1.3　直角三角形 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦直角三角形，系统梳理互逆命题、勾股定理及其逆定理、“HL”全等判定等核心知识，通过概念辨析衔接性质与判定的逻辑关系，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点是融合数学思维与应用意识，以项目式学习（如勾股树探究）和分层练习（基础到提高）培养推理能力，通过证明垂直、测量办公楼高度等实例，让学生发展数学眼光，教师可借结构化资料提升教学效率。

第一章　三角形的证明及其应用 3 直角三角形 第一章　三角形的证明及其应用 直角三角形(第1课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 1．互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　　　　和　 　　，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的　　　　。  2．逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是　　　　命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的　　　　。这两个定理就是一对互逆定理。  结论　 条件　 逆命题　 真　 逆定理 3．与直角三角形相关的互逆定理：   定理 逆定理 (1) 直角三角形的两个锐角__________ ________________的三角形是直角三角形 (2) 直角三角形两条直角边的平方和等于_____________ 如果_______________________ _________________________，  那么这个三角形是直角三角形 互余　 有两个角互余 斜边的平方　 三角形两条边的平方和等于第三边的平方 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．在一个直角三角形中，一个锐角的度数是40°，则另一个锐角的度数是(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　 A．40° B．50° C．60° D．70° 2．以下列长度为边的三角形，能判定是直角三角形的为(　　)。 A．，5 B．1，4， C．1， D．5，6，8 B　 C　 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝15 cm，BC＝8 cm，则CD＝(　　)。 A．8 cm B．15 cm C．17 cm D． cm D　 4．下列定理，不存在逆定理的是(　　)。 A．等边三角形的三个内角都等于60° B．在同一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C．同位角相等，两直线平行 D．全等三角形的对应角相等 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为BC的中点，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E。若AC＝12，CE＝13，则CD的长为 　　　　。  D 6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，∠AEF＝∠AFE。延长AE，与BC交于点D。 (1)求证：AD⊥BC；(请用一对互逆命题进行证明) 证明：如图，在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°，∴∠1＋∠AFE＝90°。 ∵BF平分∠ABC，∴∠1＝∠2。 ∵∠AEF＝∠AFE，∠3＝∠AEF，  ∴∠3＝∠AFE，∴∠2＋∠3＝90°， ∴∠BDE＝90°， ∴AD⊥BC。 (2)写出你所用到的这对互逆命题。 解：直角三角形的两个锐角互余。有两个角互余的三角形是直角三角形。 强化提高 7．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为　　　　。  8．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则AE的长为　　　　 cm，BF的长为 　　　　 cm。  45° 　4　 5 9． 【数学应用】如图，小明和小华家中间隔了一栋办公楼，他们想要测量这栋办公楼的高OM。已知AF⊥OM于点F，BE⊥OM于点E。小明在自家阳台A处测得他看向办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OAF＝α，小华在自家阳台B处测得他看向办公楼顶部O的视线与水平线的夹角∠OBE＝β。若C，M，D三点共线，α与β互余，且OA＝OB，AF＝8 m，ME＝3 m，求办公楼的高OM。 解：∵α与β互余， ∴∠OAF＋∠OBE＝90°。 ∵AF⊥OM，BE⊥OM， ∴∠AFO＝∠OEB＝90°，∴∠OAF＋∠AOF＝90°， ∴∠AOF＝∠OBE。 在△AFO和△OEB中， ∴△AFO≌△OEB(AAS)，∴OE＝AF＝8 m。 ∵ME＝3 m， ∴OM＝OE＋EM＝8＋3＝11(m)，∴办公楼的高OM为11 m。 课堂延伸·提升素养 10． 【项目式学习】 项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形。因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树 素材二 经过小组讨论，制订了如下规则：(1)画出不同类型三角形形成的树形图；(2)所画的基础三角形的周长为8 cm，其中一条边长固定为2 cm。根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究 素材三 解决问题 任务一 小明画出了锐角三角形ABC(如类型①)，AB＝AC，BC＝2，则 ＝　　  任务二 小金画出了Rt△DEF(如类型②)，∠DFE＝90°，EF＝2，计算S2＋S3的值，并写出过程 任务三 小山画出了钝角三角形GHI(如类型③)，∠GIH＝120°，HI＝2，则S2＋S3＝　　　  解：任务二：设DF＝x cm， 在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝2 cm， 又∵△DEF的周长为8 cm，∴DE＝8－2－x＝(6－x)(cm)。 由勾股定理得EF2＋DF2＝DE2， 即22＋x2＝(6－x)2， 解得x＝， 即DF＝ cm， ∴DE＝6－x＝(cm)，∴S2＝DF2＝(cm2)，S3＝DE2＝(cm2)， ∴S2＋S3＝(cm2)。 任务三： 提示：过点G作GT⊥HI交HI的延长线于T，如图所示。 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：在周长一定的情况下，由　　　　三角形形成的总面积(S3＋S2＋S1)最大(填“锐角”“直角”或“钝角”)  钝角 第一章　三角形的证明及其应用 直角三角形(第2课时) 课堂精要·梳理内容 课堂精练·发展能力 课堂延伸·提升素养 目 录 课堂精要·梳理内容 只适用于判定两个直角三角形全等的方法：　　　　和　　　 　分别相等的两个直角三角形全等。简述为“　　　 　”或 “　　　　”。  斜边　 一条直角边　 斜边、直角边　 HL 课堂精练·发展能力 基础巩固 1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D。若AB＝AC，则可直接推出△ABD≌△ACD，其依据是(　　)。　　　　 　　　　 　　　　 A．AAS B．ASA C．SAS D．HL 2．如图，AB⊥BC，AD⊥DC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB为(　　)。 A．30° B．45° C．60° D．75° D　 A　 3．如图，BE⊥AC，CF⊥AB，BE＝CF，则图中的全等三角形有(　　)。 A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 4．如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AB＝DF，若要用“斜边、直角边(HL)”直接证明Rt△ABC≌Rt△DFE，则还需补充条件： 　 　 　　　　　　　。  C BC＝EF(答案不唯一)　 5．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝15，AE为过点A的直线，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，CE＝9，则DE＝　　　　。  3 6．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2。 (1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？请说明理由。 解：(1)全等。 理由如下： ∵∠1＝∠2，∴DE＝CE。 又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)。 (2)△CDE是直角三角形吗？请说明理由。 (2)是直角三角形。理由如下： 如图，∵Rt△ADE≌Rt△BEC， ∴∠3＝∠4。 ∵∠3＋∠5＝90°， ∴∠4＋∠5＝90° 。 ∴∠DEC＝90°， ∴△CDE是直角三角形。 强化提高 7． 【数学应用】工人师傅常用角尺平分一个任意角。做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、点N重合。过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线。在这个过程中可以得到△CMO≌△CNO，其依据的基本事实是(　　)。 A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C　 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，线段PQ＝AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP＝ 　　　　时，△ABC和△PQA全等。  5或10 课堂延伸·提升素养 9． 【综合与实践】学习了三角形全等的判定方法(即SAS，ASA，AAS，SSS)和直角三角形全等的判定方法(HL)后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究。 小聪将条件用符号语言表示：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E。　 小聪想：要想解决问题，应该将∠B分“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。 (1)当∠B是直角时，如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF(依据：　　　　)；(填三角形全等判定方法的字母表示)  图① HL (2)当∠B是锐角时，如图②，BC＝EF，∠B＝∠E，在射线EM上有点D，使DF＝AC，若画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是 　　　　；  A．全等　 B．不全等　 C．不一定全等 图② C (3)当∠B是钝角时，如图③，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠ABC＝∠DEF，求证：△ABC≌△DEF。 图③ 证明：如图①，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G。 如图②，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H。 ∵∠ABC＝∠DEF， ∴180°－∠ABC＝180°－∠DEF，  即∠CBG＝∠FEH。 在△CBG和△FEH中， ∴△CBG≌△FEH(AAS)，∴CG＝FH。 在Rt△ACG和Rt△DFH中， ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D。 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(AAS)。 放映结束，谢谢观看! $