在图④中画出示意图，并简述作法。(要求用尺规作图) 解：如图，△PAB就是所要求作的等边三角形。 作法：①作PF⊥a于点F； ②以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG； ③以FG为边在FG上方作等边三角形 FGH； ④连接PH交直线a于点I； ⑤连接并延长IG交直线b于点B； ⑥在射线FI上取一点A，连接PB，PA，使PA＝PB； ⑦连接AB。 △PAB就是所要求作的等边三角形。 谢谢观看! $