1.3　直角三角形 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.3　直角三角形 第1课时　直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角______． 判定：有两个角_____的三角形是直角三角形． 互余 互余 1.下列各图中，∠1与∠2互为余角的是 ( ) B 2. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是 ( ) A．120°     B．90°     C．60°     D．30° D 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AB，AC上，∠B＝∠1.求证：△ADE是直角三角形．  证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠B＝∠1， ∴∠A＋∠1＝90°. ∴△ADE是直角三角形． 4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD交AB于点D，∠1＝∠A.求证：CD⊥AB. 证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵∠1＝∠A， ∴∠1＋∠B＝90°. ∴△CDB是直角三角形，∠CDB＝90°. ∴CD⊥AB. 性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于_______________．　 判定：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是_______三角形． 斜边的平方 直角 5.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为 ( ) 　A．5 B． C． D．5或 D 6. (2025·罗湖区模拟)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是 ( ) A．4，5，6　　　　　 B．1， ， C． ， ，     D．5，12，14 B 7. (新教材P26T1)如图，在△ABC中，∠A＝∠B＝45°，BC＝3，求AB的长． 解：∵∠A＝∠B＝45°，BC＝3， ∴∠C＝90°，AC＝BC＝3. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝ ＝3. 8.(新教材P27T2)在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝10 cm，边BC上的中线AD＝12 cm.求证：AB＝AC. 证明：∵AD是边BC上的中线， 在△ABD中，AB＝13 cm，AD＝12 cm，BD＝5 cm， ∴AB2＝AD2＋BD2. ∴△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°.∴AD⊥BC. 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 ∴AB＝AC. ∴CD＝BD＝ BC＝ ×10＝5(cm). AC＝ ＝13(cm). 9.(新教材P27T3)说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假． (1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab＝0，那么a＝0，b＝0. 解：原命题假．逆命题：如果a＝0，b＝0，那么ab＝0 (真). 解：原命题真．逆命题：同旁内角互补，两直线平行(真). 解：原命题真．逆命题：多边形是四边形(假). 10.下列说法中，正确的是 ( ) A．真命题的逆命题是真命题 B．任何一个定理一定有逆定理 C．若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D．任何一个命题一定有逆命题 D 11.(2025·东莞期中)已知a，b，c分别为△ABC的三条边，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 ( ) A．∠A : ∠B : ∠C＝3 : 4 : 5 B．c2－a2＝b2 C．∠C－∠B＝∠A D．a : b : c＝5 : 12 : 13 A 12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3，则BC的长为 _____． 3 13.(1)下列命题的逆命题不正确的是 ( ) A．如果ab>0，那么a，b都是负数 B．两直线平行，内错角相等 C．等腰三角形的两个底角相等 D．全等三角形的对应角相等 (2)如图，等边三角形ABC的边长 为4，AD⊥BC，垂足为D，则 △ABC的面积为_____． D 4 14.(新教材P31T1)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，且∠BAE＝25°，∠CDE＝65°，AE＝2，DE＝3，求AD的长． 解：如图，过点E作EF∥AB，交AD于点F. ∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD. ∴∠BAE＝∠AEF＝ 25°， ∠DEF＝∠CDE＝65°. ∴∠AED＝∠AEF＋∠DEF＝ 90°. ∴△ADE是直角三角形． ∵AE＝2，DE＝3，∴AD＝ . 解：∵BD2＋AD2＝62＋82＝100，AB2＝102＝100， ∴BD2＋AD2＝AB2. ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°. 设CA＝CB＝x，则CD＝x－6. 在Rt△ADC中，CD2＋AD2＝AC2，∴(x－6)2＋82＝x2， 15.如图，在△ABC中，CA＝CB，D是BC上的一点， AB＝10，BD＝6，AD＝8.求△ABC的面积． 解得x＝ ，即BC＝ . ∴S△ABC＝ BC·AD＝ × ×8＝ . 第2课时　直角三角形全等的判定 (1)三角形全等的判定方法： ①_________，②________，③_________， ④_________． (2)全等三角形的性质： 全等三角形的对应边_____，对应角_____． SSS SAS ASA AAS 相等 相等 _________________分别相等的两个直角三角形全等(HL). 几何语言：如图， ∵_____________， 　___________________， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(_____). ∠C＝∠F＝90° AB＝DE，BC＝EF 斜边和一条直角边 HL 1. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC＝AD. 求证：BC＝BD. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL). ∴BC＝BD. 2.(新教材P31T3改编)如图，D是△ABC中边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，且BF＝CE.求证：∠B＝∠C. 证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，D为BC的中点， ∴∠BFD＝∠CED＝90°，BD＝CD. 在Rt△BFD和Rt△CED中， ∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL). ∴∠B＝∠C. 3. (新教材P31T4)如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE＝BF.求证： (1)AE＝CF； 证明：(1)∵DE⊥AC，BF⊥AC. ∴∠CED＝∠AFB＝90°. 在Rt△CDE和Rt△ABF中， (2)AB∥CD. 证明：(2)由(1)得Rt△CDE≌Rt△ABF， ∴∠A＝∠C.∴AB∥CD. ∴Rt△CDE≌Rt△ABF(HL).∴AF＝CE. ∵AF＝AE＋EF，CE＝CF＋EF，∴AE＝CF. 4.(2025·清远期中)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AC上一点，BE交AD于点F，且BF＝AC，FD＝CD，AD＝1. (1)求证：△BDF≌△ADC； (1)证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 在Rt△BDF和Rt△ADC中， ∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL). (2)解：由(1)可知，△BDF≌△ADC， ∴BD＝AD＝1. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得 (2)求AB的长． AB＝ . 解：∠CBA＋∠EFD＝90°.理由如下： 依题意，得BC＝EF，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF＝90°， ∴Rt△BAC≌Rt△EDF(HL). ∴∠EFD＝∠BCA. ∵∠CBA＋∠BCA＝90°， ∴∠CBA＋∠EFD＝90°. 5.(新教材P30例题)如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子水平方向的长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？ 6.如图，要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则需要添 加的一个条件是 ( ) A. ∠C＝∠D B．AC＝BD C．BC＝BD D．AD＝BC C 7.(新教材P30T1改编)下列命题是真命题的是_______． (填序号) ①两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； ②斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； ③两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； ④一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等． ②③④ 8.如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2. 求证：Rt△ADE≌Rt△BEC. 证明：∵∠1＝∠2， ∴DE＝CE. 在Rt△ADE和Rt△BEC中， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 9.如图，∠A＝∠D＝90°，AC，BD相交于点O，AC＝BD.求证：△BOC是等腰三角形． 证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中， ∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL). ∴∠ACB＝∠DBC. ∴△BOC是等腰三角形． 解：两个木桩到旗杆底部的距离相等．理由如下： 依题意，得AB＝AC＝12 m， ∠AOB＝∠AOC＝90°. 又∵AO＝AO，∴Rt△AOB≌Rt△AOC(HL). ∴BO＝CO. ∴两个木桩到旗杆底部的距离相等． 10.(新教材P30T2)如图，两根长度均为12 m的绳子，一端系在旗杆上的点A，另一端拉直后分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由． 11.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE相交于点F.试探究BF与AE有何特殊的位置关系，并说明理由． 解：BF⊥AE.理由如下： ∵∠ACB＝90°，点E在BC的延长线上， ∴∠ACE＝90°. 在Rt△BCD和Rt△ACE中， ∴Rt△BCD≌Rt△ACE(HL). ∴∠CBD＝∠CAE. ∵∠ACB＝90°，∴∠CBD＋∠BDC＝90°. 又∵∠BDC＝∠ADF，∴∠CAE＋∠ADF＝90°. ∴∠AFD＝90°，即BF⊥AE. $