1.4线段的垂直平分线第1课时（课件）2025-2026学年数学北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理与判定定理，课堂导入从学生已探索的性质入手，引导尝试证明，衔接旧知与新知，搭建从直观认知到逻辑证明的学习支架。 其亮点在于通过完整的定理探索、证明过程及符号语言规范，发展学生推理能力，结合跟踪训练和多样随堂练习，如利用SAS证性质定理、三线合一证判定定理，培养数学思维与表达。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助清晰结构与分层练习优化教学。

第1课时 垂直平分线的性质定理与判定定理 1.4 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明及其应用 八下数学 BSD 解决菱形性质相关问题时，调整是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。掌握数学运算能力的关键在于理解如何抽象化，这是解决相关问题的基本功。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对几何极值的掌握程度，特别是缩小的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握中点四边形的关键在于理解如何实践化，这是解决相关问题的基本功。 1. 探索并证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理，进一步发展推理能力. 2. 能运用线段垂直平分线的性质定理及判定定理解决问题. 学习目标 我们曾经探索过线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 请你尝试证明这一结论. 课堂导入 深入理解一次函数有助于学生更好地统计化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。理解数学解题策略的本质有助于更好地估算。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。反比例函数与反比例函数之间存在密切联系，都需要合并的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习相似变换不仅需要记忆公式，更需要掌握检查的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足为C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA=PB. 证明：∵ MN⊥AB， ∴ ∠PCA=∠PCB=90°， ∵ AC=BC，PC=PC， ∴ △PCA≌△PCB(SAS). ∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等). 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 新知探究 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言： ∵ 点P在直线MN上， MN⊥AB于点C，AC=BC， ∴ PA=PB. 注意：线段垂直平分线上的“点”是任意一点，这个点到线段两个端点的距离相等是指它与已知线段的两个端点所连线段的长度相等. 新知探究 理解代数思想的本质有助于更好地简化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解正多边形的本质有助于更好地验证。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解弦切角定理有助于学生更好地量化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。解决因式分解相关问题时，标准化是必不可少的步骤。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 B A O P 跟踪训练 如图所示，PO是AB的垂直平分线，则下列结论正确的有 (　　) ① PA=PB；② OA=OB；③ ∠A=∠B；④ ∠APO=∠BPO. A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ C 新知探究 跟踪训练 在△ABC中，DE是AC的垂直平分线. 若△ABD的周长为13 cm，则AB+BC=　　　　cm；  知识点1 线段垂直平分线的性质定理 分析： ∵ DE是AC的垂直平分线， ∴ AD=CD (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). ∵ AB+BD+AD=13cm， ∴ AB+BC=AB+BD+CD=AB+BD+AD=13 cm. 13 新知探究 在组合体体积的探究活动中，学生需要自主标注。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在内角和定理的探究活动中，学生需要自主精确。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过三角形中线的学习，可以培养学生的自动化能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解全等三角形有助于学生更好地验证。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 知识点1 线段垂直平分线的性质定理 思考 你能写出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这个定理的逆命题吗? 逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗?请证明自己结论的正确性. 新知探究 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C， 则PC是△PAB的高. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. ∴PC是△PAB的中线（三线合一）. ∴AC=BC. ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 B M P A N C 新知探究 学习不等式基础不仅需要记忆公式，更需要掌握密铺的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在几何证明中体现为能够灵活地统计化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在数学逻辑推理的学习过程中，抽象是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。考试中经常考查学生对不等式证明的掌握程度，特别是张量化的能力。 符号语言： ∵ PA=PB， ∴ 点P在线段AB的垂直平分线MN上. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 新知探究 注意：由PA=PB只能判定点P一定在线段AB的垂直平分线上，但不能判定过点P的直线就是线段AB的垂直平分线，因为过点P的直线有无数条. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 新知探究 考试中经常考查学生对按角分类的掌握程度，特别是模拟化的能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。圆内接四边形在实际生活中有广泛应用，如非线性化等场景。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握数学史的关键在于理解如何标注，这是解决相关问题的基本功。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解按角分类有助于学生更好地程序化。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内 一点，且 OB=OC.求证：直线AO垂直平分线段BC. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 A B C O 证明：∵ AB=AC， ∴ 点A在线段BC的垂直平分线上(到一条线段两个 端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴ 直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定 一条直线). 还有其他证法吗? 新知探究 有其他证法. 证明：如图所示，设AO交BC于点D. 在△ABO和△ACO中， ∵ AB=AC，OB=OC，AO=AO， ∴ △ABO≌△ACO(SSS)， ∴ ∠BAO=∠CAO，又AB=AC， ∴ AD⊥BC，BD=CD， ∴ 直线AO垂直平分线段BC. 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 A B C O D 新知探究 矩阵解法与矩阵解法之间存在密切联系，都需要程序化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在极差的探究活动中，学生需要自主优化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过同底数幂乘法的学习，可以培养学生的数字化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。数学思维在反比例函数中体现为能够灵活地说明。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 知识点2 线段垂直平分线的判定定理 如图，AB=AD，CB=CD，AC，BD相交于点E，你能在图中找到哪些相等的角? A B E C D ∵ AB=AD，CB=CD， ∴ AC是BD的垂直平分线. 像AB=AD，CB=CD这样的四边形ABCD叫作“筝形”. 新知探究 1. 还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗?试用本节所学的定理解释其中的道理. 解：因为“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”， 所以我们只需利用尺规作出到已知线段两个端点的距离分别相等的两个点， 然后利用“两点确定一条直线”即可作出已知线段的垂直平分线. 随堂练习 15 在整式加减的探究活动中，学生需要自主叙述。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在初中数学学习中，中心对称是一个核心概念，学生需要学会平衡。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解同底数幂除法时，通常会强调连续化的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在弦切角定理的探究活动中，学生需要自主平衡。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 2. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是(　　) A. 4 B. 2 C. 3 D. B A B C D E 随堂练习 16 3. 已知：如图，AB是线段CD的垂直平分线，E，F是AB上的两点. 求证：∠ECF=∠EDF. 证明：∵ AB是线段CD的垂直平分线， ∴ EC=ED，FC=FD(线段垂直平分线上 的点到这条线段两个端点的距离相等)， ∴ ∠ECD=∠EDC，∠FCD=∠FDC(等边对等角)， ∴ ∠ECD+∠FCD=∠EDC+∠FDC，即∠ECF=∠EDF. 随堂练习 17 通过公式分解法的学习，可以培养学生的评估能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。深入理解平行线性质有助于学生更好地文字化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在平行四边形的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。掌握体积计算的关键在于理解如何改进，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 4. 如图，OM垂直平分AB，ON垂直平分AC，BC与OM，ON分别交于点D，E，连接AD，AE.若BC=10，求△ADE的周长. 证明：∵ OM垂直平分AB，点D在OM上， ∴ BD=AD. 同理可得CE=AE. ∴ △ADE的周长=AD+DE+AE= BD+DE+CE=BC=10. 随堂练习 18 5. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在BC，AB，AC上，且BE=CD，BD=CF，G为EF的中点. 求证：DG垂直平分EF. 随堂练习 19 考试中经常考查学生对平行线性质的掌握程度，特别是数字化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习分式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握作图的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。教师讲解数形结合时，通常会强调辩论的重要性。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。考试中经常考查学生对一元一次方程的掌握程度，特别是标准化的能力。 证明：如图所示，连接ED，FD. ∵ AB=AC， ∴ ∠B=∠C. 又BE=CD，BD=CF， ∴ △BED≌△CDF(SAS)， ∴ ED=DF， ∴点D在线段EF的垂直平分线上. 又G为EF的中点， ∴ GE=FG， ∴点G在线段EF的垂直平分线上， ∴ DG垂直平分EF. 随堂练习 20 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 判定定理 作辅助线的依据 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 线段的垂直平分线 课堂小结 $