1.4 线段的垂直平分线 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4 线段的垂直平分线 第1课时　线段垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______． 几何语言：如图， ∵CD是AB的垂直平分线， ∴_________． 相等 AC＝BC 1.如图，CD是AB的垂直平分线，垂足为D. (1)AD＝______，∠ADC＝____°， AC＝______；  (2)若AD＝3，AC＝5，则△ABC的周长为_____． BD 90 BC 16 证明：∵E，F是线段CD的垂直平分线AB上的两点， ∴EC＝ED，FC＝FD. ∴∠ECD＝∠EDC，∠FCD＝∠FDC. ∴∠ECD＋∠FCD＝∠EDC＋∠FDC， 即∠ECF＝∠EDF. 2. (新教材P34T2)如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点． 求证：∠ECF＝∠EDF. 3.如图，AD是BC的垂直平分线，M是AD上一点．求证：∠ABM＝∠ACM. 证明：∵M是线段BC垂直平分线AD上的一点， ∴AB＝AC，MB＝MC. ∴∠ABC＝∠ACB， ∠MBC＝∠MCB. ∴∠ABC－∠MBC＝∠ACB－∠MCB, 即∠ABM=∠ACM 4. (新教材P38T5)如图，在△ABC中，AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长． 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB. ∵△BCE的周长等于50， ∴BC＋CE＋EB＝50. ∴BC＋CE＋EA＝BC＋AC＝50. ∵AC＝27， ∴BC＝50－27＝23. 解：∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE. ∴△BCE的周长＝BE＋EC＋BC ＝AE＋EC＋BC ＝AC＋BC＝8. 又∵AC－BC＝2，∴AC＝5，BC＝3. ∵AB＝AC，∴AB＝5. 5.(新教材P53T21)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E.已知△BCE的周长为8，AC－BC＝2，求AB与BC的长． 到线段两个端点的距离相等的点在______________________． 几何语言：如图， ∵____________， ∴点P在AB的垂直平分线上． 线段的垂直平分线上 PA＝PB 6.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是 ( ) A. AO＝BO B．PO⊥AB C．PO是AB的垂直平分线 D．点P在AB的垂直平分线上 D 证明：∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上． ∵OB＝OC， ∴点O在线段BC的垂直平分线上． ∴AO就是线段BC的垂直平分线， 即直线AO垂直平分线段BC. 7. (新教材P33例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. ∴△ABM≌△ABN(ASA). ∴AM＝AN，BM＝BN. ∴点A，B都落在MN的垂直平分线上． ∴AB垂直平分MN. 8.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求证：AB垂直平分MN. 证明：在△ABM和△ABN中， 9.如图，AB＝AD，则添加一个条件：________，即可得到AC是BD的垂直平分线． CB＝CD 10.(2025·佛山期中)如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，AB＝6.若△ACE的周长为9，则AC＝_____． 3 11.(2025·深圳期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE. (1)若∠C＝30°，求∠BAD的度数； 解：(1)∵EF垂直平分AC， ∴AE＝CE. ∴∠C＝∠EAC＝30°. ∴∠AEB＝∠C＋∠EAC＝60°. ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AB＝AE.∴∠B＝∠BEA＝60°. ∴∠BAD＝90°－60°＝30°. (2)若AC＝10，DC＝8，求△ABC的周长． 解：(2)由(1)可知，AE＝EC＝AB. 又∵BD＝DE，∴AB＋BD＝CE＋DE＝DC. ∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC ＝2DC＋AC ＝2×8＋10＝26. 12.(新教材P38T4改编)(2025·佛山期中)如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E；MN垂直平分AC，分别交AC，BC于点M，N. (1)如图1，若∠B＝32°，∠C＝36°，则∠BAC＝____°，∠EAN＝____°； (2)如图2，若∠BAC＝78°，求∠EAN的度数； 112 44 解：(2)∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB. ∴∠B＝∠EAB. 同理可得∠C＝∠CAN. ∴∠EAB＋∠CAN＝∠B＋∠C＝180°－∠BAC. ∴∠EAN＝∠EAB＋∠CAN－∠BAC ＝180°－2∠BAC ＝180°－2×78° ＝24°. 解：(3)当90°≤∠BAC<180°时， ∠EAN＝180°－2(∠B＋∠C)； 当0°<∠BAC<90°时， ∠EAN＝2(∠B＋∠C)－180°. (3)通过以上的探索过程，直接写出∠EAN与∠B，∠C的关系． 第2课时　三角形三边垂直平分线的性质 1．填空： 几何语言：如图， ∵CD是AB的垂直平分线， ∴______________． 2．填空： 几何语言：如图， ∵AP＝BP， ∴点P在________________上． AC＝BC AB的垂直平分线　 (1)证明：∵P是AB，BC的垂直平分线的交点， ∴PA＝PB，PB＝PC. ∴PA＝PB＝PC. (2)解：点P在边AC的垂直平分线上． 理由如下：由(1)得PA＝PC， ∴点P在边AC的垂直平分线上． 3. (新教材P36例2改编)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P. (1)求证：PA＝PB＝PC. (2)点P在边AC的垂直平分线上吗？请说明理由． 4.(新教材P38T7改编)如图，在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A，B，C的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子(用点P表示)应放在哪个位置？请用尺规作图找出点P. 解：如图，凳子应放在AB，BC垂直平分线的交点处．点P即为所求． 5. (新教材P50T10)如图，已知线段a，用尺规作底边等于a、高等于2a的等腰三角形． 解：如答图，△ABC即为所求． 6.(新教材P37习题T1)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°. (1)用尺规作线段AB的垂直平分线，分别交AB和BC于点E，F； 解：(2)如图，∵AB＝AC，∠BAC＝120°， (2)在上述图中连接AF，求∠AFC的度数． 解：(1)如图，EF即为所求． ∵EF是AB的垂直平分线，∴FA＝FB. ∴∠FAB＝∠B＝30°.∴∠AFC＝∠B＋∠FAB＝60°. ∴∠B＝∠C＝ ＝30°. 7. 如图，已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P. 解：如图，直线PQ即为所求． 8.(新教材P34思考·交流)如图，已知直线l与直线l外一点P，过点P作出直线l的垂线． 解：如图，直线PQ即为所求． 9.下列尺规作图中，点P到三角形三个顶点的距离相等的 是 ( ) C 10.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点．若∠OAB＝30°，∠OBC＝20°，则∠OCA的度数为_______． 40° 11.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于点D，E，求CD的长． 解：设CD＝x. ∵DE垂直平分AC，∴DC＝DA＝x. ∴DB＝AB－AD＝4－x. 在Rt△DBC中，∠B＝90°， ∴DB2＋BC2＝DC2，即(4－x)2＋32＝x2， 解得x＝ .∴CD＝ . 12.(新教材P38T4改编)如图，在△ABC中，MP和NQ分别垂直平分AB和AC. (1)若BC＝15，求△APQ的周长； 解：(1)∵MP和NQ分别垂直平分AB，AC， ∴AP＝BP，AQ＝CQ. ∴△APQ的周长 ＝AP＋AQ＋PQ＝BP＋CQ＋PQ＝BC＝15. (2)若∠BAC ＝105°，求∠PAQ的度数． 解：(2)∵∠B＋∠BAC＋∠C＝180°，∠BAC＝105°， ∴∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝75°. 由(1)得AP＝BP，AQ＝CQ， ∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C. ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝75°. ∴∠PAQ＝∠BAC－(∠BAP＋∠CAQ)＝30°. $