1.2　等腰三角形 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦等腰三角形，系统梳理其性质（等边对等角、三线合一、轴对称）、判定（等角对等边）及等边三角形相关知识，通过折叠纸片直观导入，结合动手操作与逻辑推理，构建从性质到判定的学习支架。 其亮点在于融入数学文化（如“三等分角仪”证明）、生活应用（电线杆固定问题）及综合实践活动，以几何直观发展数学眼光，通过规范推理培养数学思维，分层练习提升应用意识。学生能深化理解，教师可高效开展教学，助力核心素养培养。

第一章　三角形的证明及其应用 2 等腰三角形 第一章　三角形的证明及其应用 等腰三角形(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．如图1－5－1，把等腰三角形纸片ABC沿底边上的高AD所在的直线对折后，我们会发现： (1)等腰三角形的两个底角相等，这一定理可以简述为　　　　　　　。  (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高　　　　。  (3)等腰三角形是一个　　　　　图形，它有　　　条对称轴，是 　　　　　 　　。  图1－5－1 等边对等角 重合 轴对称　 1　 底边的垂直平分线(表述正确即可) 2．______________三角形是特殊的等腰三角形(如图1－5－2)。其特殊性主要体现在：   图1－5－2 (1)等边三角形的三个内角都　　　，并且每个角都等于　　　　；  (2)等边三角形有　　　　条对称轴，它们是　　 　　　_ 　 　 。  等边　 相等　 60° 3　 三边的垂直平分线 (表述正确即可) 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．在△ABC中，AC＝BC，如果∠A＝50°，那么∠C的度数为(　　)。 　　　　 　　　　 　　　　 A．40° B．50° C．65° D．80° 2．等腰三角形的两边长分别为13 cm，6 cm，那么第三边长为(　　)。 A．7 cm B．13 cm C．6 cm D．6 cm或13 cm D　 B　 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝106°，则∠BAD的度数为(　　)。 A．37° B．45° C．53° D．60° 4．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为(　　)。 A．80° B．60° C．75° D．45° C　 C　 5．如图，等边三角形ABC的周长是18，AD是∠BAC的平分线，则 BD＝　　　　。  3 6．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7 cm，∠B＝50°，AD⊥BC于点D，点E在AC上且AE＝AD。 (1)若△ABC的周长是23 cm，求线段BD的长； 解：(1)∵AB＝AC＝7 cm，AD⊥BC， ∴BD＝CD＝BC。 ∵△ABC的周长是23 cm， ∴BC＝23－AB－AC＝9 cm， ∴BD＝BC＝4.5 cm， ∴线段BD的长为4.5 cm。 (2)求∠CDE的度数。 (2)∵AB＝AC，∠B＝50°， ∴∠C＝∠B＝50°。 ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝90°－∠C＝40°。 ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝＝70°， ∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝90°－70°＝20°， 即∠CDE的度数为20°。 强化提高 7． 【数学应用】如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一条直线上时，电线杆DE就垂直于BC。工程人员这种操作方法的依据是_____________ _______________________________________。  等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合 8．如图，AB＝AC，AD是△ABC的中线，点E，F是中线AD上的两点。若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为　　　　。  5　 9．如图，△ABC为等边三角形，点E在AB上，点F在AC上，AE＝CF，CE与BF相交于点P，则∠EPB的度数为　　　　。  60° 10．如图，点D，E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC， 求证：BD＝EC。 证明：如图，作AF⊥BC于点F。 ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴BF＝CF，DF＝EF， ∴BF－DF＝CF－EF， ∴BD＝EC。 课堂延伸·提升素养 11． 【数学文化】“三等分任意角”是古希腊三大几何难题之一。数学上已经证明，仅用圆规、直尺三等分任意角是不可能的。使用量角器的方法简单易行，但准确性太差。如图①所示的“三等分角仪”可以将任意一个角分成三等份。这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C是棒PA上的一个固定点，点A，O可分别在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持OA＝OC＝PC。∠AOB为要三等分的任意角，则利用“三等分角仪”可以得到∠APB＝∠AOB。我们把“三等分角仪”抽象成如图②所示的图形，请完成下面的证明。 已知：如图②，点O，C分别在∠APB的边PB， PA上，且OA＝OC＝PC。 求证：∠APB＝∠AOB。 图① 图② 证明：如图，∵OC＝PC， ∴∠P＝∠1。  ∵∠2＝∠P＋∠1， ∴∠2＝2∠P。 ∵OA＝OC， ∴∠2＝∠3， ∴∠3＝2∠P。 ∵∠AOB＝∠P＋∠3， ∴∠AOB＝3∠P， 即∠APB＝∠AOB。 第一章　三角形的证明及其应用 等腰三角形(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．等腰三角形的判定定理是　 ，  简述为：　 　　　　　。  2．用反证法证明的一般步骤： (1)假设　　　　　　　　　；  (2)从这个假设出发，应用正确的推理方法，得出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相　　　的结果；  (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而证明命题的结论一定　　　　。  有两个角相等的三角形是等腰三角形　 等角对等边 命题的结论不成立 矛盾 成立 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．在△ABC中，∠A＝∠B，则(　　)。　　　　 　　　　 　　　　 A．AB＝AC B．BA＝BC C．CA＝CB D．不能确定 2．如图，等腰三角形有(　　)。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 C　 D　 3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于 (　　)。 A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm 4．用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B的对边分别是a，b， 若∠A＜∠B，则a＜b”，第一步应假设(　　)。 A．a＞b B．a＝b C．a≤b D．a≥b A　 D 5．如图，上午9时，一艘船从海岛A出发，以20 n mile/h的速度向正北方向航行，11时到达海岛B处，分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝34°，∠NBC＝68°，则海岛B到灯塔C的距离为　　 　　。  40 n mile 证明：∵BD，CE分别是边AC，AB上的高， ∴∠BDC＝∠CEB＝90°。 在△BDC和△CEB中， ∠BDC＝∠CEB＝90°，∠DBC＝∠ECB，BC＝CB， ∴△BDC≌△CEB(AAS)， ∴∠BCD＝∠CBE，即∠BCA＝∠CBA， ∴△ABC为等腰三角形。 6．如图，在△ABC中，已知BD，CE分别是边AC，AB上的高，且∠DBC＝∠ECB，求证：△ABC是等腰三角形。 强化提高 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，将△ADE沿直线DE折叠，点A恰好与点C重合，则∠BCD等于(　　)。 A．80° B．75° C．65° D．45° 8．在△ABC中，∠A＝50°，当∠B＝　　　 　时，△ABC为等腰三角形。  D　 50°或65°或80°　 9．如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝9 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。当AQ的长度是　　　　时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形。  6 cm 10．在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A。 (1)如图①，证明CD＝CB。 图① (1)证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB。 ∵∠BDC是△ADC的一个外角， ∴∠BDC＝∠A＋∠ACD。 ∵∠ACB＝∠BCD＋∠ACD，∠BCD＝∠A， ∴∠BDC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠BDC。 ∴CD＝CB。 (2)如图②，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F。 ①证明∠BCD＝2∠CBE； ②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数。 图② 备用图 ①证明：∵BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠ACB＝90°。 设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°－α， ∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α， ∴∠BCD＝180°－∠BDC－∠ABC＝180°－(90°－α)－(90°－α)＝2α， ∴∠BCD＝2∠CBE。 ②解：设∠CBE＝α，则∠BCD＝2α， ∵∠BFD是△CBF的一个外角， ∴∠BFD＝∠CBE＋∠BCD＝α＋2α＝3α。 分三种情况： 当BD＝BF时，∠BDC＝∠BFD＝3α。 ∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°－α， ∴90°－α＝3α，∴α＝22.5°。∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°。 当DB＝DF时，∠DBE＝∠BFD＝3α。 ∵∠DBE＝∠ABC－∠CBE＝90°－α－α＝90°－2α， ∴90°－2α＝3α，∴α＝18°，∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°。 当FB＝FD时，∠DBE＝∠BDF。 ∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB＝FD。 综上所述，如果△BDF是等腰三角形，那么∠A的度数为45°或36°。 课堂延伸·提升素养 11． 【综合与实践】在综合实践课上，老师以含30°角的三角尺和等腰三角形纸片为模具与同学们开展如下数学活动： 在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，将一个含30°角的足够大的三角尺PMN(∠M＝90°，∠MPN＝30°)按如图所示的方式放置，顶点P在线段AB上滑动(点P不与点A，B重合)，三角尺的直角边PM始终经过点C，且与CB的夹角为α(∠PCB＝α)，斜边PN交AC于点D。 【特例感知】 (1)当∠BPC＝110°时，α＝　　　　；当点P从 点B向点A运动时，∠ADP逐渐变　　　　(填 “大”或“小”)。  40° 　小 解析：∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠B＝30°， ∴α＝180°－110°－30°＝40°。 【思维拓展】 (2)在点P滑动的过程中，△PCD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出夹角α的大小；若不可以，请说明理由。 解：可以。 由题意知，△PCD是等腰三角形， ∠PCD＝120°－α，∠CPD＝30°。 ①当PC＝PD时，∠PCD＝∠PDC＝(180°－30°)＝75°， 即120°－α＝75°， ∴α＝45°。 ②当PD＝CD时，∠PCD＝∠CPD＝30°，即120°－α＝30°， ∴α＝90°。 ③当PC＝CD时，∠CDP＝∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝180°－2×30°＝120°， 即120°－α＝120°， ∴α＝0°。 此时点P与点B重合，点D和点A重合。 ∵点P不与A，B重合， ∴α＝0°舍去。 综上所述，当△PCD是等腰三角形时，α＝45°或α＝90°。 第一章　三角形的证明及其应用 等腰三角形(第3课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 2．等边三角形的判定定理： (1)三个角都　　　　的三角形是等边三角形。 (2)有一个角等于　　　　的　　　　三角形是等边三角形。 3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的　　　　。 课堂精要·梳理内容 1．如图1－7－1，将两个完全相同的含有30°角的三角尺拼接在一起，则拼接后的△ABD的形状是　　　 　。 图1－7－1 等边三角形 相等　 60°　 等腰 一半 基础巩固 1．在△ABC中，∠A＝60°，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC为等边三角形的是(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　 A．AB＝AC B．∠A＝∠B C．AD⊥BC(D为垂足) D．∠B＝∠C 2．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝5，BD＝3，则△ADE的周长为(　　)。  A．2 B．6 C．9 D．15 课堂精练·发展能力 C　 B　 3．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN。若MN＝2，则OM等于(　　)。 A．3 B．4 C．5 D．6 C 4．如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当长为半径画一条弧交两直角边于A，B两点，若再以点A为圆心，以OA长为半径画弧，与弧AB交于点C，连接OC，AC，则△AOC的形状为　　　 　　　。  等边三角形　 5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作。小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可。如图①，衣架杆OA＝OB＝18 cm，若收拢衣架时，∠AOB＝60°，如图②，则此时A，B两点之间的距离是　　　　。  　图①　　　　　 图②　　 6．在边长为6 cm的等边三角形中，其一边上的高为　　　　。  18 cm　 3 cm 证明：∵AB＝AC＝BC， ∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴∠EAF＝∠EBD＝120°。 ∵BE＝CD，∴BE＋AB＝CD＋BC，即AE＝BD。 在△AEF和△BDE中， ∴△AEF≌△BDE(SAS)，∴EF＝ED， 同理可得△AEF≌△CFD，∴EF＝FD，∴EF＝ED＝FD， ∴△DEF为等边三角形。 7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC，点D，E，F分别在BC，AB，CA边的延长线上，BE＝AF＝CD。求证：△DEF是等边三角形。 强化提高 8．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内的两点，AE是∠BAC的平分线，∠D＝∠DBC＝60°，点F在BC上，点E在DF上。若BD＝7 cm，DE＝3 cm，则线段BC的长为(　　)。　　　　 　　　　 　　　　 A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm C　 9．如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ。有以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④△CPQ为等边三角形；⑤∠AOB＝60°。其中正确的有 　　 　　　。(填序号)  ①②③④⑤ 10． 【数学应用】如图①所示的是某超市入口的双翼闸门。如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm，双翼边缘AC＝BD＝54 cm，且与闸机侧立面的夹角∠PCA＝∠QDB＝30°。求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度。 图① 图② 解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，则在Rt△ACE中，AE＝AC＝×54＝27(cm)。 同理可得BF＝27 cm。   又∵点A与点B之间的距离为10 cm， ∴通过闸机的物体的最大宽度为27＋10＋27＝64(cm)， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为64 cm。 课堂延伸·提升素养 11． 【项目式学习】已知在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC。 【特殊情况，探索结论】 (1)如图①，当点E为AB的中点时，探索线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE　　　　DB。(填“＞”“＜”或“＝”)  ＝ 【特例启发，解答题目】 (2)如图②，当点E为AB边上任意一点时，探索线段AE与DB的大小关系，请你写出结论：AE　　　　DB。(填“＞”“＜”或“＝”)理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F。(请你完成以下解答过程)  ＝ 解：　理由如下： 如题图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F。 ∵△ABC为等边三角形， ∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∴BE＝CF。 ∵ED＝EC， ∴∠D＝∠ECD。 ∵∠DEB＝60°－∠D，∠ECF＝60°－∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF。 在△DBE和△EFC中， ∴△DBE≌△EFC(SAS)，∴DB＝EF， ∴AE＝DB。 【拓展结论，设计新题】 (3)在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC。若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长。(请你画出相应图形，并直接写出结果) 解：由题易知，点E在AB延长线上或在BA延长线上。 ①点E在AB的延长线上时，过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图①所示。 同理可得：△DBE≌△EFC，△AEF是等边三角形， ∴DB＝EF＝AE＝2。 又BC＝1，∴CD＝BC＋DB＝3。 图① ②点E在BA的延长线上时，如图②所示。 设∠ECA＝x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ECB＝60°＋x，∠DBE＝120°。 ∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠ECB＝60°＋x。 ∵∠EDC＋∠DBE＝60°＋x＋120°＝180°＋x>180°，这与三角形内角和为180°矛盾， ∴点E在BA延长线上不符合题意，舍去。 综上所述，CD＝3。 图② 放映结束，谢谢观看! $