1.5　角平分线 第2课时 三角形三个内角的平分线 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

5　角平分线 第2课时 三角形三个内角的平分线 基础　主干落实 重点　典例研析 素养　思维提升 课时目标 1.了解三角形的三条角平分线相交于一点,这个点到三条边的距离相等的性质.(几何直观、推理能力) 2.灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决相关问题.(推理能力) 基础　主干落实 新知要点 三角形三条内角平分线的性质 文字语言 三角形的三条角平分线相交于__________,并且这一点到________　的距离相等.  图形语言 符号语言 ∵AD,BE,CF分别平分∠BAC,∠ABC,∠BCA且交于点P, PM⊥BC,PN⊥AC,PQ⊥AB, ∴________________ 　一点　 　三条边 　PM=PN=PQ　  对点小练 1.到三角形三条边距离相等的点是此三角形( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边中垂线的交点 2.在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,如果点O到BC边的距离为5,则点O到AB边的距离为_______.  A 　5　 3.如图所示,点O是△ABC内一点,BO平分∠ABC,OD⊥BC于点D,连接OA,若OD=5, AB=20,则△AOB的面积是________.  　50　 重点　典例研析 重点1　三角形角平分线的性质(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P38例3拓展)如图,在△ABC中,∠CAB=60°,∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P,连接CP. (1)求证:CP平分∠ACB; (2)若AP=4,△ABC的周长为20,求△ABC的面积. 【自主解答】 (1)过点P作PD⊥AB于D,作PE⊥BC于E,作PF⊥AC于F, 则PD,PE,PF分别是P到AB,BC,CA的距离, ∵P是∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP的交点, ∴PD=PE=PF,∴CP平分∠ACB. (2)∵∠CAB=60°,∴∠PAB=30°, 在Rt△PAD中,PA=4, ∴PD=2,∴S△ABC=S△APB+S△BPC+S△CPA =AB·PD+BC·PE+CA·PF =(AB+BC+CA)·PD=×20×2=20. 举一反三 1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD,CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,且相交于点F, 则下列说法错误的是( ) A.BF=CF B.点F到∠BAC两边的距离相等 C.CE=BD D.点F到A,B,C三点的距离相等 D 2.如图,O是△ABC内一点,且O到△ABC三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且 OF=OD=OE,若∠BAC=66°,则∠BOC=( ) A.120° B.130° C.123° D.125° C 技法点拨 三角形的三条角平分线交点的性质 图示 条件 结论 BE,CF分别平分∠ABC, ∠ACB且交于点P ∠BPC=90°+∠A AP,BP,CP分别平分∠BAC, ∠ABC,∠ACB且交于点P S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC; S△ABC=C△ABC·PM 重点2　三角形角平分线的应用(推理能力) 【典例2】如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两条直角边分别为6 m和8 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中心O为点)是_________.  　6 m　 举一反三 1.甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题,则正确的作图是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 问题:某旅游景区内有一块三角形绿地ABC,如图所示,现要 在道路AB边上建一个休息点M,使它到AC和BC两边的距离 相等,在图中确定休息点M的位置 C 2.将一张面积为45 cm2的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠,如图1,使点B落 在AC边上的点B'处,折痕所在的直线为l1,如图2,使点A落在BC边上的点A'处,折痕 所在的直线为l2,l1与l2相交于点O.经测量得知,纸板的三边AB,AC,BC的长分别为 10 cm,15 cm,20 cm,则点O到AC的距离为_______cm.  　2　 素养　思维提升 趣味数学 角平分线的作法探究 如图是课本中角平分线的作法.我们可以在此基础上继续深入探究“角平分线的作法”. 探究1:尝试只用三角尺画∠AOB的平分线.你能找出几种方法? 探究2:使用无刻度的直尺和圆规作∠AOB的平分线,最多作两次圆弧,连线次数不限(保留作图痕迹,不写作法). 探究3:如果只用刻度尺,你有办法作出角平分线吗? 【解析】探究1:在OA,OB上分别取点E,F,使OE=OF,方法①:如图1,分别过点E,F作OB,OA的垂线,垂足分别为点N,M,这两条垂线相交于点C,作射线OC即为∠AOB的平分线. 方法②:如图2,分别过点E,F作OA,OB的垂线,相交于点C,作射线OC即为∠AOB的平分线. 探究2:如图3,在OA上取J,G,以O为圆心,OJ,OG为半径分别画弧,交OB于K,L,连接KG,JL,交于点C,作射线OC即为∠AOB的平分线. 探究3:如图4,将直尺一边与OB重合,利用对边画OB的平行线,交OA于点P;在平行线上取一点H,使PH=PO;作射线OH即为∠AOB的平分线. 本课结束 $